Как решать задачи в одну строчку?
Вставка
- Опубліковано 27 тра 2024
- - Сегодня мы посмотрим на несколько экзаменационных задач и решим их красиво, как настоящие математики!
UPD. В 4:57, конечно, имел в виду, что изогонально сопряжен ортоцентр и центр описанной окружности, по привычке назвав их H и O. Но есть маленький промах: первая из них в наших обозначениях была основанием высоты. Однако ортоцентр лежит на прямой BH, так что в итоге рассуждения верны
Поддержать канал и получить бонусы: boosty.to/wildmathing (либо по кнопке «Спонсировать» под видео)
Неравенство о средних: • #240. Неравенства Йенс...
Изогональное сопряжение: • Почему геометрия - эт...
Как создаю математические анимации: • Как создавать математи...
О музыке в видео: boosty.to/wildmathing/posts/1...
Олимпиадная математика: wall-135395111_24068
ЕГЭ: wall-135395111_24068
Преподавателям: wildmathing?w=product-...
VK: wildmathing
Задачник: topic-135395111_35874038
СОДЕРЖАНИЕ
0:00 - Самый трудный параметр
0:56 - Мощь гомотетии
2:12 - И еще раз гомотетия
2:54 - Оптимизация в одну строчку?
4:01 - Изогональное сопряжение
ВОПРОСЫ-ОТВЕТЫ
- Как мы нашли наименьшее значение функции левой части неравенства в №1?
- В сущности, при любом раскрытии модулей мы получим функцию y=kx+b. Что можно сказать о коэффициенте k, если x≥2? Он положителен. А если x меньше 2? Он отрицателен. Не важно при этом, как раскрывается второй модуль: 5 больше 3. То есть x=2 - точка минимума функции f(x)=5|x-2|+3|x+a|, в которой достигается ее наименьшее значение. И равно оно f(2)=3|2+a|.
- Почему в задаче №2 существует такая гомотетия?
- Мне кажется вам для полного понимания не хватает одного утверждения. Пусть при гомотетии с центром в H точка P перешла в P', тогда точки H, P и P' коллинеарны (т.е. лежат на одной прямой). На левой окружности есть две точки: концы светлого отрезка, назовем их A и B. То, что существует гомотетия с центром в T, которая переводит левую окружность в правую - понятно. Но где находятся образы точек A и B при этой гомотетии? Они должны лежать на прямых AT и BT соответственно и в то же время - на правой окружности. Но это и означает то, что левая хорда перешла в правую. А теперь их параллельность вытекает из свойства гомотетии.
- Как оформить на экзамене решение задачи №2?
- Представьте, что светлые отрезки на рисунке (диаметры) называются AB и CD, причем BC - общая касательная; обозначим точками O₁ и O₂ центры двух окружностей Ω₁ и Ω₂ соответственно с диаметрами AB и CD в указанном порядке. Тогда в чистовую решение можно оформить следующим образом (см. дальше)
Пусть R, r - радиусы окружностей Ω₁, Ω₂ соответственно. Существует гомотетия с центром в точке T и коэффициентом -r/R, которая переводит Ω₁ в Ω₂, причем образом отрезка AB служит отрезок DC. Следовательно, отрезки AB и CD параллельны по свойству гомотетии, ч.т.д.
БОЛЬШЕ КРУТЫХ ВИДЕО О МАТЕМАТИКЕ
1. Зачем нужна математика: • #200. ЗАЧЕМ НУЖНА МАТЕ...
2. Революционер в математике: • ГАЛУА. Революционер в ...
3. Проблемы Гильберта: • ГИЛЬБЕРТ. Величайшие п...
4. Теоремы XX века: • Теоремы XX века!
5. Красивейшие фракталы: • 10 фракталов, которые ...
Осталось показать решения задач первой части с помощью инверсии, и цель достигнута!
Сделайте репост этого ролика, и 100 баллов на экзамене вам обеспечено! А если не поставить лайк, будут ошибки в первой части (у-у-у)
UPD. В 4:57, конечно, имел в виду, что изогонально сопряжен ортоцентр и центр описанной окружности, по привычке назвав их H и O. Но есть маленький промах: первая из них в наших обозначениях была основанием высоты. Однако ортоцентр лежит на прямой BH, так что в итоге рассуждения верны
Решение для последней задачи:
В тр ABC, BM медиана из прямого угла. Тр МВС рб , следовательно, угол С равен а . С другой стороны, если посмотреть на треугольник ВНС, то в нем угол С = 90 - 3*а.
Мы два раза посчитали угол С. 90-3а = а, откуда альфа 22,5 градусов. Угол В содержит 4 а, 4*22,5=90 чтд
@@deniray9526Гений, почему ВМ медиана из прямого угла?
Красиво, но мало кто из простых смертных распишет на ЕГЭ про гомотетию так, чтобы ему это решение засчитали. Но для расширения кругозора точно годится)
Да в контексте экзаменов не очень популярная тема. Но все-таки в учебниках она есть, так что было бы желание, а уж задачи найдутся!
@@WildMathing я конечно мб больше физик чем математик, но подобных свойств окружности в учебнике атанасяна за 7-9 и 10-11 не помню. не подскажите где посмотреть? впервые такое услышал от знакомого математика, который сферу через точку выворачивал, во второй раз от вас))) - настолько "часто" это видимо используется и мб это какой-то отдельный подкласс задач (по аналогии с параллелограммом вариньона)
@@WildMathing Вайлд, здравствуйте! А подскажите, пожалуйста, почему такая гомотетия существует? Разве задача о существовании такой гомотетии не эквивалентна задаче о подобии треугольников с общей вершиной T? Мне не очень очевидно, я могу чего-то не улавливать)
@@navazhdeniya, вечер добрый!
Мне кажется вам для полного понимания не хватает одного утверждения. Пусть при гомотетии с центром в H точка P перешла в P', тогда точки H, P и P' коллинеарны (т.е. лежат на одной прямой). На левой окружности есть две точки: концы светлого отрезка, назовем их A и B. То, что существует гомотетия с центром в T, которая переводит левую окружность в правую - понятно. Но где находятся образы точек A и B при этой гомотетии? Они должны лежать на прямых AT и BT соответственно и в то же время - на правой окружности. Но это и означает то, что левая хорда перешла в правую. А теперь их параллельность вытекает из свойства гомотетии.
@@WildMathing Понял, спасибо большое!
Вот за это я так люблю математику (особенно олимпиадную), можно найти такое решение, которым ты будешь восхищаться часами, а самооценка при этом улетает в небеса
Или под землю.)
Моргни два раза если тебя держат в заложниках и заставляют делать новые видео)
Виталий точно заставляет)))
Да как мы это увидим, есть он в роликах не показывается? А Эйлер в роликах подмигивал...
Раз-два
Скоро сам Грант Сандерсон преклонит свою голову перед анимациями Wild'а.
Вообще супер круто. Прям видно как из библиотеки выжимают все возможности!
А что за библиотека? Спасибо.
@@robsting5408 Manim
Как решать задачи в одну строчку? Писать решение на языке формальной логики - используя импликацию и игнорируя переносы)
Все идеи кратки и красивы. Оформление решения следует подкрепить обоснованием. Спасибо за идеи.
Спасибо за интерес! Детали (обоснование) вы можете найти в описании к видео
"Изогонально сопряжены"
Яснапанятно
Лаконично, эстетично, интересно. Как и всегда. Спасибо!
Спасибо за интерес и добрый комментарий!
В задаче про x^2+y^2=800 можно заметить, что это уравнение окружности, а x+y=b - это прямая, наклоненная под 45 градусов, где, меняя b, мы двигаем эту прямую параллельным переносом. Ну и потом чуть ли не в уме становится понятно, что максимум b достигается когда прямая касается окружности в точке (20,20).
Так понравился видос про кватернионы! Хочется больше видео про всякие приложения. Про фильтр Калмана какой нибудь
Потрясающе!❤
Решать методом Султанова могут не только лишь все, мало кто может это делать.
Спасибо за чудесное видео! Очень интересно рассказываете, анимация на высшем уровне! Хотя немного пропадает ламповость старых видео с маркером и доской.
Это прям из серии: раньше было лучше :) И маркер был зеленее, и доска настоящая, а руки, руки то - золотые. Эх...
как человек который себе в хату несколько досок купил, потому что их обожает))) могу сказать, что анимация лучше и многое на доске невозможно показать.
Какие всё-таки интересные задачи и красивые анимации)
Спасибо!
Ну если длина строчки не ограничена, то любую задачу можно решить в одну строку). Кстати у питонистов это предмет соревнования.
Классное видео! Большое спасибо!
Все для вас!
Очень удачно, что за день до экзамена !
Ну теперь сотка обеспечена, спасибо вам за видео, Wild! :)
p.s. Спасибо за гомотетию и изогональное сопряжение!! Я дождался xD :)
Спасибо за оригинальное решение последней задачи, Никита!
@@WildMathing Да это вам только спасибо, что научили мыслить критически! :)
@@tipolol1888 а как же амплитуда 300 по 100 или Козко на завтрак?
@@Kukusunchik Козко на завтрак, обед и ужин у меня
Я вас лублю❤
Превесходный контент!
(это смайлик сопоставимый с сердечком)
Здравствуйте! Хочу предложить ещё два решения последней задачи.
1 - основное свойство симедианы.
Заметим, что высота BH является симедианой этого тругольника, так как углы ABH и MBC равны (определение симедианы).
Предположим, что треугольник не прямоугольный. Значит, касательные к его описанной окружности в точках A и C не параллельны, и они пересекутся в точке S. Но основное свойство симедианы заключается в том, что она проходит через точку пересечения касательных, значит, S будет лежать на высоте BH. Но так как SA = SC, по св. касательных, то ASC - равнобедренный, а в равнобедренном треугольнике высота SH является медианой. То есть точки H и M совпадут, но это противоречит условию, ведь между прямыми BM и BH есть угол 2α. Значит, предположенное не верно, и треугольник прямоугольный.
2.
Предположим, что он не прямоугольный. Тогда проведём высоту CK. По св-ву медианы в прямоуг. треугольнике (AKC), KM=MC. Угол BAH = 90 - α, тогда KCA = α = MKC, но угол MBC тоже равен α. Тогда, из равенства углов MKC и MBC слкдует, что MKBC вписанный, но так как KM=MC, то углы KBM и MBC равны, так как опираются на равные хорды в окружности (MKBC).Тогда мы получаем, что угол ABM = α, но он равен 3α по условию. Т.е. α=3α α=0. Противоречие.
Добрый день!
Да, пожалуй, симедиана здесь - сама суть: коротко, красиво и ничего лишнего. Да и счет углов у вас достаточно хороший во втором решении. Большое спасибо за такие идеи!
Отличное видео. Можно подробнее про область определения кусочной функции.
С областью определения как раз все понятно - ℝ. А насчет области значений дублирую свой ответ на схожий вопрос. В сущности, при любом раскрытии модулей мы получим функцию y=kx+b. Что можно сказать о коэффициенте k, если x≥2 и f(x)=5|x-2|+3|x+a|? Он положителен. А если x3. То есть x=2 - точка минимума функции f(x)=5|x-2|+3|x+a|, в которой достигается ее наименьшее значение. И равно оно f(2)=3|2+a|. Будут вопросы - дай знать!
Красиво подобраны цвета на обложке видео
Wild, пожалуйста, обеспечьте ссылкой на то, откуда берете музыку
Это офигенно! (Знаю, что она платная, но все таки)
скажите, пожалуйста, музыку, которая была в последней задаче)
Небольшая оговорочка на 5:00. Действительно, ортоцентр и цент описанной изогонально сопряжены, но в данной задаче Н - основание высоты, но так как ортоцентр лежит на ней, то вывод остается правильным)
А так видео как всегда супер)
Вы совершенно правы, добавил описание этот огрех и уточнение! Спасибо!
Очередное спасибо за просвещение в массы! А можете подсказать толковую литературу по гомотетии, чтоб от простого к сложному, да с примерами?
Рекомендовал бы начать с бесплатного курса по геометрии на Сириусе за 7-9 классы. Там как раз гомотетии большое внимание уделено. А из книг можно взять задачник Гордина 7-9 и первый том геометрии Понарина
Как красиво и лаконично, но уверен, что это еще не предел. Может следующий ролик сделаете в уме?
Сделать в уме может каждый! А вот посмотреть видео в чужом уме - дело тонкое
@@WildMathing уверен, что все подписчики этого канала справятся с этой непростой задачей
very beautiful animation .Very clear explanation. I'm really curious , how do you make in manim the effect of FadeIn from this part 2:56
of the video. I'll be very glad if you can share the tips.
Thank you! It was very easy: www.manim.community/plugin/manim-physics/ (Rigid Mechanics)
@@WildMathing THANK YOU very much. I suggest you to make also videos on manim.There'are lot of people that want to learn tips of manim.For example i learn a lot from your recent video on manim : ua-cam.com/video/u8zLAUroUq8/v-deo.html
@@WildMathing in fact i'm talking about just the fading effect of random part of the text at the beginning here 2:56 and at the end here 4:00 .How do you make that? I saw that random fading of tex from lot of your videos.I like it so much.I'll be glad to hear from you .I'm not talking about the rigid_mechanics effect that come after. BECAUSE i know HOW TO MAKE the rigid_mechanics effect using manim_physics plugin.
Oh, sorry for my misunderstanding, It's just FadeOut(symbol, shift=UP) for every symbol in the text. These fades are shuffled and played with AnimationGroup. I use small lag_ratio for that. Maybe I'll provide the code in one of the future tutorials or course
@@WildMathing Thank YOU.Please make a tutorial about that. And continue making also videos on manim.There are lot of people who want to learn deeply manim. Make videos like this one that you make recently :ua-cam.com/video/u8zLAUroUq8/v-deo.html .It was very very helpful believe me.
Здравствуйте, а как вы определили ограничения в параметре по свойству кусочно линейных функций, я просто такое в первый раз вижу, объясните пожалуйста
Отличное видео ( как всегда), можно, пожалуйста, подробнее про область определения кусочной функции на 0:25?
Реально, я тоже не до конца понимаб
@@logicalelton8711 подставьте x = 2 в левую часть неравенства и получите левую границу.
С областью определения все просто - ℝ. А насчет области значений дублирую ответ на схожий вопрос. Рассмотрим функцию f(x)=5|x-2|+3|x+a|. При любом раскрытии модулей мы получим функцию y=kx+b. Что можно сказать о коэффициенте k, если x≥2? Он положителен. А если x3. То есть x=2 - точка минимума функции f(x), в которой достигается ее наименьшее значение. И равно оно f(2)=3|2+a|. Будут вопросы - дай знать!
@@WildMathing Спасибо, теперь все понятно :3
@@Otkisaev, это всегда пожалуйста!
решение последней задачи - бриллиант!
upd: здравствуйте! поступаю в вуз, сдаю егэ, но хочу летом заняться олимпиадной математикой для своего развития и любопытства. Подскажите, пожалуйста, с материалов какого класса стоит погружаться в эту тему, какие книги пособия можно использовать при подготовке? благодарю!
Спасибо за него ученику по имени Никита!
Насчет олимпиад здесь ценные советы и материалы
1. Олимпиады: ua-cam.com/video/6TogU_qxNcc/v-deo.html
2. Олимпиады: ua-cam.com/video/J4hqBNvj9UM/v-deo.html
3. Олимпиады: ua-cam.com/video/IFDiQ4YfxXc/v-deo.html
Рекомендую начать с бесплатных онлайн-курсов Сириуса
Плюс еще несколько способов избежать безысходности на егэ. Спасибо за видео, Вайлд!
Спасибо за этот год, Владислав! Успехов на экзамене!
@@WildMathing Спасибо! Я вот сейчас как раз пытаюсь понять, насколько сборник Ященко должен соотноситься с реальностью)
@@avoidstax2191, в нем (сборнике) есть более сложные фантазии, но многие задачи уровня ЕГЭ и даже перекочевали из вариантов прошлых лет
Владислав, зачем тебе готовиться, приди и забери сотку свою
Здравствуйте, 00:23, каким образом получилась область определения для кусочно-линейной функции. Я уже давно не школьник, хотелось бы понять, как [3|a+2|; +inf) вышло. Мне кажется, стоит всё же, если нетрудно, полное решение расписывать этих заданий с параметров. За 30 секунд не особо понятно, как что куда
Добрый день! (На всякий случай уточню, что указанный луч - область значений)
В сущности, при любом раскрытии модулей мы получим функцию y=kx+b. Что можно сказать о коэффициенте k, если x≥2? Он положителен. А если x меньше 2? Он отрицателен. Не важно при этом, как раскрывается второй модуль: 5 больше 3. То есть x=2 - точка минимума функции f(x)=5|x-2|+3|x+a|, в которой достигается ее наименьшее значение. И равно оно f(2)=3|2+a|.
И вновь, здравствуйте, Wild)
Неделей ранее оставлял у вас под этим видео просьбу по ресурсу, на котором Вы берете эту музыку
Мне правда стало интересно: возможно ли это?
Опять же, несмотря на необходимую выплату для получения доступа - был бы очень признателен получить ответ)🙃
Добрый день, Андрей!
Ситуация с музыкой не изменилась: boosty.to/wildmathing/posts/102511b8-fd51-40e2-8e44-807c8f5aadb0
К сожалению, 50$ за одну композицию - дороговато для прослушивания; скачать ее «стороной» также не получится. Но, пытаясь ответить на вопрос, ты можешь ввести в поисковике «Buy music licence», и в выдаче будут нужные сайты
Объясните пожалуйста как вы определили область значения левой функции в самом первом примере с параметром
В сущности, при любом раскрытии модулей мы получим функцию y=kx+b. Что можно сказать о коэффициенте k, если x≥2? Он положителен. А если x меньше 2? Он отрицателен. Не важно при этом, как раскрывается второй модуль: 5 больше 3. То есть x=2 - точка минимума функции f(x)=5|x-2|+3|x+a|, в которой достигается ее наименьшее значение. И равно оно f(2)=3|2+a|.
В задаче #2 не совсем ясно как гомотетия переводит светлые хорды именно в друг друга. Без обшей касательной, можно построить конструкцию, когда такие хорды не параллельны. Здесь именно как-то надо использовать общую касательную с гомотетией.
неужели новое видео!!
Гениально! Осталось только понять как объяснить это проверяющим.
№4: vk.com/wall-135395111_29332
№1: ege.sdamgia.ru/problem?id=510745
№3 аналогичен №2 (см. ниже)
№2. Представьте, что светлые отрезки на рисунке (диаметры) называются AB и CD, причем BC - общая касательная; обозначим точками O₁ и O₂ центры двух окружностей Ω₁ и Ω₂ соответственно с диаметрами AB и CD в указанном порядке. Тогда в чистовую решение можно оформить следующим образом (см. дальше)
Пусть R, r - радиусы окружностей Ω₁, Ω₂ соответственно. Существует гомотетия с центром в точке T и коэффициентом -r/R, которая переводит Ω₁ в Ω₂, причем образом отрезка AB служит отрезок DC. Следовательно, отрезки AB и CD параллельны по свойству гомотетии, ч.т.д.
Я люблю тебя WildMathing❤
Это взаимно!
еще бы вспомнить, что такое гомотетия!
3:16 Штурм степеней 1/2!
Очень-очень хотелось бы увидеть содержательный ролик по гомотетии с доказательствами всех свойств что во что там переходит) Думаю, многие поддержат мою идею! Если же в ближайших планах такого нету, можете посоветовать где про это почитать или посмотреть?
Спасибо за интерес!
В описании есть детали касательно нынешнего применения гомотетии. В будущем ролик будет, но при желании можно посмотреть первый том Понарина: там все аккуратно определяется и доказывается.
math.ru/lib/files/pdf/geometry/Ponarin-I.pdf
@@WildMathing Да, посмотрел. Очень хорошая книга, там не только про гомотетию, но ещё много всяких фактов. Это радует, спасибо !
всё решил сам по минуте 2-3 на задачу, алгебру как показано, геому брудфорсом (кроме гомотетии с положительным коэффициентом). Надо ботать олимпиадную геому
Ого, я также первый параметр решил - через оценку :D
Так красиво! Я, правда, не понял, что значит «изогонально сопряжены» в последней задаче. Не подскажите, пожалуйста?
Спасибо! Вот здесь чуть-чуть рассказал об этом преобразовании: ua-cam.com/video/bNKf1Hoz_2o/v-deo.html - тут точка Лемуана изогонально сопряжена с центроидом
4:22 классика
3:20
задача симметричная (если поменять х и у местами, то ничего не изменится) значит...
либо ответ симметричен (х = у),
либо ответы симметричны (a, b) (b, a) (в данном случае что-то приравнять к нулю)
проверяем для х = у = √(800/2) = 20 => sum(x, y) = 40
проверяем для x = 0 y = 20√2 => sum(x, y) = 20√2 < 40 => x = 20√2 y = 0 ... то же самое
значит ответ x = y = 20
Спасибо за интерес!
Насчет симметрии: есть маленький нюанс. В задаче спрашивали наибольшее значение - а вдруг вы нашли наименьшее? В действительности симметрия плоского множества относительно прямой x=y не влечет то, что сумма x+y максимальна при условии x=y (или xy=0). Могут существовать две различные пары (x₀, y₀), (y₀, x₀), в каждой из которых будет достигаться максимум. Просто в нынешней задаче окружность, и ее точка касания с прямой y=-x+a действительно лежит на прямой y=x
Ну, пока не мой уровень, есть куда расти.
3:27 , так на экзамене и напишу: " Доказано в одном из видео, ссылка в описании"
Ссылку в описании не зачтут, нужно целиком будет запомнить и вписать адрес: ua-cam.com/video/TfY3peS6OtE/v-deo.html - строго один символ в каждой клетке
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Шутка
Если вам не сложно, можете кратенько в комментарии рассказать, как оценить x+y в задаче на 3:22 с помощью тригонометрии?
По методу вспомогательного угла имеем оценку: sin(t) + cos(t) = √2 sin(t+π/4) ≤ √2. Теперь разделите на 800 обе части равенства x²+y²=800: напрашивается замена, связанная с основным тригонометрическим тождеством. Не разберетесь - дайте знать!
можете пояснить пж по поводу 0:20 что за свойство ?
Отвечу на схожий вопрос. Рассмотрим функцию f(x)=5|x-2|+3|x+a|. При любом раскрытии модулей мы получим функцию y=kx+b. Что можно сказать о коэффициенте k, если x≥2? Он положителен. А если x3. То есть x=2 - точка минимума функции f(x), в которой достигается ее наименьшее значение. И равно оно f(2)=3|2+a|. Будут вопросы - дай знать!
Вопрос не по теме, но все же) Вайлд, знаю, вы спец в музыке. Так вот, как вы относитесь к битлз?
We all live in a yellow submarine
0:31 Точки -2 и +2 - граничые - вопросов нет, но то, что "0" - точка максимума - это ещё доказывать надо!
0:37 Присмотреться - это математический термин?
1:39 А разве не нужно доказывать, что перед нами гомотетия?.
Спасибо за обратную связь!
Детали насчет гомотетии - смотрите в описании. Насчет того, что выражение максимально при y=2 смотрите прошлый выпуск по теме: ua-cam.com/video/0H1nTanvDcc/v-deo.html
Последняя задача решается за минуту устно, если использовать свойство медианы в прямоугольном треугольнике и факт того, что когда высота является биссектрисой, их общий треугольник равнобедренный
Спасибо за идею! Правда, нельзя использовать свойство медианы прямоугольного треугольника в произвольном треугольнике. Ты что-то другое имел в виду?
Привет, Вайлд. Решал тригонометрическое уравнение двумя способами: 1) Метод вспомогательного аргумента, 2) Сведение к однородному. В первом способе получил ответ: π/6 +πk. Во втором способе ответ: 2arctg(2-√3) + πk.
Но это одна и та же серия. Оказалось, что 2arctg(2-√3)=π/6. Появился вопрос: когда можно выразить значение аркфункции через операции с числом π?
Приветствую!
С виду твой вопрос эквивалентен (или просто близок) тому, косинусы каких углов выразимы в радикалах. И на этот счет есть теорема Гаусса, рекомендую посмотреть ее, а также классическую задачу о построении правильного 17-угольника
ru.wikipedia.org/wiki/Выразимость_в_радикалах
Спасибо за ответ.
4:57 формально говоря в данной картинке ортоцентр треугольника ABC это B). Но в целом решение действительно верное и красивое, а достаточно нам того, что высота и направление на центр описанной окружности в треугольнике являются изогоналями
Да, совершенно верно, спасибо! Указал свой промах в описании и закрепленном комментарии
Насчет самого сложного параметра не совсем понятно часть где модуль,как нашли область?
Любую задачу можно решить в одну строчку
Проблема в том какой длинны будет эта строчка...
Для какого треугольника точки О и Н изогонально сопряжены и почему?
В видео есть небольшой промах с обозначениям. Речь идет о том, что ортоцентр и центр описанной окружности изогонально сопряжены. Это верно для любого треугольника. Доказательство есть в статьях и книгах по теме: если не найдете, дайте знать!
0:21 А что за свойства?
На задаче на оптимизацию, одним из способов решения является решение через окружность?
Да, можно с окружностью и касательной, можно с тригонометрией - все получше производной будет
Один из комментатлров хотел написать: Моргни, если тебя держат и заставляют делать каждое последующее видео лучше предыдущего 😂
А как в параметре мы поняли, что функция слева принимает только такие значения. И как неравенство составлено? Объясните подробнее, пожалуйста.
Спасибо за интерес! В описании к ролику есть детали
@@WildMathing вам спасибо
Гомотетию можно на егэ? Интересно. Хочется очень красиво решать геометричечкие задачки.
Будет ролик про объяснение вещей, по типу гомотетии, изогонального сопряжения? По егэ мало роликов выходит в последнее время.
@@gg_player6689, да, гомотетию можно применять на ЕГЭ. Думаю, нам еще доведется подробнее рассмотреть разные преобразования
@@WildMathing я в основном решаю векторами стереометрию. Красиво)) Интересно посмотреть на примеры планиметрических задач, которые можно решить векторами.
Красивое...
Последнюю задачу еще можно решить через симедиану: Из равенства углов между медианой и высотой относительно биссектрисы следует то, что высота треугольника является его симедианой, а значит делит сторону в квадрате отношения стягивающих ее сторон, откуда через два раза примененную обратную теорему Пифагора следует то, что исходный треугольник - прямоугольный.
Супер! Спасибо за эту идею
Вообще более того если высота это симедиана, то она проходит через точку пересечения касательных к вершинам A и C, но поскольку касательные пересекаются на серпере, а он параллелен высоте и т.к треугольник неравнобедренный, то общих точек у серпера и высоты быть не может, значит такое может быть только если касательные из вершин не пересекаются, значит АС диаметр, значит угол прямой
@@plolr8609, в точку! Пожалуй, это сама суть
Про Макс сумму очень приятно графиком решается
Да, безусловно окружность и касательная - тоже хороший подход
О, Предводитель Диких Математиков! Скажите пожалуйста, что думаете насчет учебников по алгебре за 7-9 классы?
По алгебре мне видится достаточно универсальным комплект Мордковича. По геометрии таковым считается Атанасян. Но все зависит от целей. Для хорошего владения геометрией, например, горячо рекомендую задачник Гордина за 7-9 классы
А что это за свойство кусочно-линейной функции? Я просто не знаю:(
А можно ли чисто теоретически решить задачи на егэ с использованием гомотетии? Такое примут или 0?
Не примут, так как гомотетию не проходят в школе
Да, гомотетия есть в школьных учебниках (в т.ч. в Атанасяне), так что ее можно применять
@@WildMathing :D надо пролистать ещё раз значит. Не помню. Благодарю!
@@user-po5jx4vd9z, тут правила игры все-таки по-другому устроены: ua-cam.com/video/GUXnwVKHR24/v-deo.html
@@na-kun2136, в теме подобных треугольников она определяется в разделе «О подобии произвольных фигур»: конечно, там всего одна страничка, но это уже кое-что. Возможно, в других учебниках подробнее рассматриваются свойства
3:03 это же задача из олимпиадной экономики
Может быть, но взял ее из сборников ЕГЭ: простенькая оптимизационная задача
Видимо школьная геометрия продвинулась - я что-то не помню чтобы мы такое изучали :) А много буках эффектно упали :)
Чаще всего такие геометрические преобразования не проходят в школе, хотя гомотетия в учебниках мельком упоминается. Спасибо за постоянные просмотры и приятные комментарии, Сергей!
@@WildMathing :) это вам спасибо за огромную работу, которую Вы делаете для нас :)
Очень занимательно и интересно, когда с такой анимацией. А с помощью какой программы Вы её создаёте и трудно ли это? Лайк.
Спасибо за интерес! Сейчас такие анимации уже может любой научиться создавать. Здесь детали: ua-cam.com/video/NsIakCeRETA/v-deo.html
А можно ли использовать неравенство о среднем арифметическое и среднем квадратическом на ЕГЭ?
Для двух чисел - 100% можно, для трех и более - скорее да, но в учебниках его не выискивал
А во второй задачи можно ли было доказать что два эти отрезка перпендикулярны касательной, и исходя из этого сказать что они паралельны?
Да, как раз об этом говорю в момент 1:19
Для доказательство достаточно провести общую касательную, проходящую через точку T. Тогда треугольник TAB окажется прямоугольным, где A и B - точки касания окружностей и прямой
Ой извини, я просто привык уже твои видео ставить на паузу и думать над решением🤓 спасибо за видео!
@@hahapchel, не стоит извиняться - пауза самое благое, что может быть для реального изучения!
Очень понравилось решение планиметрических задач при помощи гомотетии, но как оформить это на экзамене? Просто сказать: "Заметим гомотетию с центром в точке Т и отрациательным коффицентом, тогда данные прямые параллельны." Или нужно что-то изменить, пожалуйста поправьте, если что-то не так
Представьте, что светлые отрезки на рисунке (диаметры) называются AB и CD, причем BC - общая касательная; обозначим точками O₁ и O₂ центры двух окружностей Ω₁ и Ω₂ соответственно с диаметрами AB и CD в указанном порядке. Тогда в чистовую решение можно оформить следующим образом
Пусть R, r - радиусы окружностей Ω₁, Ω₂ соответственно. Существует гомотетия с центром в точке T и коэффициентом -r/R, которая переводит Ω₁ в Ω₂, причем образом отрезка AB служит отрезок DC. Следовательно, отрезки AB и CD параллельны по свойству гомотетии, ч.т.д.
@@WildMathingдень добрый! Блин, ещё видел про гомотетию где-то в учебниках, но вот про изогональное сопряжение как-то не замечал, дейсвительно есть где-то или я ошибаюсь? Ещё было бы неплохо посмотреть от Вас ролик про изогональное сопряжение, это как идейка)) Спасибо за ролик, ОЧЕНЬ красивые решения задач!
@@exception5915, здравствуйте! Изогонального сопряжения, может, в учебниках и нет: не проверял. Но, думаю, скорее засчитают, коли доказательство верное. Кое-что по этой теме уже показывал: ua-cam.com/video/bNKf1Hoz_2o/v-deo.html - но, может быть, доведется развить это направление
@@WildMathing спасибо за ответ) Ролик про красоту геометрии смотрел, да, прекрасные конструкции.
Я удивлён, что для той задачи с оптимизацией не было решения через неравенство Коши. По-моему, это очевидно
Я в начале видео:
Памагите😦....
Вот в целом никогда не мог понять гомотетию, чисто понятие понимаю, но вот как пользоваться -- нет. Вот допустим на 0:56 мы выбрали гомотетию, которая переводит одну окружность в другую, почему она же переводит один отрезок в другой? Или же мы решили, что существует гомотетия, которая переводит всю левую конструкцию во всю правую, почему такая гомотетия существует?
1) Мы говорим что в точке Т существует гомотетия переводящая одну окружность в другую(т.к точка касания)
2) Теперь строим образ точки, он лежит на прямой с центром гомотетии. Т.к берем точку, лежащую на окружности, следовательно, еë образ лежит на окружности(в которую мы перевели гомотетии).
3) Так делаем для двух точек и пользуемся свойством гомотетии
Мне кажется вам для полного понимания не хватает одного утверждения. Пусть при гомотетии с центром в H точка P перешла в P', тогда точки H, P и P' коллинеарны (т.е. лежат на одной прямой)
На левой окружности есть две точки: концы светлого отрезка, назовем их A и B. То, что существует гомотетия с центром в T, которая переводит левую окружность в правую - понятно. Но где находятся образы точек A и B при этой гомотетии? Они должны лежать на прямых AT и BT соответственно и в то же время - на правой окружности. Но это и означает то, что левая хорда перешла в правую. А теперь их параллельность уже вытекает из свойства гомотетии
Дайте знать, прояснилось ли! И, конечно, задайте вопросы, если остались
@@WildMathing да, теперь точно понятно, большое спасибо! У меня была проблема с тем, как доказать, что вершины левого треугольника переходят при гомотетии окружностей в вершины правого.
Я как ученик 7го класса (почти что 8го) могу официально сказать "Я ничё не понял", но видео себе сохранил, в конце 9го класса пересмотрю
Что я тут забыл, я не могу воспринимать это всё
1:37 и 2:28 А как мы доказываем существование нужной гомотетии? А то напоминает доказательство методом доверительных обертонов из 222 выпуска))
Пусть при гомотетии с центром в H точка P перешла в P', тогда точки H, P и P' коллинеарны (т.е. лежат на одной прямой). На левой окружности есть две точки: концы светлого отрезка, назовем их A и B. То, что существует гомотетия с центром в T, которая переводит левую окружность в правую - понятно. Но где находятся образы точек A и B при этой гомотетии? Они должны лежать на прямых AT и BT соответственно и в то же время - на правой окружности. Но это и означает то, что левая хорда перешла в правую. А теперь их параллельность вытекает из свойства гомотетии
@@WildMathing теперь всё понял. Большое спасибо, Wild.
@@simonmatveev, спасибо за интерес, Семён!
А можно было задачу с x^2+y^2=800 решать с помощью окружности с радиусом (800)^(1/2)? Тогда со знанием того, что максимум sin(x)+cos(x)=2^(1/2) у нас получается, что максимум x+y ровно в точке на пересечении нашей окружности и прямой из начала координат под углом 45 градусов. Что приводит нас к искомому. Все так же?
Да, конечно, окружность и касательная - здесь тоже красивый и естественный подход
Задачу вообще можно не решать, т.к. (x + y)^2 + (x - y)^2 = 1600 --> max^2 = 1600
1:44 А почему такая гомотетия есть?
Пусть при гомотетии с центром в H точка P перешла в P', тогда точки H, P и P' коллинеарны (т.е. лежат на одной прямой). На левой окружности есть две точки: концы светлого отрезка, назовем их A и B. То, что существует гомотетия с центром в T, которая переводит левую окружность в правую - понятно. Но где находятся образы точек A и B при этой гомотетии? Они должны лежать на прямых AT и BT соответственно и в то же время - на правой окружности. Но это и означает то, что левая хорда перешла в правую. А теперь их параллельность вытекает из свойства гомотетии.
а как во второй задаче доказать перпедикулярность одной прямой помимо гомотетии? почему мы этого не знаем?
Для этого нужно провести через Т общую касательную
Мы этого не знаем, потому что не дано в условии задачи. Для доказательство (Nikita S правильно подсказывает) достаточно провести общую касательную, проходящую через точку T. Тогда треугольник TAB окажется прямоугольным, где A и B - точки касания окружностей и прямой. Эта задача из демоверсии. Вот здесь полное условие и решение: math-ege.sdamgia.ru/problem?id=621678
@@WildMathing понял, спасибо. я через углы решил
Молодчина, всегда пожалуйста!
Откуда в 1:37 известно что такая гомотетия существует? Каким образом для её существования используется факт тангенциальности?
Касательная была не принципиальна, поскольку верно более общее утверждение: www.desmos.com/geometry-beta/gkjnmqir7n
Продублирую ответ на схожий вопрос (насчет существования)
Мне кажется вам для полного понимания не хватает одного утверждения. Пусть при гомотетии с центром в H точка P перешла в P', тогда точки H, P и P' коллинеарны (т.е. лежат на одной прямой)
На левой окружности есть две точки: концы светлого отрезка, назовем их A и B. То, что существует гомотетия с центром в T, которая переводит левую окружность в правую - понятно. Но где находятся образы точек A и B при этой гомотетии? Они должны лежать на прямых AT и BT соответственно и в то же время - на правой окружности. Но это и означает то, что левая хорда перешла в правую. А теперь параллельность их уже вытекает из свойства гомотетии
Дайте знать, прояснилось ли! И, конечно, задайте вопросы, если остались
@@WildMathing Действительно прояснилось, большое спасибо за объяснение, да и за само видео!
@@matron9936, спасибо за интерес и важный вопрос!
Ну всё теперь 100 обеспечена) Тем более, что вы похвалили меня за умение нестандартно решать 16 номер!
Вроде бы мы с тобой разные люди :)
@@tipolol1888 Не, Никит, конечно разные. Но я не про задачу из ролика)
Где же ролики про красоту искусство, культуру?😢 Это же эКзАмЕн
Математика - это еще и задачи! Причем как раз здесь собраны очень красивые идеи. Но за интерес - спасибо: дальше обязательно будет много интересного и для вас
все эти ахренительные анимации по прежнему делаются через manim??
Так точно! Сейчас видеоредактор для создания анимаций мне вспоминается как кошмарный сон: для математики только Manim
@@WildMathing будут ещё вебы по тому, как вы создаёте что-то подобное?
Последнее видео не пользуется спросом, так что шансов не очень много. С другой стороны, может повезет с какой-нибудь рекламной интеграцией + мне самому нравится делать уроки по Manim
Все таки мало уделяют внимания окружностям в школьной геометрии - с древнейших времен и до наших дней.
А по каким свойствам доказывается, что это гомотетия во второй задаче?
Спасибо за интерес!
Указал детали в описании
При производстве данного видео задавались ли вы вопросом какой процент ваших зрителей знает что такое изогональное сопряжение?
Да, конечно. 100% постоянных зрителей имеют представление о том, что такое изогональное сопряжение: ua-cam.com/video/bNKf1Hoz_2o/v-deo.html - но, конечно, эта тема заслуживает отдельного выпуска
Гайд по тому, как получить 0 баллов за верное решение
Отнюдь нет: первые четыре задачи решены на полный балл. Просто изложить все это нужно будет текстом, а не анимацией да голосом
ЕГЭ это не главное в математике
3:54 а почему так?
Детали здесь: ua-cam.com/video/TfY3peS6OtE/v-deo.html
Хотя для двух чисел все очень просто. Неравенство (a-b)²≥0 верно при любых a и b, причем обращается в равенство, если и только если a=b
Знаменитые методы...
легенда о которой все забыли...
У меня вопрос, как в первом параметре мы нашли желтую строку, каким образом?
функция под корнем всегда положительна должна быть, квадрат y всегда положителен, а раз функция убывающая из за минуса перед y ,то максимальное ее значение достигается при минимально возможном квадрате игрека, то есть при 0, а минимальное значение при максимальном значении квадрата y=4. Вообще правильнее через производную исследовать подкоренную функцию с нанесенным одз на ось y и анализироваьь
Хорошо, спасибо, а как быть с левой частью?
@@user-vl9ix4qx2o, в сущности, при любом раскрытии модулей мы получим функцию y=kx+b. Что можно сказать о коэффициенте k, если x≥2? Он положителен. А если x3. То есть x=2 - точка минимума функции f(x)=5|x-2|+3|x+a|, в которой достигается наименьшее значении функции f(x). И равно оно f(2)=3|2+a|. Будут вопросы - дай знать!
хитрый усатый
сильно сомневаюсь, что гомотетию можно использовать на экзамене, по сути нужно как раз и доказать это свойство
Гомотетию можно использовать на экзамене: есть в учебниках перечня. В описании объяснил и почему такая гомотетия существует, и как оформить все это на экзамене
а эту самую гомотетию можно использовать на ЕГЭ?
Да, вполне!
Школьник из обычной школы должен знать что такое гомотетия ?
Казалось бы, при чём тут У.......