证明圆周率是无理数很难吗？充满好奇心的数学家只需要一页纸！
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- Опубліковано 6 вер 2024
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视频内容：
数学家兰伯特给出圆周率是无理数的第一个证明100多年后，1946年数学家伊万尼云发表了一篇论文，通过构造函数法给出了一种新的证明方法。原文不到一页纸，我们却需要讲解满满一黑板。如果大家想得到一次很好的数学训练，不妨点开看看。
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最後一步的證明精神，應該是在於：有理數其實是可以無限接近Pi的，但是，只要事先決定了一個有理數p/q, 那麼它跟pi 總有些誤差．那麼建構出來的與n有關的式子在n夠大的時候可以偵測這個誤差．（q 越大越精確，那麼就要找到更大的n)
数学家的一页纸，我的一辈纸
厉害了
数学家一页纸的空白处
@@edwardwang2926 老fermat了
如果在沒有人解出之前你花一輩子解出來,你也是列入仙班等級的大神了.
挺牛啊 哥们 一辈子就能搞定这难度的东西 。。。
这个证明是非常妙的，仅仅运用微积分就可以解决这样难得问题。在Ivan Niven的书《Irrational Numbers》里同样的步骤可以证明cos(x)对所有的有理数x都是无理数！书很薄但内容很丰富，读起来是一种享受。
很多人会惊奇为什么会构造出f(x)，其实这已经是这个证明整个想出来过程中的最后一步了。
应该第一步想到的是简单的 x^n (pi-x)^n 在零点时关于pi对称，以及简单的二项式展开，发现有文章可做，然后为了满足有理数的证伪，要补上p、q。
再然后，边推导展开、边发现需要补上分母的n!，这个n!一举两得，既成为构造f(k)(0)的恒整数性的关键一步，又能在最后帮忙放缩A到小于1的区间。
大F和F二次导的构造和叠加其实在想到f(k)(0)的恒整数性后，是比较顺理成章的思路，确实是高中思路，高中数学学到数列时，比较难的题是要求灵活运用构造、下标增减、移项对齐、消项等技巧的。连求和公式的推出，有的教材也是运用下标构造、移项叠加并消项。因此这一步反倒对数学工作者来说不惊艳。
这个证明其实最后就是证明了如果pi是有理数，那么这样的f(x)根本不存在--能写出来，但是在数学上不存在这个f(x)（正如pi = p/q，p、q为整数，可以写出来，但是数学上根本不存在这个式子）。
我倒认为最关键的一步，不是一上来就写出这个f(x)（科学证明总是把最后修订成型的构造式先写在最前面，但是思维过程肯定不是先产生这个式子的），也不是大F和消项，也不是最后的证伪，而恰恰是不起眼的 n! 这个分母的添加，其它的步骤虽然巧妙得很，不过都不如n!这一项这么抓眼球。这个证明整体，真的都是初等数学的，没有用到高等数学，什么各类级数、展开、夹逼、数论、矩阵论都没用到，最深的也就是导数的两个基本运算和导数对积分的一次反推。实在可供中学数学爱好者享用。
原理完全不懂... 但是，很愉快的看完了... 然後，感覺靈魂得到昇華了！ 突然，還有一種莫名幸福的感覺。
不明觉厉
這是瀕死體驗吧
看完後感動得想哭，因為我完全看不出這個證明所有步驟之間的關聯性，這代表著當時證明的數學家不知道究竟是花了多大的苦心歷經了多少個失敗的證明後才想出了這一頁紙的證明。
真的...每個步驟都是天外飛來一筆
真的不曉得當初數學家怎麼想到的...
肯定嘔心瀝血繞了很多遠路
确实是美！最难的是f(x)和F(x)是怎样想到要那样构造出来，一旦有这两个函数其他计算其实都还蛮简单的
@@skyboat888 大学数学学渣感觉这个构造跟泰勒公式有关。。。。
应该是倒着推的，第一步想到的是 x^n (pi-x)^n关于pi对称，然后为了满足有理数的证伪，要补上p、q、最后边推导边发现需要补上分母的n!，这个n!一举两得，既能用来构造f(k)(0)的整数性，又能在最后帮忙放缩A到小于1的区间。
这个证明其实最后就是证明了如果pi是有理数，那么这样的f(x)根本不存在（构造不出来）。
@@pangeladelia7725 事实上f(x)这个函数在n足够大时是趋于0的，f(x)*sin(x) 在(0,pi)内的积分A肯定也是非常小的值(趋于0但是大于0), 所以A是整数的结论肯定会矛盾
问的很好！我的评论里有答案。
f(x)根据二项式系数的构造可以想到，为了约掉分母中一个阶乘从而加入了一个阶乘。
F(x)属于常见Analysis操作手法之一(PS：不过放在那个年代常不常见并不晓得😅）
個人小小說明以及理解：
1.此做法利用反證法。
主要藉由先令pi為有理數，然後藉由此條件所設的函數達成矛盾以證明此不是有理數；在數字範疇中，非有理數通通為無理數，因此反證法是一個非常漂亮的證明方式。
2.不管高二物理有沒有學微分積分或高三下有沒有學，沒學只能看看一下公式怎麼用。
例：x^m微分一次，亦即一階導函數為mx^m-1
兩階m(m-1)x^m-2
令微分到k
李老師為了版面需要可能省略一些基本觀念，大抵台灣高三畢業生自然組應該是可以聽懂的，除了三角函數微分。
雖然我是30年前港大畢業的, 數學也算是主修, 但對於李老師知識的淵博仍深感佩服! f(x)和F(x)的構造看起來很奇妙, 考港大的A-Level純數學卷子一般會分拆一步步讓你證明, 最後合成一个總的證明, 進了大學就明白了整個原理 ... 雖然當時學的是英文課程, 現在用中文重温一次也是繞有趣味, 謝謝李老師!
求知，想請教整個原理是怎樣的？
@@user-cs9nk8ee5t 反證法, 先假設Pi是有理數, 然后構造一些函數, 最終會得出矛盾的結果, 而那些源頭都來自於開始時的假設, 所以就反證了Pi爲無理數
@@tsekwongtai9005 這和李永樂老師的相若啊
@@user-cs9nk8ee5t 不敢, 螢火豈若浩日 ...
发现我的水平只能理解这“一页纸”的页眉部分，然后死机了。
重启后看到标题是“充满好奇心的数学家只需要一页纸”，
要看明白，光充满好奇心不够，还得是数学家！~~
我完全同意你..........
李永乐老师的高二学生远远超过我这个工科硕士啊，我看黑板第一行就快晕倒了
我就想不明白了，就凭你这段话当个哲学家都够用了，可是为什么要跟数学家死磕！！哈哈哈哈哈
哈哈哈，笑死我了，请把我身上的摄像头拆掉😠
Hui Zhou 怀疑你考研没考过数学
原理完全能理解，挺简单的，关键是构造的函数很巧妙，应该需要长期的数学训练才有这种思路
所以以后就有两个传说级概念了：李永乐老师的“小朋友”和数学家的“一页纸”...
李老师总是强调慢慢看就能看懂，我已经用0.25倍速看了，还是没看懂。
忍不住按了讚，真是太好笑了，您這留言。
hahahha
你试着 0.1倍速 如果还不行 再加一个0 然后你会发现你生命中又出现了一个无理数 嘻嘻
我嘗試用1/π倍速放了
但手機放不出來
2倍发现新世界
謝謝李老師的講解，深入淺出、令人振奮。看完之後我也拿出一張 A4 紙，寫下 2021 年的新年新希望。
π是有理数，圆可以被有限个线段表示，所以这个图形是多边形，不是圆，所以π是无理数。
@Pan Kevin 这反证法实际有点不妥的，我只是站在了巨人的肩膀上。因为这些关于圆的公式，我们已经很熟练了。但是如果在几千年前，我相信我绝对想不到这种反证法
这个不错
你这个最棒
中間牽涉到三角函數跟複雜指數的微積分運算，應該不是高二生能夠做到的吧...
數學確實很美。-----因為一想到數學，我就睏了，然後去睡美容覺。😌
笑死了😂😂😂 同感
我和你相反……一听到理科就思索，然后睡不着。倒是一些非理科的，就很容易入睡，哪怕是本来感兴趣的pr教程，或者是摄影教程等等
在第1點時，p,q屬於z，就表示p,q，可能為負。這樣，在第10點第2行時，若考慮q有可能為負，f(x)就不一定小於(π^n．p^n)/n! ，所以要不要把第一行改為p,q屬於N
为了省事是可以的。pi已知是正数，如果假定是有理数则必须是正有理数。所以p和q或共正或共负，而且其中任意一个都不可能是0，因为已知pi不是0也不是无穷大，所以可以设共为自然数而不失普遍性。但是纯粹是为了省事而不是你说的那个原因。到了第10步，就是A或者是在-1和0之间，或者是在0和1之间，但不可能是在端点（0；-1；1）上，即可得证。所以在这里p的正负并无关系，只要不是0就可以。
@@tt-ew7rx
第10點，第2行，老師說f(x)
@@wupoi9 这个没有问题呀？是放缩后的结论。从第2点开始，x
@@tt-ew7rx 弱弱问下大神，这个证明里面哪里用到了Pi的核心性质？
@@panliu9289 我个人的理解：@吳柏毅说如果像李老师那样把p,q说成是整数（属于Z）那么它们就可能是负数（我说甚至p还可能是0），这样会给下面的证明过程带来不方便，是不是可以把它们说成是自然数（属于N）？李老师的证明实际上就是默认p,q都是自然数（我们可以自己把0和负整数带入，再看他说的每一句话是否还对。我认为有不止一处会出问题，而他也没有特别讨论）。这样做理论上是把pi的假设范围又另加了限制，从广义的有理数限制到了不等于0的正有理数。李老师实际上是证明了pi不是不等于0的正有理数，而不是证明了pi不是广义上的有理数。pi不是0和不是负数的特征再加上李老师的证明就得到结论pi不可能是任何一个有理数。
高二数学程度。。。我打开之前以为我是有的
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高二以上上上上上上上上上上......
可能是高二数学满分的程度
这从一开始幂级数的展开就是大学数学的东西了
@@hiuchungchan1207 你真搞笑 视频里哪有幂级数展开？别不懂装懂
讲得好，听讲真是一种享受。
可不可以讲讲高斯正态分布呀(Normal Distribution) ？是不是什么，包括人生都满足高斯正态分布呀？比方说所有数学老师，5% 左右比较差，5%非常好，其余就是中间。李老师您绝对是顶端 1%。高斯定理是我最欣赏的数学定理之一，希望听您用一页纸证明一遍。
看到李老师忘了写dx
想起当年stpm不写dx整题砍掉一半的分数
stpm? 马来西亚？
@@waynepangXXX 是的了，冇得怀疑
很欣慰有人發現
数学真的是很严谨的一门学科
唉，大家都一樣
中间吃一口薯片就听不懂了。。。
我只能默默点个赞，然后退出
幫忙點讚你就牛逼了
肯定是薯片的問題...
不看懂不许吃薯片
不看懂不许吃薯片
一页纸 我还以为是手工制作的证明过程 原来是演算一页纸啊 崩溃~~~~~
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角度刁钻🤣🤣
@@user-jc9fx1ip9n 三哥代言人啊
老师能不能出一个数学思维的特辑呀，就是把函数构造呀，插值法呀等原理，怎么想到的讲一讲，我一直认为数学是建立在逻辑的基础上的，就算有假设，那也必定是建立在现有证据的基础上才能做出的假设。不可能有无缘无故就突然冒出来了个函数，我认为掌握这些基本原理和大体思路会对人做事产生深远的影响。
最幸福的時刻就是看完李老師的影片之後開始看下方留言取暖，感覺這時候特別療癒
數學系畢業的我覺得太漂亮了，還好出社會好幾年了還看得懂，雖然有些地方需要看兩三遍才能理解
不過難的點應該是在能構造那樣的函數，太神了
傲月光希 tw吗？
@@alessiii58 是
其實不需數學系畢業，也看得懂了
這個證明的設計真的很巧妙簡潔，很厲害，但是使用的技巧卻相對"平民"。
@@tck1230 素数定理都有只用极限定义及以下数学的证明，但是我宁愿看使用复分析的证明，所谓的初等数学证明比复分析证明难多了。
老師你說的高二等級的數學我好像沒有.....................
Niven究竟是磕了多少 才想得到要構造這兩種方程式⋯⋯ 計算本身只是技巧與時間問題 但中間神奇又合理的構造太絕妙了呀！！！反推都不一定推得出來啊 好神！
看了好久，终于发现，李老师理发了
先赞后看，养成习惯～
能夠想到這些轉換的式子真的是跟鬼一樣
这个证明一步步跟下来我觉得大二的水平就够了，然而关键是这个构造思路是怎么得到的呀！李永乐老师能再开一期介绍一下吗？
好难啊，关键是数学家如何设计出那些公式或函数
数学家长年累月的尝试和修改 + 积累的经验造就的直觉 + 一点天才灵感。
就是他们让我痛苦........
@台灣水電工阿夏 你也不用长篇大论的 我只是表达自己数学不好而已.
数学家牛的地方就是这种天才的创造性，剩下那些计算过程反而是常人都会做的
对于那些数学家来说，其实就是不同数学工具的结合，比如说三角函数、级数，等等。
让我们工科生望而却步的很多数学证明方法，其实很多很多都是一种奇妙的构造方法，感觉真心需要百分百的努力积累大量的公式处理技巧经验之后，外加那额外的百分之一的灵光一闪。
真是太精彩了，怎麼能構造出這些函數呢？真是厲害啊
如果搞不清有理 數無理數 內涵 要往下理解就很困難 強烈建議把每一個用到專有名詞做一輯 並做成連結 讓有心理解的人更容易隨時參考 畢竟每個人程度不同 一次記不住多參考幾次必能融會貫通
这么说: π真的很无理🤔,明明一页纸都写满了, 还没搞明白😂. 难道是一本没有裁切的纸?😭
听懂了! 感谢分享🙏
高二以上的数学程度……我十年前是有的，十年后退回初二了
李老师说的是高等数学第二册（狗头）
@@ishidayuugao 窃以为此乃正解😏
我也乐观的估计了自己的数学水平…
我也在想，难道现在的高中生已经学微积分了吗？
Vigi 高中学一些简单的微积分，这个视频对于基础扎实点的高二生问题不大
真有意思，總覺得難點是想到那些構造函數和連結其中的關係，真是太神了。
上次那篇隐藏的细节太多，这次的方法超级清晰，真不知道构造这几个辅助函数的数学家脑子是怎么长的…… 下次老师聊聊e是无理数的证明？
e这个数太自然了，不像π这么复杂
老師可以介紹一下超越數的定義跟證明pi是超越數嗎
假裝能聽懂，認真看完的舉手
就只是被标题吸引进来的不过我才11年纪学历
早几年就看过，也能看懂，就是想不到如何设计这么复杂的求证过程和这个自带反射性质的多项式函数来和Pi 挂上钩。这个设计者是真牛逼！
@@fengshengqin6993 确实 看懂很容易 就是完全理解不了他是怎么能想到构造出这么个奇葩函数的
有点像钓鱼执法。只有当n为无穷时pi=p/q才可能成立。而A只可能=0. 另外 三角函数是无辜的，它应该不想跟pi的有理或无理性牵扯上任何关系。
《只需要一张纸》
这一定是一张A0纸
還有一支筆和一枚橡皮擦。
非常精彩，谢谢李老师！整个推导过程中，感觉真正用到丌的含义之处在于sin X>0 如果X
sin(π)=sin(2π)=sin(0)=0
我自大了 仗着自己读过大学 点进来看看 一万点暴击
16:37 老師能順暢寫出滿滿證明加講解更是奇妙
我看懂了，A是0到1之间的数，同时A又是个整数，所以矛盾了，所以pi是个无理数. （其他的都没看懂）
這樣也不錯啦，反證法精神能領悟就是一大進步。
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我就是想问一句，这个π是我们说的圆周率吗？没看到联系啊😭怎么感觉是随便一个无理数也能符合这个证明😭
@@changshingeng 是的
@@changshingeng 這是比較特殊的無理數，其他那種根號的一般就做出來了。
李老师好！在第10步中，A严格小于1没有问题，但为什么A是严格大于0的？A是否有可能等于0？A定义为0到pai之间的积分，那么其应是包含0也包含pai、是闭区间，而不是开区间，这样的话，A应是大于等于0、而不是严格大于0。如果A大于等于0，则并不与A是整数矛盾。
A是嚴格大於0的
因為f(x)sin(x)在區間中大於0 端點等於0
積分有正的部分 沒有負的部分 結果為正
@@louisc398louis4 正因为其在0这个端点处等于0，所以A的值应是包含0的，即A并非严格大于0。定积分是包含上限端点以及下限端点的。你说的"積分有正的部分 沒有負的部分 結果為正"是什么意思？
看完了，没看懂，但还想看。
请问这种情况正常吗
我在猜，原理是不是等同於利用sin x的泰勒展式對任何有理點p/q 求值不可能得到１．這樣就可以證明 pi/2 不是有理點．(因爲sin(pi/2) = 1)
這樣猜的原因是，構建的函數f, Ｆ的組合與sinx 的泰勒展式太像了．
我学了代数才学会证明pi是无理数，而且还是用的Lindermann-Weierstrass theorem。没想到还有这么简单的分析方法，真是长见识了。
霍金说科普书籍里每多加一个公式读者损失一半。李永乐老师这么个视频还能有这么多观众李老师核心粉群的Base很稳啊
虽然看得懵懵懂懂但还是坚持看完了😀，支持李老师！
我也是的
确实高 2 能听懂，有些提前学点导数的初 2 也能听懂，难得不是里边的步骤，而是怎么想到构造 f(x), F(x), 以及积分 A，这 99% 的数学专业博 2 也够造不出来🤣
Bili Gao 對的！我們看到的是數學家給出的證明結果，但永遠也很難去還原他們嘗試證明的思考過程。
真的，我們都以為其中原理很簡單，想出這些特別樣子真的很難，這要腦袋多好才能得出來。
李老师 你怕不是读了外星人的高二 我个研究生也就只能理解到第二步了🙂 谢谢老师 老师辛苦了
这确实是hardy书里比较简单的证明，特别是相比后面拉格朗日四平方和定理的四元数证明和证几乎所有实数都是正规数。话说阿贝尔证明五次方程没有公式解的paper才5-6页吧
來自台灣的高二表示有點小複雜
在台灣高三下才會學微積分，覺得複雜正常
@@kimo6416337 只會學微分 沒有積分喔 積分要大學
我是不知現在台灣數學課本又砍了多少，但以我十幾年前讀高職(工科類)的程度來說，還是可以看懂李永樂老師的解釋。
不過跟指對數有關的微積分式子(尤其1/x積分變成In(x)這種)，的確是從高職數學課本中消失了，但專業科目還是會看到，例如電學的計算上動不動就有小e、泰勒展開、拉式轉換......。倒是另一個非常重要的傅立葉級數，除了整流電路推導過程會用到，也幾乎的是從高職課本中消失了。
我父母那年代更硬，尤其是讀五專(尤其XX工專)的，專一(同高一)就要上微積分，專二就會碰到微分方程，所以曾有一說是[就算不懂拉式轉換怎麼來的，先知道怎麼用拉式去解微分方程比較重要](因拉式可以把微分方程變成代數方程)。
@@oscarlin3555 有積分啊
@@ryan-hu2se 沒有吧。我現在大三，三年前我是三類的，在高中並沒有學到積分，只有微分
这个证明构造性太强。要是能讲清楚为甚么构造这些函数，及怎么想到的就好了。
你要是慢慢看的话是能看懂的，然后暂停看了一下午，还是没懂
永乐老师： 为什么说 Pi 又是一个”超越数“？ 什么是 “超越数”？ 尺规作图，能否画出一条直线，它的长度是 Pi 或是 Pi 的倍数？
看了兩分鐘我就進入了“我是誰 我在哪 我在做什麼？”的境界
我撐了3分鐘
我也是，看了两分钟，叹了口气，觉得大周末的早上为什么要为难自己？😂
我只能撐著一分半
30秒的时候，一听说高二以上的数学程度，我就知道再也撑不下去了
@@fl6315 嗯，我曾经以为我能撑下去
顺着看，都能懂。 但让你平白构造出f(x), F(x) 那简直是天才。 李老师能告诉我们数学家是如何想到这个函数的吗？ 这是关键。 我可以阅读理解贝多芬，但是贝多芬是如何构造田园交响曲的常人永生永世做不到
李老師可以介紹微積分嗎 不然您某些影片的內容都看不懂: )
需要系统正规学习，不是几期科普可以搞明白的
@@douglasmacarthur8482 這的確要很多課才能懂，不過結果都是背公式，其實沒差。
@@user-jm5xw3wg6g 如果只是为了计算的话背公式就可以了，但是想要理解为什么这里要这么操作的💡想法的话，可能得从数列和级数开始讲😂
李永乐老师你真的好強!
这个要理工科大二程度。现在高二微积分都学完了吗？
我看完也在思考這問題，不過台灣確定是高三才教多項式微積分，而且不涉及其他函數的微積分，這就算是高三畢業生來也未必聽得懂
李老师的发型好赞
我第二部解题步骤就已经看不懂了，，
我还行。我死在第三步了。😭
Anna Huang 二项展开，am为常数项各项，x的幂次从n-2n，因为常数项太复杂所以就用am来表示了，希望你能看懂
@@lansing6254 我要尽洪荒之力啦！😂
和这个类似的有: 费马大定理，又被称为“费马最后的定理”，由17世纪法国数学家皮耶·德·费马提出。他断言当整数n >2时，关于x, y, z的方程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解。
老师好
李老師一定是大學的教授。因為大學教授最常說的一句話就是：這個你們高中的時候應該就教過了。
許瑞軒 人民大学附中数学（物理）老师，还是音乐老师
其实数学证明要慢慢看，总看得懂的（这就是数学的美妙之处），但是要会做就是另一回事啦。
详细看还会发现老师可以用8号的微分来证明9号的积分。这样做，就可以跳过部分积分那个很麻烦的步骤了-
从头到尾除了年代和名字，其他完全听不明白🤣
有几个问题。第一个是，任何关于多项式和实分析的内容，都不能看成是高二内容。第二个是，这里面涉及的一阶逻辑结构，如关于n的全称命题和最后足够大的存在命题，如果没有深入一阶逻辑学习，也就只能似是而非听得懂。第三，这一系列的证明，数学家是如何思考构造的，不是我等数学爱好者能知道的。这里面涉及的函数构造技巧，恐怕不研究分析学很多年是不能完成的。作为工程师，能看懂证明是必须的，但千万别把证明看成主业，不然就要失业了。
1:19 開始就已經默默開始看留言...
我三十多年前的大学毕业，有二十年没摸过数学证明了。觉得李老师讲得很好，一遍就懂了。看楼下评论，好像很难懂的样子。转眼一想，秒懂。原来来留言的都是听不懂的😇
看完视频我很想对教过我的数学老师们说一句：对不起。
李永乐老师，我是来自加拿大的小朋友，我想请您讲一讲如何数学解释魔方的解法，您有空讲一下好吗？谢谢^_^
這證明感覺很精彩！
（剛上高二的我...）
新課綱辛苦了
有点复杂的 ，简单说就是假设π是有理数，然后构造一些函数，我们去研究这个构造出来函数的性质，最后发现矛盾，反证出来！
但是最后那一段跳的太多了。我想了半天，还是少证明了 阶乘的增长速度比 指数增长快。 这个证明可能需要大学的知识。
只能模糊得说，n!的增长速度是 自然数，随着n增大，越来越大。 而分子随着n增大，固定πp的倍率。当n远远大于πp的时候，就得到了一个可以使A小于1的n构成，完成上述推论。
高二数学全还给老师了,大概有点印象
老師卻沒把當初的學費還給你，這公平嗎？
每一步我都能看懂，大部分时候开1.5倍速都可以，偶尔要稍微停一下。可问题是我完全看不出这个数学家构造这些函数的思路。可能这就是我和数学博士生间的差距。
3月14号是派日哦
也是所谓的“无理日”
也不需要这么复杂吧，首先：无理数开根必定为无理数，根号2也是无理数（已证）。所以2+/-根号2也是无理数，其开根也必是无理数（以此类推）。最后由于pi=2^n 乘上无理数（由于2^n为整数），证明pi为无理数。
完全感受不到數學的美，只有數學的恐怖，數學真的不是一個靠努力就行的學科，要靠天賦
确实
中国的老师教的不是数学，是算数，所以你觉得数学难。数学只是一个思维方式，任何人都可以掌握，比如1+2+…n，老师教你公式，考试要的是结果，但是数学需要你用逻辑推算，等你会了思维方式，很多你老师教的算数问题就变得简单，特别是那些有多种解题思路的数学题，那更是思维方式的转变。
宝宝大 你高中毕业了吗能说出这种话？？高考数学考你算数？
看完之後真的對數學更加的深愛，感謝李老師
我一個貨車司機看完了，我想知道什麼是π
π是指圓周率，意思是任何一個圓的圓周長與直徑之比值恆為π。這個值約為3.14。
3.14159，你一定背過的圓周率
pi就是转速和里程数的关系
李老师不对程老师指出您很多期视频中的那些错误做出一个正面回应吗
點進來的各位，你們已經通過第一道試煉了，能到這裡真不容易
問題在於要怎麼樣才能想到要建構 f(x) 與 F(x) ...
简单，没暂停，一遍全部看懂
说实话，真的没想到这个问题可以用近乎初等数学的方法解决，这个证明实在是漂亮，谢谢老师
开幕雷击。。。
赶上李老师的更新咯~
听完了，很庆幸我远离了数学。
恭喜你身體健康了😁😁😁
哈哈哈哈我也是
应该讲一下解题思路，不然很难理解为什么要这样构造函数。
我只能贡献全部广告。
顺推算是很難理解。如果從尾看上頭，就易理解。最後，你會明白數學難题未破解前，數學家就如買彩票方法，做無數次的試驗來破解難题的。所以，看不懂的是非常正常。
隨便抓一個高中數學老師 保證他不會