БРУТАЛЬНАЯ формула площади!
Вставка
- Опубліковано 6 чер 2024
- Вы знаете, какая на самом деле формула площади использовалось для практических нужд (в геодезии)? Этот мощный алгоритм часто именуют шнуровкой Гаусса! Большое спасибо всем спонсорам за поддержку канала: этот ролик вышел благодаря вам!
Поддержать канал и получить бонусы: boosty.to/wildmathing (либо по кнопке «Спонсировать» под видео)
Олимпиадная математика: wall-135395111_24068
Курс ЕГЭ: wall-135395111_24068
Все курсы: market-135395111
VK: wildmathing
Задачник: topic-135395111_35874038
Кажется, что тема площади многоугольника избитая. Самое главное мы знаем еще со школьных времен. Красивый результат комбинаторной геометрии, - формулу Пика, - мы уже подробно обсуждали и доказывали. Но есть еще один универсальный подход, который основан на векторной алгебре - шнуровка Гаусса. Причем этот метод был известен еще до публикации известного математика. Надеюсь, после этого видео вы поймете не только, как работает формула, но и почему она верна!
ПОПУЛЯРНЫЙ ВОПРОС
- Можно ли обобщить этот метод для поиска объемов многогранников?
- Да, по аналогии определитель третьего порядка задает ориентированный объем параллелепипеда. Поделив его на шесть и взяв по модулю, получим объем тетраэдра. И если исходный многогранник состоит из нескольких тетраэдров, то удастся вычислить объем каждого из них, зная координаты вершин.
СОДЕРЖАНИЕ
0:00 - Пример 1
0:55 - Пример 2
1:40 - На чем основана формула?
2:24 - Ключевое доказательство
3:37 - А что если изменить направление?
4:12 - Все тайное становится явным!
5:10 - В чем сила, Гаусс?
5:55 - Титры, музыка и анимации
БОЛЬШЕ красивой математики в анимациях:
Теоремы XX века: • Теоремы XX века! Принцип Дирихле: • УДИВИТЕЛЬНЫЙ математич... Высшая математика для детей: • Высшая математика для ...
#математика #научпоп #образование
Вы знали про этот метод? В книгах почему-то редко его упоминают, хотя именно этот алгоритм использовался на практике, и уж конечно, это как минимум мощный алгебраический инструмент!
Прекрасное видео
Заварил чай, сел пить, а видео вышло 11 секунд назад. Вот повезло!
Есть большое желание узнать больше таких интересных алгебраических инструментов. Отличное видео, спасибо!
не знал, и не запомню :) Но если нужно будет, смогу вывести, ибо помню формулу Грина, или еще более общую формулу Стокса ;)
@@Hmath не знаю формулы грина и стокса, но если узнаю, есть подсказка как это сделать?))
Запомню этот метод для олимпиад по информатике, спасибо
Ага)
На вопрос "А как найти площадь Гаусса?" обыватель ответит: "Ширину умножить на высоту"
И только образованный человек скажет: "Взять интеграл по поверхности!"
А самый образованный должен сказать: "ну тут шнуровать придется"
А самый образованный скажет: "Нужно взять в рот!"
Шнуровка Гаусса простой, но малоизвестный способ нахождения площади. Спасибо за видео.
А я к своему стыду не знал об этом! Плюс ещё один красивый и интересный сюжет, будет что рассказать ученикам!)) Большое спасибо за прекрасный материал, подкреплённый красивейшим сопровождением!) Очень круто!) Посмотрел на одном дыхании ))
Стыдиться точно не стоит: она правда редкий гость в математической литературе. Спасибо за поддержку!
Всегда знал, что Гаусс был демонякой! Не зря пушку Гаусса в его честь назвали
Нам дали задачу:
Дано кучу точек, нужно было отбросить лишние точки и соединить оставшиеся так, чтобы получился опуклый многоугольник, который закрывает абсолютно все изначальные точки. А потом просто вычислить площадь этого многоугольника.
Так я и познакомился с Гауссом. Весьма приятный человек
а как решил
@@ANUARKAя думаю, что эта задачка по информатике, там есть такой алгоритм для построения наибольшей выпуклой оболочки
Wild ты лучший🤩, восхищение мои не передать✊ топи дальше
Спасибо! У каждого свои сильные стороны, но в любом случае от коллег по UA-cam это приятно слышать!
@@WildMathing я бы не сказал, что коллеги😂, но приятно
5:45 : ждем вывод обобщенной формулы!!!)
Как вообще можно делать такие шедевры. Каждый раз это фантастика и балдеж. Лучше всякой йоги. Мир просто светится после Ваших видео. Свет разума и радости заполняет все пространство вокруг. А видео про Галуа и Гамильтона отдельный вид кайфа. Wild Mathing, спасбо и удачи)
Спасибо за добрые слова!
Теперь я понял то, как работают формулы площади в моём проекте! Спасибо.
Видео понятные, познавательные, интересные и вообще очень ценные! Это лучший канал про математику который я видел!"Страшные" математические темы невероятно упрощаются!Спасибо за такой контент! Продолжайте!
Спасибо за качественные видеоролики по математике
Это красота математики в чистом виде
Это просто Wild ManiMathing! Спасибо вам за сочное видео и высочайшее качество!
Спасибо, что оценили, Андрей!
Будет ролик о Гауссе, как о Гильберте, Галуа и т.д?))
Пока что могу только сказать, что Гаусс и его результаты однозначно заслуживают отдельного видео!
@@WildMathing Несомненно, ждём очередной шедевр на тему великих математиков!
Среди и т.д. особенно следует выделить великого Лапласа. Вот что было в его голове, когда он изобрёл операционное исчисление?
@@user-kb6rn1ym6c Что, прям так тяжко идёт?)
@@WildMathing 3-х часового ))))
Круто. Эте же детерминант) Хотелось бы увидеть формулу (и доказательству естественно)) для высоких пространств
Спасибо за контент
Как всегда радуете интересными видео
Большое спасибо за видеоролик!
Большое-пребольшое спасибо за регулярную поддержку! Приятно всякий раз видеть комментарии
Ваше последнее видео невероятно гениально! Браво, маэстро!
Восхитительно!
Это божественно
Больше бы видео о Гауссе
(А ролик как обычно восхитителен)
Ммм.. магия..
Если серьёзно, даль что у нас в школе лет дцать назад такое не преподавали. Думаю и сейчас тоже нет
Wild, Вы лучший, спасибо Вам за Ваш труд,
А про какое обобщение формулы упоминается в конце ролика?
Спасибо за просмотр и добрые слова!
Намекал на формулу Грина: ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Грина
Не перестаю восхищаться красотой и разнообразием решений задач математики)
это просто шедевриально, Гаусс великий человек, спасибо за этот интересный и элегантный метод
Спасибо. Красиво. Не знал что так можно, но да, и правда, доказательство очень простое
Это превосходный метод!
Думаю он мне ещё пригодится в будущем.
Это… прекрасно!
Прекрасно!
Это шедевр!🔥🔥🔥👍👍👍
Великолепнейший метод!
У Феликса Клейна читал о расширении этого метода на трехмерное пространство, вычисление объемов определителями.
Отличный ролик! Спасибо, Wild! А шнуровка Гаусса вроде связана с теоремой Грина..?
Рад, что понравилось!
Совершенно верно! Как раз на теорему Грина и намекал в конце видео
можно видео про соотношение Бретшнайдера
То, что Вы делаете, очень круто и заслуживает внимания и признания
Красота математики в очень приятной форме
Вновь спасибо за добрые слова!
Красиво ….😍 😍 😍
когда вы показали круг в конце - чувства непередаваемые
На середине видео в душе прокричал: "Так это же первый курс!". Не зря третий год сижу на прикладной геодезии в универе)) Спасибо, теперь я понимаю все "внутренности" этого метода. Поверхностно он очень широко применяется для нахождения площадей участков на карте.
Как красиво
И снова гениально.
Прекрасный метод как и видео!!! Продолжаю бороться с маним для анимации геометрии...
Как же это красиво
Очень любопытно , и сонно молодец
С первых секунд узнала определители) довольно очевидная формула получается)
Все просто великолепно!
Не подскажете откуда взяты материалы для ролика, статьи и тд?
Рад, что понравилось!
Об этом методе мне в свое встретилась статья на Википедии: ru.wikipedia.org/wiki/Формула_площади_Гаусса
Сочинить подходящие примеры для видео - дело нехитрое. Единственное, что придумывал с нуля - геометрическую интерпретацию для векторного произведения
@@WildMathing Спасибо 😊
Wild, го новый ролик о леммах Архимеда🥰
классная формула
Супер
Матиматика с геометрией могут быть интересные ?? 🤷🏻♂️
Спасибо! Крутые видео 🤙🏿
Второй пример (пятиугольник) ради интереса стал считать одновременно с автором, но по классическому методу вычитания площадей. Получилось быстрее =)
20-1-1-1-1-2-1,5=12,5
Я так около многоугольников прямоугольник описывал. Гаусс и вправду гений, ведь он увидел такую простую, но неочевидную вещь
Где вы берете эту потрясающую музыку?
Пока что с этим сложно, но рад, что музыка нравится!
boosty.to/wildmathing/posts/102511b8-fd51-40e2-8e44-807c8f5aadb0
спасибо за видео, Wild Mathing, очень красивый факт, думаю стоит так же сказать, что и для невыпуклых фигур это тоже работает
Спасибо за просмотр и комментарий! Иногда некоторые детали в роликах оставляю в виде вопроса, и насчет невыпуклости есть картинка 6:09, а следом за ней и самопересечение
А, сцена после титров))
@@user-nj1ru1pv6g, да, пожалуй, следовало ее дать раньше: вопрос выпуклости многих заинтересовал!
Моё вам почтение, вилд! Крутое видео! А видео с выводом формулы Пика можете сделать?
Уже есть на канале
Спасибо за добрые слова!
Формулу Пика долго ждать не придется! ua-cam.com/video/WDWwRrN8tro/v-deo.html
@@WildMathing доказательство тривиально, мне бы вывод этой формулы... От куда она такая берётся? Вот на эту тему есть что-нибудь?
@@MrKesseker, все очень просто!
а) Чем больше узловых точек внутри фигуры, тем больше площадь.
б) Очевидно, что от количества граничных точек площадь тоже зависит.
После этого предсказать нужные константы не составляет труда: достаточно рассмотреть частные случаи. А вот еще одно наблюдение, которое позволяет, не зная заранее результата, выдвинуть верную гипотезу: etudes.ru/etudes/pick-theorem/
@@WildMathing вот бы все эти шаги увидеть в видео с объяснением и анимациями, как у вас! Спасибо за объяснение, ценю!
Метод очень полезен для реализации фантазий, например, делая игру на pygame, если нужно найти площадь, не придётся разбивать фигуру на треугольники и искать площадь каждого отдельно
Не канал, а сказка только что наткнулся очень интересная подача , монтаж .Автор красава 👍
Интересно, есть ли вывод из этой формулы формулы для расчета центра тяжести подобных фигур?
Wild,можно использовать матрицу 3 3, но какой будет порядок. Есть ли аналоги для объема? Спасибо большое ( просто я мат исследование делаю)
Если интересует обобщение для объемов, то загляни в описание к ролику: там есть детали. Но стоит учитывать, что не всякий многогранник можно так просто разбить на тетраэдры
@@WildMathing Спасибо большое , но можно ли составить алгоритм, а не суммируя по отдельности и какой будет порядок обхода, заранее спасибо
Прикольно однако, а что-то подобное есть для обьема
С объемом немного сложнее, и, как правильно отметил в комментариях Сергей Скорик, иногда придется добавлять вспомгательные вершины. Но в целом, определитель третьего порядка задает ориентированный объем параллелепипеда. Поделив его на шесть и взяв по модулю, получим объем тетраэдра. И если многогранник состоит из нескольких тетраэдров, то дело в шляпе
Где можно почитать про выводе формулы при предельном переходе к окружности?
Речь идет об интегрировании по контуру: материал есть в учебниках ТФКП и анализа, но нужен соответствующий начальный уровень
Здравствуйте! Можно задать вопрос? Почему скалярное произведение векторов 2:02 равно площади параллелограмма? Формулы ведь отличаются синусом и косинусом!
Добрый день! Вопросы приветствуются! В ролике речь идет о векторном произведении, а скалярное - совсем другая операция: ru.wikipedia.org/wiki/Векторное_произведение
норм так, зашло
шнуровка Гаусса- супер
Да, кстати этот метод используется при подсчёте коэффициента Джини)
Это же метод Саррюса в начале, нет?
Здравствуйте! Подскажите пожалуйста какие темы нужно знать для успешного выступления на разных этапах математических олимпиад (интересуют темы с 8 по 11 класс). Например принцип Дирихле Эйлеровы графы и тд.
Добрый день! У каждой олимпиады есть своя специфика, но наиболее общие рекомендации как тем, так и книг даю вот здесь:
1. Олимпиады: ua-cam.com/video/6TogU_qxNcc/v-deo.html
2. Олимпиады: ua-cam.com/video/J4hqBNvj9UM/v-deo.html
3. Олимпиады: ua-cam.com/video/IFDiQ4YfxXc/v-deo.html
4. Планиметрия: ua-cam.com/video/t3OxwI-3r6Y/v-deo.html
5. Стереометрия: ua-cam.com/video/JWXWYnkd7KE/v-deo.html
Возьми Горбачева "Сборник олимпиадных задач по математике", там в принципе все необходимые вещи описаны
Спасибо! И ещё если не трудно подскажите где научиться решать олимпиадные задачи , как понять их специфику. Ведь они сильно отличаются от обычных мат задач
@@user-iv2uf7nq5z, в роликах как раз все это рассказал: посмотри, там дельные советы. Та же книжка «Как решают нестандартные задачи» позволит тебе понять специфику: задачи там не просто решены - показано, как прийти к решению. Как бы и где бы не учился, самое важное - больше решать подходящих задач самостоятельно
@@WildMathingОгромное спасибо!
Как ловно ты без слов изобразил ответ на собственный вопрос ))) Одобрямс
Если не ошибаюсь, то именно с помощью этого метода раньше и считали площадь круга и вроде даже точность числа пи зависела от кол-ва треугольников, вписанных в круг, которые способен был просчитать конкретный математик )
напомните сайт откуда была взята эта песня в конце
Это все платные лицензии, и сейчас из России их даже не купить. Взамен предлагаю послушать Alexandre Desplat - The Imitation Game
Здравствуйте, хочу спросить а этот метод можно как-то усовершенствовать доя трех мерного пространства(стереометрии) если известны координаты вершин параллелограмма или вершин треугольника?
Добрый день!
Это хороший вопрос: детали есть в описании к видео. Естественно, нужно знать координаты всех вершин многогранника, чтобы иметь надежду обобщить алгоритм для конкретной фигуры
@@WildMathing Здравствуйте ещё раз. Не могли бы вы пожалуйста написать формулу для объема пирамиды по типу(x1y2…)
@@user-nw8he4wy9c, день добрый! Если нам известные координаты четырех вершин треугольной пирамиды, то несложно выписать три вектора, которые задают три ребра, исходящие из его одной вершины. А далее используем геометрический смысл векторного произведения. Формулы и пример и расчетов здесь: studwork.org/spravochnik/matematika/obemy-figur/obem-tetraedra
Здравствуйте!
В какой программе сделана такая замечательная анимация?
Добрый день!
Это библиотека Manim для Python: github.com/3b1b/manim
@@WildMathing Спасибо
А есть такой же аналог для объемов?
Очень даже может быть! Определитель третьего порядка задает ориентированный объем параллелепипеда. Поделив его на шесть и взяв по модулю, получим объем тетраэдра. А уже многогранник можно разбить на тетраэдры
Теперь, я и сам своего рода волшебник
Для 11 класса просто класс, вы прям вовремя
Видео вышло всего два дня назад, а ссылочка на него уже есть в Википедии:))
Ого-го! Будет приятно, если ссылочку на видео проверят и одобрят
век живи - век учись
где можно детально изучить manim? вопросы возникают один за другим, а в документации ничего толкового найти не удается(
На UA-cam много туториалов на английском. На русском есть только один крутой (платный) курс: course.justmath.ru/manim-animation/ - у меня есть промокод на скидку, если нужен
Как обходить контур против часовой стрелке? Мы ведь не умеем на картинку смотреть)
А можно ли таким способом найти площадь многоугольника в пространстве? В 13 задаче егэ было бы просто супер
На экзамене это скорее всего проще будет сделать геометрически, но предположим вы твердо настроены найти площадь сечения многогранника аналитически. Три способа на выбор
1) Можно в секущей плоскости вписать координатную систему xOy, найти координаты вершин сечения (упорядоченные пары), а затем воспользоваться шнуровкой Гаусса.
2) Часто в задачах несложно найти площадь ортогональной проекции сечения на плоскость основания пирамиды/призмы: в том числе это можно сделать формулой Гаусса. Затем найдем угол между секущей плоскостью и плоскостью основания (опять же можно с помощью векторов). Далее остается применить теорему о площади ортогональной проекции.
3) Наконец, объем тетраэдра и расстояния от точки до плоскости в координатах считаются стандартно. А зная объем и высоту пирамиды, можно найти площадь ее основания
@@WildMathing, шнуровку Гаусса не удалось найти в школьных учебниках. То есть на ЕГЭ её всё-таки придётся вывести
созрел вопрос(возможно глупый) по теме манима. можно ли как то двигать точки по окружности, не создавая для каждого движения отдельную дугу?
Можно сделать анимацию вращения вокруг центра
circ = Circle() # окружность
dot = Dot(UP) # точка
self.add(circ, dot)
self.play(Rotate(dot, PI/2, about_point=circ.get_center()))
self.wait(3)
@@WildMathing спасибо, попробую. до этого ещё пытался поворачивать через self.play(dot.animate.rotate(90*DEGREES, about_point = circ.get_center())), но у меня точка двигалась по прямой, изменяя свой размер
По подаче очень похоже на 3blue1brown. Рад что в российском сегменте есть такой классный канал
А есть токое правила или метод для 3Д обектов?
Этот вопрос многих интересовал, так что добавил ответ в описание к видео - загляни
С треугольником ясно, это векторное произведение, а про многоугольники я не знал
Я все равно не очень понял, будет ли работать этот метод, если фигура вне начала координат, может кто-то подсказать? Спасибо
Будет! Причем конкретно для изображенного многоугольника можно рассудить совсем просто: его можно перенести параллельно так, чтобы начало отсчета оказалось внутри фигуры
@@WildMathing А, просто перенос, понял, спс
@@WildMathing а можно без переноса посчитать площадь фигуры представив, что начала отсчёта эта одна из граней и потом просто вычесть треугольник, образовавшийся двумя ближайшими к началу вершинами, поменяв во время образования шнуровки местами кординаты в этом месте?
Прошу прощения, у меня вопрос не совсем по теме видео, однако он меня мучает уже давно.
Предположим, мы имеем некую функцию f(x), а так же некое количество касательных к этой функции в точках с шагом в ∆x, при том у каждой касательной нам известно её формула. Так же, каждая касательная имее только одну точку пересечение с функцией, так как иначе выходит что-то нехорошее. Можно ли каким-то образом аппроксимировать или даже восстановить функцию из этих данных?
У меня есть некоторые наработки по этому поводу, однако не думаю, что они предендуют на какую-либо научную серьёзность
Эти вопросы интересны, и потому очень хорошо исследованы. Чем больше информации о касательных мы знаем, тем точнее можно воссоздать исходную функцию: ua-cam.com/video/Rgdc6_AmDzg/v-deo.html
В первом томе Зорича или в других учебниках анализа можно найти основные теоремы на этот счет: по ним ты сможешь оценить актуальность своего результата
@@WildMathing ого, спасибо большое!
Можно ли использовать этот метод на ЕГЭ (с доказательством). И работает ли метод, если начало отсчета вне многоульника?
Да, можно, просто стоит его комментировать, не упоминая Гаусса: «по свойству векторного произведения». И, да, метод работает, даже если многоугольник не содержит начало отсчета
@@WildMathing спасибо за ответ. Думаю, он поможет при решении некоторых задачек из егэ.
@@WildMathing и еще. Будут ли решения планиметрии через координатный метод и векторы?
Тот самый случай, когда метод не только удобный, но и красивый.
2001 года рождения, в школе сейчас уже этого не дают. Вектора есть, но из них ничего не выводилось. А жаль, прекрасный и простой способ.
5:10, в динах конечно же!
Если честно, я сначала подумал, что в этом видео будет говориться о заезженной формуле Пика...
А не является ли метод отрицательных площадей частным случаем этого способа?
Совершенно верно! Если смотреть геометрически, то в основе и формулы Пика, и шнуровки Гаусса лежит всем знакомое вычитание «лишних фигур» из ограничивающих прямоугольников. Разве что предварительно исходный многоугольник разбивают на многоугольники
Ничего не понятно но очень интересно
а с мнимыми так можно?
Снимите как затащить олимпиаду в 2022 году!
В такое время, может меня успокоить только решение геометрии
А если у нас не 2д, а 3д? То есть каждая точка имеет координаты (x, y, z). Что делать в этом случае?
Если хочется найти объем многогранника, то определитель третьего порядка задает ориентированный объем параллелепипеда. Поделив его на шесть и взяв по модулю, получим объем тетраэдра. И если многогранник состоит из нескольких тетраэдров, то дело в шляпе.
Если же интересует площадь сечения многогранника, то посмотри ответ на комментарий Дмитрия Ильина: ua-cam.com/video/vUCJWwGQEYI/v-deo.html&lc=UgzHHwwmukXYqCC7P6t4AaABAg
На ЕГЭ можно использовать ?
Можно! Но в качестве ссылки на факт лучше будет указать «из свойств векторного произведения» (вместо шнуровки Гаусса)