建中學生提問學校講義題｜指對數方程式

[@woncolee8848]

好漂亮的題目和解答😊

[@allenchen8559]

其實現在參考書上在講常用對數（以10為底）時，都會提若 logb = loga + 1 則b比a大10倍的概念，所以一次項用 log25 = log2.5 + 1 的概念來做十字交乘，應該就是這題出題者的目的。

[@allenchen8559]

如果要出其他對數律解一元二次方程式的題目，大概就會類似 X^2 - Xlog5000 + log125 = 0 的類型， log5000 = log5 + 3、log125 = 3log5。

[@allenchen8559]

也能出對數律解雙重根號，根號[log500 + 2根號(log25)]，log500 = log5 + 2、log25 = 2log5。

[@林明宏-q4d]

其實可以直接用二次方程求解公式直接把x的兩個解爆開來再代入😎

[@兩光800小小兵]

不過只能針對次方小的 次方太大 就不好爆開😂😂

[@徐瑞斌-i8o]

也可以在10^α, 10^β 上面來解：
α+β = -log 25 => (10^α) (10^β) = 1/25 => (10^α) = 1 / (25(10^β))................................(1)
αβ = log 2.5 => 10^( αβ) = 2.5 => (10^α )^ β = 2.5 ...........(2)
（1)代入（2）
1/（25（10^ β）)^β = 2.5
（25（10^ β）)^β = 1/2.5 = 0.4
25^β x [ (10^β) ^ β ] = 0.4
(10^β) ^ β = 0.4 / 25 ^β
左式是10的冪次。 所以瞪眼法，右式配出10的冪次看看：
β = -1 可以讓 0.4 / (25^(-1)) = 0.4 x 25 = 10 成爲10的冪次， 所以用β = -1代入看看。
發現代入成立。 => β = -1是一個解。 ....................................................................(A)
α 我們就不必算了。直接算10^α
β = -1 => 10^β => 1/10 ..............(3)
（3)代入（1）
10^α = 10/25 = 2/5 ...............(4)
(3)+(4): 10^α + 10^β = 1/10 + 2/5 = 1/2
敘述 （A) 中， 我們不必管 β 是否有另外的解。 因爲從一開始我們就知道 α , β是一個已知2次式的根。而且從(1), (2)都是α , β的對稱式來看， α , β 解出來必定是 （p, q), (q,p) 形式的兩組解。 也就是題目原來說的方程式的兩個根。
猜出怎麼因式分解， 與上面敘述 （A)猜出一個解爲-1, 大體來說， 是等價的。

[@r881011]

非常精彩的解法，謝謝！我想提出一個解法給李翰老師參考，如果由一開始您寫的兩式推得 α＋β＝−log25 與 αβ＝log2.5 = log(25/10)= log25-1，將此兩式的推論結果相加，可得 αβ+ α＋β=−1，因此 αβ+ α＋β+1=0，故(α+1)(β+1)=0，因此 α=−1, β＝−1。但這兩根與李翰老師所解的兩根不同，請問李翰老師，上述解法的問題出在哪裡呢？看起來似乎沒有問題啊!!

[@lihanmath]

@@r881011 您好
我是頻道編輯
老師說問題出在兩個相乘是零
有可能只有其中一個是零
另一個可能不是零
所以你這樣子只會解出其中一個可能的答案
另一個要帶回原式就可以求出來另外一個解
以上給您參考

[@r881011]

@@lihanmath 太棒了! 完全了解了! 李翰老師確實專業! 令人佩服!!

[@徐瑞斌-i8o]

這個方法也可以。 與因式分解差不多： 先知道一個根是-1, 然後用綜合除法除一下(x+1), 得到因式分解的結果。

[@呂永志-x7o]

​@@lihanmath 你這解法也不錯。（我是老師的同學）

[@0229294150]

這題不錯

[@阿龍-d2x]

這題帥喔