Rewriting complex functions so they take the form of a geometric series, then writing out that series is often a fast and easy way to to get Taylor series (up to the first singularity) or Laurent series (beyond the first singularity). A good trick to calculate many power series without much thought!
I feel like the n-choose-k argument wouldn't work anymore because there, y²x²y ≠ x²y³.... That means we would have to use permutations instead of combinations!!
Copying this from the English channel so more people see it: I got a question! I came up with this on my own, but it seems the good people at Math Stack Exchange have (partly) figured it out. The "Generating Function" of a series is a function with coefficients equal to the series. For example, take the series 1/0!, 1/1!, 1/2!, 1/3!, 1/4!,.... The generating function for this series is 1/0! * x⁰+ 1/1! * x¹ + 1/2! * x² + 1/3! * x³ +... = e^x. What function is its own generating function? i.e. f(x) = f(0)x⁰+f(1)x¹+f(2)x²+... related question, what function has the property that f(n) = d^n/dx^n f(x) at 0 (i.e. f(0) = f(0), f(1) = f'(0), f(2)=f''(0), f(3)=f'''(0), and so on).
(Edit : oh I confused Exponential generating function with ordinary one...) It's just a specific solution group. I approached with an idea that if e^p = p for some complex p, f(x) = e^(e^p x) = e^(px) implies f(n) = f^(n)(0). So calculating possible p values with Lambert W gives infinite amount of solutions. By taking real part of the function, I could visualize in desmos and worked pretty well (Like, f(x) = e^(2.062x) cos(7.588x))
![[Eng Sub] Is It Really Unsolvable? | Dual Numbers](http://i.ytimg.com/vi/-x-5KIQ0PKU/mqdefault.jpg)
![[Eng Sub] Is It Really Unsolvable? | Dual Numbers](/img/tr.png)
このチャンネルは難しすぎず簡単すぎないトピックを探すのが上手い
とてもニッチな
2項係数の頭に負の整数を入れるっていう演算、
去年あたりに一人で考えてたモンティ・ホール問題の拡張版で出てきました。
（扉の数を増やしたり、選べる扉を複数にしたり）
どう計算していいのか分からず、それが原因で問題を放置してたのですが、この動画でのルールを使ったら一歩前進させられそうです。
この動画に感謝。
This series only gets better and better
Funny enough, they used series summation to solve it.
二項定理ってこんなに奥深かったのか…………数学てほんとに深い
10:21 √1+xのマクローリン展開で、xが小さいときはx^2以降はすごく小さいから無視して、できた近似式 √1+x≒1+(1/2)x は、高校物理でも「ヤングの実験」のところで使われますね（2つのスリットからの光路差を三平方の定理で計算する式にこの近似を使うと、いろいろ打ち消してめちゃ簡単な式になる）
@@山崎洋一-j8c揚げ足取るようですみませんが、“xが小さい”だと、xが負の時のほうが数としては小さいので、“xが十分0に近い”とか“xの絶対値が小さい”とかのほうが良いかと。文脈的に判断できる話だとは思いますが
二項定理いろんな所で使われがち
@@リペア-h5o それもこれも、組み合わせの数というとんでもなく汎用性の高い概念を計算に取り入れられる二項係数のせい。しかも、かなり使い所が多く、拡張概念が既に考案されている階乗が構成要素になってるから、尚更色んな数学分野で引っ張りだこになるという
面白かったです。
Γ関数を用いるのかと思ったけれど、こんなに初歩的な数学の積み重ねで直感的に解説できるものなのですね。
いや、むしろ必要以上のものを用いないこのシンプルさこそ数学の良さか。
仕事とか日常でこのレベルの数学を自分から使うことはないのに、このチャンネル面白すぎてつい見てしまう
綺麗な書き方ではないけど、与えられた式を(x+1)^3・(x+1)^0.1・(x+1)^0.04・・・と考えると、展開後の式もなんとなくイメージしやすいような
10:26 これ高校物理でよく見る「xが十分小さい時」に使える近似ですよね
数学本当に面白い.......投稿ありがとうございます.. Even though it's not rigorous, you explained it incredibly well
二項定理すごい！
大学入試物理でもよくこれを利用した近似が使われますね
まじで大学一年の微分積分の授業の途中に知りたかったわ笑
この手のものは無意識的にテイラー展開するイメージだったけど
断片的に考えれば二項定理もその仲間だったんだなあ
当たり前なんだけど気づかなかった
既にコメントで思った事書かれてて嬉しいものですわ笑
6:15 りいてのんもだんず⬅️
ずんだもんの定理
リーテ･ラトバリタ･ウルス･アリアロス･バル･ネトリール (ラピュタ)
↓
ルーリトネ･ルバ･スロアリア･スルー･タリバトラ定理
@@妖刀 は？
@@妖刀病院にIKEA
二項係数の一般の実数に拡張するときガンマ関数を使うのかと思ったら違ったようだ
なんか英語コメント多いなと思ったら英語字幕がAI生成の自動じゃないのか、めっちゃ力入ってるな
…と思ったら、英語版のチャンネルと動画も出してるのか、知らんかったすごい！
発表で躓いてたので助かりました。
パッと見て意味不明と思ってたけどπが３と４の間って話してるとこであ、これ一般化二項係数出てくるやつだって察した
why is it already 2 AM and why is zundamon teaching me math??? in japanese????
ははは
日本人も午前4時にこれを見ています
@@cringe5393 zundamomって、北欧神話とかにありそう
@@勉強せねばほんとに？？ww
This definitely reminds me of e^(d/dx) f(x) = f(x+1). Series expansion of left hand side while f(x) = x^a gives us exactly same result!
複雑なΣ計算の問題は、二項定理を微分したり、Xに代入するだけで出たりする二項定理めっちゃ便利
収束半径に関する議論をすっ飛ばして、「形式的に」という点でいろいろ応用できるお話ですね。
以前投稿されてた exp(d/dx)f(x)=f(x+1) とも関連が出てきます。
@@qgb01362 ｵｫ(*˙꒫˙* )
2項係数の頭に負の数を入れるって考えたことなかったわ。
Rewriting complex functions so they take the form of a geometric series, then writing out that series is often a fast and easy way to to get Taylor series (up to the first singularity) or Laurent series (beyond the first singularity). A good trick to calculate many power series without much thought!
ニュートンの墓には二項定理が刻まれているんです
無限和として表現できたのはnが整数だからなのであって、実数に拡張すると分子の掛け算にゼロが出てこないのでダメなのでは？
(大学数学やってないので間違ってたら勘弁して
i love this channel
Thank you! the Binomial theorem seems so interesting now
二項係数のkがnを超えた時に0になるのってnが整数だから積の中に0が現れるっていうのがあったと思うんだけど、nをαにするとその前提崩れたりしない？
奥が深すぎて何を言ってるか私には意味不明でした
数学苦手だけど、これ面白い
今回は二項定理→級数とあくまで離散の方面で攻めてたけど総和を積分で連続化するとどうなるのかも気になった。何か面白い表示が得られたりしないのかな
from fried chicken and egg condiment to mathematics
等比級数の公式なのだ！←かわいい
10:56 でx→-xのかわりにx→x^2としてできた式 1/(1+x^2) = Σ(-1)^k x^2k を積分すると、 arctan x = x-(1/3)x^3+(1/5)x^5-(1/7)x^7+… が得られる
このxに1を入れると、有名な公式 π/4 = 1-1/3+1/5-1/7+…が得られる
しかし、無限和を積分していいのか？という点や、|x|
Wow!!! So cool, I wonder how people originally discovered that formulas, everything in maths is interlinked
不定積分で考えると複雑に見えますが、
xの0から1までの定積分と考えると、確かにπ/4と求められますね。
各積分値は有限ですし、
積分の線形性から無限和を積分してもいい気はしますね。
もっと厳密な証明方法はありそうですが。
そういえば動画中盤で出てきた ₙCₙ₊₁ への拡張ですが、
もともと成立していた組合せの定理 ₙCₖ = ₙCₙ₋ₖ を適用すると
ₙC₋₁ も定義できてうひょーッ！ってなりますね。
もっとも、概念拡張のあとも依然としてさっきの定理が適用可能かどうかは大いに疑問が残るし、
動画みたいに階乗をもちいて ₙC₋₁ を展開しようとすると (−1)! を定義する必要が現れて大変雲行きが怪しいし、
何より、仮にうまくいったとしても ₙC₋₁ =
0 なので「だからどうした」になってしまう……。
でもこれを定義したら、動画中で Σ[0, n] を Σ[0, ∞] としていた箇所をさらに Σ[−∞, +∞] にできます！
コンビネーションの式からガンマ関数出てくるかと思ったけど、マクローリン展開の方だったかw
今回はガンマ関数はガマンってことかな？
形式的に拡張して、表現が変わっただけに見えるのだ
nCrを階乗で書いたのをさらにガンマ関数に書き直すやつやろ
違った
潔い
@@ccxxii7816くさ
飽くまでもこの動画では収束性についての議論は無視していましたね。因みにべき級数の項が無限に続くか有限で打ち切れるかという問題は、値は少し違いますが、量子力学においてエネルギー固有値に対応する規格化可能な波動関数が存在するかという問題とも関係があったので、興味深かったです。
わけがわからないよ。
個数と言う概念はもはや整数に限られた世界…これからは複素数の時代ですね。と言いつつ、四元数や八元数ではどうなるのかにも興味は有ります。
An arbitrary ring would be interesting
I feel like the n-choose-k argument wouldn't work anymore because there, y²x²y ≠ x²y³.... That means we would have to use permutations instead of combinations!!
@@catmacopter8545 Maybe only allow commutative rings?
面白いなあ
高3と教養でやったきり、忘れてました。
π乗とかの発想が面白いね
投稿者が思いついたのかね？
I thought Zeta function would come out but turns out to be normal 😂
数学ってなんてよくできているんだ・・・
アクセスというか御託宣というか
Copying this from the English channel so more people see it:
I got a question! I came up with this on my own, but it seems the good people at Math Stack Exchange have (partly) figured it out.
The "Generating Function" of a series is a function with coefficients equal to the series. For example, take the series 1/0!, 1/1!, 1/2!, 1/3!, 1/4!,.... The generating function for this series is 1/0! * x⁰+ 1/1! * x¹ + 1/2! * x² + 1/3! * x³ +... = e^x.
What function is its own generating function? i.e. f(x) = f(0)x⁰+f(1)x¹+f(2)x²+...
related question, what function has the property that f(n) = d^n/dx^n f(x) at 0 (i.e. f(0) = f(0), f(1) = f'(0), f(2)=f''(0), f(3)=f'''(0), and so on).
(Edit : oh I confused Exponential generating function with ordinary one...)
It's just a specific solution group. I approached with an idea that if e^p = p for some complex p, f(x) = e^(e^p x) = e^(px) implies f(n) = f^(n)(0).
So calculating possible p values with Lambert W gives infinite amount of solutions.
By taking real part of the function, I could visualize in desmos and worked pretty well (Like, f(x) = e^(2.062x) cos(7.588x))
x+1の1/2乗で出て来た級数みたいなのって、2乗するとx+1に戻るって事か。
√（x-1)を展開してx=0の時の値を計算するとiになるのかなぁ？
その二項定理とか言うやつを見る限り、1を-1に変えてあと全部x消るとi=-1になるけど？
@@yu-gr7ko
その場合だと、二項定理は
(-1+x)^α=Σ[k=0,∞]((αCk)x^k(-1)^(α-k))
となると思います。
α=1/2, x=0 のとき、残る項は(-1)^(1/2)なのでしっかり虚数単位を表していると思います。
@@鳥越利雄 ありがとうございます。なるほど。。きっとその(-1)^(1/2)の部分は、本来、符号の正負を表していたんだろうけど、それが、虚数として残るのかぁ。。
一通りの動画か概要欄に参考文献つけてほしいっす。日本語にこだわる必要なく、ガチに参考したやつで。
福井先生…
@Excepcep このチャンネル面白いですよね
ずんだもんかしこい。
ガンマ関数はどこ……？
テーラー展開かと思ったらテーラー展開だった
The most simple one in this channel. Maybe everyone who entered the university know this?
Definitely not everyone
階乗がさらに進化するかと思ったら、さすがに今回はそこまではいかなかったか。
αCk=α!/(α-k)!k!と捉えるとガンマ関数が出てくるけど、今回はkが非負整数だから有限積だけで表現できてるね
일본어 채널이 있었군요. 이쪽도 구독했습니다
展開すると．．．？
いったいなに？
今回はπだけどeでもできそうかな
：）……ぼくは何を見ましたw
そのy=1/(1-x)は x>0,y
∵収束半径（收敛半径）r=1,
|x|
(x+1)^3＝x^3+3x^2+3x+1≦(x+1)^π＝無限級数≦(x+1)^4＝x^4+4x^3+6x^2+4x+1ってグラフで示せるんでしたっけ？
やばいなんもわかんない
これは絶対にp進数のせいだね
Others here to to learn math. Me herre cause It looks cool and cute same time :)
10:21 -(1/8)x^2????
分子が(1/2)×(-1/2)
分母が2×1
This is my favorite channel now! Can this be used to define general Leibniz rule for fractional derivatives?
1/(1-x)=1+x+x^2+...は、競技プログラミングや競技数学で使えるとうれしいFPSの重要公式ですね。2口径数を実数に拡張することでも得られるとは知りませんでした。
一般に1/(1-x)^rのx^nの係数はnCr(n+r-1,r-1)が成り立ちます。今までは「1/(1-x)を多項式に掛ける⇔各項の係数が元の多項式の各項の係数の累積和をとる」を利用して示していましたが、この方法でも証明できるのかもしれません。
よくこんなもの考えるよなぁ人間って
I prefer sub over dub so I came here
男は黙ってガンマ関数
俊达萌讲数学
これはいったい何の問題なのでしょうか?
いったん＝０と仮定しよう
可愛い絵、可愛くない内容。。
わかんないっぴ
First comment!!