【視聴者からの裏技】３変数交代式の因数分解

[@johnta1010]

確かに便利ですね
この機会に証明して定着させるのが良いですね
交代式をf(a,b,c)とおくと、交代式の性質から
　f(b,a,c)=-f(a,b,c)
a=bを代入すると
　f(b,b,c)=-f(b,b,c) → f(b,b,c)=0
よって(a-b)を因数に持つ
(b-c),(c-a)についても同様
以上より
　f(a,b,c)=(a-b)(b-c)(c-a)g(a,b,c)
次はg(a,b,c)が対称式である証明
a,bを入れ換えて交代式の性質から右辺を比較すると
-(a-b)(b-c)(c-a)g(a,b,c)
=(b-a)(a-c)(c-b)g(b,a,c)
=-(a-b)(b-c)(c-a)g(b,a,c)
→ g(a,b,c)=g(b,a,c)
aとc、bとcの入れ換えも同様
よってg(a,b,c)は対称式

[@BaggageSea]

よってaーbを因数に持つというところがわからないのですが，教えていただきたいです🙇‍♂️

[@johnta1010]

@@BaggageSea 因数定理です
f(x)がf(α)=0ならばf(x)は(x-α)を因数に持つ
この場合はf(a,b,c)ですが同じこと
f(b,b,c)=0ならば(a-b)はf(a,b,c)の因数です

[@イクタリアン-k3i]

紹介してくださりありがとうございます！
3変数5次交代式とかになると、降べきの順に整理するやり方だとめちゃくちゃ大変なので、この方法を習得しておきたいですよね！

[@しいたけヨーグルトン]

k,lの値はa最高次数とa^0の係数を比較すれば簡単に出るような

[@kaiyassu5507]

青チャートに3変数の交代式(x,y,z,とすると)は(x-y)(y-z)(z-x)を因数に持つことが書いてあって、いつも因数分解はあとは係数比較とかでなんとかできるって考えてる
同様に3変数の対称式は(x+y)(y+z)(z+x)を因数にもつことも書いてある

[@user-REDACTED]

対称式の件は正しくは、「x+yを因数に持つ⇒y+zとz+xも因数に持つ」だよ（他2つも同様）

[@saketyu]

aとbを入れ替えると式全体の値の符号が反転する
⇒aとbの値が同じだった場合
⇒aとbを入れ替えても式の値は変わらないはず
⇒でも、交代式の性質は満たさなければならない
⇒となれば、a=bのとき、式の値はそのままでもマイナスかけても同じ値になる
⇒そのままでもマイナスかけても変わらない数
⇒式の値＝0
⇒よって、式はa-bを因数にもつ
⇒bとc、cとaにも同様にして考えると
⇒(a-b)(b-c)(c-a)を因数にもつ
という解釈ですかね🤔

[@aiokose9014]

5:31
一次の対称式の一般形はa+b+c+(定数)だが，今回は元の式が同次式（全ての項が同じ次数）なので，因数の次数も全て同じと言えて(定数)=0と分かる。
関係ないですが，3変数の2次の同次対称式が，j(ab+bc+ca)+k(a^2+b^2+c^2)で書けるというのを知れて良かったです。

[@Gnu-Min]

チャートに記載があるようですがFGにも書いてありました！(という報告だけしておきます)
ですが「交代式は因数分解すると対称式になり、対称式を因数分解すると交代式になる」の記述ぐらいで、係数比較で解けるよ〜とかは書いてなかったです。
やっぱりより数学的な内容が深いのはチャートなのかもしれないですね。

[@お腹すいた-y9m]

自分はb-cのところをb-a+a-cとしてから解きました。
自分のは途中で展開を使ってはいますけども

[@ataualpha7456]

オイラーの因数分解シリーズかあ
瞬殺攻略ももちろんありだけど
地獄の降べきの順で解く能力も欲しいよな

[@ちーねこ-l7z]

学問の本来の楽しさをきちんと伝えるための配慮や工夫が、10分強の動画の中にとても多く感じられます♪
こういうチャンネルが自分が受験生の時にあったら,勉強ももっと違った感情で取り組むことができたのかも、、
学生を卒業してから大分たつけど、今はネットを通して”楽しみながら”勉強させてもらってます。
ありがとう。

[@smania0711]

やや不正確と思われたので……。
(1)(2)で両方とも「aの次数」に着目していたと思うのですが、「aの次数」が1次や2次である対称式は無数にあってしまいます。(ab+bc+caもaの1次だと思えてしまう)
残りの部分が「対称式」なだけなので、あくまでg(a,b,c)という対称式となる以外の特定は本来できません。(たとえば(1)は本来k(a+b+c)+lと定数項まで置くのが正しい一般化です)
ただし、今回の(1)(2)については「a,b,cについての次数」が(1)は4次のみの式であり、(2)は5次のみの式なので、残りの対称式に現れる対称式が(1)では「k(a+b+c)」(2)では「k(a^2+b^2+c^2)+l(ab+bc+ca)」のみに限られます。((2)でm(a+b+c)を考えなくてよい！)
最初の頃は意味不明な「○○について着目したときの次数」にこうした意味が生まれることは興味深い内容ですので、是非1文字着目の定石と比較する形で紹介していただけると幸いです。

[@しいたけヨーグルトン]

3変数の交代式が基本交代式(a-b)(b-c)(c-a)を因数に持つことは経験で知っていましたが残りが対称式になるとは気づきませんでした。

[@TAMAKA6192]

おはようございますです。
これはかなり難しそうですが
どこぞの赤いの「a^3-x^3-y^3-z^3 の補講の後に出てきたらいくらなんでも瞬殺案件ですぞ」
(1) (a-b)(b-c)(c-a)(一次式)
(2) (a-b)(b-c)(c-a)(うんたらかんたら)
うんたらかんたらの中身はたぶん整数係数では因数分解できないとみました

[@mathseeker2718]

因数定理ですね！

[@daichan726]

最初の問題は、1次式の候補として、k(a+b-c)や、k(a-b-c)や、k(a+b-c)はあり得ないのでしょうか？それとも、k(a+b-c)や、k(a-b-c)や、k(a+b-c)は『対称式』ではないのでk(a+b+c)のみで良いのでしょうか？

[@啓太佐々木-w9r]

a.b.cを入れ替えたら答え変わるんで対称式じゃなくないですか？

[@kiss_off]

２変数・３変数の交代式が必ずもつ因数については、新しいチャート、白・黄・青・赤のすべてに記載があります。すべて確認していませんが、古い版にも書いているようです。

[@古田真-h7u]

これ洒落ているね。

[@7.3.]

7:06 こういうところは謙遜する美徳というやつじゃから、見ている連中は本気にしないようにの。

[@smbspoon-me-baby]

フネ「そうですねぇ」

[@yuiaoren_agar]

これはすごい…w

[@きょーちゃん-s6b]

係数比較のほうが早いかな？
それとも任意に代入した方が早いかな？

[@山川-w5s]

30年生きてきたのに知らなかったあ！！！くそぅ、損してたあ。。

[@sanmanotataki]

(1)4次式(2)5次式だと思うんですけど、違いますか？

[@ポンデリングのポ]

普通にやってみたけど、次数の低い数で見る基本を抑えれば一応できる。記述ではこっちかな？

[@たんしお-m3z]

これ二次で別の所で計算した答えをいきなり書いてもおけ？

[@ダルマ-d2q]

(１)の問題は四次式ではないんですか？

[@user-vt8sz2jh9b]

チャートに乗ってたから2倍得だ

[@hirokahhh8011]

数値代入をしたら十分性の確認をしないといけないとダメなんじゃないですか？誰か教えて下さい！！！

[@大学生のわたあめてんこもり]

したことにしてるんだよ

[@ジョン永遠]

あることがわかっていて，それが一意に定まるなら，それが答ですよ．
あるとすればという仮定(存在がわかってない場合)で決めたときや一意に定まらない場合は十分性の確認が必要（２つのうち1個はボツとかどっちもボツで実は存在しなかったとか）

[@毒人間-l5u]

三元交代式ではなくて？

[@user-0314-dayofPi]

このワザ、考えたヤツ誰だよ😂！神！
塾や家庭教師で使わせてもらうわ！

[@マカロニ-g2c]

便利だけど記述どう書くんや。これは3変数交代式だから、(a-b)…を因数に持ち、みたいなのはおっけーなのか？

[@user-REDACTED]

去年同じこと考えたんですが、記述の場合は検算として使うくらいに留めて置いた方が良さそうです。もっとも、問題の途中式で因数分解が必要な時に関しては記述せずにサクッと（与式）=（因数分解形）で良いと思います。

[@仮名-c1d]

結果出てきた式を展開して元の式になるって書けばオケ

[@Xapphire.]

河〇玄斗が先にやってたな
まぁ河野玄斗もパクってるからいいか

[@村数]

理由は説明しないの？

[@清原元輔-v6f]

こうのげんとのパクリばっかで草