Je rigole tout seul.....je tombe sur la vidéo qui est par ailleurs très intéressante, et la bordel je comprends rien!!!.....je vous tire mon chapeau pour ceux qui comprennent et arrivent a suivre les explications qui me paraissent détaillées .....a été puis le tableau noir avec une vraie craie sa me rappelle les bons souvenirs!!!!
super exercice, j'adore votre chaine, votre façon d'expliquer, le plan de la caméra et la clarté de votre écriture sur le tableau. un follower du Maroc :)
Merci beaucoup pour ce précieux travail que je viens de découvrir dans votre chaine. Pour enrichir l'exposé, on peut proposer comme contre-exemple dans le cas n>1, les matrices de la base canonique A=E_{1,1} et B=E_{1,2}. Si un étudiant veut un contre-exemple dans le cas général, à partir de celui que vous avez proposé, on peut utiliser les matrices par blocs A'=diag(A,0) et B'=diag(B,0) où A et B sont celles que vous avez proposé en taille 2. Merci encore une fois et j'espère que ça dure.
Pour le bonus, si le corps est fini, on plonge K dans K(X) (l'ensemble des fractions rationnelles sur K), qui lui est infini ? Il me semble qu'il y a une solution plus élémentaire dans ce cas, mais je ne me souviens plus.
@@CassouMathPrepa Disons que ça suppose de construire K(X). Si on regarde la page wikipedia anglaise de l'indentité de Weinstein-Aronszajn (suggéré par un autre commentaire ;) ), on trouve une démo qui est basé sur des déterminants blocs. Ça me semble plus élémentaire , mais c'est subjectif ;) .
Ça doit semble donner le résultat même avec les corps finis en effet (j'ai pas regardé les details). Mais faut quand même prouver sa formule du déterminant par blocs, qui n'est pas si triviale je trouve 😅. Je préfère ton argument de K(X) j'avoue. De toute façon quand on se préoccupe du cas des corps finis, on n'a pas peur d'envisager K(X) à ce niveau 😇
@@CassouMathPrepa Certes. Mais le calcul de matrice bloc n'est pas si méchant je pense. Il suffit de se convaincre que calcul de déterminant avec un pivot de gauss est généralisable aux matrices blocs (avec l'idée qu'une opération sur les lignes / colonnes est est équivalent à la multiplication à gauche / droite d'une certaine matrice). Allez, j'arrête mon lobbying, et merci pour ta chaine ;) .
Pouvait-on utiliser la densité de GLn dans Mn, en effet on prend (An) une suite de GLn qui tends vers A, ains Xsi(AnB)=Xsi(BAn) et par continuité du determinant (car c'est une fonction polynomiale) et par unicité de la limite on obtient Xsi(AB)=Xsi(BA)
Tout à fait. Je l'ai évoqué dans la vidéo. Le seul inconvenient c'est que ça oblige à choisir le.corps R ou C pour la topologie. Mais c'est largement suffisant pour le programme de prepa. Ici la méthode que je donne (densité algebrique) marche dans tout corps infini.
Bon je suis pas en avance sur la vidéo mais elle m’intéresse donc je rep 1) A^-1 A B A = BA Donc on a bien AB ~ BA 2) si B est inversible on se ramène au cas précédent. Sinon : prenons u et v les endomorphismes canoniquement associés à A et B On peut choisir pour n assez grands u : E -> ker(V) v : E -> F tels que E = ker(u) (+) F, Et u ≠ 0 ≠ v Donc on a u*v : E -> ker(v) qui n’est pas forcément la fonction nulle mais u*v : E -> {0} qui l’est bel et bien… Dans ce cas on voit bien que l’on ne peut rien dire : le rang est un invariant d’équivalence donc en particulier un invariant de similitude, or ici il n’est pas forcément conservé, tout peut arriver !… Encore faut il se demander se qu’il se passe si rg(AB) = rg(BA), est-ce qu’on a ici nécessairement la similitude qui tombe avec ? Ou encore une fois pas forcément ?
Pour X_AB=X_BA on peut simplement prendre A=(a_i,j) où les a_i,j sont des indéterminées, son determinant qui est un polynôme de K[X,a_i,j] est non nul car en spécialisant les a_i,j en les coefficients de la matrice identité et X en un élément de K qui est différent de 1 on obtient un élément non nul de K. On a donc A inversible et X_AB=X_BA en tant que polynômes de K[X,a_i,j] et on obtient le résultat dans K[X] en spécialisant les a_i,j. Pas besoin de supposer quoi que ce soit sur le corps K ni de le plonger dans un corps infini.
Bjr. J'ai pas compris 😅.... si on specialise alors on n'obtient qu'un cas particulier ? 🤔 ... Le fait que A soit inversible n'est pas un résultat mais une hypothèse 🤔🤔 Tu peux préciser stp ?
@@CassouMathPrepaEn spécialisant on vérifie que A est inversible en tant que matrice de Mn(K[a_ij]), car son déterminant (qui est un élément de K[a_ij]) n’est pas nul. On n’a cependant absolument pas montré que toute spécialisation des coefficients de A donne une matrice inversible de Mn(K) et c’est peut-être de là que vient votre confusion 🤔. On a simplement besoin de l’inversibilité de A dans Mn(K[a_ij]) pour avoir X_AB=X_BA qui sont alors des éléments de K[a_i,j,X] il en découle alors que toute spécialisation des coefficients de A entraîne X_AB=X_BA où cette fois A est dans Mn(K).
@@CassouMathPrepa il me semble que vous n’avez pas bien compris, les coefficients de la matrice A sont des indéterminées distinctes deux à deux, la matrice A est inversible donc on a X_AB=X_BA et cette relation reste vraie par spécialisation des coefficients, même en ceux d’une matrice de Mn(K) singulière
@@mehdielabdaoui1955 je ne comprends pas, on est d’accord : At est inversible ssi det(At) ≠ 0. Mais si t est valeur propre on peut quand mm avoir det(A-tIn) ≠ 0 non ?
Merci Je ne connaissais pas. 😁 A notre niveau matriciel, évoquer Weinstein et Cie ne serait-il pas un peu snob ? Ça a l'air d'être pertinent sur des opérateurs en dimension infinie non ? (Sur wiki ils parlent de matrice "trace class"... mais bon une matrice carrée est tjrs trace class... c'est etrange). Bref a creuser. Merci pour le commentaire !
Je rigole tout seul.....je tombe sur la vidéo qui est par ailleurs très intéressante, et la bordel je comprends rien!!!.....je vous tire mon chapeau pour ceux qui comprennent et arrivent a suivre les explications qui me paraissent détaillées .....a été puis le tableau noir avec une vraie craie sa me rappelle les bons souvenirs!!!!
Ah ah. Merci. Bah c'est déjà bien d'avoir supporté de suivre la vidéo. Ancien prepa ?
super exercice, j'adore votre chaine, votre façon d'expliquer, le plan de la caméra et la clarté de votre écriture sur le tableau.
un follower du Maroc :)
magnifique
très beau la suite sur la preuve par densité algébrique, on est même pas loin de l'esprit de l'agrégation
Merci beaucoup super exercice !! surtout le bonus avec la demonstration par densite
🙏🙏
Merci beaucoup pour ce précieux travail que je viens de découvrir dans votre chaine. Pour enrichir l'exposé, on peut proposer comme contre-exemple dans le cas n>1, les matrices de la base canonique A=E_{1,1} et B=E_{1,2}. Si un étudiant veut un contre-exemple dans le cas général, à partir de celui que vous avez proposé, on peut utiliser les matrices par blocs A'=diag(A,0) et B'=diag(B,0) où A et B sont celles que vous avez proposé en taille 2.
Merci encore une fois et j'espère que ça dure.
Ça me manque l'algèbre linéaire, parfois :) Merci!
Pour le bonus, si le corps est fini, on plonge K dans K(X) (l'ensemble des fractions rationnelles sur K), qui lui est infini ? Il me semble qu'il y a une solution plus élémentaire dans ce cas, mais je ne me souviens plus.
Tout corps fini est inclus dans un sur corps infini. Oui ça me semble déjà simple comme argument 🤔...
@@CassouMathPrepa Disons que ça suppose de construire K(X). Si on regarde la page wikipedia anglaise de l'indentité de Weinstein-Aronszajn (suggéré par un autre commentaire ;) ), on trouve une démo qui est basé sur des déterminants blocs. Ça me semble plus élémentaire , mais c'est subjectif ;) .
Ça doit semble donner le résultat même avec les corps finis en effet (j'ai pas regardé les details). Mais faut quand même prouver sa formule du déterminant par blocs, qui n'est pas si triviale je trouve 😅.
Je préfère ton argument de K(X) j'avoue. De toute façon quand on se préoccupe du cas des corps finis, on n'a pas peur d'envisager K(X) à ce niveau 😇
@@CassouMathPrepa Certes. Mais le calcul de matrice bloc n'est pas si méchant je pense. Il suffit de se convaincre que calcul de déterminant avec un pivot de gauss est généralisable aux matrices blocs (avec l'idée qu'une opération sur les lignes / colonnes est est équivalent à la multiplication à gauche / droite d'une certaine matrice).
Allez, j'arrête mon lobbying, et merci pour ta chaine ;) .
14:40 P(0) = Q(0)
ah ouais. Bien vu ! désolé pour la coquille
Pouvait-on utiliser la densité de GLn dans Mn, en effet on prend (An) une suite de GLn qui tends vers A, ains Xsi(AnB)=Xsi(BAn) et par continuité du determinant (car c'est une fonction polynomiale) et par unicité de la limite on obtient Xsi(AB)=Xsi(BA)
Tout à fait. Je l'ai évoqué dans la vidéo. Le seul inconvenient c'est que ça oblige à choisir le.corps R ou C pour la topologie. Mais c'est largement suffisant pour le programme de prepa. Ici la méthode que je donne (densité algebrique) marche dans tout corps infini.
@@CassouMathPrepa corps => commutatif?
Bon je suis pas en avance sur la vidéo mais elle m’intéresse donc je rep
1) A^-1 A B A = BA
Donc on a bien AB ~ BA
2) si B est inversible on se ramène au cas précédent. Sinon :
prenons u et v les endomorphismes canoniquement associés à A et B
On peut choisir pour n assez grands
u : E -> ker(V)
v : E -> F
tels que E = ker(u) (+) F,
Et u ≠ 0 ≠ v
Donc on a u*v : E -> ker(v) qui n’est pas forcément la fonction nulle mais
u*v : E -> {0} qui l’est bel et bien…
Dans ce cas on voit bien que l’on ne peut rien dire : le rang est un invariant d’équivalence donc en particulier un invariant de similitude, or ici il n’est pas forcément conservé, tout peut arriver !…
Encore faut il se demander se qu’il se passe si rg(AB) = rg(BA), est-ce qu’on a ici nécessairement la similitude qui tombe avec ? Ou encore une fois pas forcément ?
Bonne question !
Pour X_AB=X_BA on peut simplement prendre A=(a_i,j) où les a_i,j sont des indéterminées, son determinant qui est un polynôme de K[X,a_i,j] est non nul car en spécialisant les a_i,j en les coefficients de la matrice identité et X en un élément de K qui est différent de 1 on obtient un élément non nul de K.
On a donc A inversible et X_AB=X_BA en tant que polynômes de K[X,a_i,j] et on obtient le résultat dans K[X] en spécialisant les a_i,j.
Pas besoin de supposer quoi que ce soit sur le corps K ni de le plonger dans un corps infini.
Bjr. J'ai pas compris 😅.... si on specialise alors on n'obtient qu'un cas particulier ? 🤔 ... Le fait que A soit inversible n'est pas un résultat mais une hypothèse 🤔🤔
Tu peux préciser stp ?
@@CassouMathPrepaEn spécialisant on vérifie que A est inversible en tant que matrice de Mn(K[a_ij]), car son déterminant (qui est un élément de K[a_ij]) n’est pas nul.
On n’a cependant absolument pas montré que toute spécialisation des coefficients de A donne une matrice inversible de Mn(K) et c’est peut-être de là que vient votre confusion 🤔.
On a simplement besoin de l’inversibilité de A dans Mn(K[a_ij]) pour avoir X_AB=X_BA qui sont alors des éléments de K[a_i,j,X] il en découle alors que toute spécialisation des coefficients de A entraîne X_AB=X_BA où cette fois A est dans Mn(K).
Si A est singulière dans M_n(K), alors elle est singuliere dans tout surcorps de K... 😅
@@CassouMathPrepa il me semble que vous n’avez pas bien compris, les coefficients de la matrice A sont des indéterminées distinctes deux à deux, la matrice A est inversible donc on a X_AB=X_BA et cette relation reste vraie par spécialisation des coefficients, même en ceux d’une matrice de Mn(K) singulière
😅
Je n’ai pas compris pourquoi At est inversible ssi t n’est pas valeur propre…
C'est parce que A-t = A -t I-n
C'est lq définition d'une valeur propre
Il faut utiliser le résultat de cours qui dit que A est inversible si et seulement si 0 n'est pas valeur propre. On raisonne avec le noyau.
@@mehdielabdaoui1955 je ne comprends pas, on est d’accord : At est inversible ssi det(At) ≠ 0. Mais si t est valeur propre on peut quand mm avoir det(A-tIn) ≠ 0 non ?
@@mehdielabdaoui1955 je suis désolé je veux vrmt comprendre ton explication je me sens bête…
@@CassouMathPrepa je me sens bete de ne pas comprendre…
et ça s'appelle l'identité de Weinstein-Aronszajn (rime avec moonshine)
Merci Je ne connaissais pas. 😁
A notre niveau matriciel, évoquer Weinstein et Cie ne serait-il pas un peu snob ? Ça a l'air d'être pertinent sur des opérateurs en dimension infinie non ? (Sur wiki ils parlent de matrice "trace class"... mais bon une matrice carrée est tjrs trace class... c'est etrange). Bref a creuser. Merci pour le commentaire !