【正答率1%】三角関数の超難問(有名な解法です)

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  • Опубліковано 23 гру 2024

КОМЕНТАРІ • 177

  • @mathlabo
    @mathlabo  3 роки тому +41

    別解もありますので、思いついた方は是非コメントで!コメント欄も「みんなでつくる」学び場にできれば嬉しいです。

    • @Ohma_ZI-O
      @Ohma_ZI-O Рік тому

      x.yは なに 数って書いてあるんですか?

    • @bigbruhhhhmoment
      @bigbruhhhhmoment Рік тому

      @@Ohma_ZI-O 実数だよん

    • @Ohma_ZI-O
      @Ohma_ZI-O Рік тому

      @@bigbruhhhhmoment 🐜🐜🐜🐜🐜🐜🐜🐜🐜🐜!

  • @bee9011
    @bee9011 3 роки тому +44

    傾きで表せるの初めて知った
    感動。

  • @ユッチャン-n3b
    @ユッチャン-n3b 3 роки тому +30

    ちょうど以前「傾き」を使った解法を教わっていたおかげで解けました!ありがたいです!

  • @YouTubeAIYAIYAI
    @YouTubeAIYAIYAI 3 роки тому +33

    備忘録75V" 2周目 〖 図形的解釈が上手い 〗 P( X, Y ) として、
    【 ( X, Y )= ( 5, 0 ) +2・( cosy, siny ) +( cosx, sinx ) とおくと、】
    ( 与式 )= Y/X より、 OPの傾きの最大値が求めるもの。・・・①
    動点 P は、中心 ( 5, 0 ) で 半径が 2 の円周上の 任意の点を中心と
    する 単位円上の点の動きと 捉えることができる。・・・②
    ①と ②を 合わせて、 中心 ( 5, 0 ) で 半径が 3 の円と 直線OPが、
    接するときの OPの偏角を θ とすると、3 : 4 : 5 の直角三角形に注意
    して、 ( OPの傾きの最大値 )= tanθ = 3/4 ■

    • @YouTubeAIYAIYAI
      @YouTubeAIYAIYAI 3 роки тому +3

      ( 与式 )= Y/X= ( OPの傾き )
      と解釈できる。
      動点Pは、双節棍 ( ヌンチャク )の動きとなる。

  • @とある男N
    @とある男N 3 роки тому +50

    この傾きの授業めっちゃ覚えてます前やったやつです点と直線の距離もわからず見てました笑笑

  • @コーシーシュワルツ-x1x
    @コーシーシュワルツ-x1x 3 роки тому +16

    コメント欄にも色んな解法あって勉強になる

  • @user-rt1co5zc2q
    @user-rt1co5zc2q 2 роки тому +13

    P(cosx+2cosy,sinx+2siny)とQ(-5,0)として、Pの存在範囲は原点を中心とした半径3の円の内側であることを利用してPQの傾きを出しました

    • @Satou_Takashi
      @Satou_Takashi Рік тому +4

      正確には円形ではなく外径3、内径1のドーナッツ状の範囲です。

    • @user-rt1co5zc2q
      @user-rt1co5zc2q Рік тому +1

      @@Satou_Takashi ほんとですね。ご指摘ありがとうございます。

  • @fkfk-wy2bl
    @fkfk-wy2bl 3 роки тому +7

    三角関数、直線と傾き(接線)、相似、、、教科書の色々な単元が入っていて感動しました。

  • @おやまやま125
    @おやまやま125 3 роки тому +5

    16日目!これmathlabo見てなかったら絶対解けなかった問題な気がします…コメント欄の他の方の解き方も参考になりました。

  • @かすテイラー
    @かすテイラー 3 роки тому +5

    めっちゃゴリゴリだけど解けたー
    与式=kとおく(kは実数)
    これを整理すると、
    sinx-kcosx +2(siny-kcosy)=5k
    √1+k^2{sin(x+a)+2cos(y+a)}=5k (aは合成における位相の変化の値)
    (√1+1/k^2)(sinX+2cosY)=5 (k≠0)(XとYは置換)
    これを2乗してさらに整理すると…
    1+1/k^2=5^2/W^2.・・・(➀以下ではsinX+2cosY=Wとする)(一つ前の式より右辺が正なので0

    • @ああ-b6i7s
      @ああ-b6i7s 5 місяців тому

      ポイントは k だけの式と x と y の式に分離できたことですね。
      これはたまたまと見るべきでしょうかね

  • @p-1math38
    @p-1math38 3 роки тому +2

    与式は単位円上の2点(cosx,sinx)(cosy,siny)を2:1に内分する点(円上か円の内部に存在する)と(-5/3,0)を結ぶ直線の傾きになるからx=yかつ直線が円に接するすなわち原点との距離が1になるとき最大になると考えたけど…動画のやり方の方が分かりやすいですね

  • @ブラック-q8m
    @ブラック-q8m 3 роки тому +11

    P.Qの座標を定め、傾きを考える、
    求める最大値は円の接する条件を利用。
    定番の補助線、相似を使って終わり。

  • @zokarjak
    @zokarjak 3 роки тому +18

    正解率が低いからといって、授業で取り扱わない理由にはしてはいけないと思いました。
    懲りずに、多角的に学び続けようと思います。
    40代教員

  • @いあ-v2h
    @いあ-v2h 11 місяців тому +1

    与式をtでおいてそれぞれsin、cos同士で合成してその後に左辺はsinとcos.右辺はtの式に直し、左辺の範囲が-3以上3以下であることから、右辺の範囲も同様であることがわかり、その範囲内で右辺のグラフを書いて、最大となるtを求めた 数3使ったけど解けた

  • @poteton
    @poteton 3 роки тому +15

    ショートプログラムやってたから
    解けました
    P(sinx+2siny , cosx+2cosy)
    Q(-5 , 0)
    とするとPが原点中心半径3と2の円
    で囲まれるドーナツ上を動くから
    PQの傾きの最大はすぐに出ます

    • @uy8801
      @uy8801 2 роки тому

      どうやって解くんですか

  • @oñanoco
    @oñanoco 3 роки тому +6

    これ初見の時感動したわ

  • @showyama1863
    @showyama1863 3 роки тому +15

    『傾きが最大となる直線は、2円に接する(動画内でいうP', Q'を通る)直線である』という事実は自明なのでしょうか。図より明らかではあるのですが、答案上で論証の必要性があるのかが少し気になりました。

    • @kiichiokada9973
      @kiichiokada9973 3 роки тому +1

      まずテキトーに点Qを円上に取ります。(説明しやすいようにy>―1となるように取ると良き)
      次に点PをPQの傾きが最大になるように取ります。このとき、直線PQが円Oの接線になるのは自明です。
      最後に点Pを固定して点QをPQの傾きが最大になるように動かすと直線PQは円Bの接線にもなります。
      丁寧に説明するとしたらこんな感じですかね。表現が不十分だったらごめんなさい。

    • @kiichiokada9973
      @kiichiokada9973 3 роки тому

      @@user-principal
      なるほど……
      それは私にはちょっと力不足かもですね……

    • @HideyukiWatanabe
      @HideyukiWatanabe 3 роки тому +2

      R(cos(x)+2cos(y)+5, sin(x)+2cos(y))はQを固定するとQを中心とした半径1の円周上を動くから、Qも動かすのこの半径1の円周がQの動きに沿って1周するので、Rの軌跡は、
      (5,0)中心の半径1と3の円で挟まれるドーナツ型となる。このときにORの傾きの最大と考えると2つの点を考えずに済みます。
      一般の場合も同様にやるのが論証的には楽かと思います。
      ドーナツ型の論証は丁寧にやるなら必要十分に分けて三角不等式で出来ます。
      でも論証丁寧にやるくらいなら=kと置いて三角関数の合成使った方が答案書くの楽かも。

    • @yukihyde1
      @yukihyde1 3 роки тому

      その点については、
      P’ を原点、直線P’Q’を X軸とする
      XY平面を描くと明らかに分かれます。
      もし P, Qが P’, Q’ 以外の位置にあったら
      それぞれの Y座標が正と負だから、
      直線PQの傾きは負と成ります。
      (この際、計算を行うと、円P’周上の任意の点のX座標は、円B周上の任意の点のX座標より小さいです。)
      更に、P, Qが P, Qならば
      その傾きは 0 ですね。

  • @IdentityV_addict
    @IdentityV_addict 4 місяці тому

    こういうおもろい問題あると印象に残って頭に定着しやすいよな すきだわこういうの

  • @ああ-k7q6y
    @ああ-k7q6y 3 роки тому +24

    やっぱ数学面白いな。大学受験からはさよならしたけど、教養としてやりたいな

  • @overcapacitywhale
    @overcapacitywhale 3 роки тому +43

    サムネで解けました!めっちゃ気持ち良かったです。

  • @TakuT.
    @TakuT. 11 днів тому

    傾きの最大値を求めるところまでは何となく行けるけど、相似を使うのはなかなか思いつかないw
    役に立ちました。

  • @hideo_787
    @hideo_787 3 роки тому +3

    うん、うん、と思って見てるうちにあっさり解けてびっくりした‼️
    分かりやすい解説ありがとうございます😊

  • @アスピ-b8j
    @アスピ-b8j 3 роки тому +6

    xとyの位相同じなら都合良く最大(或いは最小)になりそうだな、x=yにしてxで微分して3/4
    ↑たまたま当たってしまった、実際図でもそうなってる。
    分数形を2点の傾きと捉える手法を覚え直しました。

  • @HALmykn
    @HALmykn 3 роки тому +2

    類題を見た事あるのでサムネで解法分かって解けました!

  • @komattajyukennsei
    @komattajyukennsei 3 роки тому +2

    面白い、、衝撃的でした!

  • @清水怜-o6j
    @清水怜-o6j 3 роки тому +3

    いつも本当にありがとうございます😊
    すばるさんは教えるのがとても上手でいつも学ばせてもらってます。僕も地方公立高校なので励みになります!

  • @あか-u3d
    @あか-u3d 3 роки тому +22

    略解
    (与式)=k⇔sinx-kcosx+2siny-2kcosy=5k⇔√(k2乗+1)cos(x+α)+2√(k2乗+1)cos(y+α)=5kー①
    ①はx=ーα、y=ーαのとき最大で左辺=3√(k2乗+1)となるから、3√(k2乗+1)=5kを解いてk=4分の3 
    x,yに変域があると使えないので、あまり応用が利かないですがどうでしょうか

    • @えす-u7j
      @えす-u7j 3 роки тому +2

      私も全く同じ方法で解きました。

    • @しきにゃん
      @しきにゃん 3 роки тому +1

      自分もその解法です

    • @ああ-h7s3q
      @ああ-h7s3q 3 роки тому

      ①の左辺が最大の時にkが最大になるとは限らなくないですか?

    • @えす-u7j
      @えす-u7j 3 роки тому

      @@ああ-h7s3q xとyが実数全体を動くので左辺の値とkの値が同時に最大となるxとyが存在します。

    • @ああ-h7s3q
      @ああ-h7s3q 3 роки тому

      @@えす-u7j 両辺√k2乗+1で割ったときに右辺が単調増加になるから今回はたまたま左辺の最大をとる時とそのkが同値になっただけであって、単調増加にならない時は左辺の最大とそれをとるkが同値になるとは思わないんですけど、勘違いしてたらすいません

  • @yamada_is_god
    @yamada_is_god 10 місяців тому

    =kとおいて分母正より払って
    sinx-kcosx
    yも同様にみて
    合成して√k^2+1で両辺割ってkをまとめる
    x、y自由に動くから
    -3≦5k÷√k^2+1≦3

  • @KKk-m2l-t2t
    @KKk-m2l-t2t 3 роки тому +2

    頭良すぎー!!!!!!!

  • @俺頑張れ
    @俺頑張れ 3 роки тому +20

    初っ端Twitterの言い方ひろゆきやんw

  • @marika_a967
    @marika_a967 3 роки тому +3

    トゥイッター、ぴんらーいん♬︎、癖が強い笑
    数3みたいに鬼だるかったりめちゃめちゃ難しいわけじゃないんだけど知ってたらお得です🥲

  • @えす-u7j
    @えす-u7j 3 роки тому +11

    =kと置いても、5、6行くらいで解けました。

  • @藤原新三
    @藤原新三 3 роки тому

    数学検定1級の問題もお願いします!
    苦しんでいます!

  • @smallyellow4713
    @smallyellow4713 3 роки тому +2

    以前のパスラボの例に従い、原点中心の半径3の円周上の動点と定点(-5,0)の傾きの最大値、にて解けました。

  • @令和の先駆者
    @令和の先駆者 3 роки тому +1

    なんだこの考え方すげぇ

  • @user-kansyouchitai
    @user-kansyouchitai Рік тому +1

    今回は2つですが、sin cosが分子分母に同じ数ずつセットであれば何個でも出来ます

  • @rag_music_02
    @rag_music_02 3 роки тому

    以前やってた傾きの考え方がいきてできました!!

  • @yochichik9581
    @yochichik9581 3 роки тому +1

    力を込めて「図形的に解く」と言われた瞬間、正答率1%も止む無しと思いました。精進します。

  • @no_darts_no_life
    @no_darts_no_life 3 роки тому

    いや、勉強になった!
    解くための道具をいっぱい増やします

  • @nn-qr1wr
    @nn-qr1wr 3 роки тому

    感動しました…!🥺

  • @Edgar-Konan
    @Edgar-Konan 12 днів тому

    5:23 組み合わせ変えても同じ答えになりますか?

  • @痔酢好きーージスズキーー

    自分は半径3の円と点(-5、0)を通る直線で考えました

  • @Stuuuuym
    @Stuuuuym Місяць тому

    =kで置いて合成
    -1≦sin(x+α)=t≦1,-1≦sin(y+α)=s≦1
    として
    2s-1≦√k^2+1/5k≦2s+1かつ-1≦s≦1
    ∴-3≦√k^2+1/5k≦3
    でok?

  • @nuu2416
    @nuu2416 3 роки тому +1

    サムネで解けました!
    解説お疲れ様です!

  • @FML-qz7yr
    @FML-qz7yr 3 роки тому +1

    いや感動的すぎる

  • @aas3500
    @aas3500 3 роки тому +13

    x-y平面に図示するのはまずくないですか?

    • @zokarjak
      @zokarjak 3 роки тому +3

      例えが分かり易ければいいだろ。
      否定するなら、根拠を示して提案をしろや

    • @raku7620
      @raku7620 3 роки тому +3

      @@zokarjak 喧嘩腰怖

  • @tibigame231
    @tibigame231 3 роки тому

    xで偏微分したのとyで偏微分したのが共に0として分子を見比べると5cos y+3=0が出てくる。sin y=±4/5になって代入して整理するとcos x=±4/3 sin x -5/3が出てくる。
    これらを与式に代入すると最終的に極値になるのは(15sin x±24)/(±20sin x+32)で最大値だからプラスの方でよく見るとこれは定数関数3/4だ。

    • @nokemoyajuu
      @nokemoyajuu 4 місяці тому

      cosxをsinxの形で表さずとも、極値を持つ時x=yになることを利用すれば、yのsin.cosを代入するだけで済んで楽ですよ!

  • @猫アイコン-w7q
    @猫アイコン-w7q 3 роки тому +1

    これ一回見ておくと次から気付けるよなぁ

  • @цукиат
    @цукиат 2 роки тому

    傾きでやる以外の解き方ってありますか?
    本番に思いつかなかった時です。

  • @かさ-i7d
    @かさ-i7d 2 роки тому

    最後相似に持ってくのすげ・・・

  • @adjustment1414
    @adjustment1414 3 роки тому +3

    2020の健康医療科の大問1(小問集合)の4題あるうちの1題のようです。

  • @ベトナム人留学生のナムです

    このやり方を知っていたから解けた

  • @蜜柑-r9v
    @蜜柑-r9v 3 роки тому

    算数の図形の難問リクエストしてるから動画で使ってくれることを願う!!

  • @nejimakitaro
    @nejimakitaro 2 роки тому +2

    視覚的に問題の意味が分かるのは面白いです! x,yを独立して動かせるので、二つの円を考える必要はなく、点(-5,0)と中心(0,0)で半径3の円を考えればできそうです。仮に分子分母にsinz, coszが加わっても、円の半径を変えるだけで同じ解法が使えそうです。

    • @hbenpitsu73
      @hbenpitsu73 2 роки тому

      存在領域の外周が分かればいいからそれでもいいのか

  • @中野二乃-i8z
    @中野二乃-i8z 3 роки тому +3

    え???答え3/4になってあっててビクッた。線形計画法と合成使っただけなのに。

  • @けいたく-n1y
    @けいたく-n1y 3 роки тому +1

    おぉ、なるほど!そー来たかーって理解したときが、数学の楽しさですね☺️
    これ作った人に会いたいわ😃

  • @user-uk6mh9he7d
    @user-uk6mh9he7d 3 роки тому +1

    すんげぇなぁ、、、

  • @mathseeker2718
    @mathseeker2718 3 роки тому

    10/19の類題として、傾きを考えることは分かりましたが、円を二つ考えることまでは考え及ばずでした。また明日復習します。

  • @セントラルドグマ-h7d
    @セントラルドグマ-h7d 2 роки тому

    面白い!

  • @xot1k7
    @xot1k7 3 роки тому +5

    脳筋ワイ、tanx/2の置換でゴリ押そうとするも、
    分数関数2次式2変数という鬼のような式が出来上がり無事失敗

  • @坂上遥祐
    @坂上遥祐 3 роки тому

    解けました!

  • @user-kansyouchitai
    @user-kansyouchitai Рік тому +1

    青木亮二先生の著書に載っていてやったことがあったので解けました!!

  • @Relaxingchannel-lc5rv
    @Relaxingchannel-lc5rv 2 роки тому +1

    kと置いて存在条件を同値変形していったらkが0から3分の4になった

  • @けらけら-i7p
    @けらけら-i7p 2 роки тому +2

    「駒澤大を受けるやつが1パーしかできない」のほうがより正確

  • @yamishinji1815
    @yamishinji1815 3 роки тому +6

    初見だったら=k置いたほうが早い説

  • @石井隆-m2p
    @石井隆-m2p Рік тому

    点(-5,0)と,原点中心の地球(半径2)と月(半径1)を考えると、良いかも。

  • @ピエールドドドドフェルマー

    この問題どこに載っていますか?教えていただけると嬉しいです!

  • @ああ-d7e7x
    @ああ-d7e7x 3 роки тому

    これまじやべえな

  • @spacedust9
    @spacedust9 3 роки тому +1

    すばらしい

  • @nattooo3618
    @nattooo3618 6 місяців тому

    xy平面上に点(cosx,sinx)を置くというのが理解出来ないんだけどどういう意味?

  • @ししゃも-b1n
    @ししゃも-b1n 3 роки тому +2

    三角関数の分数は傾きで解けたりする

  • @yonkotaka3154
    @yonkotaka3154 2 роки тому

    素晴らしい解き方をありがとうございました。でも一つ納得できないところがあるので教えてください。
    半径1の円上の点Pと、半径2の円上の点Qは、独立していなくて、同じ変数xで関係しながら動いていんですよね。だから、ここで考えている点P`の位置の時、点Qの位置は、ここでの図の位置Q`にあるとは限らないんじゃないでしょうか?そうすると、答が違ってくるかも。ここで出てきた点P`の位置の時、点Qの位置が位置Q`にあることを証明しなくてはならないのではしょうか? 教えてください。

    • @yonkotaka3154
      @yonkotaka3154 2 роки тому

      勘違いしていました。半径1の円上の点Pの変数はx、半径2の円上の点Qは変数yで独立していました。すみません。質問を取り消します。

  • @湯切りシンガー
    @湯切りシンガー 3 роки тому +14

    数学やってるライングループが存在するなら、絶対パスラボ見てる笑

  • @有栖川有善
    @有栖川有善 3 роки тому

    10年も前に退職した元高校の数学教師です。
    頭の体操のつもりで視聴しています。

  • @ナツキスバル-w6v
    @ナツキスバル-w6v 3 роки тому

    傾きとして捉える発想まではできた

  • @みや-h3h
    @みや-h3h Місяць тому

    与式をkと置いて三角関数の合成をしたら以外と簡単でしたよ。そんなに難問ではありませんでした。それとも勘違いかな?とにかく答えは合いました。

  • @wtpotom
    @wtpotom 2 роки тому

    まじで分からなかった…
    わからなさすぎて与式をz(x,y)としてx,yで偏微分までしたけどわからなかった😭

  • @sanngoku4362
    @sanngoku4362 3 роки тому

    おもしろい!
    30代ですが数学やり直します!!

  • @紅茶-z3v
    @紅茶-z3v 3 роки тому +1

    kとおく愚直なやり方も見てみたい。

  • @rhyeheat1619
    @rhyeheat1619 3 роки тому +2

    どうしてP'Q'の傾きがtanθになるんですか...

    • @xy8066
      @xy8066 3 роки тому +1

      逆にどうしてわからない

    • @user-ct9ir6yy2d
      @user-ct9ir6yy2d 3 роки тому

      定義

    • @なっとう-t9u
      @なっとう-t9u 3 роки тому

      間違ってるかもですが…
      △OP'Aというのは、AO(つまり斜辺)をP'Q'上に重ね合わせるように回転させることが出来ますね。
      回転しても辺の長さは変わらないので、tanθの値はそのまま→AOはP'Q'上なので傾きとなる
      ということでは無いですかね!?!?

  • @三足-k5b
    @三足-k5b Рік тому

    横軸x縦軸yって合ってるの?上手く理解できない

  • @dnn87qI
    @dnn87qI 3 роки тому +1

    類題知ってれば一発だけど、初見で気付いて解くのは難しい。

  • @にーと-m1e
    @にーと-m1e 2 роки тому

    Cランクにしては解けましたー
    少しマイナーな定石って感じなのでCレベルなのかもしれないですね

  • @めいみく-r7o
    @めいみく-r7o 3 роки тому

    最大値を与えるx、y調べなくて大丈夫かな?と少し思ったけど、2つの円に使われている変数が交じってないから問題ないってことなのかな。

  • @uiuiuiui8183
    @uiuiuiui8183 3 роки тому

    初見で解けた!
    yを固定すると、傾きの発想になった!

  • @ある-q1h7e
    @ある-q1h7e 3 роки тому

    2001年の東京理科大の問題も傾きとして考えたら楽だったのかな?

    • @ある-q1h7e
      @ある-q1h7e 3 роки тому

      言ってる問題、理科大なのは合ってんだけど何年の問題か明記されてなかった

    • @コーヒー豆-j6k
      @コーヒー豆-j6k 3 роки тому

      たしか2017ですね

  • @user-ce7cg9xx7q
    @user-ce7cg9xx7q 3 роки тому +2

    さーて、微分して増減表書くかー()

  • @youbenkyo2989
    @youbenkyo2989 2 роки тому

    せっかく傾きと思いついたのにぃー
    大きい円の中心を(0,5)にしてしまったぁ

  • @ふうとう-v1j
    @ふうとう-v1j Рік тому

    おもしろ!!

  • @takeshishiojima6970
    @takeshishiojima6970 9 місяців тому

    原点中心の円上の点の角度x=5を中心とした円上の点の角度は同じでなくてもいいんですか?

  • @月月火水木金金-y9v
    @月月火水木金金-y9v 3 роки тому

    最大値をKと置き、合成して、αの形にもっていかせたら解けた。

  • @cauchy4085
    @cauchy4085 3 роки тому

    できました〜

  • @はだしのゲンちゃん-c3m
    @はだしのゲンちゃん-c3m 3 роки тому

    tanにできるかと思ったけど出来んくて手が止まった……

  • @M47H0iz7
    @M47H0iz7 3 роки тому

    これはわからない人多いだろうからいい問題
    大数の微積基礎の極意には載ってる

  • @あい-y7n6o
    @あい-y7n6o 3 роки тому

    これって動画だけ見ても効果、意味あるかな?

  • @楽しむ工学徒
    @楽しむ工学徒 3 роки тому

    図形って大事やのお

  • @sy4325
    @sy4325 3 роки тому

    xy平面だと混乱してしまう気がする

  • @ジョン永遠
    @ジョン永遠 6 місяців тому +1

    駒澤大学らしからぬ出題

  • @ししゃも-b1n
    @ししゃも-b1n 3 роки тому

    普通に難しいとは思うけど、大数のcは化け物って訳じゃないやろ笑
    dは化け物やけど

  • @okkoaambn
    @okkoaambn 3 роки тому

    図形で考えるかあ 現役時代に知りたかった 57歳のつぶやき