Скалярные произведения и дуальность | Сущность Линейной Алгебры, глава 7
Вставка
- Опубліковано 1 кві 2018
- Скалярные произведения это удобный геометрический инструмент для понимания проекций. Но поскольку мы теперь знаем о линейных трансформациях мы можем глубже понять как это работает и связать численное вычисление с геометрической интерпретацией.
Оригинал: 3b1b.co/eola
Подобные видео финансируются сообществом через Patreon.
Там вы сможете получить доступ к новым видео раньше всех.
3b1b.co/support
------------------
3blue1brown это канал с анимированной математикой, во всех смыслах слова "Анимированной". Это комбинация Математики и развлечения - в зависимости от Вашего настроения.
Если Вы первый на этом канале и хотите увидеть больше, начните с плейлиста: : goo.gl/WmnCQZ
Другие ссылки:
Website: www.3blue1brown.com
Twitter: / 3blue1brown
Patreon: / 3blue1brown
Facebook: / 3blue1brown
Reddit: / 3blue1brown
Первое видео из серии, которое пришлось слушать в итоге в оригинале чтобы понять суть. Готовьтесь переслушивать 5 раз )
Офигеть, я понял почти с первого раза. Там смысл в том, что если вы просто возьмете и перемножите два двухмерных вектора друг на друга (ну, например, вектор U и вектор W), то это просто не будет работать, потому что число столбцов в первом сомножителе НЕ равно числу строк во втором (загуглите, когда можно умножать матрицы, ну конкретно в нашем случае - столбцы с координатами x, y). То есть столбец U имеет размерность 2x1, а столбец W также имеет размерность 2x1 => умножение НЕВОЗМОЖНО. Однако если мы "ПЕРЕВЕРНЕМ" какой-нибудь столбец, т.е. превратим этот столбец в строчку (из 2x1 в 1x2) и попробуем это перемножить, то теперь удивительным образом мы можем умножить 1x2 матрицу (бывший вектор U) и вектор W (он же никак не изменился), а что еще прекраснее - перемножив все это дело, мы получим число, которое будет численно равно точечному (поправка: скалярному [косяк перевода]) произведению векторов (пусть это произведение будет численно равно, например, 420), то есть будет численно равно умножению модулей векторов (как было показано в самом начале видео): |U| * |W| * cos(α) = 420
А вот почему это так работает - объясняется в самом видео.
Также могу дать хороший совет как вам разобраться во всем этом (лично по своему опыту) - попробуйте построить два произвольных вектора в какой-нибудь координатной сетке, потом найти их модули (по теореме пифагора) и угол между ними - умножьте модули векторов и угол между этими векторами и вы получите скалярное произведение этих двух векторов, т.е.:
|U| * |W| * cos(α)
А потом представьте эти вектора в виде столбцов с двумя строками - координатами x и y, т.е.
|X1| | X2|
|Y1| |Y2 |
Вы не сможете перемножить два этих столбца, (чекайте когда возможно умножение матриц), но если вы "перевернете" один из столбцов (на самом деле можно любой) и опять попробуйте перемножить эти матрицы, то вы получите тот же самый результат, когда умножали |U| * |W| * cos(α)
Почему это так работает?
Когда вы переворачиваете один из столбцов и он превращается в строчку, то вы можете рассматривать эту строчку как линейную трансформацию двухмерного пространства в одномерное (правка: линейное преобразование [косяк перевода]), ну и короче ээээээ
дальше довольно трудно объяснить письменно объяснить, лучше видео посмотрите.
Хорошо объясняешь, чувствуется знание темы, спасибо
Данный комментарий очень помогает в понимании того, о чём идёт речь в видео. Спасибо
это пояснение - золото
насчет последней правки: не линейное преобразование, а линейное отображение
линейное преобразование является частным случаем линейного отображения векторного пространства в себя, а у нас не в себя, у нас из пространства векторов 2 на 1 в пространство векторов 1 на 2
лол, он все видео показывает точечное произведение двух 2-д векторов
1:44 не векторное, а скалярное произведение. Спасибо за переводы! Классные лекции
Косой перевод. Насчёт скалярного, конкретно сбил меня. Спасибо, что в комментах объяснено.
Вот эта очень сложная тема. я нехера не понимаю. в целом офигительские уроки.
Просто весь плейлист построен на том, что геометрическое представление матриц понятней чисто алгебраических выкладок. Но данная тема алгебраически легче, чем её геометрическое представление.
Алгебраически тут всего делов то:
- как мы знаем (хотя бы из школы) вычисление скалярного произведения векторов:
(x1;y1)*(x2;y2) = x1*x2 + y1*y2
- как мы ввели для матриц, произведение матрицы-строки на вектор (матрицу-столбец):
[x1 y1] [x1] = x1*x2 + y1*y2
[x2]
- так это ж одно и тоже. Ура, дуальность. Скалярное произведение двух векторов дуально произведению матрицы-строки на матрицу-столбец.
@@user-gx2fg2ll1j гениально ) и это вся магия из видоса ?
Я тоже на этом все.... поплыл. Превратилось в белый шум. Ведь нифига со школы не помню. Больше 25 лет прошло.
@@mymobigoogle205была такая история, повторяю . уже полно видео объяснений н алкильные темы, школьная программа это основа
Когда всю жизнь пользуешься линейной алгеброй, но только сейчас понял почему это работает. Цитата в начале видео очень кстати
Просьба доверить перевод человеку, хоть немного разбирающемуся в теме и понимающему, что переводит.
Суть: найдется такой вектор в 2D пространстве, который можно рассматривать как оператор проецирования
и это действительно круто!!
С его помощью можно легко найти проекцию любого вектора из 2D пространства на "линию чисел"
"Проецирование любого единичного вектор на копии чисел" - не самая простая фраза для понимания.
уф это было сложно, пересмотрела 4 раза, спасибо
Успокаивает, что я не один, кому показалось сложно )
Ух, сам буду пересматривать с утра. Вроде разобрался, но надо будет повторить чтобы не забылось.
Смотрел наверное раз 10, ничего понять не мог, а потом перефразировал по своему, что любые координаты - это точка, которая образует некую длину вектора, если от этой точки протянуть линию к началу координат. Когда автор говорит о проекции длины одного вектора на длину другого, это просто сравнить между собой палки разной или одинаковой длины и перемножить их длины. В умножении абсолютно все равно вы берете длину палки один и умножаете на длину палки два, или наоборот, от перемены мест множителей произведение не изменяется, именно поэтому любое умножение этой длины палки на число, гарантированно отображается на значении произведения длин этих палок увеличивая их на произведение этого дополнительного числа, и неважно в произведении сперва это дополнительное число перемножают с длиной первой палки, а потом полученную длину умножают с длиной второй палки, или наоборот, произведение от этого не изменится, поэтому и будет такая зависимость.
ааа, я осознал глубинный смысл того, о чем говорится в этой лекции. Начну издалека. Читал фантастику, где более развитая раса инопланетян убивала менее развитые расы путем уничтожения их пространства (они боялись, что если расу не уничтожить, то она разовьется и уничтожит их). Она посылала в другой конец космоса определенный предмет, который попадая в нужную часть космоса начинал преобразовывать трехмерное пространство в двухмерное. Эта вещь расползалась с некоторой скоростью, поэтому сторонний наблюдатель мог как бы наблюдать, как всё, куда попадало это оружие, проецировалось на двумерную плоскость. Этот наблюдатель не знал, живы ли те, кто спроецировался туда или нет, он только видел проекции тех вещей, которые попали в зону поражения. В тоже время, от этой расы давно улетел корабль, который был на очень большом расстоянии от этой звездной системы. В полете, они попали в какую-то аномалию. Описывая эту аномалию, они рассказывали о каком-то расширении, они видели свою реальность как бы насквозь, каждый предмет представлялся перед ними и они одновременно различали всю его структуру. Это пространство оказалось 4-х мерным. И они видели трехмерное пространство так, как мы видим что-то на плоскости. Те существа, что "живут" в этой плоскости не могут видеть того, что находится за пределами этой плоскости. Фишка скалярного произведения в том, что мы как бы берем один вектор и засовываем его в пространство другого вектора. Из-за искажения пространства этого вектора, другой вектор как бы попадает в мир другого вектора и теряет возможность существовать за пределами вектора. в который попал. У него остается только проекция, которая выражается в виде числа. Грубо говоря, в этом пространстве этот вектор уродуют до такой степени, что от него остается только то, что может остаться в этом пространстве, а именно его мера, подогнанная под это пространство. Но при этом тут можно найти удивительную вещь. Если вспомнить, что скалярное произведение коммутативно, то получается, что в другом случае уничтожается сущность другого вектора и он имеет ту же меру, что и у того вектора. Прям теория относительности какая-то. Либо при произведении их пространства калапсируют и меняют друг друга, оставляя только безликую цифру.
А еще можно задуматься над словом скалярное. Ранее показывалось, что умножая вектор на число = скаляр, мы как бы увеличиваем или уменьшаем длину этого вектора, т.е. мы изменяем его самого в его же пространстве. Но, если мы берем вместо скаляра вектор, то уже этот вектор изменяет не только сам вектор, но и его пространство. А если у нас два вектора, то мы можем вернуться в начало у увидеть кручение пространства. Именно поэтому умножая скалярно на матрицу из двух векторов нельзя менять порядок, т.к. изменение=мутации в разном порядке дают разные развороты. У меня только вопрос остался... В лекции мы видим линейное пространство и число на нем. Но на листе бумаги мы видим только число, направление куда-то девается. По-моему, мы не правильно записываем результат в тетрадях.
Пришла гипотеза, что когда мы перемножаем скалярно вектора в тетради, то они как бы покидают двумерную плоскость тетради и переходят в линейную плоскость того вектора, который был первым. В линейной плоскости нет понятия направление, есть понятие длины. По сути после перемножения векторов мы получаем координату в линейном пространстве второго вектора.
Идущий к реке 2.0
@@mymobigoogle205 хаахахха
С каждым просмотром понимал все больше, после 8 раза все дошло, решил задачку из учебника геометрическим путем описанным тут, все увидел своими глазами и уже закрепил, блин реально классно
Ты из какого класса?
Крч ребят, у нас есть два генерала в 2д пространстве, у одного из них шизофрения и мания величия и его вторая личина (слово двойственность) это сравнивать себя с другими генералами, он может как быть и просто 2д генералом а может и по своему шизо интересу сравнивать людей став 1д и заставить остальных генералов рядом стать 1д чтобы сравнить себя с ними (на званиях рядовой) (понизить им "РАНГ") чтобы их понизить по своей воле, генерал сначала разработал инструкции как он низводит все пространство и всех генералов рядом в рядовые (изготовил бомбу, которая и его тоже автоматом заденет кек) эта бомба есть изменение базиса i и j ---> в контекст 1д линии (этого генерала который себя возомнил линией для своих корыстных целей) внутри этой бомбы на самом деле матрица перехода от одного базиса к другому, просто мы ее вывели не как в главе 9 которая будет позже через некие правила, а интуитивно через некоторые соображения симметрии показанные в видео, бомбу приводит в действие операция точки (сигнал) как только шизоидный генерал стреляет сигнальной ракетой, ставя ту самую точку между собой и другим генералом, бомба детонирует, и колапсирует все пространство и всех 2д генералов которым он поставил точку (в почку..), в рядовые, понижая им "РАНГ" , довольный шизо генерал после детонации бомбы, встает контуженный но живой, смотрит по краям воронки от взрыва кто живой, тот кто остался жив ( то есть булево 1) тот красава имеет стальные кхм кхм как и у генерала (похож на него), тот кто 0 те погибли, шизо генерал посчитал их не похожими на себя (слабоватые) те кто -1, генерал счел красавами но с одной ногой теперь они двигаются не так ровно как он сам) (в неком другом направлении кек)
вот так и оказывается что есть такие двоякие придурки в каждом пространстве которые могут устроить анархию, тем что у них есть две возможности жить спокойно 2д вектором или устроить резню с проверкой на схожесть))
ах да забыл сказать что эта бомба и есть тот шизо генерал, это не два разных обьекта, на самом деле бомба это то самое преобразование которым может стать 2д генерал (физическое воплощение лин.преобразования ) (угрожая взорваться если применит тайный прием точку, которому его обучил сам эфир мира сего(линейное пространство с его свойствами)) бомба - его способность, бомба - его вторая натура камикадзе /-_-\
Друзья, объясните, пожалуйста, почему результатом скалярного произведения (или точечного? как правильно?) является одно число? Мы на входе имеем два 3d вектора, находим их скалярное произведение и получаем одно число. Зачем это число нужно? О чем оно нам говорит?
Правильно скалярное произведение. Оно говорит на сколько два вектора похожи. Условно если ты умножаешь вектор (1, 0) * (1, 0) == 1(одинаковые), а если (1, 0) * (0, 1) == 0(ортогональные).
@@JohnWickMovie спасибо!
Такое произведение широко используется в физике, например в электромагнетизме.
Скоро сессия, а у нас карантин, и я должен сам пройти тему линейных пространств (вот только я хз зачем это нужно экономисту), а вот все эти видосы дали мне возможность связать в голове всё то, что мы прошли за два семестра, спасибо вам за перевод, но всё ж жаль, что из-за перевода некоторые моменты становятся оч странными
А у нас в 2022-2023 это изучают за 1)) тоже экономист
Возникает вопрос - а почему произведение (проекции вектора на другой вектор и вектора, на который проецируют) равно сумме произведений соответствующих координат? 1:35
Хахаха, тот случай, когда даже непонятно, что непонятно.
И не говори.
точечно умножить 2 вектора это транслировать один из них в мир трансформаций. нет, в письменном виде это выглядит еще тупее
Все-таки бессчётное количество произнесенных шапок только усложняет восприятие. Шапки не нужны.
Ага. Главное вовремя прервать просмотр ролика.
Не понял от куда взялось [1;-2] в результате трансформации базисних векторов. Почему именно такие числа?
9:26 вот это я понял
а дальше почему проекция i с шапкой на диагональную линию чисел не будет i с индексом... с индексом чего-то там)
не ну а чё получается координата ux меньше чем 1? как это так?
Thanks
7:20 О, в этом я мастер
После этих слов:
Кто я такой
🤣
Замечания к переводу (очень тяжело это слышать): 1)"Точечное" = скалярное; 2) Трансформация = преобразование; 3) Спэн??? Это что за покемон? Имелась ввиду линейная оболочка (т.е. Span вектора = линейная оболочка вектора) 4) 2D, линия чисел - принято говорить двумерное пространство, числовая прямая 4) "Айген числа", "Дуаль" - без комментариев. Можно продолжать ещё долго. Безусловно, контент хороший, однако переводом испорчена значительная часть и многие важнейшие детали искажены или вовсе в корни неправильны (хорошо хоть картинка есть). Просьба доверить перевод человеку, хоть немного разбирающемуся в теме и понимающему, что переводит.
Ты хоть знаешь, что это плейлист и его надо смотреть по порядку
Согласен полностью. Перевод нужен, но нормального качества. Эти видео смотрят, если не знают достаточно английский, чтоб посмотреть оригинал, или не разобрались в самом оригинале. А от такого перевода понятнее ненамного. Спасибо за то, что делаете, но.
бесконечно плюсую))
Именно поэтому перевод должен делать не только лингвист, но и математик.
Примеры:
На многих языках смазывать и окрашивать это одно слово.
В фильме "Аватар" часто звучит, -Я тебя вижу. В тюрских языках "-Я тебя хорошо вижу." означает "Я тебя люблю".
Придирки не в тему
Да, тяжёлый видос получился. Думаю, буду не раз возвращаться, чтобы понять.
То, что я помню из школьной геометрии, скалярное произведение - это косинус угла между векторами или длину проекции. Как-то не соотносится с тем, что надо длину проекции домножать ещё и на длину вектора... Видимо, плохо запомнил.
Получается, косинус угла - скалярное произведение нормализованных векторов (у которых длина = 1)
У скалярного произведения две основных формулы
1. a*b=|a|*|b|*cos(a;b), где a и b - векторы, cos(a;b) - косинус угла между векторами
2. a*b=Xa*Xb+Ya*Yb+Za*Zb, где Xa - координата х вектора а, аналогично и другие координаты
Обе формулы есть в школьном курсе
@@3blue1brown31 да я уже и сам загуглил. Но все равно спасибо
Вот короче как я понял почему длина проекции вектора w на линию которая проходит через вектор v умноженная на длину самого вектора v это тоже самое что умножение двух векторов по правилу точечного произведения. Если мы хотим перенести вектор описанный двумя координатами в единичное пространство, то есть на числовую линию после линейной трансформации, что нам нужно знать? Координаты i с шапкой и j с шапкой, тогда мы уже по известному нам правилу складываем x * на координату i с шапкой и y * на координату j с шапкой и получаем точку в которой будет конец трансформированного нами вектора. Но, когда мы проецируем вектор на числовую ось, мы сразу знаем координату его конца, то есть теперь нам не надо знать координаты i с шапкой и j с шапкой на числовой оси, нам нужно знать только координату u с шапкой, который не просто так назван u с шапкой, не сложно понять что он является результирующей трансформацией i с шапкой и j с шапкой, то есть насколько изменится спроецированный вектор, то есть теперь всю линейную трансформацию описывает одно число - конечная точка вектора u с шапкой. А теперь мы понимаем что u с шапкой это так то и есть тот самый вектор v, а когда мы проецируем w на линию проходящую через v, то умножая длину проекции на вектор мы линейно трансформируем вектор w. То есть сам вектор v и описывает нам линейную трансформацию, поэтому мы можем представить его координаты по сути как матрицу c координатами базисных векторов, и именно поэтому точечное произведение будет выглядеть именно так как оно выглядит. В случае же если мы проецируем v на w, то теперь понимая что умножение длины проекции v на длину w будет тоже самое что точечное произведение мы видим что в данном случае от перестановки множителей произведение не поменяется и результат будет тем же что и описанный в первом предложение мной. Щас просмотрел до 12 минуты, по сути там тоже самое и сказано
Маловато примеров в этой серии. =(
Ага, это получается, что скалярное произведение векторов это не что иное как проекция одного вектора из n-мерного пространства в одномерное пространство другого вектора, который представляется в виде числовой прямой. И наоборот
ну так формула же есть всеми известная a(вектор)*б(вектор) = |a|*|b|*сos(a^b) , она вроде и в школьной программе присутствует, и кстати в школьных учебниках довольно понятно расписано, что да как
Кто-то может подсказать зачем нам всё это, если можно просто перемножить как на 10:24 внизу вместо того, чтобы заморачиваться и делать как на 10:24 вверху?
Разные операции
почему вектор связан с матрицей 2х1? я не могу понять, почему мы берем и представляем, что вектор при скалярном произведении, можно представить как матрицу, которая преобразовывает пространство в линию.
Пересмотрел 3 раза😂
Я что-то не пойму почему проекция ложится именно так, а не иначе. Может кто-нибудь прояснить?
Как я понимаю: когда мы ищем проекцию вектора на ось, допустим x, мы опускаем из конца вектора линию, перпендикулярную оси x, расстояние от начала координат до точки x и будет проекцией вектора на ось . Тут так же, только проекцию мы делаем не на ось, а на другой вектор. Расстояние от начала координат до точки одного вектора, откуда можно провести перпендикуляр в конец другого и есть проекция второго вектора на первый
@@pshonnik спасибо, теперь понятно
Это было сложно)
всё. на этом видео я сдался
ну никто не говорил что будет просто. А так да, тема сложная для понимания. Но и вся серия видео рассчитаны на людей, которые имеют уже опыт с Линейной Алгеброй, и хотят понять что и почему. Задачи делать нужно.
@@hyp3rion_ курс для всех расчитан,я понятия не имею что такое линейная алгебра но всё вышесказанное в этих видеоуроках понимаю.
@@dziumka_chanстранная претензия, учитывая что список воспроизведения в котором лежит данное видео называеться "Сущность Линейной Алгебры".
@@hyp3rion_ так я о том что опыта ноль ,только эти видосы,сам автор говорил что даже для челов без опыта норм будет
Кто-то понимает что происходит с 9:00 ? Вопрос в том, почему проекции на вектор не складываются? Почему если спроектировать i и j на u, а затем сложить эти проекции то получится вектор больший чем u?
кажется понял. они и не должны складываться в линию, это по прежнему базисные вектора, которые надо складывать по правилу сложений векторов. то есть i` = 0.3i, j' = 0.7j как пример
и все таки не понятно.
на 6:25 мы складываем i и j, чтобы получить число на прямой, потому что i и j уже лежат на одной прямой и трансформированный вектор (4; 3) будет представлен в виде числа 3 * (-2) + 4 * 1 = -2.
начиная с 9:00: описывается вектор u, который задается некой трансформацией. допустим, что угол поворота для вектора u относительно оси x будет 30 градусов, тогда координата i = √3/2, координата j = 1/2. 1/2 + √3/2 ≠ 1. Тогда почему мы складываем i и j, когда ищем скалярное произведение одного вектора на другое?
есть предположение, что они и не должны при сложении давать 1.
Видео стоило би разделить на две части. Так было бы проще понять.
Как вообще пришла в голову идея перевести скалярное произведение дословно как точечное?)) Видео оч крутые, перевод кстати тоже норм, голос хороший, но время от времени соедржательная часть перевода просто полный отврат и смахивает на гугл транслейт.
Потому что знак перемножения - точка) а если крестик то это крестовое произведение(cross product), оно же векторное. Что чукча видит то и пишет))
Точечно умножить 2 вектора - это транслировать один из них в мир трансформаций. Очень сложно понять.
это невозможно понять, потому что это набор несвязных слов.
у меня через 4 минуты персдача😭🤦♀️
какое-то путаное объяснение, прыгание туда обратно. можно как-то выделить главное и изложить тезисно?
не ТОЧЕЧНОЕ, а СКАЛЯРНОЕ -.-
по-английски это dot product. С одной стороны ты прав, по-русски в учебниках написано именно скалярное, а с другой, это синонимы)
Круто, но ничего не понял.
По-русски мы не говорим "точечное произведение". У нас это называется "скалярное произведение".
*простые вещи сложными словами
Скалярное, а не точечное, неужели так тяжело переводить тексты?
Если небольшие косяки перевода помешали вам понять это видео, то я настоятельно рекомендую покинуть мир математики
Иди лесом, советчик
@@user-fx9ns5vf5y надеюсь, вас там не увижу
перевод конечно ужасный Какое точечное производенеие и дуальность? Эти вещи называются скалярным произведением и двойственностью. И что за и шапка и джи шапка?)