Que questão linda, lindíssima, muito linda. Eu enxerguei várias soluções, mas resolvi utilizando arco triplo da tangente. Parabéns pela escolha!!!! Ulálá!
eu pensei diferente. Como a área do triangulo eh proporcional ao lado com altura fixa, se um lado aumenta 10x a área aumenta 10x. Quaisquer 3 pontos, não colineares, sobre duas linhas paralelas, se vc aumenta a distancia entre os pontos a área aumenta proporcionalmente. Parece meio coincidência as vezes. rsrs. Eh sempre bom lembra de teoremas práticos.
Fiz escrevendo tg(a) e tg(3a) em função de h e substituindo tg(a) em tg(3a). Cheguei a uma equação cúbica bem simples, h³-4h=0, cujas soluções são 0, 2 e -2. Como h é altura, a única solução viável é 2. Aí basta usar a fórmula da área do triângulo desejado.
Nessa eu dei mole, acabou que minha solução foi igual a sua e mais bonita, mas gastei muito tempo, pensando aqui eu deveria ter saído pela tan(3a)= (3*tan(a)- [tan(a)]^3)/(1-3*[tan(a)]^2), pois na tan não tinha radicais, além de simplificar tudo e ficar 8*h^2=32. Mas melhor que levar tinta, não desisti por um triz.
Essa consegui depois de muita briga, por traçado auxiliar. Fui por sen(3a)=3*sena - 4*[sena]^3 mas deu uma equação de 6o grau. Tentei traçar a bissetriz de 2*alpha e nada; até que bateu jogar alpha para o outro lado. Sejam: A, B e C os vértices do triângulo retângulo maior, com A no vértice do ângulo 3*alpha e BC no sentido trigonométrico. D o ponto que divide BC em dois segmentos, medindo 10 e 1. D' o ponto D debatido em relação à AC. h a medida de AC. Pelo teorema das bissetrizes e 🔺ABD' temos que 1/5=raiz(h^2+1)/raiz(h^2+121) ==> 24 h^2= 96 ... h^2=4 e h=2 S=2*10/2=10. Vamos ao vídeo e já foi o like, como de praxe,
@@ProfCristianoMarcell , foi bom que saiu por traçado auxiliar, mas um para coleção que conto nos dedos e eu já com meus 67 anos e por outro lado foi ruim, pois escolhi sen(3*alfha) que tem radical ao invés de tg (3*alpha) que não tem e sai molinho, são duas linhas e cai em 8x^2=32 e aí Inês é morta. Mas de toda sorte valeu pois a solução por traçado auxiliar é mais bonita que a por tg(3*alpha) e que me recorde é apenas a 2a vez que resolvemos da mesma forma.
Al encontrar que y = 5a se puede continuar usando el otro Teorema de la Bisectriz: Bisectriz al cuadrado es igual al producto de los lados adyacentes menos el producto de los segmentos del tercer lado a^2 = y*a - 10*2 a^2 = 5a*a - 20 de donde a^2 = 5 Entonces x^2 = a^2 - 1 = 5 - 1 = 4 Luego x = 2 , etcétera
*Outra Solução:* Sejam A, B e C os vértices do triângulo retângulo maior e A, B e D os vértices do triângulo retângulo menor (sentido horário). Seja AB=h (altura do triângulo, tanto menor quanto do maior) Por Pitágoras: ∆ABD: *AD²=h²+ 1²=h²+1 (1)* ∆ABC: *AC²=h²+11²=h²+121 (2)* A área S do ∆ADC é dada por: S=(AC×AD×sen 2α)/2=(h×10)/2 *AC×AD×sen 2α=10h (3)* Note que: sen α=BD/AD=1/AD e cos α=AB/AD=h/AD. Assim, sen 2α=2sen α cos α=2h/AD², substituindo em (3): 2hAC/AD=10h→ AC/AD=5→ (AC/AD)²=(5)² AC²/AD²=25→AC²=25×AD². Substituindo (1) e (2), obtemos: h²+121=25(h²+1). Assim, h²+121=25h²+25→24h²=96 h²=96/24→h²=4→h=2. Finalmente, S=10h/2=10×2/2 → *S=10*
Nem precisa saber os ângulos. Esses dois triângulos tem mesma altura. A razão entre suas áreas é a razão entre suas bases. Como a área do triângulo de base 1 tem que ser 1/10 da área do triângulo de base 10, então a altura só pode se 2, então área hachurada é 10 u.a e a outra 1 u.a
Não é bem assim! Seja S a área que queremos e W a área relativa ao triângulo retângulo menor, logo: S/10=W/1→ S=10W!!! se você provar que a área W=1, então sua observação está correta! Não há como chegar que h=2... Isso é inconclusivo!
Aqui comenta o professor raiz: ao invés de dizer "a sobre b" é igual a "d sobre c", é mais elegante e didático, no estudo das razões e proporções, dizermos "a está para b" assim como "d está para c".
Massa!
Obrigado
Resolução Shooow
Obrigado
muito boa explicação
Obrigado
Que questão linda, lindíssima, muito linda. Eu enxerguei várias soluções, mas resolvi utilizando arco triplo da tangente. Parabéns pela escolha!!!! Ulálá!
Que ótimo!
@@dantemachadoesilva posso te responder:
*tg 3α=(3tg α - tg³ α)/(1 - 3tg² α)*
@@Emerson_Brasil Obrigado.
@@Emerson_Brasil Obrigado.
@@Emerson_Brasil SHOW!
Muito bonita a questão! 👍
Obrigado 👍
Congratulações....excelente explicação...grato
Obrigado
Legal!
Obrigado
Que beleza. Abraço.
Obrigado 👍
eu pensei diferente. Como a área do triangulo eh proporcional ao lado com altura fixa, se um lado aumenta 10x a área aumenta 10x. Quaisquer 3 pontos, não colineares, sobre duas linhas paralelas, se vc aumenta a distancia entre os pontos a área aumenta proporcionalmente. Parece meio coincidência as vezes. rsrs. Eh sempre bom lembra de teoremas práticos.
👍👍👍👍
Gostei! Valeu!
Disponha!
Disponha!
Muito legal a questão! E gostei também da parte “20 anos de curso, pô!” 😂
E sem a bandoleira
boa
Obrigado
questao simples, mas linda
Obrigado
Realmente para min trigonometria é muito complicado
Basta dar mais tempo de convívio com ela
20 anos de curso kkkk, sempre com lindas soluções, top demais
😃 Sem bandoleira, pô
Estou no clube
👏👏👏Muitíssimo obrigada
Fiz escrevendo tg(a) e tg(3a) em função de h e substituindo tg(a) em tg(3a). Cheguei a uma equação cúbica bem simples, h³-4h=0, cujas soluções são 0, 2 e -2. Como h é altura, a única solução viável é 2. Aí basta usar a fórmula da área do triângulo desejado.
👍👏👏👏
*_Solução 2_*
Seja "h" a altura do cateto do triângulo retângulo (tanto do triângulo retângulo maior quanto menor), logo:
tg 3α=11/h (triângulo retângulo maior)
tg α=1/h (triângulo retângulo menor)
Dividindo ambas expressões membro a membro, obtemos:
tg 3α /tg α=11
Como tg 3α=(3tg α - tg³ α)/(1 - 3tg² α), então
(3- tg² α)/(1 - 3tg² α)=11, daí
3 - tg² α = 11(1 - 3tg² α)
3 - tg² α = 11 - 33tg² α
32tg² α = 8
tg² α = 8/32 =1/4→ tg α = 1/2.
Assim,
tg α=1/h=1/2 →h=2.
Logo, a área procurada é dada por:
h×10/2 = 2×10/2= *10*
👍👍👍
Nessa eu dei mole, acabou que minha solução foi igual a sua e mais bonita, mas gastei muito tempo, pensando aqui eu deveria ter saído pela tan(3a)= (3*tan(a)- [tan(a)]^3)/(1-3*[tan(a)]^2), pois na tan não tinha radicais, além de simplificar tudo e ficar
8*h^2=32. Mas melhor que levar tinta, não desisti por um triz.
🤔😮👍👍👏
Essa consegui depois de muita briga, por traçado auxiliar. Fui por sen(3a)=3*sena - 4*[sena]^3 mas deu uma equação de 6o grau. Tentei traçar a bissetriz de 2*alpha e nada; até que bateu jogar alpha para o outro lado.
Sejam:
A, B e C os vértices do triângulo retângulo maior, com A no vértice do ângulo 3*alpha e BC no sentido trigonométrico.
D o ponto que divide BC em dois segmentos, medindo 10 e 1.
D' o ponto D debatido em relação à AC.
h a medida de AC.
Pelo teorema das bissetrizes e 🔺ABD' temos que 1/5=raiz(h^2+1)/raiz(h^2+121) ==> 24 h^2= 96 ... h^2=4 e h=2
S=2*10/2=10. Vamos ao vídeo e já foi o like, como de praxe,
Show
@@ProfCristianoMarcell , foi bom que saiu por traçado auxiliar, mas um para coleção que conto nos dedos e eu já com meus 67 anos e por outro lado foi ruim, pois escolhi sen(3*alfha) que tem radical ao invés de tg (3*alpha) que não tem e sai molinho, são duas linhas e cai em 8x^2=32 e aí Inês é morta. Mas de toda sorte valeu pois a solução por traçado auxiliar é mais bonita que a por tg(3*alpha) e que me recorde é apenas a 2a vez que resolvemos da mesma forma.
Al encontrar que y = 5a se puede continuar usando el otro Teorema de la Bisectriz:
Bisectriz al cuadrado es igual al producto de los lados adyacentes menos el producto de los segmentos del tercer lado
a^2 = y*a - 10*2
a^2 = 5a*a - 20 de donde a^2 = 5
Entonces x^2 = a^2 - 1 = 5 - 1 = 4
Luego x = 2 , etcétera
Bueno!!!
🤔
Uma dúvida. A área solicitada é a rachurada. Cuja altura é a. Por que calculou a área do triângulo maior, cuja altura é x? a não é igual a x.
Never! a é hipotenusa, X é altura.
pq ele usou a base como 10 (10.x/2), pra ser o triangulo maior que tu diz teria que usar a base 10+1 (11.x/2)
A altura dos 3 triângulos em relação às respectivas bases é x.
Vou verificar
👍
*Outra Solução:*
Sejam A, B e C os vértices do triângulo retângulo maior e A, B e D os vértices do triângulo retângulo menor (sentido horário).
Seja AB=h (altura do triângulo, tanto menor quanto do maior)
Por Pitágoras:
∆ABD: *AD²=h²+ 1²=h²+1 (1)*
∆ABC: *AC²=h²+11²=h²+121 (2)*
A área S do ∆ADC é dada por:
S=(AC×AD×sen 2α)/2=(h×10)/2
*AC×AD×sen 2α=10h (3)*
Note que:
sen α=BD/AD=1/AD e
cos α=AB/AD=h/AD. Assim,
sen 2α=2sen α cos α=2h/AD², substituindo em (3):
2hAC/AD=10h→ AC/AD=5→
(AC/AD)²=(5)²
AC²/AD²=25→AC²=25×AD².
Substituindo (1) e (2), obtemos:
h²+121=25(h²+1). Assim,
h²+121=25h²+25→24h²=96
h²=96/24→h²=4→h=2. Finalmente,
S=10h/2=10×2/2 → *S=10*
👍👏👏👏👏👏
Nem precisa saber os ângulos.
Esses dois triângulos tem mesma altura. A razão entre suas áreas é a razão entre suas bases. Como a área do triângulo de base 1 tem que ser 1/10 da área do triângulo de base 10, então a altura só pode se 2, então área hachurada é 10 u.a e a outra 1 u.a
Verdade.
Sacada de mestre, muito bem observado.
Não é bem assim! Seja S a área que queremos e W a área relativa ao triângulo retângulo menor, logo:
S/10=W/1→ S=10W!!! se você provar que a área W=1, então sua observação está correta! Não há como chegar que h=2... Isso é inconclusivo!
Legal
👍
Aqui comenta o professor raiz: ao invés de dizer "a sobre b" é igual a "d sobre c", é mais elegante e didático, no estudo das razões e proporções, dizermos "a está para b" assim como "d está para c".
Mais elegante ainda é dizer: o antecedente "a" está para seu consequente "b" , assim como (...).
👍
👍
não entendi o pq da altura ser 2 (x) se a base era 10 e não 11.. a área não era do triângulo retângulo
Creio que não entendeu a figura. Veja com calma