Найдите биссектрису треугольника
Вставка
- Опубліковано 29 вер 2024
- Найдите биссектрису большего угла треугольника со сторонами 4, 5 и 6.
3 млн просмотров • Таблица умножения боль...
@arinablog наш семейный канал
Поддержать: donationalerts....
Telegram: t.me/volkov_te...
Группа ВК: volkovv...
Instagram: / volkovege
Почта: uroki64@mail.ru
1) Почему в треугольнике против большей стороны лежит больший угол и почему против большего угла лежит большая сторона, смотрите здесь: • Почему в треугольнике ...
2) Биссектриса делит противолежащую сторону в отношении боковых сторон. Доказательство здесь: • Свойство биссектрисы т...
3) Формула для биссектрисы треугольника здесь:
• Формула для биссектрис...
Как набрать МИЛЛИАРД ★ Геометрическая прогрессия на шахматной доске ★ Теория шести рукопожатий ★ ua-cam.com/video/UJHQ0CRmqT4/v-deo.html
Давайте вместе проведём эксперимент - наберём 1000000000 просмотров! Поделитесь этим видео ua-cam.com/video/UJHQ0CRmqT4/v-deo.html со всеми
своими знакомыми. Напишите им и предложите поучаствовать в этом эксперименте. Проверим вместе как работает геометрическая прогрессия.
Напишите в комментариях свои прогнозы: получится или нет?
Любимая тема по геометрии о теореме косинусов
Я люблю тригонометрию
Чувствую что задача должна решаться ещё каким то способом...
Да, ещё решил с помощью формулы для радиуса описанной окружности через длины сторон для двух вписанных в одну и ту же окружность треугольников: для 1) данного треугольника, и для 2) равнобедренного, образованного продолжением биссектрисы до описанной окружности. Приравнял радиусы, получил длины равных сторон равнобед. треугла. Оказалось, что они равны 4. Т.е. там получается симметричная равнобедрая трапеция, образованная этими двумя треуглами. Откуда |CH| = |BH| = 10/3.
Как всегда на отлично!🌺
Ещё способ: формула биссектрисы : (2*√(a*b*p*(p-c)/(a+b))) где р полупериметр, а и b прилежащие стороны, с сторона к которой проведена биссектриса
Да по формуле Герона и по формуле S=1/2absinx найти площадь и приравнять.
Понравился способ из комментариев от Влада - Vlad Phys по формуле биссектрисы.
Во втором способе была использована длина стороны их первого способа AH=8/3, почему?. Ведь если начать второго способа то, AH будет неизвестна...
Вот способ без знания AH. Найдём из теоремы косинусов угол ACB, из которого выходит биссектриса. Затем найдём косинус половины этого угла и составим систему из 2 уравнений по теореме косинусов, а именно y^2=4^2+x^2-8*x*cos(ACB/2) и (6-y)^2=5^2+x^2-10*x*cos(ACB/2). Здесь x - биссектриса, а y и y-6 - отрезки, получившиеся делением стороны биссектрисой.
Верно подметил
А разве есть необходимость составлять ту же самую пропорцию второй раз?
Отрезок AH в обоих случаях находится одинаково по свойству биссектрисы угла треугольника.
Вычисление AH выполнялось без использования первой формулы, но с использованием формулы подобия соотношений углов к сторонам, так что всё легитно, имхо.
АН=4Х, ВН=5Х
4X+5X=6
X=6/9
Так легче, быстрее
Откуда такие дынные?
@@fundael биссектрисса делит противолежащую сторону на отрезки пропорционально прилежащим сторонам
Ага. Я так учу своих.
Зачем их находить?
Решал немного по-другому: разбил на два треугольника, расписал площади всех трёх треугольников по формуле с синусом, откуда через косинус маленького угла получилось выразить сторону. Далее так же по теореме косинусов нашёл косинус большого (а затем и маленького) угла, подставил.
Отлично. Второй способ, на мой взгляд, лучше. Потому что первую формулу не все знаю, вот лично я не зал. Думаю, что не я один. А второе решение хорошее: просто, понятно, наглядно.
Я тоже не знал. А когда узнал, стал выводить сам. Оказалось, она выводится из теоремы косинусов и свойства биссектрисы делить сторону в пропорции.
Кроме теоремы косинусов, решил с помощью формулы для радиуса описанной окружности через длины сторон для двух вписанных в одну и ту же окружность треугольников: 1) для данного треугольника, и 2) для равнобедренного, образованного продолжением биссектрисы до описанной окружности. Приравнял радиусы, получил длины равных сторон равнобед. треугла. Оказалось, что они равны 4. Т.е. там получается симметричная равнобедрая трапеция, образованная этими двумя треуглами. Откуда |CH| = |BH| = 10/3.
На 65 году звучит как музыка, так интересно вспомнить. Автору спасибо!....
отлично! лайк. 2ой способ понравился
коммент для продвижения видео
Продвигаю свои видео ;)
только не сработает, ибо только 5+ слов засчитываются
Решил вторым способом. Спасибо за оба варианта решения.
тоже подумал, что через теорему косинусов решать. Мне она более понятна.
Я решил используя только теоремы синусов и косинусов, больше ничего.
И то верно
Я решал через углы. Сначала угол С нашёл. 82.82. По теореме косинусов. Потом угол А. 55.77. Потом по теореме синусов СН нашёл. Ответ 3.3333. Тоже самое. Фактически это обычная школьная задачка для 9 класса для повторения тем «Теоремы синусов и косинусов”.Интересны другие методы решения !! Спасибо 🙏
Первый способ понравился.
Есть готовая формула нахождения длины биссектрисы через полупериметр и стороны 😉
Из точки три луча под 120 гр соеденены в треугольник со сторонами 5,6,8 найти длины лучей
Давайте решим задачу, диагонали трапеции равны 7 и 8 соответственно, найдите площадь трапеции.
Сожалею что так и не мог и наверное уже никогда ни пойму что за биссектриса и через что находить и что такое биссектриса! Да я один может из тех кто понимает только где нужно логически сложить одно число на другое, так же и числа которые дроби сложить, а как пошло сложнее, корни, синусы, косинусы и то что даже чёткого решения не даёт: увы такие я не пойму!
Помню свой случай когда надо было решить подобное и зная стороны но нужно вроде было узнать чему равен угол примерно который проведён и до той линии которую взял одну от треугольника, я категорически не понимал способ решения, взял нахрен нарисовал треугольник с нужными числами и стал от вдобавок нарисованной линии искать градус ( я думал а что такого, я же по факту реально узнал чему равно то что с меня хотели узнать, только решение и как это всё аысчитывалось я категорически не знал ), от части я не мог запоминать новую информацию, а как приходили разбирать новое решение, я забывал про предыдущее, а как возвращались к предыдущему, в общем всё перемешивались и способы решения в итоге забывал напрочь, да и операция была на мозге, в итоге в голове тока одна каша так что (не судите строго, но ей богу не могу подобного запомнить кроме того что наиболее простое и имеет четкое число и более простое решение, а не такие или ещё сложнее)!
В любом случае необходио знать пропорциональность отрезков основания!
Не первый раз замечаю, что решение и рассуждения, приводящие к этому решению, сложных моментов в задачах вы опускаете, ссылаясь либо на другие видео, либо на якобы понятность происходящего, а элементарные вычисления выполняете скрупулезно. В чем логика? Интересно то движение ваших мыслей в самом начале решения задачи.
Разжевывать понятное и комкать непонятное - свойство многих видео вообще. Талантливых учителей очень мало. Вот я - один из них. Потому что я - тупой, и понимаю нужды других тупых.
А что тут не понятного? Есть базовые формулы тригонометрии, изучайте их, а потом приходите сюда, решать подобные задачи.
Интересно, что тр-к CBH получается равнобедренный и угол C в два раза больше угла B!
А не проще найти части АВ делением числа в заданном отношении: 6 × 4/9 и 6× 5/9 ?
Без иксов и пропорций.
Второй способ, хоть и не требует знания формулы биссектрисы угла, но требует знание о пропорциях между отрезками, на которые биссектриса разделяет сторону. Однако есть способ, хоть и муторный, вычислить биссектрису. Найдём из теоремы косинусов угол ACB, из которого выходит биссектриса. Затем найдём косинус половины этого угла и составим систему из 2 уравнений по теореме косинусов, а именно y^2=4^2+x^2-8*x*cos(ACB/2) и (6-y)^2=5^2+x^2-10*x*cos(ACB/2). Здесь x - биссектриса, а y и y-6 - отрезки, получившиеся делением стороны биссектрисой.
Я тоже подумал, что проще будет решать через углы и два уравнения. Ну либо через площадь, по той же схеме.
В этой задаче в условии подобрали такие числа (4, 5, 6), что получилась симметричная картина. По-моему, при такой симметрии, можно было бы сделать более интересную задачу, чем просто "найти длину биссектрисы".
Спасибо, молодец. В 3 секунды. Очень нравятся ваши рассуждения. 👌
А если вписать треугольник в окружность? То получится радиус CH, а AB диаметр
Нет
У загальному випадку довжина такої бісектриси виразиться за формулою sqrt(ab((a+b)^2 - c^2))/(a+b), де с - довжина сторони, до якої проведена бісектриса.
Если 8/3 неизвестно, то откуда его взяли?
С 1:12 пропорции, понял?
Нужно просто быть внимательным и прочувствовать, что нужно меньшие стороны перемножить и поделить на большую.
4*5/6= 10/3
Profit ?!?
)
А как так то ?
Так випадково співпало у цьому прикладі. У загальному випадку довжина такої бісектриси виразиться за формулою sqrt(ab((a+b)^2 - c^2))/(a+b), де с - довжина сторони, до якої проведена бісектриса. Це легко отримати, наприклад, першим способом автора. Правда, на відміну від автора блогу, для знаходження довжин відрізків АН, ВН зручніше буде покласти АН=вх, ВН=ах, АН+ВН=с.
Есть формула по трем сторонам для ленивых.
l^2=(a*b)*(1-c^2/(a+b)^2), где l- биссектриса треугольника, а, b, c - стороны треугольника ( известная формула для определения длины биссектрисы в любом треугольнике)
Очень быстро и непони
А по теореме герона (полусуммы) не получится?
Именно по второму способу я и решал.)
Для продвижения канала, я могу порекомендовать опубликовать видео с задачей, которую я нашел в книге: "Полупериметр прямоугольного треугольника равен - √4,5+√3, а расстояние между точками, образованными пересечением биссектрисы и медианы с гипотенузой, равно 1. Надо найти площадь трапеции, образованной меньшим катетом, частями гипотенузы и большего катета, а также высоты, опущенной на больший катет, с точки пересечения гипотенузы и высоты прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу." Буду благодарен, если Вы опубликуете это видео.
P.S.
Кстати, с прошедшим 23 февраля!
Можно решить еще легче.
Супер !
Спасибо! Помогли
Добрый день, а в егэ можно писать такие готовые формулы без доказательства?
Это формула тебе зачем? Есть другая формула. Подставишь эти цифры и сразу ответ будет
√(ab(a+b+c)(a+b-c))/(a+b)
√(4x5(4+5+6)(4+5-6))/(4+5)
√(20x15x3)/9
√(20x5x3x3)/9
√(100x9)/9
10x3/9
30/9
10/3
Вот способ вычисления биссектрисы, опирающийся только на теорему косинусов и тригонометрию. Найдём из теоремы косинусов угол ABC, из которого выходит биссектриса. Затем найдём косинус половины этого угла и составим систему из 2 уравнений по теореме косинусов, а именно y^2=4^2+x^2-8*x*cos(ABC/2) и (6-y)^2=5^2+x^2-10*x*cos(ABC/2). Здесь x - биссектриса, а y и y-6 - отрезки, получившиеся делением стороны биссектрисой.
Во втором способе не объясняется откуда взялось значение AH . Если дополнить выводом из первого способа , то решение становится более громоздким . Первое изящнее. Мира и здоровья всем .
Можно не вычислять косинус угла А, а записать теорему косинусов относительно угла А из треугольников АВС и АСН. Получится система уравнений с неизвестными косинусом и биссектриссой.
Решается одной формулой, зачем лишние действия?
√(ab(a+b+c)(a+b-c))/(a+b)
Подставишь свои цифры и сразу ответ будет
√(ab(a+b+c)(a+b-c))/(a+b)
√(4x5(4+5+6)(4+5-6))/(4+5)
√(20x15x3)/9
√(20x5x3x3)/9
√(100x9)/9
10x3/9
30/9
10/3
Это еще одна формула для определения длины биссектрисы. Не все ее знают.
Валерий, спасибо за интересную задачу. Прошу уделите пожалуйста немного времени моему решению, по моему оно тоже неплохое. Итак, если все стороны целые можно найти площадь по формуле герона и потом найти высоту из точки С. Зная высоту можно найти синусы углов САВ и СВА. Выводя теорему синусов ABC для угла АСВ можно потом найти синус половины, и окажется, что в треугольнике СHB синусы углов одинаковые, а значит и углы одинаковые и этот треугольник равнобедренный. Значит внешний угол AHC равен ACB. Поскольку синусы углов треугольника ACH мы знаем и известна сторона AC опять через теорему синусов находим длину биссектрисы.
Супер.
Решил тоже через теорему косинусов, но забавнее:
1) Отыскал косинусы всех углов из разряда "ну мало ли пригодится"
2) Т.к. у меня в наличии есть биссектриса, могу проверить косинус половинного угла - получилось, что cos АСН = cos B = 3/4
3) Обрадовался, что треугольник СНВ - равнобедренный
4) Использовал теорему косинусов для СНВ, чтобы разобраться с углом СНВ и через него отыскать СН (который равен ВН из п.3)
5) Угол СНВ = 180 - 2х, где х - угол В, cos B = 3/4
6) cos 2x = cos C = 1/8
7) cos CHB = cos (180-2x) = - cos 2x = - 1/8 - с углом СНВ разобрались
8) Подставляем значение косинуса и ищем сторону СН, взяв ее за y
9) Получаем изящное уравнение: y^2 = 100/9
10) Получаем, что y = 10/3 и восторгаемся, что ответ совпал с тем, что вышло у Валерия)
2й вариант уни&ерсален
Я эту задачу решил 3 способом. Вначале нашел cosАСВ=1/8, далее во формуле половинного угла получил cosACH=cosBCH=3/4, а sinACH=корень(7)/4. По формуле Герона нашел площадь треугольника ABC= 15*корень(7)/4, а по формуле через 2 стороны и угол эта же площадь равна CH*4*sinACH/2+CH*5*sinBCH/2=9*CH*корень(7)/8. Приравняв эти формулы получаем CH=10/3
Да, занимательно!
Единственно я сразу: 2 части нижней стороны соотносятся как 4 и 5, т.е. будут равны
(6:9)*4=8/3 и (6:9)*5=10/3
А уголек то рубить некому,пшеничку сажать некому,молочко доить -некому
Класс!
😊
Шш
👍.
Такое ощущение, что первый способ куда проще
Спасибо
Любимая геометрия!!! 👍
Понял я или нет - смотрите по ссылке в описании к видео.
Valery, а как удается так гладко писать? Я попробовал мышью в Google JamBoard - даже не близко, даже если очень стараюсь. Это графический планшет? А что за прога?
Графический планшет и Паинт.
5 курс, решить не смог, совсем уж позабыл тригонометрию с геометрией, аж стыдно. Это программа 6-7 классов?
тригонометрию сейчас изучают в девятом классе.
Интересно, в какой программе автор демонстрирует решение задачи. Кто то может подсказать?
Графический планшет и программа Паинт.
И снова благодарность!
Большое спасибо!
У меня вопрос: Когда автор пишет в задаче "найти биссектрису" у меня сразу почему то возникает желание искать угол. Это в задаче двойственность или я все таки не прав и когда речь заходит о биссектрисе, то всегда нужно искать длину, а не угол?
определение: Биссектриса угла треугольника- отрезок проведенный из вершины данного угла к противолежащей стороне, который делит данный угол на два равных угла. Раз это отрезок, значит его измерением будет длина.
@@alex_freeman89 точное определение биссектрисы- это луч, а не отрезок. Именно по этому и вопрос. Если сформулирована задача произвольно, то и трактование может быть произвольным. Если присмотреться к задачам на ЕГЭ, которые решает например Саватеев, видно, что вольные трактовки ведут к неправильному толкованию и неправильному решению.
можете озвучить программу на что вы пишите ?
Паинт и программы к планшету.
👍👍👍👍👍,
Как у вас получилось под корнем 4×5-8/3×10/3=100/9, вопрос: 20 - 80/9=100/9????
Ну как бы да
20-80/9 приводим к общему знаменателю, получаем (180-80)/9=100/9.
Как в первом случае CH равняется 10/3? объясните пожалуйста
Его вообще не надо находить
6-8/3 = 6/1-8/3= 18/3 (умножили на 3 числитель и знаменатель)-8/3=10/3
💇😃
А почему AH не равно BH и не равно 3?)
Потому что, провели биссектрису-линию ,которая дёлит угол пополам, а вот если бы провели медиану-линию, которая делит противолежащую сторону пополам, то тогда бы эти отрезки были равны мпжду собой и =3.
Второй способ несамостоятелен. В нём приходится делать подстановку AH=8/3 ссылаясь на первый способ, с доказательством соотв. формулы первого способа.
Вот способ без знания AH. Найдём из теоремы косинусов угол ACB, из которого выходит биссектриса. Затем найдём косинус половины этого угла и составим систему из 2 уравнений по теореме косинусов, а именно y^2=4^2+x^2-8*x*cos(ACB/2) и (6-y)^2=5^2+x^2-10*x*cos(ACB/2). Здесь x - биссектриса, а y и y-6 - отрезки, получившиеся делением стороны биссектрисой.
@@jystinian1926 биссектриса выходит из угла АСВ...
@@ШахерезадаСтепанна да, верно. Но сути не меняет.
Аналитические методы - это для тупых. Надо более геометрические или эвристические методы продвигать.
👍
Интересно, но все-таки я рада что мне 66 и не надо уже так заморачиваться!
За рис. Видно что угол HBC = HBC и можн сделать вывод что это триуголиник равнобедреный и поэтому CH будет равна HB
L=4•5/6=10/3
Zacem tak dolqo esli mojno nayti odnim ravenstvom
Это просто песня!!!!!
Такого треугольника же не бывает🤔 тк 6 не > 4+5
А кто тебе сказал, что 6 должно быть больше чем 4+5?
Знак не перепутала?