3 QUADRADOS E 1 SEMICÍRCULO
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- Опубліковано 16 січ 2024
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• Desafios: • DESAFIO MATEMÁTICO
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Calcule Área Total dos Quadrados
essas aulas que eu assisto fora do horário de estudo simplesmente por achar divertido, bom demais
Professor, a solução pode ser mais simples, evitando esse cálculo mais difícil..
Para tanto o quadrilátero azul quanto o roxo serem quadrados, significa que o tamanho do lado roxo é metade do lado azul, caso contrário, um dos dois não seria um quadrado (ou ambos).
Se eu assumir que o tamanho do lado roxo é ''X', então a medida do lado azul é 2x. Então, a medida do lado rosa será o lado roxo + lado azul, ou seja, 3x.
Portanto, a área dos quadrados serão:
Roxo = x²
Azul = (2x)² = 4x²
Rosa = (3x)² = 9x²
A área total dos quadros será:
x² + 4x² + 9x² = 14x²
Como a linha inferior vale 10, e ela é a soma do lado azul + rosa, então:
2x + 3x = 10
5x = 10
x = 2
Portando a área toral será:
14x² =
14.(2)² =
14 . 4 =
Área = 56
@BernardoOliveira762Eu também acho que não é possível ter certeza que o lado x do quadrado roxo divide o lado do quadrado azul ao meio...
Faz o seguinte, mantém o quadrado azul do mesmo tamanho,mas diminui o diâmetro do círculo para 9. Acho que agora o roxo não vai ter a metade do azul, né?
@@LuisEnriquePettinari , isso não pode ser feito, pois na medida que o diâmetro do círculo diminui (no caso, 90%), para ter a mesma medida do diâmetro do circuito a medida do lado azul + lado rosa também tem que diminuir 90%, caso contrário as extremidades dos quadrados azul e rosa iriam ultrapassar o diâmetro do círculo, não sendo mais tangentes, fazendo uma outra figura totalmente diferente..
Portanto, não dá para "diminuir o diâmetro do círculo", pois todos os lados dos 3 quadrados teriam que diminuir também 90% cada.
Amo as suas questões envolvendo circunferências e circulos, está me ajudando muito pra minha evolução na OBMEP, gratidão🙏❤
Esse é o número áureo ou número de ouro. É só chamar o lado do quadro menor de x, então o lado do segundo quadrado terá 2x e o terceiro terá lado 3x. Então, 2x + 3x = 10 => x = 2... Por conseguinte, a área do quadrado menor será 2²=4, do seguinte será (2*2)*(2*2)=16 e (3*2)*(3*2)=36. Área 4+16+36=56.
Já sou engenheiro de carreira e encontrei esse canal. Não sei dizer ao certo, mas tem alguma coisa nesses vídeos e exercícios que me fazem relaxar a mente após um dia estressante de trabalho. Talvez seja por eu me imaginar ensinando isso para meus futuros filhos ou em uma sala de aula. Acho que sou mais estranho do que pensei kkkkkk
Show de aula!!!
FALANDO COM OS NUMEROS ..... excelente ...... voltando a estudar para ensinar meu filho ....
Parabéns pela resolução 👏👏👏👏
Caraca, Professor... Que baita solução, parabéns.
O x achei de uma forma muito mais difícil, nem pensei nas projeções que vc fez 😂. A área foi mole depois pegando os triângulos e tirando a área do retângulo, obrigado por mais essa obra prima mestre Jedi.
Que questão maravilhosa. Resolução linda. Parabéns 🎉
Muito obrigado! Estamos juntos! 😃
A matemática é linda! Consegui fazer de outra forma, e o mais lwgal é que pode ser feita de várias maneiras, mas o resultado é o mesmo.
Gostei muito da solução do professor também
Muito bom professor
esse raciocinio para manipular algebricamente é um dom pra alguns, pra outros é um quebra cabeça imenso! tento fazer mas não consigo nem começar a pensar na solução... mas não desisto hehehe
Matemática
Parabéns Aquino, de longe a melhor solução.
Tmj
Muito bom, Usei Pitágoras do centro da semi circunferência ao ponto de interseção, e como raio é 5, assim fica:
a² + m² = 5² → m = √(25 - a²) onde m é a projeção da hipotenusa na base.
Além disso sabendo que b = 10 - 2a, e que (a - b) + √(25 - a²) = 5
conclui-se daí que:
a - (10 - 2a) + √(25 - a²) = 5
simplificando e resolvendo a eq.
a² - 9a + 20 = 0
(a - 4) (a - 5) = 0
a = 4
a = 5 → descarto essa por incompatibilidade
Portanto a² + b² + (a + b)² = 56 u.a
Amei a questão, faz mais iguais a essa professor
Vou fazer. Estamos juntos! Abração!
Bela resolução. Parabéns.
Valeu! Obrigadão! 🙂
Acertei, fiz igualzinho você. Demorei mas acertei, kkk. Tô pegando o jeito.
Parabéns!
Obrigado! Estamos juntos! 🙂
eu resolvi assim: a+b=10, a+c=b, 2a+c=10, b>a>c>0, seguindo essa lógica a unica solução possivel para 2a+c=10 é a=4, c=2 (considerando somente resultados inteiros, se aa), então b=6, calcula as areas dos quadrados e soma tudo chega em 56ua, cheguei no resultado mas o seu calculo prova ele de forma bem melhor, minha lógica ali quebra se for considerar numeros não inteiros 🤔
se for considerar numeros não inteiros nessa lógica os valores poderiam ser algo como a=3.8 b=6.2 e c=2.4, mas nesse caso a soma das areas daria 58.64 :/
Muito bem! Se fosse um concurso e nas alternativas de respostas tivessem apenas números inteiros, o seu raciocínio resolveria a questão rapidamente.
Legal demais
😀
Muito legal
Valeu! 😃
Perfeito, só não usei a semelhança, mas sim o produto das projeções que resulta no quadrado da altura.
Mandou muito
Valeu! Estamos juntos! 😃
Prezado Felipe. Usei um caminho diferente para resolver o problema. Considerei o lado do azul como A, o rosa B e o roxo A/2. Considerando o Triangulo de Pitágoras formado pela hipotenusa R=5 e catetos A e (5-A/2), chegamos a equação de segundo grau : 5/4×A^2 - 5A = 0. Resolvendo a equação teremos A =4, B =10-4 =6 e C=2. Assim, a área total dos quadrados será : 4x4 + 6x6 + 2×2 = 56.
Bom exercício
Valeu! 😀
👏🏻👏🏻👏🏻👏🏻
😃
Seguindo a mesma teoria de solucao do professor , se usarmos como inicio os lados do quadrado maior e medio , a solucao fica mais complicada algebricamente . A+B = 10 e o lado do quadrado menor C = A-B. Fazendo a semelhanca dos triangulos vai encontrar a solucao numa equacao de segundo grau que nao Serao eliminados os elementos ^2 e seguimos a solucao usando bascara .
O legal é que dá pra resolver só olhando pra imagem e nem precisa da circunferência kkk
Se não tiver o ponto de interseção com a circunferência não chega a lugar nenhum
Sabendo q o lado ou a área do menor quadrado é a metade do segundo quadrado maior, então já consegui resolver fazendo 2x + 3x=10. Fiz isso ao ver q era uma progressão geométrica dos lados dos quadrados pq o semicírculo está contido dentro dos quadrados.
Como chegou a essa conclusão?
Eu tbm pensei q o circulo menor parecia ser a metade do segundo menor, mas ignorei pq n sabia como provar
A matemática é tão perfeita que permite mais de uma resolução. Eu tenho uma terceira. Mais trabalhosa que a sua e menos que a. apresentada no vídeo.. boa questão.
Eliverton, você poderia explicar melhor essa solução? Obrigado!
Esse é o número de ouro da sequência de Fibonacci, por isso a progressão dá certo. O semicírculo é o início da espiral.
se essa questão estivesse em uma prova e não soubesse responder tudo meu chute seria que a medida do b é igual a metade do a, no caso essa afirmação é correta logo, no início da sua equação falaria que a = 2 b, trocaria essa primeira equação para 2.2b+b=10, descobriria que o b era dois e teria resolvido a questão. (essa maneira não funcionaria se fosse desproporcional as medidas do b em relação ao a).
top
Valeu! =D
Excelente, porém era nítido que A era igual a 2b devido só reparar que o quadrado menor ocupa exatamente metade do azul, daí quando vc colocou no desenho ali que o outro lado da metade do azul era a - b, já dava pra usar o B direto kkkkk
Mas enfim, foi excelente explicar detalhado pois ensina todos a terem uma visão ampla dos cálculos e das estratégias, mas é só um detalhe que quis pontuar que pode facilitar pra algumas pessoas.
Sim concordo com vc, mas muitas vezes em uma prova eles colocam a figura fora de escala pra que a única forma de vc chegar ao resultado seja com cálculos
Só toma cuidado "nítido" pode ser uma pegadinha. A segunda percepção, realmente não precisava de toda a conta.
@@luisfisaiasjr3003 sim quis dizer nítido na percepção visual, mas sei que nem tds conseguem assimilar de primeira, principalmente por causa de pegadinha
😊
Valeu! 🙂 Gosto de trazer as figuras na escala perfeita, mas se der uma "entortada" nelas, vai dificultar a visualização. 😄
é a típica resolução que eu jamais pensaria, mas depois que vejo se torna, de alguma forma, óbvia 😅. Muito obrigado pelos seus vídeos!
Eu nem estudo e to aqui vendo o vídeo simplesmente por amar matemática
Agora a alinea b) Calcule a area do semi- circulo 😃
E se a proporção entre o quadrado rosa e o azul fosse diferente, mas o diâmetrp da semicircunferência ainda fosse 10, o resultado seria o mesmo?
Em momento algum o ptoblema fala a propirção entre os quadrados. Isso me intriga...
pq eu acho esses videos satisfatórios?
56m² ou 36m²+16m²+4m²
Quebrei a cabeça e não saí do lugar...kkkkk
Eu fiz ela por hipotese, como o raio do semi circulo é 5,supondo que do cemi-circulo para o quadrado médio é um pequeno espaço, subtrair 5-1=4, da mesma forma, se aquele pedaço vale 1, então ate o final do quadrado maior e somando 5+1=6, como os dois menores valem 1. Então 1+1=2. Claro que poderia da errado, se fosse valores com virgula etc. Mais o inportante é economizar tempo. Uma humilde opinião de um fomando de matemática. Quando você faz análise real, hipótese não sai de você ksks
Fui por um caminho diferente (com mais conta 😂), vou explicar [sendo "A" o lado do quadrado maior, "B" o lado do quadrado médio e "C" o lado do quadrado menor]: parti do teorema de Pitágoras em um triângulo ligando o ponto de intersecção do semi círculo com o vértice do quadrado menor ao centro do semi círculo (a hipotenusa, de dimensão igual ao raio, que é 5), completado por um segmento perpendicular à base da figura (o cateto maior, de dimensão "B"). O cateto menor tem dimensão "C" + "X" (sendo "X" o segmento entre o vértice do quadrado maior e o centro do semi círculo). A partir dai: 1) substituí "X" pela sua relacao com ''B" [ X = 5 - B ]; 2) substituí "C" pela sua relacao com "B" [ C = A - B & A = 10 - B portanto C = 10 - 2B ]. Aí, apenas com a variavel "B", via Bhaskara deu B = 5 ou 4, como pela figura B < 5 então B = 4. Aí ficou fácil chegar às dimensões de "A" e "C" e, por fim, a área total = 56 😊 (era mais facil ter feito um video de resposta do que escrever tudo isso 😅)
resolvi de cabeça hahahaahah.
fiz de um jeito mais simples:
b=10-2a.
distancia do primeiro ponto até a primeira reta do quadrado b
a-(10-2a)=3a-10
distancia do raio até tal ponto
5 - (3a-10) -> 15-3a
dai só montar a equação do 2º grau com base no teorema de pitagoras
(15-3a)^2 + a^2 = 25
simplificando fica
x^2 - 9x + 20 = 0
resolvendo gera 2 raizes, 5 e 4, porque de fato tem 2 formas de resolver esse problema de ter 3 quadrados, um ser a soma dos outros 2, e um deles encostar a ponta na circunferencia a possibilidade de ser 5 seria, se o quadrado azul e vermelho tivessem lado 5 e o roxo lado 0.
mas claramente nesse caso é o 4 a resposta visto que o A é menor que o C nesse caso, e se fosse 5, A seria igual a C.
portanto a=4, e ai fica facil de descobrir o restante, b=10-2.4=2, e c=10-4=6, 4^2+2^2+6^2=56, cheguei na mesma resposta, resolvi o problema todo de cabeça desde encontrar a forma de resolver até montar as equações resolver as distributivas e a equação do 2º grau, ando fazendo isso pra tentar me forçar kkkkkkk seus problemas são bons pra isso
Um modo de resolver somente com o valor 10 informado:
A soma dos lados do quadrado médio com o grande é 10.
Dividindo pelo número de quadrados que estão dividindo esse valor 10 temos 10/2 = 5
O quadrado maior tem seu lado maior que 5.
E o médio menor que 5
A soma dos lados do quadrado médio com o pequeno são iguais ao valor de um lado do quadrado grande.
Ent em resumo temos que os valores possíveis para cada lado sejam:
Pequeno:: 1, 2, 3
Médio: 1, 2, 3, 4
Grande: 6, 7, 8, 9
P < M < G
P + M = G
M + G = 10
Fazendo alguns cálculos simples podemos eliminar as possibilidades.
Ex: P não pode ser 1, porque 1 + qualquer número de M são iguais ou menor que 5.
P + M tem que corresponder a algum valor de G
E os únicos casos em que isso acontece é em P=2 + M=4 ou P=3 + M=4. (P=3 + M=3 não é possível pois o M é maior que o P).
Então
M = 4
10 - 4 = G (G = 6)
6 - 4 = P (P = 2)
2×2= 4
4×4=16
6×6=36
4 + 16 + 36 = 56.
É claro que essa solução só da certo se todos os valores forem inteiros e não decimais.
👍
Lembra um Fibonacci
Tempestade em copo d’água essa resolução.
nada
@@Decex-mi7pq totalmente
Por que mesmo o lado do quadrado azul é o dobro do lado do roxo?
Porque comprovamos através dos cálculos, que 2b = a. 🙂
Rapaz, que arrodeio, eu pensei assim, se o roxo cabe 2 vezes na lateral do azul, logo, 1 azul= 2roxo e o rosa é igual um roxo+azul, então pensei, quais número se encaixaria se k limite é 10, então somei 2+4=6 tamanho do rosa, 4+6=10
E como você me prova que o roco cabe duas vezes na lateral do azul?
56 u.a.
Fazendo pouca conta!
olha achei o vídeo maravilhoso, explicação bastante didática, mas nesse caso seria apenas usar a lógica, não? se a base vale 10 e os quadrados grandes não estão em 5/5. só restariam 4/6 ou 2/8. pois o caso contrário o quadradinho seria um número com virgula. com isso já da pra ver de cara que a divisão dos quadrados está mais de 4/6 do que 2/8. assim daria para se concluir o resultado final. me corrija se eu estiver errado.
bem legal as contas, triangulos, curvas... mas essa aí só batendo o olho já dá pra calcular de cabeça.
9oooo
🙂
14 quadrados pequenos × 4 area cada =56
Cuidado...
Ta explicado ele é concurseiro musical ta sonhado com as notas 😅😅😅
Boa explicação, entretanto, há um jeito extremamente mais fácil. chama o lado do Quadrado Vermelho de X, o lado do Quadrado Azul de Y.
x + y = 10. Logo:
x = 10 - y.
Vamos chamar o lado do Quadrado Roxo de Z.
Sabe-se que o lado do Quadrado Azul é (10 - y) e o lado do Quadrado Vermelho é y.
Para descobrir Z devemos subtrair o lado do Quadrado Vermelho pelo lado do Quadrado Azul.
Logo, a equação fica:
y -(10 - y) = z
y - 10 + y = z
2y - 10 = z
Agora, temos todos os lados dos quadrados em termos de Y.
Lado do quadrado vermelho = Y
Lado do quadrado azul = 10 - Y
Lado do quadrado roxo = 2y - 10
Entretanto, o lado do quadrado roxo é metade do lado do quadrado azul, como observado na figura. Portanto, temos a seguinte equação:
(10 - y)/2 = 2y - 10
5 - y/2 = 2y - 10
15 = 2y + y/2
15 = 5y/2
y = 6
Agora que descobrimos o valor de Y podemos substituir nos lados do quadrados e fazer a área deles
Relembrando:
Lado do quadrado vermelho = Y = 6
Lado do quadrado azul = 10 - Y = 4
Lado do quadrado roxo = 2y - 10 = 2
Para descobrir a área é simples:
6² = 36 = Área do quadrado vermelho
4² = 16 = Área do quadrado azul
2² = 4 = Área do quadrado roxo
Soma das áreas = 56
😔😪😪 Nossa! eu não consegui nem começar.
Fiz em 7 segundos kkkk
Que bagunça
Quadrado rosa= 36ua
Quadrado roxo= 4ua
Quadrado azul= 16ua
Total = 56ua ... Vamos assistir ...
Muito bom! 🙂
Conzegui resolver pela lógico, mas sei que é muito errado e se não fosse pelo tamanho dos gradrados baterem exatamente, não iria conseguir
fiz a mesma coisa, pulei pra ver se o resultado tava certo e vi que tava, mas fiquei um bom tempo tentando entender a conta que ele tinha feito
Exato. Como na maioria dos vídeos as figuras são proporcionais, deu certo, mas se não for, já era... 😄
Sabendo que 5 × 2 = 10. Conclui que o lado do quadrado menor só podia ser igual a 2, pois seu lado é claramente a metade do quadrado azul, então os lados do azul seriam 4, e Sabendo que o diâmetro é igual a 10, concluiu-se que o restante só poderia ser igual a 6
Se são quadrados, todos os lados possuem a mesma medida. Contando que o diâmetro do semicírculo é igual a 10, e Sabendo que 10 pode ser divididos em 5 partes, só de observar, pode-se concluir que o quadrado menor pode ser distribuído de maneira igual horizontalmente, tendo o quadrado menor 2 unidades de medida em seus lados. Sendo o quadrado azul com lados iguais a 4, blablabla... 🥱
Como você prova essas afirmações?
@@ProfessoremCasa Principalmente pelo resultado (56). Na verdade, eu imaginei um retângulo de base 10, e passei a ignorar semicírculo. Foi mais assimilação, só de observar mesmo.
Primeiro se o diâmetro do semicírculo é 10, seu raio é igual a 5. Ao perceber isso conclui que o quadrado vermelho só poderia ter seus lados maiores do que 5, e logicamente o quadrado azul só poderia ter seus lados menores que 5. Então nesse retângulo de base 10 que imaginei, havia um quadrado azul de lados menores que 5 (x5). Daí observei que os lados do quadrado roxo davam a metade dos lados dos lados do quadrado azul a partir daí lembrei que 10 dava para ser dividido em 5 partes... então se o quadrado roxo tivesse lados iguais a 2, o quadrado azul teria lados iguais a 4, então se a base do retângulo é 10, então 10-4=6, sendo o quadrado vermelho com lados iguais a 6. Portanto 2^2=4, 4^2=16 e 6^2=36. Totalizando 56. Tudo baseado no quadrado roxo, que se ele tivesse lados iguais a 2 e Sabendo que a base do retângulo é igual a 10, ele poderia ser distribuído horizontalmente pelo retângulo por 5 vezes. Enfim... é difícil de explicar apenas com palavras, mas deu certo....
@@thiagoe.211 Como você garante que o lado do quadrado roxo é a metade do lado do quadrado azul?
@@ProfessoremCasa
Isso pode ser provado
pela geometria euclidiana!
Solucionei sabendo do raio 5, puxando o triângulo pitagórico, 5,4,3.
Obs: cheguei no mesmo resultado sem usar letra, amemkkkkk
Pode explicar onde puxou esse triângulo?
@@jpaumsarradaaleijada5131 o mesmo triângulo da resolução do vídeo dele, mas puxando lógica com o triangulo retângulo clássico 3, 4, 5 de Pitágoras.
Não entendi
@@leandrobrazao5380Acho que algumas medidas são padrões no triângulo retângulo. Assim, se um lado vale 5, então os outros lados só podem ter determinados valores, que no caso são os valores citados (isso vale apenas para um triângulo retângulo)
Errei feio
Desculpa, entendi nada e agora só me acho mais burra 😢
Amor,
Dá uma olhadinha na resposta
do
BERNARDO GR 6000.
bem mais direta! 👍
Dificultou a resolução de uma questão que era bem simples. Gastou matemática onde não havia necessidade. Cada questão o cidadão só tem 3 minutos pra resolver. Se for nessa onda aí... kkkkkk. Passa nunca!
Como você, o grande concurseiro musical, faria essa questão? 🫡
Mais vale uma resposta do que nenhuma…
Ronaldo, há muitas formas diferentes de resolver a questão.
A forma como ele apresentou e solucionou a questão é muito necessário pra o nosso aprendizado.
Óbvio que tem formas mais simples de resolver ela.
Com esse vídeo eu aprendi muita coisa necessária pra minha olimpíada de matemática.
Não julgue, eu como adoro a matemática eu achei a forma dele de solucionar a questão de forma brilhante, como eu acho que você provavelmente não conseguiria fazer a metade como ele acabou seguindo; julgue menos e entenda o lado dele ;). Evolua como um ser humano com mais humildade para que a maioria dos outros tenham humildade com você também. Nesse mundo ninguém é melhor que ninguém.
@@l1nkbugadu947 Falou e disse! 👍
@@ProfessoremCasa Não é a primeira vez que vejo esse sujeito comentando nos seus vídeos com esse tom arrogante. Olha que legal! Você tem seu primeiro fã hater!