Proof of the actual question “The derivative of sinx is cosx” [Osaka University].
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- Опубліковано 13 жов 2024
- 公式の証明は実はいろんな大学で出題されています。
定義から考えることは数学において非常に重要な考え方なのでしっかり学んでおきましょう！
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『神脳・教育界の革命家 河野玄斗』
東大医学部在学中に司法試験に一発合格。頭脳王連覇。
初書籍『シンプルな勉強法』( www.amazon.co.... )はタイ語版、繁字体版など世界でも翻訳され、シリーズの累計12万部突破。2020年3月14日には図解版が刊行。
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![Kyoto University's famous integer problem [Instant kill with technique].](http://i.ytimg.com/vi/QZMmqpuufcg/mqdefault.jpg)
うわっ、4:13のところどう考えても1/cosxじゃなくてcosxでした！すみません！
１分間くらい悩みました。
河野玄斗さんも人間だということが分かってよかったです☺️
まぁ神なんですけれども
っていうドッキリ
ですよねびつくりしました
この前に1/tanxはcosx/sinxだからって口で説明しながらやってたのにいざsinxをかけるとcosxの分子分母が逆になるってよくある変形ミス こーいう時は一応検算で確認して気付くものなんだけど
わかりやすいコスパいい解説をその場で書きながらやるとこういうミスが起きてしまうのは仕方ないんだよねw
2:20
ここ実は、「円の面積がπr²」ということを公理として暗黙に使ってるけど、
厳密に言えば「面積は積分によって与えられる」ので、
「円の面積がπr²」を求めるのに「√(1-x²)の積分」が必要になるから、
実はそこにsinxの微分を使っているという循環論法になってる。
高校の範囲でこの循環論法を抜け出して解く方法はあるにはあるけど、とんでもなく難しくなるので、ここでは「円の面積がπr²」ということを公理として暗黙に使って良いことにしていると思う。
詳しくは「sinxの微分」と検索したら分かりやすいずんだもん解説動画があるから興味のある人はぜひ見てほしい
初見でも微分の定義に戻れば解けるとても基本的な問題ですね！
これが初見だとすると意味もわからずに微分公式使ってたことになるし結構受験生として不味い気がするけどね…笑
ややこしい応用問題ばかり対策してる学生に対しては特に定義や原理だけの問題は上手く「外し」が効いてて良い問題やな
ちなみに阪大文系では点と直線の公式の証明が代わりに出ました
元気が出る数学に載ってた
@@user-jy3ks3qb3i あれいいよね
法線ベクトル使えば余裕！
なんか既視感というか、以前UA-camrが言っていたような…
これやったの覚えてるわ。
問題めくって1問目がこれでかなり焦った覚えがある。
1/tanx
正解にたどり着けさえすればプロセスなんてなんでもいいよ。大きく外れなければ減点もないしね。教科書以外のやり方も見つけれると引き出しが増えて、自分の世界が広がるからこれからやってみてね。
@@あいうえお-m8h6i
解法が複数あるのはいいことです。しかし自分が言っているのは河野さんのやりかたで証明できる？ということです
cosxとcosx/1間違えたという風に河野さん自身がコメントしていましたよ。証明方法自体は合っていると思います。単位円が最も簡単だから用いられているだけでしょう。私は他の証明方法を知らないので、そもそもこの方法以外があるのかは分かりかねますが。
@@re-pm9pg
本当に証明できますか？
@@リンク5 ええ。この証明方法は教科書に載っている有名なやり方ですし、阪大の入試でも出ています。少なくとも大学入試レベルならこれで十分だと思います。大学数学レベルで詳しい話になってくると成り立たないとかあるのかもしれませんが、如何せん私は理学部では無いもので詳しいことは分かりませんね。もし間違っていたら申し訳ありません。
4:14
1/tan(x)は，cos/sinだと思います（結果は一緒ですが）
この証明で、いつも疑問に思うんだけど・・・。 sin x < x は自明だけれど、x
面積評価の舞台が単位円なので問題ないと思います。グネグネした曲線であれば証明する必要がありそうですが。
面積の大小関係と外周の大小関係が一致しない例は多い。この場合も、曲線部分を自由に繋ぐと、簡単に大小関係を反転させることができる。そのため、『円弧は、こういう条件があるので短い』と条件を言及する必要があると思います。どんな条件なら良いのか？ その条件が難しいです。また、その証明もかなり面倒そうなんだけど。違うかな？
阪大の問題は難しいけど面白い問題が結構あるから解いてて楽しい！
授業ってなんの疑いもなく聞ける人に教わるほどほど一発で覚えるよね
めっちゃわかる
斜に構えとると不利
スポーツもそうだよな
勉強はわかった気になるのがあるけどね、
これ定期考査で出したらその年の阪大で出てラッキーな生徒が受かって喜んでたなぁ。
高校の数学の先生が就活のときに先に面接だった人がこれを聞かれてたのに自分は好きなおでんの具を聞かれたってエピソード思い出した笑
河野さんに個別指導してもらえたら、めちゃくちゃ楽しく数学できそう
大量のマネーが必要だよ
0
2年前に受験終わってるけど、こういう原理的なものをしっかり覚えまくってたから1発でわかったヨ
昔阪大の文系でも点と直線の距離の公式の証明出してきたよね。どうしても公式とか定義をどう使いこなすか、に目が行きがちだけど、原理・原則に立ち返って、何故そうなるのかを突き詰めることは大切よね。
東大が定義をちゃんとわかってるのかを問う問題を出すくらいだからね
これだとまるで原理原則に立ち返ると証明出来るから原理原則は大事でしょって話になってるけど
原理原則から公式が証明出来て
その証明した基本公式を用いて問題を解く時も原理原則に立ち返ってやると自然に理解できて問題解きつつ分かるようになるから原理原則に立ち返るのは大事なんだよね
なのに問題の解説って原理原則に基づいて解いたり一貫性のある解説が少ないからみんな理解出来なくて数学嫌いになる
@@gdd1398 だからこそ問題集の解説ではなく予備校などのプロの先生から学ぶ必要があるのでしょうね(武○塾を批判してる訳ではありません)
@@rrrrrrr9610 ホントにそれを除いてそうなりますよね
@@gdd1398 めっちゃいい事言ってると思う
実際定義をしっかりおさえた人の方が問題の難易度が上がった時の対応力が高い
物理のテストの振り子の問題でも、振れる角度xは十分小さいからx≒sinxとしてよいって書いてた時があって、その時は意味不明だったけど、そういうことだったのか
今日そこ習いました！
今まで知らんかったのか
ばれた！
@@gdd1398 煽んなよw
男は黙ってマクローリン展開
コレマジで気になってた
入試問題になってたのか。解説していただいて嬉しい
円周角を考えると特定の点以外では幾何的に解ける、のが森毅先生の本によく出ていた
面積を使うと循環論法だから辺の長さで考えるといいって言われた。その際、sinx
言うほど図から明らかか？
マクローリン展開して終了
@@user-fr9gf4cw8x マクローリン展開って微分三角関数の微分使うんちゃうん？
(02:00) めっちゃ早口で長文失礼します！
関数を図示して「連続関数の微分は速度」って
理解しておいて速度をベクトルで図示すると、いろいろ思い出せて便利よね。
例えば、 オイラーの公式 の e^(iπ) = -1
これを完全に忘れたり、知らない時の対処法。
複素平面上でf(x) = e^(ix) の図を書き点をプロットして、導関数を求めて点と速度(ベクトル)を描く。
f(x) = e^(ix) について導関数は f'(x) = i e^(ix)
「 x = 0 とすると f(0) = e^0 = 1 , 虚部は0 となり消えてくれる。 点(1,0) を打つ。
その点上での 速度は f'(0) = i e^0 = + i これがその点での速度。
点(1,0) から i軸の真上方向 +i の矢印を描く」
x をちょっとずつ増加させ上の作業を繰り返すと、点は左回りの単位円、「速度の矢印」は左上方向に徐々に傾いていく。
90度をこえると今度は左下方向へ傾いていく。
こうやって、180度まで、360度まで考えると 左巻きの1つの台風のような図が描ける。
e^(iπ) の値については、 x = π の時の点を見れば良くて、
それは 点(-1,0) (虚部がきれいに消えてくれる)
よって e^(iπ) = -1 、点(-1,0) を打つ。
そこでの速度は i e^(iπ) 、 これは上の式 e^(iπ) = -1 より、 i e^(iπ) = -i すなわち、真下の矢印。
「導関数 = 速度」を f(x) = e^(ix) に適用することで、
左巻きの台風のような図が書けるので点の位置と点の速度が完全に分かる。
sinx/xは偶関数なのでxが正の側を考えれば十分 と行く方法もありそう
一対一対応の演習はそうでしたね
阪大ってこういう問題好きよな。
わりかし基本的な公式の証明問題よく出す
基礎が大切ってことですね！！でもむずいな
正直阪大の中では簡単な問題だと思うけど、数学を学ぶ上で定義が重要だってことだよね。
理系としてこういう問題はとても面白くて興味をそそられる。
関数が出てきたときは頭の中にちゃんとグラフがありますか
っていうのが数学にとって重要であることがよくわかる問題ですね！
私もよくグラフは必ず書けって言われましたね
循環論法を避けるためには sin x/x を評価する際に扇形の面積を用いてはならない（円の面積を求める際に三角関数の微分を使ってしまっているから）というところが問われている可能性が結構あるような。
広瀬和之の授業受けてりゃこんな公式の証明なんてちょっろい
河合塾マナビスでその人の講座受けたわ、積分の発展編とか、やっぱすごい人だな
あの先生は偉大、、、
スタディサプリみたいな感じで、視聴できるんですか？
広瀬和之さんの「受かる計算数Ⅲ」はお世話になりました
ライバロリさんの動画から来ました笑
とても分かりやすい説明で理解しやすかったです！！余計なぜあのチャンネルに出演してたのかは謎が深まりましたが…
sinx/xの極限が1の証明はテイラー展開でできるやんって思ったら、テイラー展開にはsinxの微分の証明が必要やった。
テイラーの定理を使えないなら、同じようにランダウのオーダような発想をすればいいだけです。
【定理】
数列{a_n},a_n>0が0に収束する狭義単調減少数列ならば,交代級数は収束する.
その和をs,部分和を
s_n=a_1-a_2+a_3-a_4+…+(-1)^{n+1}・a_n
とすれば
s_(2n-1)>s>s_2n.
【証明】
s_(2n-1)=a_1-(a_2-a_3)-(a_4-a_5)- … -[a_(2n-2)-a_(2n-1)],
s_2n=(a_1-a_2)+(a_3-a_4)+…+[a_(2n-1)-a_(2n)],
s_(2n-1)-s_2n=a_(2n).
s_1>s_3>s_5>…>s_(2n-1)>…>s_2n>…>s_4>s_2.
n→∞のとき,s_(2n-1)-s_2n=a_(2n)→0だから,数列{s_(2n-1)}{s_2n}はともに収束する.
lim[n→∞]s_(2n-1)=lim[n→∞]s_2n.
よって数列{s_n}も収束して,s=lim[n→∞]s_nとすれば
s_(2n-1) > s > s_2n.■
【命題】
lim[θ→0]sinθ/θ=1.
【証明】
任意のθ∈Cに対し
sinθ = ∑[n=0→∞] {(-1)＾n/(2n+1)!}θ＾(2n+1)
と定義する.
sinθ/θ = ∑[n=0→∞] {(-1)＾n/(2n+1)!}θ＾(2n).
0
角x ラジアンの扇型(半径=1)の面積がx/2であるのはどこから出てくるんでしょうか？ 半径1の円な面積が ¥pi (円周率)に等しいことは使えません。円の面積は小学校で教えられますが、もちろん証明はありません。高校で積分を使って一応証明らしきものをしますが、そのとき置換積分で 問題の極限の式 を使うことになりませんか？循環論法に落ちいります。例えば曲線の長さを定義することから始めるなどしないと----
扇形の公式が
πr^2×（x/360）で弧度法にすると
（x/2π）になるのでπが約分されただけだと思います
@@にしだ-k2vその公式はどこから出てきたんじゃ
先生に微分の定義をめっちゃ教えられたから導関数を求める方は解けた笑
最初の不等式の証明は面積利用をすると循環論法になるそうです。
円の面積を求める際にsinかcosの積分をしますがその積分をするためにsinかcosの微分を利用します。それを証明するためには最初の不等式を証明しなければいけないという感じで循環します。角度θの半直線と円の交点から接線を引くと辺の長さで証明可能です。
この問題が出た時に河合塾が抗議したみたいですがどうなったのかは知りません。
よく接戦長さから証明できると聞くが、曲線のほうが長い気がして毎回モヤモヤする
結論、循環論法ではない。
三角関数をべき級数で定義すれば循環論法ではない。
三角関数を正弦関数をアークサインの逆関数として定義するものにすれば循環論法ではない。
古典的導入法（単位円による定義）と合理的導入法（べき級数による定義、正弦関数をアークサインの逆関数として定義した定義）が等しいかを議論できれば、循環論法でないことは明らか。
4:14 ここって1/cosxじゃなくてcosxですかね？
cosx/sinxにsinxかけてるから
私もそう思ってコメ欄見てた。
でもほとんど誰も突っ込んでないので自分が間違ってんのかなぁと不安になってた。同志がいてよかったけど、どうなんだろう。誰か教えてくれないかなぁ。
と思ったら、すぐ下に本人の訂正があった。
懐かしい！高校の時に導出を習ったのを思い出しました
exp(x)の微分やlog(x)の微分もそうですが大学受験するときは一度しっかり基本的な部分を覚えておく必要があると思います
特に国立大学は暗記でなんとなく覚えてる人を落とす問題を出題する傾向があるように感じます
昨日学校でやったから復習にって思ったらマジでちょうどよかった！！！あざす！
公式の証明って難しいけどこの動画で理解出来ました！ありがとうございます！
こういう解説ありがたい
公式を証明せよ系の問題って難関大学の醍醐味って感じする。
メッセージ性のある問題ですごく阪大が好きになりました
学校の微積分の授業でも、これほど丁寧に教えてくれませんでした。
どうもありがとうございました。
こういう問題の方が計算ミスとかないから助かる
tanx分の1にsinxかけたらcosxじゃありませんか？
あ、すみません！コメント欄に説明ありましたね💦
解けた〜こういう問題好き
高２で微分の定義習った時に片っ端から予習して微分公式の証明を頭に入れたからなんとか解ける
とりあえず教科書に載ってる公式は全部証明してみようネッ！
@wakatteないTV 長文おつ
sinxを微分したらcosxになるっていうことを知ってる文系の人ってどれくらいいるんだろな
マクローリン展開から挟むのかと思ったけど，綺麗な解法ですね
素早くわかりやすいと言う
コスパの塊でしかない
公式は証明で覚えるのが大事。
うろ覚えで間違うのを防げる。
これ普通に学校の授業で教えてもらったよ＼(^o^)／
やっぱり公式を使うには証明してからじゃないとね！
阪大にしては珍しい知識問題ですね
面積比較からはさみうちなんて普通に考えてて出てくる発想じゃない笑
教科書に載ってる証明だけどね
極限、はさみうちはセットやから割と思いつかなくもない…思いつける自信が無いw
「阪大にしては珍しい」と思うのなら、難関大学の過去問解いてるってことですよね？
だとしたら「面積比較からはさみうち」って割とよく出る発想かと…
@@アルシオーネ-d2h 確かに面積比較という考え方はよく使いますが、よくある区分求積の考え方から長方形や台形とグラフの面積の大小比較をするのではないので、誘導も無しに「扇形を書いて三角形で挟めばはさみうちが上手くいく」ということが見抜けている人でないと解けないかと。
たったけぴーさんが言うように必ず教科書に書いてある証明なので、そういうところにも気を配って数学を勉強してるかどうかを阪大は見てるのだと思いますけどね
めちゃくちゃ、面白かったです！！数3やりたくてたまらなくなりました！！高校卒業したら絶対やる
@ペンギン そうです〜 もともと理系科目好きなので😂
@ペンギン 大学では文理関係なく色々やります笑笑
リベラルアーツなので！！
@ペンギン ありがとうございます！
えらいなー、頑張って日本を支えてくださいね
@@AD-tg6vu 将来が期待できる有能
良問ですね
y=sinx とy=xのグラフが原点付近だとほとんど重なってる
sinx･1/tanxは1/cosxじゃなくて 1/sinxじゃないですか？？
この年受験してたので懐かしい気持ちになりました。
ロピタルをつかっていた人もちらほらいた印象ですが結局点は貰えていたんだろうか…
ロピタルの定理を使うと循環論法の形になって
論理的に証明が成立しません。
ロピタルの 初手で d (sinx)/dx を求める必要がある。
定義より sin x の導関数を求めようとすると Lim[h-->0] sin(h)/h が出てきて…
あらら？よく考えたらこれは 最初の問題 そのもの Lim[x-->0] sin(x)/x と全く同じ形式じゃん！
という訳で循環になります。
状況としては「魔王を倒すための聖剣が魔王の玉座の下にある」って感じッスね。
@@Tomohiko_JPN_1868 面積で求めても循環論法じゃない？
@@Tomohiko_JPN_1868
正確には、大学数学科一回生以上だったら、普通は三角関数はべき級数で定義するので、ロピタルを使えます。ただし、「杉浦光夫先生の「解析入門Ⅰ」」を知っている前提になります。べき級数の項別微分ができることの証明が必要ですので、これができないと困ります。
もしくは、正弦関数の逆関数から正弦関数を定義してやる 「黒田成俊先生の「微分積分」」を知っている前提になります。逆関数から定義するときは、逆関数定理を知っていることになるので、なおさら技巧的になります。
@@ふらんすぱん-b5e
正確には、面積で求めても循環論法ではない。
解析的に円周率を定義して三角関数をべき級数で定義していれば、全く問題はない。
ただし、べき級数で定義した定義と三角関数の古典的導入法（単位円による定義）が等しいかどうかを確認する作業が生じるので、少々面倒ではある。
マクローリン展開してxで約分して1、じゃダメですか
この過去問解いたことある。
解答見て面白い問題だと思った。
そもそも挟み撃ちする時の扇型の面積を求めるのに円の面積の公式を使っているがそれは厳密にはsinxの導関数がcosxであるということを使用している、、、、
これができる前提で応用問題出してくるとこもあるから、これは最低限解けるようにしないときつい
日常でこれ解いてみてって言われたら案外すぐ解けるのに、入試会場となると解けなくなる...これが入試の魔物
基礎問題精講でやったことあったからできた
解説わかりやすすぎ
まだ動画でて11秒なんだけど……
@@sorobotic2543 わかりやすいのは当たり前だから見なくてもわかるということ()
@@haluponn なるほど🤔
阪大はこういう何気なく当たり前のように使っている公式の証明が多いな
阪大生ってすごいねんなぁ…
先公がこれの証明は大学数学使わないときちんと証明できないって言ってたけどそこを教えてくれぇ！
｢limsinx/x 循環論法｣で調べるといいよ
えいちえいちって、あなたが叡智だよ。
ˊωˋ
5:27 cosx
1/tanx にsinx掛けたら cosxになりませんか？
なりますよ笑笑
@じぇじぇじぇええー 猿も木から落ちるを初めて感じた
5:43 正の方から0に近づける時は1って何で言える？あくまで0
河野さんがいつも使っている、このメモアプリ？ノートアプリ？みたいなのはどのアプリなんでしょうか？
知っている方いれば教えてほしいです！
似ているのでおすすめのものもあればお願いします！
某予備校の先生和積の公式使って証明してたのも凄かったなぁ.....
円の面積を求めるときに三角関数の微積を使ってると思うので、角度がx radの半径1の扇形の面積がx/2というのを使って三角関数の導関数を証明するのは、論理が循環してないですかね？
円の面積の半径による微小変化を考えれば三角関数を使わずに円の面積を積分で求められます
なるほどですね。ありがとうございます。モヤモヤがスッキリしました。
赤本でまったく手が出なかったなぁ懐かしい。結局数学ほぼ白紙の理科ゴリ押しで受かっちゃって当時の数学の先生に苦笑されたのもいい思い出。
理系である限り後々苦労するからマジで数学勉強した方がいい笑
こんなに面白く分かりやすい動画が無料で転がってる時代素晴らしいな
循環回避は一応しておかないとね
大学受験終わったのになんか見にきてしまうなー
後半は前半がわかっていれば、よくある導関数導出の問題。むしろ前半のほうが難しい。
思考力どうこうじゃなくてこういう証明なんだと暗記しておくレベルの話。
これだと循環論法になってしまうんだよね
よく考えてみて。
三角関数をべき級数で定義すれば循環論法でないことは明らか。
昔から阪大の数学は面白い問題が多く、学生の頃は阪大の赤本でよく勉強したのを思い出す。
他の大学の過去問はつまんないからスルーしてた。
これは微分の定義で和積の公式でいけるんですねええ
微分の定義をしっかり理解してますか？っていう大阪大学からの問いかけに感じました。
文系なんですけどsin(x)/xの極限って不定形の確認してからロピタル使ったらダメなんですか
追記:よく考えたら完全な循環論法でした…。
ロピタルでもいいが、その議論をするには大学数学科一回生程度の適正能力がないと議論できません。
三角関数をべき級数で定義するか、三角関数の正弦関数を逆三角関数から逆関数定理を使って定義することになります。
ここまで議論できれば、ロピタルを使っても良いです。
４分１５秒のところ、左辺はｃｏｓｘだと思います。
だよねー😂
焦った😄
マセマ数学の元気が出る数学iiiでまんま同じ問題があった気がする
文系と理系だと理解の仕方が違うので、昔は解けたけど中年になってからだと、全くわからないんだよね文系は。
大阪大学は、時々こう言った定義を証明させる問題を出してくる。
文系数学でも、「点と直線の距離」の公式の証明を出してきた。
余裕じゃねえかって思ったけど本番で出てきたら驚きですね…
序盤の説明
1/cosxくsinx/xく1
という部分がありますが
cosxくsinx/xく1
なのではないでしょうか？
懐かしい、この年受験したけど、確か大門1がこれで白目になった記憶ある。もちろん解けませんでした！
こんなこと聞くのはあれですけど合格はなさったのですか？
@@だっちゃ-o3w 数学完答なしだったけどなんとか合格しましたよ〜…😭
@@動画視聴ガチ勢 すげぇー
@@動画視聴ガチ勢 僕も阪大目指してるんですけど厳しい、笑Dから伸びないんですよ泣
@@だっちゃ-o3w 高2ですか？
循環論法には目を瞑りましょう
なんかめちゃくちゃ気持ちいい問題やな
丸暗記では絶対証明できない問題好き！
2:20 文系はここで1/2Xになるところでギブアップ、意味わかんない
X/2π×πr^2=1/2・r^2X
それだと左辺=X/2にならないですか？
@@Kawano_Chika_Official_Official 左辺はX/2×r^2ですよ。
半径1を代入してX/2となります。
Cosxの分母と分子逆じゃね
数IIまでしかやってないけど理解できた
最初、なぜ単位円とかからまどろっこしいやり方するのか分からず、マクローリン展開から証明すればすぐじゃんと思ったけど、sinxのマクローリン展開の前提として(sinx)’ = cosxを使っているから、マクローリン展開使えないのか！と気づいて、また一つ勉強になった
実際入試で出てきたら号泣する自信ある
数学Ⅲやっているなら流石に微分の定義ぐらいは覚えているはずだから、ただの極限の問題なんだよなぁ。まあ加法定理とかlim x→0 (sinx)/x＝1を証明しなきゃいけないんだったらきついけど。
@@Setsuna2718 sinx/xの証明は高校範囲で曖昧な部分があるので出ないことになってますよ〜
もし出るとしてもいくつかの仮定が必要
これ出て泣くレベルなら阪大受かるわけないわな。そんなやつを不合格にできるんだから入試はやっぱ良い制度だわ
解けない問題出たからって泣くやつ居たら怖いww
@@アルシオーネ-d2h ニートが何言ってんだよ
サムネのレイアウトがチャート青で発作起こりそう
1/tanxにsinxかけたらcosxじゃないん
一体一でやった時、初見で解けるか！ってなった懐かしい問題