There are two minor gaps. First, "absolute value of delta tends to zero" needs to be defined more precisely. Let delta be a partition of the interval [a, b]. Then the absolute value of the delta is the maximum of the length of the sub-intervals. Then take the limit with respect to partition such that the absolute value of the delta tends to be zero. This definition is at the level between the one given in the lecture and one given in Mr. Koga comment. Second is about the definition of the area. Define the area of rectangle as the number of tile of unit square fits into the rectangle. Then the definite integral becomes a natural extension or generalization of the area of rectangle. Area of circle is also obtained in this way.
![Masaki Koga [数学解説]](http://yt3.ggpht.com/iS7yH2FXiUzPK9lxif6LZbtrxwlWeUWrpKuQc76MyOq_5YG7C5y9jPoZiw4Od2nmFYjSLRf9PTM=s48-c-k-c0x00ffffff-no-rj)
定積分の定義，正しくは
inf S(Δ,f)とsup s(Δ,f)が一致したとき，積分可能と定義する．
でした．最大値の棒グラフの面積S(Δ,f)のΔを色々変えたときの下限と，最小値の棒グラフの面積S(Δ,f)のΔを色々変えたときの上限が一致したとき，です．
動画の説明で間違ってないのでは？
Darbouxの定理よりS(Δ,f)とs(Δ,f)は|Δ|→0でそれぞれinf S(Δ,f)とsup s(Δ,f)に収束するので。
でもDarbouxの定理を証明していない段階では
「S(Δ,f)とs(Δ,f)が|Δ|→0で同じ値に収束する」と定義したほうがいい気もする…
どっこいどっこいやな、どっこいどっこい
⊿は正の数だろうから、⊿には絶対値つけなくてもいいのでは？と思いましたが、、、負の場合もあるのかな？まあつけても何も変わりはしませんが、、、
'分割された区間の長さで最大のもの'という意味で|Δ|を用いることがあります．区間が必ずしも等分されるわけではないので，|Δ|→0で分割されたすべての区間の長さが0に近づくことを表せます．
@@yk5310 へえー、そうなんですね！等分されるわけではないというのもはじめて知りました(^o^)教えていただいてありがとうございますm(__)m知識が深くてすごいですね。
2つ質問があります！
①25:35これってどういう計算をしたんですか？
②29:48「面積はε×hで計算できて」というのはなぜですか？
できるだけ詳しくお願いします。
こういう動画見ると勉強のモチベ上がる
世界を数学で切り分けて理解する醍醐味を当方のような部外者に紹介してくれる先生はなかなかいないので古賀先生は貴重な存在と思います。
大学で、高校での定積分（原始関数の引き算）と大学での定積分（区分求積法）の関係に関する課題が出て、この動画をみて大いに助かりました。
ありがとうございます。
この定理は各方面からいろんな見方ができるすごい定理だと思う。不定積分や高校での定積分を代数学的な操作と捉えると、解析学的な厳密な議論はこの定理で保証するから心置きなく微積を代数みたいに使ってくれ、みたいな感じに自分は見える。
古賀さんの上手な説明にしてやられた感があります。私は、自分が学んできた経済数学をもう一度復習するために「きちんと数学的に」学びなおしていますが、もう一度今日の視点で高木先生の解析概論を見直そうと思います。
11:00あたりの解説がよくわからないです😭どのように画面右端の最後の式から中央の式になるのでしょうか、
両辺を積分しているということですか？
でも、左辺は不定積分で、右辺は定積分、、？ 馬鹿な質問かもしれませんが、ご親切な方がいらっしゃったら、ご返答お願いしたいです。
定積分を定義する時、s(∆,f)、S(∆,f)を、区間の最小値、最大値を使って定義していますが、
fを連続関数に限定してはいないので、最小値、最大値の所を上限、下限にするのが正しいと思います。
積分区間で有界でない関数（必然的に、連続ではない）は、広義積分で定義できます。
そもそも積分がまるで微分の逆演算として定義しているかのような高校数学の進め方が悲しい。
そのせいで「積分は微小な区間に分けて足していく」という積分の大雑把なイメージが薄れているのだと思う。
いや高校では積分は微分の逆演算として定義してるんやで
「積分は微小な区間に分けて足していく」というイメージは数３で出てくる意味不明な立体の体積を求めるところで否が応でも理解することになるで
@@jalmar40298 高校の教科書には、｢微分してf(x)になる関数を(f(x)の)原始関数という。｣と書いてあって、この原始関数を求めることをf(x)を積分するという、と書いてあります。｢……を積分するという。｣と書いたとき、数学では普通積分するという言葉の定義をしたことになります。ただ、これは私の個人的な解釈でしたが、あえてこれを｢定義する｣という言葉を用いずに述べることで、｢本当の積分の定義とは異なっているが、実際微分して戻る関数を求める作業は積分すると呼ばれている｣という意味を持った誤魔化した表現だと思っていました。もちろん、｢関数f(x)を積分するとは、微分してf(x)になる関数を求めることである。｣と書いていれば、それは紛れもなく積分するという言葉の定義をしたことになりますが。
@@トリボナッチ数列
「高校では積分は微分の逆演算として導入している」と言ったほうが正確だった
「積分する」という言葉の用法に厳密な定義はないと思う
@@jalmar40298 そうでしたか。ご教授ありがとうございます。
大学の数学であれば、本によって定義が違うなんてザラですからね。
積分は求積方法から、微分は瞬間の速度を、求める事から出発したのだと思います。どうも数学史ではその様な認識です。不定形の面積を求める事は遠くメソポタミア・エジプト時代、そしてギリシャ時代にも確かにあった。しかし当然の事乍ら厳密性と言うものとは違い、実際に使える方法論として追及されて居た。微分については、最初に使用したのはNewtonで彗星の軌道を求める為の試験的な方法論です。ただ彼にはKeplerの惑星に関する三法則の合理的証明に腐心して居た過程で微分を思い付いた。当然厳密な定義など無くて、それでも結構有効だった。数学的定義や厳密性が確立されたのはLagrangeやCauchy、以後に成るので、高校数学でそこまで望むのは、受験にのみ関心が有る高校時代に果たして求めるべきかどうか？数学科に進む人は多くは無い。工学部や物理学科に進み、使う数学の方に関心のある人が多いのが実情です。高校時代に微積の定義の内容を議論するのは好い事だとは思いますが、高校数学だけで終って仕舞う人も、法律系や文系には多いはずです。高校数学でも根元から理解できている人は、数学を相当使えるはずです。
大学に入って間もない頃の微積分学の講義のこと。
証明の過程でちょうど白板の右下にあるように、
「区間aからbにおいて|f(x)|＜ε ⇒ 同区間の定積分∫|f(x)|dx＜(b-a)ε」
と教授が板書したのですが、これが全く分からずしばらく思考が止まっていたのを覚えています。
大学の定積分の導入を意識しいていれば定義からほとんど自明なのですが、まだまだ高校の数学の知識で大学の講義も乗り切ろうとした時期でしたね。
懐かしい。。。
高専なら３年生でやります、なお私は聞き流していたのでほとんど覚えていません。大学レベルの数学を３年生でやりますが、自分はロルやらコーシーやら諸定理を忘れ、高度な積分の公式も忘れ、ラグランジュなんたらやテイラー展開も忘れ来年数学やっていけるのか心配です。基本的な微積分と三角関数なら専門科目でバンバン使うので忘れようが無いですが使わないものはやはり忘れてしまいます
すごい馬鹿な質問かもしれませんが25:30あたりのf(x)hが、f(x)をxからx+hでtについて定積分した値であるっていうのはなぜ言えるんですか？この段階ではまだ定積分の計算方法はわかっていないはずです。長方形の面積については当たり前であるとして考えちゃっていいんですか？
それ思った
それな
非数学科の友達に力説したくなるような内容ですね笑 ありがとうございます！
なるほど..面白いです
ルベーグ積分はまた別なのでしょうか？
面白い。数学の本質を解説するプロの解説だから。高校時代は受験用に問題の解法ばかりを小手先で学んでしまう
私の高校で文系だったけどこの教え方で教えてくれたし、微分と一緒に極限の範囲まで教えてくれたから、微分積分かなり理解が深められた気がしてるから有難かったな
例えば車とかロボットとかだと、センサーでずっと取れるのが自機の速度だけの場合でも、積分することで位置が分かるよねみたいな感じで使う。
必要は発明の母だよね、積分も計算道具の一種。
演義のとき、同級生が「不定積分」と言ったら、「不定積分なんていうものはない」と先生から言われたことを今でも覚えています。
俺未だに不定積分がどう定義されているのかわからんねんな
任意定数の数学的に厳密な定義がわからん
どこかで聞いたような気もしますが、高校数学では定積分を原始函数の差で定義していると聞いて大変驚きました。調べたところ随分前の改訂からそうなっているようですね。
昔は高校数学においてどのように定義されていたのでしょうか？
@@S-Hiro_ いわゆる区分求積の形で定義をするのが一般的で、高校数学でも元々そのようにしていたようですが、日本では昭和45年ごろから原始函数を使う定義に変わっていったようです。
高校の数学で、微積を習った時、同じく、物理では位置の微分が「速度」、速度の微分が「加速度」、速度の積分が「進んだ距離」と言う
ニュートン力学を習い、天才物理学者ニュートンが、微積を生み出した理由が解ったような気がした(笑)
以来、数学より物理が好きになった。
vtグラフが最高だと気づく
面積を積分で定義する場合、長方形の面積も積分で定義しなければならないが、積分を「短冊の面積の総和」とすると、循環定義になってしまうのでは…と思いました。
面積で捉えるのはあくまでイメージであって，実際には，'面積'という言葉なしでリーマン和が定義されるので大丈夫です！
小学校で面積を教える時にこういう話をほんの少しでいいから入れるようにして欲しいんだよな。初めて教わる時円とか三角形とかでいきなり公式教わってもだから何？この数字は何を意味してるの？ってなってすごく気持ち悪かったからな
後半、大学の知性を感じる内容。そこまで突き詰めて考えたいという人達が行くところが大学なんだろうな。
微分の逆演算で積分を定義する教科書があったけど、センスがない
それは積分の計算方法であって、定義ではない
少なくとも関数方程式を教える前にその説明では混乱するだけ
こんな感じで、ルベーグ隻分も解説してもらえるとうれしいです。定義の初っ端から、無限集合が出てくるから、高校生相手だと1～2回では終わらないと思うけど。:-)
古賀さんのような方が教師としてふさわしいと思います。
言ってることは分かるけど自分でやってみてと言われたらできない😭つまり理解はできるけどまだ自分のものにはなっていない😖
でも何回も見てできるようにしたい☺
どなたか教えてください
25:24 面積を積分で定義すると、長方形の面積も積分で定義されることとなるため定数関数の定積分に長方形の面積公式は適用できないのではないでしょうか？
自分の数学の知識は数3までしかないです
その知識(数III)しか無くても、あっても当然の疑問です。
逆に素晴らしい指摘です。
ただこれはちょっとした言葉使いの問題とすれば理解できます。
⚫先ず第一の考え方
長方形の面積=縦×横
と、これだけはそう定義してしまう。そしてこれを使って動画の様に曲線下の面積を定義してしまうのです。すると疑問にあるように二つの面積の定義が現れてしまいます。だから次に振り返って、長方形をx軸に平行な直線の下の図形であるととらえてその面積を同じ方法で求められる事を確認すれば両者の面積の定義は矛盾しないと判断できます。
⚫次に第二の考え方
最初に現れる分割からできる各長方形の面積を敢えて"面積"とは言わず単に縦×横の"積"と呼んで足し合わせた値に初めて"面積"と言う名前を与えるんです。するとやはりその方法で、長方形や三角形の面積は小学生で習った結果と一致することが確認できます。
私もかつて同じ説明に同じ疑問を持った事があり、その様に理解しています。
とてもわかりやすいです。
【微分積分学の基本定理の証明についての質問】
証明の際に、積分の平均値の定理を用いるとイプシロン・デルタ論法を用いずに済みますか？
rein math 循環論法になりません？
積分の平均値の定理に微分積分学の基本定理とイプシロンδ両方使っちゃってるからきついので？
ワイ浪人生、早く大学で学びたい
面積と言われているものの特徴を抽出してそれを面積の定義とするのは、もともと面積とは何かを知っているからできるんじゃないですかね。定義に関して、騙されたみたいな感覚を常に持ってしまうんですけど。
具体例から重要な性質を抽出して、抽象的に定義しなおすことはよくありますね。
そしてそれは普通、元となった例の拡張になります。
だから面積を積分で定義しなおしても、単純な図形に対する結果は矛盾せず、まったく問題はないわけです。
しかし積分のみで面積を定義するという説明には、確かに違和感があります。
まず長方形に対して縦横の積を面積と定義した後、
一般の図形に対して、有限個の長方形の和による近似の極限（＝積分値）を面積と定義するほうが、納得しやすいでしょう。
平均値の定理を用いた方法も見られますがあれは厳密ではありませんか
細かなところは無視しまして、とてもすばらしい説明でした。
きっしょ
素晴らしい！！！
約30年前、合コンだので授業にあまり出れなくて、テストで高校数学のまま解いたら、採点後に返却された答案用紙に「重大な勘違いがある」って書かれていた理由がわかったwww
名前だけは聞いたことがあるεδ法、大学の数学の方が微積分の発達順に沿っている事（高校では分かりやすさのためデフォルメされている）事が少し分かりました
この内容を、もっと時間をかけて教えないと（自らの高校時代の数学の授業において）・・ と思います。 まことに、自分に対してはこの動画を見て、残念な念があります。また、この動画を見ている、いまの高校生に対しては羨ましいとも思います。
高校数学の範囲で，定積分の定義を使って，基本定理を証明しているように見えます．
前半は微積分で挫折した頃の授業とほぼ同じ内容 f(t)dt 突然説明も無くtが出てくるところまで同じ
サンタコーデ🎅
工学系では、積分は現象を微分方程式にしてそれを解くための道具の一つて感覚しかないね（結果オーライ） 笑
あのう、質問なんですけど、工学って、自然の中で起こる、一見混沌とした様相を呈している物理現象を微視的にとらえ、これにある法則を見出し、さらに継時的変化の様態とその速度に傾向を見出し、これをもの作りに生かす、という学問なんですか？僕は、外国語学部英語学科を出て、今は外国製の医療機器の申請書類を作成する仕事をしております。申請書では、機器の動きをそのメカニズムを通じて説明する必要があって、今、数学、物理、化学、生物を高校の教科書から勉強しなおしてるのですが、エネルギーって何なのか、とらえどころがなくて苦しんでいます。電気エネルギーとか位置エネルギーとかです。なんか、ヒントになるご助言をいただけると助かります。
@@conneryjennifer636
エネルギーってなんなのか？と言われて直球で答えられる人はたぶんいないと思います。あえて言うなら、単位って事でしょうね。昔の偉い人が個別の具体的な現象を実験・分析・研究し抽象的に次元を上げて考えたら、エネルギーと言う概念で統一出来るって気付いたというのが歴史的な経緯だと思いますよ。最初からエネルギーの概念が有ったのではなく、力学を考えていたらエネルギーとなり、電気を考えていたらエネルギーになり、光を考えていたらエネルギーになって、全部の現象を相対的に考えれば物理現象はエネルギーで繋ぐことが出来るって気づいたんですよ。だから、エネルギーに直接的な意味が有るのではなく各分野の橋渡しみたいな道具と考えた方が良いと思いますよ。昔、力を表現するのに馬力を使っていたような感じです。あえてエネルギーを説明する場合は、よく言われてるのは単位で説明する事が多いですね。「1ニュートン(N)の力がその力の方向に物体を1メートル(m)動かすときの仕事」これを１N・m＝１J＝１kg・(m/s)^2でエネルギーと呼んでいるわけです。
ここからは完全に私の単なる想像ですが、エネルギーでモノ考える利点として国として規制し易いという点が有ります。権力者が法律を作る際に、基準がバラバラなもので規制すると不平不満が出るので、最初に統一した概念で基準値を設定すれば各分野に落とし込み易いという感じです。たとえば、「10000J以上のエネルギーを扱うには免許が必要」と規定して、それを電気分野や機械分野や発電分野等に変換して個別の規制をする感じです。
@@conneryjennifer636
最近の工学の主流は、実験をして結果を分析し、その中から一定のルールを見出し理論を作って微分方程式を考えます。その微分方程式を積分とかテーラー展開とか最小二乗法とフーリエ変換とかで式を変形し線形代数の形にしてコンピュータで近似解を得ます。昔はスーパーコンピュータを使い、今はGPUで計算する感じです。そして、コンピュータで少し違う条件で予測計算をし、それと同じ条件で再度実験して両方の結果を統計処理して相関関係を見るという事が多いようです。先日、ブラックホールの可視化が話題になった際にシミュレーションと現象が一致するという部分が、正にその手法です。それで、工学科は基本的にモノづくり好きだが頭はバカ（笑）が多いので数学科が考えた証明結果をつまみ食いして道具として使う事が多いです。だから、大抵で中身はブラックボックス的に使っています。まぁ、工学的な考えであれば、結果オーライであればそれでいいわけです 笑
丁寧なご説明、たいへんありがとうございました。とてもたすかりました。そうなんですね。・・単位。本質部分を可視化できない自然現象を研究して、次元を上げていったら、それがエネルギーという概念に統一できた、この概念を数的理論に当てはめて単位を作って定量化した、ということと理解いたしました。ああ、高校の時、私はこのことがわからなくて、理系の勉強をあきらめて、文系に転向しました。英語が好きだったので、英語学科に進んだのですが、会社組織になじめず、偶然今の小さな会社の社長に拾ってもらい、仕事を続けてます。偶然に理系分野の技術を知る仕事に就くことになり、理系の分野を勉強することになりましたが、こういう理屈を突き詰めていく分野を、意外と自分は好きなんだということを再認識する結果となりました。フーリエ変換は、自発的聴覚の認識応答ができない人用（例えば乳児）の聴力検査機器の検査音の周波数安定性を確認する試験のレポートで使われますが、具体的に何を確認しているのかわからないので、現在、音響学の大学用テキストを買って少しずつ勉強しています。もやもやが少し晴れた気がします。ありがとうございました。
@@conneryjennifer636
私のつたない説明がちょっとでもお役に立てたなら幸いです 笑 あと、時間があるなら個別の勉強と同時並行で科学の発展の歴史を古代ギリシャの時代から追っていくとすんなり理屈が頭に入っていくと思いますよ。なぜこういう思考プロセスになっていったのかが分かると思います。古代から現代に続く一定の考え方の筋みたいなものが有ります。あと意外な方法で、武田邦彦先生の中部大学のブログやUA-cam動画を見ると科学について高い視点で理解出来ると思います。世間ではとんでも教授のように見られている先生ですが、実際は全然違います。一貫した科学に関する統一した思考のプロセスが学べると思います。この二つをある程度学べば、なんとなく有る科学についてのモヤモヤとした違和感みたいなものが晴れるのではないかと思います。まぁ、人生の楽しみの一つと思って趣味みたいな感じで無理せず出来る所から確実にやっていくのが良いと思います 笑
髪型似合ってます！m
やっぱり数学って面白いですね。
曲線で囲まれている図形の面積を求めたいと考えたとき
図形を細かくブツブツ切ればひとつひとつは長方形と考えることができます。
長方形の面積だったらだれでも計算できます。
一旦ぶつぶつ無限個に分断したあと一つ一つの面積を計算して、あとからすべて足し上げる。
これが積分のアイデアというか定義です。
先生、この定義にしたがって、毎回無限個の長方形に分断して一つ一つの面積を計算して、また無限個足してたらさすがに日が暮れます。
手も腱鞘炎になるかもしれません。
なにかよい計算方法はないのでしょうか？
あります。あなたは微分をしっていますか？
知ってます。
よし、いきなりだが先ほど定義した積分の上端のaを変数xに変更してxの関数とみなしてこれを微分するとどうなりますか？
先生、図形的に考えてxとx+hで囲まれる図形の面積をhで割ってh→0にするんですからf(x)です。
よろしい。この式はいわゆる微分積分の基本定理と呼ばれるものだからよく覚えておいてくれたまえ。
まあ積分の定義がちゃんと分かっていればほぼ自明だが。
ではbからxまでのf(x)の定積分をxで微分したものがf(x)であるということが分かったんだから
bからxまでのf(x)の積分自体はどうなるだろう。
先生、簡単です。微分するとf(x)になるような関数とある定数の和です。
よろしい、ではその定数部分は具体的になにになるかね。
先生、難しいです。ただ、この定数はbに依存するということはわかります。
そこまでわかっているならあと少しなんだが。ではヒントを与えよう。
インテグラルxからbf(x) =微分してf(x)になるような関数＋あるbに依存する定数
だということはわかった。
この式のxにbを代入してみたまえ。
先生左辺は積分の定義から0は自明です。右辺は微分してf(x)になるような関数にbを代入したもの+あるbに依存する定数です。
そうか、あるbに依存する定数=微分してf(x)になるような関数にbを代入したものかー。
これが積分のもう少しましな計算方法だよ。もう君に教えることはなにもないよ。
先生、微分してf(x)になるようなものがどう頑張っても求まらないときはどうするんですか？
よし、今日の授業はこれまで（そそくさ）
先生ー
新手の荒らし
わからないので誰か教えていただきたいです。
19分辺りで話されている定積分の定義はs = Sが成り立つとのことですが、sだけの極限を取ればSの極限は取る必要がないと思うのですが、この考え方は定義として厳密性に欠けるのでしょうか？
よろしくお願いします
？
昔むかしの話だが偏微分と重積分で数学諦めた。相対性理論についてのレポートで高校数学で説明したら情けないと嘆かれた。時々思い出す自分の無能さ嘆く人生。
多様体の話かと思ったら違ったようたい
積分を求めた面積の定義は三角形の面積の概念の拡張なんですね😳 勉強させていただきました。
チップの箱からペン取り出すところ(1:01)で盛大に笑ってしまった
ルベーグ積分でも、微積分学の基本定理成り立つんや🙃
長方形の面積は縦×横が定義されており、この時関数が囲む面積をどう定義するかという話で認識はあっていますか？
2:15 この考え自分と一緒でうれしい
ダルブーの定理から導入した感じですかね。
えびりん そのアイコン誰ですか？
長方形の面積は縦×横で定義しているんですか？
ある定数関数を持ってきてそれを積分したものが長方形の面積になります
微分積分学の基本定理かあ、絶対値がついていても使えるっていうけどその理由が全くわからない！💦
理工学生はこんなに詳しい数学を知る必要はございません
∵に丸のついたものって何を意味するのですか？
∵(なぜならば，証明)と同じ
There are two minor gaps. First, "absolute value of delta tends to zero" needs to be defined more precisely. Let delta be a partition of the interval [a, b]. Then the absolute value of the delta is the maximum of the length of the sub-intervals. Then take the limit with respect to partition such that the absolute value of the delta tends to be zero. This definition is at the level between the one given in the lecture and one given in Mr. Koga comment. Second is about the definition of the area. Define the area of rectangle as the number of tile of unit square fits into the rectangle. Then the definite integral becomes a natural extension or generalization of the area of rectangle. Area of circle is also obtained in this way.
in the video he said that this is not precise and he avoid useing math that is taught in universities,so I think this video is for high school student
・瞬間の変化率知りたいやで→ほな出力/入力の観察スパン小さくしてこ
・変化量の総和知りたいやで→「瞬間の変化率」が分かっとるなら、それに「微小スパンでの入力量」かけて(dy/dx ×dx=dy)寄せ集めたらええやで
・「こっからここまでの変化量の総和」はどないすんねん→「原点から終点までの『変化量の総和』」出して、「原点から始点までの『変化量の総和』」差し引きしたらええやろ
証明の最後を、ごまかしましたね。
正確には、積分の平均値の定理を使うはずです。
イプシロンデルタ論法ですね^^
Δxが０になると分母が０になって人類の数学にとって不都合ではないですか？10:28
限りなく近づけるだけで、0ではないからセーフやで
そうでっか、おおきに、ありがとうございます💛
高校と大学で違うとか、高校の勉強は忘れてください、とよく言うね。
高校の勉強は無駄だったのか。
こういう決め事の話をする人間は現実逃避なんですけどね。
微積とは何ですか？
xYz aBc 微分積分いい気分
不定積分と原始関数ってイコールなんですか？
不定積分は、積分可能な関数fに対して定義できる関数で、（有界な）積分区間を入力としてfの積分値を得るモノ。
一方で原始関数の定義は、微分すると与えられた関数fになるような関数。
有界かつ連続な関数で、不定積分と原始関数は一致するというのが、基本定理の主張するところ。（だと認識しています）
@犬のお三歩、
定数ぶんの違いを無視すれば、基本的にはそうですが、不連続な関数では、必ずしもそうとは限りません。(微分しても元の関数にならないことがある)
もしかして高橋一生さんですか？
面積が定積分であると定義されたとき
面積を重積分、体積は三重積分
として定義されているんでしょうか？
不定積分とかいう謎概念を高校数学からなくして欲しい
不定積分ないと微分が理解しにくい気がするなあ....
いや、微分の逆をやる操作として積分が導入されているから必要でしょ。
@@bubblytalker1 微分してfになる関数の全体をfの不定積分と呼ぶって高校で教わるけど
「全体」ってなんやねんって話
@@jalmar40298 とはいえ、微分を勉強したときに定数項が0になることも学ぶから、「逆演算すれば結果は無数にあるんだろうな」って感覚は持てそうな気はしますけどね。
不定積分とかいう原始関数を求めるだけの作業
ルベーグ積分は解説動画がありましたね。失礼しました。_ _;;;;;;
川谷絵音？
なんで数学系動画配信者の多くは，こうも高校はダメで大学が正しい感を出すんだろ。初等数学教育の恩恵をみんな受けて育ってきたんだけどね。オレも数学科卒だから気持ちはわかるけど，こういう言い回しは本当に気になるなぁ。
こういう人達は、アカデミックに進むことは夢のまた夢なんだから察してあげなよｗ
単に大学以降の数学の方が厳密に議論出来ているからではないでしょうか？
@@おもむろ-c7p それは当たり前のことですよね。しかし高校の初等数学のプロセスがなければ，途中のステップが踏めない。そこに優劣なんてないんですよ。高校の数学の価値も語れないと，見る人が誤解しますよね。現に誤解してるコメントもちらほら・・・。
今回の動画、高校と大学の二項対立というよりかは現代初等教育と歴史的経緯の対比の話では？
@@横浜国立大学メディア研究 本気で言ってます？初等教育って，小学校とか幼稚園とかの話ですけど。あと，もし中身が「経緯との対比」だと言うなら，投稿者がタイトルを「高校と大学の対比」に変えているのは，その方が皆の目に留まりやすいという計算からきているのでしょうか。もしそのような意図があるのであれば，私の指摘がさらに当てはまるのですが・・・。
「ｔ」が凄いんだな。
no entendi weeee aiudaaa
jordy renzo esteban carhuallanqui pos k ases aki prro
例に出した三角形の方程式は一つの方程式では不可能だ。2つに分けなさい。
昔の高校の教科書を見直したら、厳密ではないが大学と同様に不定積分と定積分を別々に定義し基本定理で関連付けてあった。
昔はまともだったのに、今はゆとり教育てやつですかｗ
スペインの国立大学入学試験をスペイン語で受けたけど、こんなん日本だけかなヨーロッパには高校、大学積分とかなかったな。漢字がいやらしい。でも、数学って面白い様であんまりそうでもない。答えが決まってるから。なんとが０になったら万歳やないで、０と違うと万歳。