Алексей Сосинский. Теорема Гёделя о неполноте
Вставка
- Опубліковано 17 січ 2013
- Теорема Гёделя, наряду с открытием теории относительности, квантовой механики и ДНК, обычно рассматривается как крупнейшее научное достижение ХХ века. Почему? В чем ее суть? Каково ее значение? На эти вопросы мы попытаемся ответить. В частности, будут даны несколько разных ее формулировок, описаны три подхода к ее доказательству (Колмогорова, Чейтина и самого Гёделя), и будет объясняться ее значение для математики, физики, компьютерной науки и философии.
___
Математик, профессор Независимого московского университета,
офицер Ордена академических пальм Французской Республики, лауреат премии Правительства РФ в области образования.
____
Расписание публичных лекций Полит.ру:
/ politru.lectures
politrulectures
Полит.ру:
polit.ru/
/ politru
politru
zen.yandex.ru/politru
Поддержать проект: www.donationalerts.com/r/poli...
#лекция #наука #математика #теоремагёделя #матлогика #логика - Наука та технологія
Это мать его лучшее объяснение "Теоремы Геделя о неполноте" во всем интернете!
Врервые вижу этого лектора.
Он великолепен!
Кажется самое понятное и развёрнутое доказательство во всем англо- и русскоязычных частях интернета.
Это же сам Сосинский!... В "Кванте" - его статьи просто класс!...
00:27 Введение в теорему Геделя
• Видео начинается с гуманитарного вступления, в котором автор объясняет две математические формулировки теоремы Геделя.
• Первая формулировка утверждает, что любая формальная система не является совершенной, так как не может быть одновременно непротиворечивой, полной и достаточно содержательной.
• Вторая формулировка утверждает, что существует утверждение, которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть в рамках формальной системы.
04:49 Применение теоремы Геделя в других областях
• Автор объясняет, что теорема Геделя имеет много ипостасей и может быть применена в различных областях, таких как технология, физика и философия.
• В физике теорема Геделя приводит к неопределенности и парадоксам, таким как принцип неопределенности Гейзенберга и парадокс Эйнштейна-Подольского-Розена.
• В философии теорема Геделя утверждает, что чистый разум не может постичь всю истину.
17:37 Создание формальных систем
• Автор рассказывает о создании понятия формальной системы, начиная с работ Евклида и заканчивая Гильбертом.
• Гильберт ввел понятие неопределенных понятий, таких как точка и прямая, чтобы избежать порочного круга в формальных системах.
• Примеры формальных систем включают исчисление высказываний, аксиатику натуральных чисел и аксиатику теории множеств.
26:13 Введение в формальные аксиоматические системы
• Видео начинается с объяснения формальных аксиоматических систем, которые используются для построения математических теорий.
• Рассматриваются примеры аксиом и теорем, а также правила вывода.
27:22 Исчисление высказываний
• Вводится исчисление высказываний, которое рассматривает высказывания и аксиомы.
• Рассматривается пример замкнутой формулы и понятие замкнутой формулы.
39:37 Исчисление предикатов
• Вводится исчисление предикатов, которое рассматривает высказывания, кванторы и аксиомы.
• Рассматривается пример аксиомы полной индукции.
44:13 Теорема Геделя
• Теорема Геделя утверждает, что для любого класса формальных систем, которые являются достаточно богатыми, существует высказывание, которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть.
• Доказательство теоремы Геделя основано на использовании бедеевской нумерации формул.
47:00 Введение в теорию доказательств
• Видео начинается с обсуждения теории доказательств и ее связи с теорией чисел.
• Рассматривается пример с формулой Бертрана, которая не может быть доказана или опровергнута.
50:00 Гедель и его доказательство
• Гедель предложил метод, позволяющий доказать, что некоторые утверждения не могут быть доказаны или опровергнуты.
• Он использовал идею нумерации формул и их доказательств.
01:06:06 Колмогоровское доказательство
• Колмогоров предложил свое доказательство, основанное на идее Геделя.
• В этом доказательстве используется алгоритм, который доказывает все теоремы.
01:10:04 Определение формальной системы
• Формальная система - это тройка, состоящая из алфавита, алгоритма проверки правильности формул и алгоритма доказательства теорем.
• Число теорем в формальной системе может быть бесконечным.
01:13:57 Теорема Геделя
• В 1931 году Курт Гёдель доказал теорему о неполноте формальных систем, которая утверждает, что любая достаточно богатая формальная система не может быть полной.
• Теорема Геделя имеет три варианта: первый вариант - для арифметики, второй - для логики первого порядка, и третий - для логики второго порядка.
01:20:02 Колмогоровская сложность
• Владимир Колмогоров предложил понятие колмогоровской сложности, которое определяет сложность последовательности нулей и единиц.
• Теорема Чейтина утверждает, что существует бесконечное множество истинных высказываний, из которых можно доказать только конечное число.
01:27:30 Парадокс Ришара
• Парадокс Ришара состоит в том, что существует число, описание которого требует более восьмидесяти букв, но такого числа не существует.
01:30:40 Вопросы и ответы
• Лектор отвечает на вопросы о теореме Геделя, синтаксических и семантических теоремах, а также о понятии колмогоровской сложности.
01:32:57 Теорема Геделя
• Теорема Геделя утверждает, что в любой формальной системе, которая содержит арифметику, существуют утверждения, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть.
• Это означает, что в математике есть утверждения, которые невозможно ни доказать, ни опровергнуть, используя только формальные методы.
01:46:01 Значение теоремы Геделя
• Теорема Геделя имеет огромное значение для философии и математики, так как она доказывает, что одним разумом невозможно постичь истину.
• Она также показывает, что компьютер принципиально несовершенен, так как он не может полностью понять и обработать все утверждения.
01:50:09 Сравнение доказательств Геделя и Колмогорова
• Доказательство Колмогорова является более общим и глубоким, так как оно доказывает, что множество доказуемых теорем перечислимо, но не разрешимо.
• Однако, доказательство Геделя является более простым и красивым, и его можно назвать трюком.
01:53:32 Обсуждение теоремы Геделя
• В видео обсуждается теорема Геделя, которая утверждает, что в любой формальной системе, которая может быть полностью описана, существуют утверждения, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть.
• Обсуждается вопрос о том, может ли добавление такого утверждения в систему помочь в доказательстве других утверждений.
01:55:16 Гипотеза Римана и гипотеза континуума
• Обсуждается гипотеза Римана, которая является одной из великих проблем математики, и гипотеза континуума, которая была добавлена к аксиомам и помогла доказать ряд полезных теорем.
01:57:35 Отношение математики к физическому миру
• Обсуждается вопрос о том, имеют ли математические истины и понятия отношение к физическому миру или они являются чистыми абстракциями.
• Владимир Игоревич Арнольд считает, что математические теоремы имеют прямое отношение к физической реальности.
02:02:31 Использование языка математики для описания мира
• Обсуждается возможность использования языка математики для описания всего в мире.
• Юрий Иванович Манин считает, что математика является метафорой, которая позволяет говорить о внешнем мире.
в последней трети видео прекрасные вопросы и ответы для тех, кто слабо шарит в математике
так мало лайков. что с вами не так. Это же супер контент, а ютюб его не выдает. не говоря уже как чисто мыслит этот не молодой уже математик.
молодой
@@TIENTI0000 Причём, этот комент - демонстрация самой теоремы. Молодой математик-"ботан" возмущается, что обыватели не проникаются шедеврами "вышки". Чуете противоречие?
Принципы сообщества придурков он нарушает.
Месяц ждал.
Искал конечно теорему Сосницкого, но и так пойдёт
Звука нет : (
Гипотезы, рождение эффективных гипотез - вот императив Геделя.
больше всего я не могу понять как для доказательства неполноты математики используется сама математика, или матлогика не страдает не полнотой? а почему?
Смысл теоремы Гёделя о неполноте состоит в том, что между доказательством истины и самой истиной лежит огромная пропасть. Доказательство это конечный объект, истина таковой не является
Луна - спутник Земли. Это истина. И она конечна.
Пока не улетит, хм....
а будет теорема сосницкого?
Ужасное нагромождение чуши! У Евклида точка - это часть от ничего, а прямая - это длина без ширины. Разумеется, в реальной действительности ни точки, ни линии нет и быть не может - это выдумки Евклида. Тем не менее на них построена стройная система суждений-теорем, каждая из которых доказывается методами геометрии. Т.е. геометрия Евклида является полной и непротиворечивой. Но это только на первый взгляд. Если точку и линию понимать буквально, по определению Евклида, то эта геометрия исчезает в ничто. Ровно то же самое с физикой Ньютона, предметом которой является силовое взаимодействие тел и предметов, причем, с привлечением геометрии Евклида. Но Ньютон нигде и никогда не давал определения силы, по примеру Евклида он её просто постулировал, мол, есть такая данность - и точка. И этот постулат сохраняется до сего дня. И никому невдомек, что это едва ли не единственная научная категория, которая вопреки всеобщему закону сохранения возникает из ничего и исчезает в никуда. Так, что в этом плане физика является теорией скатерти-самобранки. И по Геделю всякая теория - это система Z, в которой всегда есть положение А, в данном случае постулаты, которое невозможно доказать или опровергнуть методами системы Z. Это возможно в рамках другой теории или науки. Иначе говоря, всякая теория, ограниченная в своей области, является продолжением или сопряжением другой теории, а все науки вкупе представляются информационным континуумом Природы. Так, что на самом деле областью теоремы К.Геделя является гносеология - наука о познании и особенностях человеческого мышления. И основной особенностью является наша способность абстрагировать определенные области непрерывного пространства, а затем эти абстракции идеализировать в объекты познания - тела, предметы и системы. Разумеется, суть - информационное содержание этих субъективно обрубленных объектов не может быть истинной, в лучшем случае это правда той или иной степени достоверности, а в худшем это химерическая выдумка. Тем паче, что всякая теория ограничена областью применимости. Именно поэтому мы вынуждены придумывать постулаты - отправные положения теории. Но постулаты не нужны, если есть последовательность наук. Например, предметом познания биологии является организм, работа которого исходит из молекулы. И молекулу надо было бы постулировать, если бы не химия, в которой, в свою очередь, надо было бы постулировать атом, если бы не ядерная физика, и т.д. Беда теоремы о неполноте в том, что К.Гедель будучи математиком обращался к математическому сообществу. И для математиков это стало поводом перетягивать одеяло к себе, чем девальвируют философское значение гениальной теоремы К.Геделя.
вау чел никто не будет это читать
😀😀😀
@@ebirdori9498 Если ваш "чел" - это умственно недоразвитый человек, то, да, мой коммент не для челов, а для думающих людей.
@@ebirdori9498 я прочитал
Геометрия Евклида не полна. А касаемо гносеологии - какая разница? Человек сам по себе - ограниченная часть Вселенной с ограниченными возможностями, а значит мы не можем принципиально оперировать чем-то неограниченным. Станем Богами - тогда поглядим :)
От написанного тобой, получил больше пользы чем от увиденного. Без негатива к автору видео.