合否を分ける整数問題①【高1でも解ける難問】（2023 慶應義塾大 改）
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- Опубліковано 8 жов 2024
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今年は合否を分ける積分シリーズだけでなく、合否を分ける整数問題シリーズも直前期に行います。受験生でなくても高１でも解けます。
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今回は使っている素数p_iの次の素数p_{i+1}が2p_i未満であることを考えると、
2^a×…×p_i^bを
2^{a-1}×…×p_i^{b-1}×p_{i+1}に
置き換えると値が小さくなります。ここで約数の個数が何倍になったかを考えると、
a/(a+1)×b/(b+1)×2倍なので、これが1以上だと置き換える価値があります。
2ab≧(a+1)(b+1)
(a-1)(b-1)≧2
a≧bより、b≧3で常に置き換える価値があり、b=2ではa≧3で常に置き換える価値があります。よって、残るのは、
a=b=2すなわち指数が全て2
b=1すなわち最も大きい素数の指数が1
の2通りとなります。
後者について再帰的に考えようかと思いましたが、よく考えると必ずしも再帰的には考えられないと気づきました。ちなみにp_i=2のときは途中の計算式が異なりますが、結果は同じになります。
とりあえず異なる素数をかけていって2×3×5×7,11をかけた時点でオーバー、あとは因数をどれだけ増やせるかだから一番小さい2をかけていく。
このとき2を3回かけれるが3だと3回かけれるか（掛けれたなら5でも実験する、じゃないと解をすべて求められない）考える。今回は2のみ。故に1680
2の指数→3の指数で場合分けするのが意外と楽でよかった
純粋に数学を楽しむにはいいけど、試験に出されたときにはどれだけ時間を割けるか判断に困りそう
かなり泥くさい解き方になってしまったので、もっと良い解き方があるのかなと思ったけど、やっぱりしらみ潰しに解く感じだったんですね
試験でこういう問題が出ると、この解き方でいいのか心配になりそう
パスラボのおかげで、実験するの身について数学マジで楽しい！
割と最近の年号で45²-3²から頻出の2016は約数めちゃあるイメージやったけど、素因数が多い方が約数多いんやなぁ
こういう頭使うけど手計算がメインみたいな問題好き
場合分けしまくる問題ずっと苦手
慣れなんかな
慣れじゃない😊
たった2024個実験するだけで解けるのか……
🧠💪
もっと大きい範囲だったらどうするんだろって思ったけど、
そもそも高度合成数を覚えていれば一発な問題なのか…
最後ですが、今回の組合せで最大の素数7を次に小さい素数である11に置き換えたとき成立してないことを確認しておく必要はないのでしょうか?
もし成立していたら解が追加されてしまいますよね?
感覚的に素因数4種類からやるかな〜
これ名城に出た、、、
こういう絞りこんで総当たり問題楽しいですね
ざっと考えて1890かなと思いましたがまだまだ浅はかでした…これからも楽しませていただきます！
ラマヌジャンのように直感で分かる人は記述式試験で受かるのだろうか？
直感でわかる、と言うと数学力のない方の場合は本当に感覚でわかるのだと誤解してしまいそうですが実際には圧倒的な類題経験による経験則に起因するところが大きいのでこの問題を見た瞬間に答えがある程度予想できるレベルの数学力がある方は当然記述もできる訳です。本当に勘でゼロからわかっている訳ではないと言う事です。
@@Jenn_motherそれは分かった上で質問しているだろうから、きちんとした答えを言います。神様が夢で教えてくれたとか書いたら0点です。
そもそも高度合成数という概念はラマヌジャンにより提唱されたアイディアですね！
ぱっと見1680かなーって感じしたんで 約数40個より大きい整数はあるかなと考えました
この問題を論理的かどうかはさておきで、頭の中で目星つけるなら階乗が一番約数多そうだなーって思ったので7!＝840を目印にして、2かけて1680が最大になりそう…って思いました。これ記述にしたら途端に難しくて悲鳴あげそうです
7!って5040じゃないですか?
@@user-ek9dh2em1s お恥ずかしい間違いをしておりました。ご指摘の通りで、階乗なのに途中の6をかけ忘れる謎ミスでした。
総当たりやーん
総合政策のやつだ
経済学部ですか？
方針すぐに立てれた
直感で1800だと思ったけど
よく考えたら1680なことに気づいた
こういうやつは7がキーナンバーだったりするよね
泥臭い解法だけも、大事
約数が多いとは 2で割れる数が多い つまり偶数
2023 奇数 ダメ
2022 偶数だけど 2x3x337 3個
2021 奇数 ダメ
2020 偶数 2x5x101 3個
2019 奇数 ダメ
2018 偶数 2x1009 2個
2017 奇数 ダメ
2016 偶数 2x2x2x2x2x3x3 8個
以下略
答え 2016
ごめん、わからん
何言っとんねん笑恥ずかしすぎるやろ
😢