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数学的に色々な道具を用いています．抽象代数などでは複素数は当たり前のような存在として使っているので，ペアノの公理などは改めて勉強し直すような形でした．コメントご指摘などあればお願いいたします．
このレベルの内容をここまで分かりやすく説明できる人は稀有だと思います。今後も日本の自然科学教育の発展のためお願いします。
初めてコメントさせていただきます。全部は理解はできませんでしたが、数の集合を拡張をしつつ、代数(や位相？)の道具が回収されていく感じが大変に面白いです。ありがとうございます。
式変形チャンネル 式変形さん！！応援してます！
古賀さんの１の三乗根あれこれ、を何度も観ていたら、生まれて初めて自発的に数学の問題を解き始めました。偏差値30だった僕が数学に興味を持ち、公式をいくつか覚え始めたくらいなので、とても感謝しています。丁寧な進行と解説から、難しい内容も解りやすいです。
自然数から複素数までの厳密な定義での構成は数学科でもなかなかやらないので楽しめました！（格式が高い微分積分の数学書でも実数全体Rを公理で定義してRの部分集合として、N,Z,Qを定義するのが一般的）また、同値関係や商集合と言った専門用語を使わずにうまく説明していて感心しました。内容の補足として、QからRを構成する方法はコーシー列を用いる他にデデキント切断というものがあり、RからCの構成はR×Rに上手く演算を定義する方法と2次の実数行列を用いるものがあります。 最後に数の構成の参考書としては岩波新書の『数の体系』がオススメです。(新書なのにガチの数学書です…)
2次の実数行列を用いるやり方だと、複素数のかけ算で、偏角は偏角どうしのたし算になる事が、分かりやすくて良いですね。
高校までの数学教育も、厳密ではないけど複素数を構成するための流れだったのか
群論と数の拡張が関連することを合理的に説明いただいてありがとうございました。おじさんですが、大学生や高校生の若い時にこのような講義を聞きたかったと思います。今の時代の人たちはネット環境に感謝かな？
古賀さんの動画結構見てると思うけど、何回も見直してるのはこの動画（興味深いという意味で）
私が長年にかけて考えてきた内容をやられると、脱帽です。有理数からの実数への拡張は、極限を使うので難しいです。教えるときは、ごまかしも必要です。元のペアを考えるのは、初めて聞きました。ありがとうございました。さすが代数屋さん。
数学苦手です、教えてくださいわからない時、質問して良いですか?
明けましておめでとうございます今年も動画投稿期待してます！
Dedekind切断での実数の構成しか知らなかったので、Cauchy列を使ったアプローチはすごく面白かったです!!!
細胞がいくつか集まって群れになって環っかを作って腸になって臓器が整って体になるっていうことか
Q:p進数 の動画から飛んできました。数の概念の拡張のストーリーが分かりやすかったです。こまごました数学のお話も自分で補ってみたいと思います。ありがとうございます。
ノートを取りながら聞きました。実数や複素数の定義は少し難しかったですが、数を構成していく流れをつかめました。ありがとうございました。
古賀さん、むずいけど面白すぎです！あと10回くらい繰り返して見てみます！！
「入門」できたような気がします。半群とか、モノイドとか、何度かチャレンジしたのですが、入門できた気がしませんでした。この動画で前に進める勇気をもらいました。もう一度、チャレンジします。
空集合φから自然数を作っていく話が竹内さんの集合の話に出ていたけれど、アプローチって言葉の意味を理解できた気がする。拡張のために段階的に何かの概念を入れていくって解説は分かりやすいと思いました。自然数のペアの集合を考えると言うのも、数学的に瑕疵を防ぐ意図？が感じられて面白かった。四則演算を先に解説するのは無理なんでしょうか。ともあれ、いろいろな意味でとても面白かった。今年も良い年でありますよう祈ります。
動画主は理解なさっておられるだろうが、視聴者は、Peanoの公理が自然数全体の満たすべき性質を導くためのものであって、ここではその公理を満たすモデルを構成しているわけではないことに注意した方がよい
中学生の時、内項の積＝外項の積 の公式が急に出て来たのでどっから来た！？と思ってたんですが、25:00〜辺りをみてようやく理解出来ました。ありがとうございます。
物理学科で趣味で群・環・体をやってるのですが、、感動しました……
あけましておめでとうございます🎍今年も動画楽しみにしています！
すごい！こういう動画が観たかった。
そして多元数へ…
多元数だとは限らない。ともかぎらない。
ペアノの公理を説明するとき、よく2番目、3番目、5番目については詳しく説明されますが4番目の条件がないといけない説明があまりないですよね。このコメントを見た方は是非4番目がないとなぜ”自然数”にならないといけないのか考えてみてください！【略説】4番目の条件がないとf(x)=1となるxがあってもいいことになり、1~3,5番目の条件から数がfで循環するような集合も自然数全体となります。例えば時計の時間(hour)のとる数字の集合A={n | 0 =< n =< 23}は自然数全体となります。（つまり24以降の”数”は自然数でなくなります。）自然数は作ろうと思えばいくらでも新しい自然数を作れるので、fで循環しないようにする必要があり、そのために4番目の条件が必要となります。
*Q* → *R* の拡張で、「たし算とか、かけ算とかゆう概念はいったん崩れます」( 33:14 )―納得です。たし算はともかく、かけ算は、なかなかうまく *R* に引き継ぎ出来ないな、と思っていたんです。
非常に正直にロジックを積み上げるのが分かる。数学者としてだけじゃなく、教育者としても素晴らしい。(⌒‐⌒)
あ
素晴らしい数の世界の広がりの話ですね。位相・収束・完備・代数閉包の意味が理解出来てうれしかったです。p 進数は幾ら足しても大きくならない不思議な数だが、複素数に劣らず数論の研究に不可欠。複素数でやったことはｐ進数でもできるはずと思ったが、勝手が違う。とのコメントを見ました。意味が不明です、次に解説期待しています。
超複素数（多元環）へ
視聴者に向けて群について補足足し算が閉じているというのも追加で。集合の元(要素)どうしの足し算の答えは集合の元になっていることが必要です。また交換法則は今回の話では確かに成り立ちますが群の定義には入っていませんね。交換法則までなるたっている物をアーベル群と呼びます。あとここで注意して欲しいのが、足し算というのは私たちがよく知っている足し算ではなくて、なにかよくわからない演算だと考えてください。閉じていて、結合法則が成り立っているならなんだっていいのです。とにかく公理に忠実に!!!自分たちがよく知ってる自然数とか足し算のことは全部知らないふりをするのがポイントです。
焼き肉 知らないふり という表現は数学ガールでもよく出てきましたね
36:40ずっと考えてみたんですが。「複素数にも順序を定義しようと思えば出来るのでは？」と思います。集合Xに順序があるとは 集合Xの任意の元 x,y,z が次の４つの条件を満たす事ですよね？反射律：x＝y ⇒ x≦y推移律：x≦y かつ y≦z ⇒ x≦z反対称律：x≦y かつ y≦x ⇒ x＝y全順序律：x≦y もしくは y≦x のどちらかが必ず成り立つ複素数をz_1＝a_1+b_1×iz_2＝a_2+b_2×iとした時a_1＞a_2 ⇒ z_1＞z_2a_1＝a_2の時b_1≧b_2 ⇒ z_1≧z_2とすれば 順序を定義出来る気がします「複素数に大小関係はない」なら納得できるんですが・・・どういうことなのか教えてください。
ヒキミトウ 仰る通り辞書の順序が入りますね。しかし、演算と両立するものは存在しません(順序体といいます)。そのように訂正・補足します。ご指摘ありがとうございます。
実数論は微積分学の構築に必要になると思うが、整数や有理数はどこに必要になるか分からない😂
写像とか久しぶりに聞いてなつかしくなりました(^o^)
ダメだこりゃ(笑)
ＲじゃなくてＱの代数閉包を考えることに意味ってありますか？
meltyskypod Qの代数閉包は代数的数といって代数学特に整数論では重要です
金を払ってでも受けたいすばらしい授業ナリ。
自然数の時点で掛け算を定義してもいい気がしたけど、どうなんだろう
そして四元数(H)へ
局所化！完備化！代数閉包！コーシー列！わかった気がした
濃度も一緒に考えてみるともっと面白いと思う
そもそもいきなりｆ(1)=2とするのが分からない。そういう元に「2」という名前をつけるってことか。例えば奇数の集合では駄目なのか？
あけましておめでとうございます大学では数学専攻だったのでしょうか？
複素数のさらに先の拡張はあるのだろうか・・・？
4元数かな？
4元数の上に八元数もあります、、拡張しても限界があることが知られています。たしか32だったかな？(⌒-⌒; )
限界があることは知りませんでした(*'ω'*)ありがとうございますm(__)m
次郎玉ねぎ 拡張に限界があるなんて面白いですね、勉強意欲が湧きました！
その四元数で定義される世界はどういう世界なの？
はぇ～すっごい難しい
感激！w
How come I got this as a recomended video?
自然数の構成は無数にあるのに、なぜどの動画もペアノの公理から始めるのか不思議です。ペアノの公理を相対化する動画が増えてほしいです。
ペアノの公理以外に自然数を構成する方法が他にどんなものがあるか気になります！
13:30
足し算とは、、？
端折っている部分を説明すると、それこそ数時間の動画になるのは同意します。端折る部分を適切に絞った良い解説動画だと思いました。私は完備化はまじめに勉強しましたが、それより前はなんとなくでスルーしてました。^_^;; 難癖をつけるとしたら、最初から0を自然数に含めたほうが楽かな、と思った所。後で解説をしてましたが、乗算単位元の1と紛らわしいかな。せっかく完備が出てきたので、関数というか、写像に「距離」はあるの?という解説を希望します…と、解析学方向に引っ張ってみるテスト。(笑)
これはダメな筋です。距離に関する完備化というのは実数ができていることが前提です。この構成を本当に実行しようとすると、有理数から実数をつくるところが大変、面倒なのです。つまり完備な順序が入れるのがとても大変なのです。高木貞二の解析概論では、順序体 Q をつくった後 Dedekind 切断で順序に関する完備化をします。このとき足し算の拡張は比較的容易ですが、掛け算は場合わけが煩雑です。それで、距離に関する完備化（ここでは実数が掛け算を除き定義されています）による演算の拡張を定義しておくとスムーズなのです。このようなことが完備な順序体である実数体が厳格に定義された歴史のなかにあるのだろうと思います。
実数を定義する際にε-δ論法の様なものを使っているが、εは0より大きい任意の実数でなければ極限を定めることは出来ないのでは？と思ったのだがどうだろうか。実数であればそれは循環論法になるのではないかと思いその定義は誤りだと言える気がする。
![Masaki Koga [数学解説]](http://yt3.ggpht.com/iS7yH2FXiUzPK9lxif6LZbtrxwlWeUWrpKuQc76MyOq_5YG7C5y9jPoZiw4Od2nmFYjSLRf9PTM=s48-c-k-c0x00ffffff-no-rj)
数学的に色々な道具を用いています．抽象代数などでは複素数は当たり前のような存在として使っているので，ペアノの公理などは改めて勉強し直すような形でした．コメントご指摘などあればお願いいたします．
このレベルの内容をここまで分かりやすく説明できる人は稀有だと思います。今後も日本の自然科学教育の発展のためお願いします。
初めてコメントさせていただきます。
全部は理解はできませんでしたが、数の集合を拡張をしつつ、代数(や位相？)の道具が回収されていく感じが大変に面白いです。ありがとうございます。
式変形チャンネル 式変形さん！！応援してます！
古賀さんの１の三乗根あれこれ、を何度も観ていたら、生まれて初めて自発的に数学の問題を解き始めました。
偏差値30だった僕が数学に興味を持ち、公式をいくつか覚え始めたくらいなので、とても感謝しています。
丁寧な進行と解説から、難しい内容も解りやすいです。
自然数から複素数までの厳密な定義での構成は数学科でもなかなかやらないので楽しめました！（格式が高い微分積分の数学書でも実数全体Rを公理で定義してRの部分集合として、N,Z,Qを定義するのが一般的）また、同値関係や商集合と言った専門用語を使わずにうまく説明していて感心しました。
内容の補足として、QからRを構成する方法はコーシー列を用いる他にデデキント切断というものがあり、RからCの構成はR×Rに上手く演算を定義する方法と2次の実数行列を用いるものがあります。
最後に数の構成の参考書としては岩波新書の『数の体系』がオススメです。(新書なのにガチの数学書です…)
2次の実数行列を用いるやり方だと、複素数のかけ算で、偏角は偏角どうしのたし算になる事が、分かりやすくて良いですね。
高校までの数学教育も、厳密ではないけど複素数を構成するための流れだったのか
群論と数の拡張が関連することを合理的に説明いただいてありがとうございました。おじさんですが、大学生や高校生の若い時にこのような講義を聞きたかったと思います。今の時代の人たちはネット環境に感謝かな？
古賀さんの動画結構見てると思うけど、何回も見直してるのはこの動画（興味深いという意味で）
私が長年にかけて考えてきた内容をやられると、脱帽です。
有理数からの実数への拡張は、極限を使うので難しいです。
教えるときは、ごまかしも必要です。
元のペアを考えるのは、初めて聞きました。ありがとうございました。
さすが代数屋さん。
数学苦手です、教えてくださいわからない時、質問して良いですか?
明けましておめでとうございます
今年も動画投稿期待してます！
Dedekind切断での実数の構成しか知らなかったので、Cauchy列を使ったアプローチはすごく面白かったです!!!
細胞がいくつか集まって群れになって環っかを作って腸になって臓器が整って体になるっていうことか
Q:p進数 の動画から飛んできました。数の概念の拡張のストーリーが分かりやすかったです。こまごました数学のお話も自分で補ってみたいと思います。ありがとうございます。
ノートを取りながら聞きました。実数や複素数の定義は少し難しかったですが、数を構成していく流れをつかめました。ありがとうございました。
古賀さん、むずいけど面白すぎです！あと10回くらい繰り返して見てみます！！
「入門」できたような気がします。
半群とか、モノイドとか、何度かチャレンジしたのですが、入門できた気がしませんでした。
この動画で前に進める勇気をもらいました。
もう一度、チャレンジします。
空集合φから自然数を作っていく話が竹内さんの集合の話に出ていたけれど、アプローチって言葉の意味を理解できた気がする。拡張のために段階的に何かの概念を入れていくって解説は分かりやすいと思いました。
自然数のペアの集合を考えると言うのも、数学的に瑕疵を防ぐ意図？が感じられて面白かった。
四則演算を先に解説するのは無理なんでしょうか。
ともあれ、いろいろな意味でとても面白かった。
今年も良い年でありますよう祈ります。
動画主は理解なさっておられるだろうが、視聴者は、Peanoの公理が自然数全体の満たすべき性質を導くためのものであって、ここではその公理を満たすモデルを構成しているわけではないことに注意した方がよい
中学生の時、内項の積＝外項の積 の公式が急に出て来たのでどっから来た！？と思ってたんですが、25:00〜辺りをみてようやく理解出来ました。ありがとうございます。
物理学科で趣味で群・環・体をやってるのですが、、
感動しました……
あけましておめでとうございます🎍
今年も動画楽しみにしています！
すごい！
こういう動画が観たかった。
そして多元数へ…
多元数だとは限らない。
ともかぎらない。
ペアノの公理を説明するとき、よく2番目、3番目、5番目については詳しく説明されますが4番目の条件がないといけない説明があまりないですよね。
このコメントを見た方は是非4番目がないとなぜ”自然数”にならないといけないのか考えてみてください！
【略説】
4番目の条件がないとf(x)=1となるxがあってもいいことになり、1~3,5番目の条件から数がfで循環するような集合も自然数全体となります。
例えば時計の時間(hour)のとる数字の集合A={n | 0 =< n =< 23}は自然数全体となります。（つまり24以降の”数”は自然数でなくなります。）
自然数は作ろうと思えばいくらでも新しい自然数を作れるので、fで循環しないようにする必要があり、そのために4番目の条件が必要となります。
*Q* → *R* の拡張で、「たし算とか、かけ算とかゆう概念はいったん崩れます」( 33:14 )―納得です。
たし算はともかく、かけ算は、なかなかうまく *R* に引き継ぎ出来ないな、と思っていたんです。
非常に正直にロジックを積み上げるのが分かる。数学者としてだけじゃなく、教育者としても素晴らしい。(⌒‐⌒)
あ
素晴らしい数の世界の広がりの話ですね。位相・収束・完備・代数閉包の意味が
理解出来てうれしかったです。
p 進数は幾ら足
しても大きくならない不思議な数だが、複素数に劣らず数論
の研究に不可欠。複素数でやったことはｐ進数でもできる
はずと思ったが、勝手が違う。
とのコメントを見ました。意味が不明です、次に解説期待しています。
超複素数（多元環）へ
視聴者に向けて群について補足
足し算が閉じているというのも追加で。集合の元(要素)どうしの足し算の答えは集合の元になっていることが必要です。
また交換法則は今回の話では確かに成り立ちますが群の定義には入っていませんね。交換法則までなるたっている物をアーベル群と呼びます。
あとここで注意して欲しいのが、足し算というのは私たちがよく知っている足し算ではなくて、なにかよくわからない演算だと考えてください。閉じていて、結合法則が成り立っているならなんだっていいのです。とにかく公理に忠実に!!!自分たちがよく知ってる自然数とか足し算のことは全部知らないふりをするのがポイントです。
焼き肉 知らないふり という表現は数学ガールでもよく出てきましたね
36:40
ずっと考えてみたんですが。
「複素数にも順序を定義しようと思えば出来るのでは？」
と思います。
集合Xに順序があるとは 集合Xの任意の元 x,y,z が次の４つの条件を満たす事ですよね？
反射律：x＝y ⇒ x≦y
推移律：x≦y かつ y≦z ⇒ x≦z
反対称律：x≦y かつ y≦x ⇒ x＝y
全順序律：x≦y もしくは y≦x のどちらかが必ず成り立つ
複素数を
z_1＝a_1+b_1×i
z_2＝a_2+b_2×i
とした時
a_1＞a_2 ⇒ z_1＞z_2
a_1＝a_2の時
b_1≧b_2 ⇒ z_1≧z_2
とすれば 順序を定義出来る気がします
「複素数に大小関係はない」なら納得できるんですが・・・
どういうことなのか教えてください。
ヒキミトウ 仰る通り辞書の順序が入りますね。しかし、演算と両立するものは存在しません(順序体といいます)。そのように訂正・補足します。ご指摘ありがとうございます。
実数論は微積分学の構築に必要になると思うが、整数や有理数はどこに必要になるか分からない😂
写像とか久しぶりに聞いてなつかしくなりました(^o^)
ダメだこりゃ(笑)
ＲじゃなくてＱの代数閉包を考えることに意味ってありますか？
meltyskypod Qの代数閉包は代数的数といって代数学特に整数論では重要です
金を払ってでも受けたいすばらしい授業ナリ。
自然数の時点で掛け算を定義してもいい気がしたけど、どうなんだろう
そして四元数(H)へ
局所化！完備化！代数閉包！コーシー列！わかった気がした
濃度も一緒に考えてみるともっと面白いと思う
そもそもいきなりｆ(1)=2とするのが分からない。そういう元に「2」という名前をつけるってことか。例えば奇数の集合では駄目なのか？
あけましておめでとうございます
大学では数学専攻だったのでしょうか？
複素数のさらに先の拡張はあるのだろうか・・・？
4元数かな？
4元数の上に八元数もあります、、拡張しても限界があることが知られています。
たしか32だったかな？(⌒-⌒; )
限界があることは知りませんでした(*'ω'*)ありがとうございますm(__)m
次郎玉ねぎ 拡張に限界があるなんて面白いですね、勉強意欲が湧きました！
その四元数で定義される世界はどういう世界なの？
はぇ～すっごい難しい
感激！w
How come I got this as a recomended video?
自然数の構成は無数にあるのに、なぜどの動画もペアノの公理から始めるのか不思議です。ペアノの公理を相対化する動画が増えてほしいです。
ペアノの公理以外に自然数を構成する方法が他にどんなものがあるか気になります！
13:30
足し算とは、、？
端折っている部分を説明すると、それこそ数時間の動画になるのは同意します。端折る部分を適切に絞った良い解説動画だと思いました。私は完備化はまじめに勉強しましたが、それより前はなんとなくでスルーしてました。^_^;; 難癖をつけるとしたら、最初から0を自然数に含めたほうが楽かな、と思った所。後で解説をしてましたが、乗算単位元の1と紛らわしいかな。
せっかく完備が出てきたので、関数というか、写像に「距離」はあるの?という解説を希望します…と、解析学方向に引っ張ってみるテスト。(笑)
これはダメな筋です。距離に関する完備化というのは実数ができていることが前提です。この構成を本当に実行しようとすると、有理数から実数をつくるところが大変、面倒なのです。つまり完備な順序が入れるのがとても大変なのです。高木貞二の解析概論では、順序体 Q をつくった後 Dedekind 切断で順序に関する完備化をします。このとき足し算の拡張は比較的容易ですが、掛け算は場合わけが煩雑です。それで、距離に関する完備化（ここでは実数が掛け算を除き定義されています）による演算の拡張を定義しておくとスムーズなのです。このようなことが完備な順序体である実数体が厳格に定義された歴史のなかにあるのだろうと思います。
実数を定義する際にε-δ論法の様なものを使っているが、εは0より大きい任意の実数でなければ極限を定めることは出来ないのでは？と思ったのだがどうだろうか。実数であればそれは循環論法になるのではないかと思いその定義は誤りだと言える気がする。