東大（文）三次方程式と合成関数 実数解の個数 高校数学 Mathematics Japanese university entrance exam Tokyo University
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- Опубліковано 18 вер 2024
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最初はワケわからん状態でしたが、毎日見ているうちに、ようやく解答を追い、理解できるようになりました。数学はやっぱり面白いです。灘や開成の問題が味わい深いですね。
For English speakers:
We define that
f(x) = x^3 - 3x,
g(x) = {f(x)}^3 - 3*f(x),
h(x) = {g(x)}^3 - 3*g(x).
(1) Find how many roots of the equation:
f(x) = a
there are, where a is a real constant.
(2) Find how many roots of the equation:
g(x) = 0
there are.
(3) Find how many roots of the equation:
h(x) = 0
there are.
We draw the graph of y = f(x). Than (1) is easy.
(2) We can easily find that the following equations are same as the beginning equation:
f(x) = 0, ±sqrt(3).
As each each equation has three roots, there are nine roots.
(3) We can solve the question as same as (2). As we find nine different roots at (2), there are twenty-seven roots.
解1.
命題：「n回合成関数 f[n](x)=a (-2
面白い問題でしたね
奇関数であることを意識すると多少負担が減りますね。9次関数、27次関数ともに虚数解が出てこないのが面白いです。
ちょうどきれいな関数を題材に選んでるんですね～
これを使って三次関数の対称性の話題を取り上げても面白いのかなと思いました
f(x)＝文字で置いてわかりやすくなるのスカッとするｿﾞ
ちゃんと頭を使わなきゃ解けない系の問題は個人的に好きです
口頭で説明されている部分を日本語でどう記述するか、また、どこまで記述するべきか、いつも悩みます
(3)はこの方法で最初の９個と次の１８個の中に重複がないこと示せてますか？
当然示さないといけないと思いますが、図より明らかと言うくらいかな…
最初の9個と次の18個では、g(x)の値が違うのでxの値が重複することはない
って考えれば示す必要までないのではないかと思います
自分でも考えてみましたが、動画中でt1～t6とおいて示してるところをg(x)=0の場合を含めてt1～t9として、それをf(x)のグラフに示せばすべて異なることが比較的に単純に示せそうです
-2≦変数の変域≦2に対して、-2≦関数の変域≦2、と配慮されていますね。初学者のやや発展問題としてもいいですね。
h(x)=0 が重解を持つなら、h'(x)=f(f(f(x)))/dx=f'(f(f(x)))f'(f(x))f'(x)=0 と共通の解があるはず。
f'(x)=0 を解くと x=±1 なので x=±1 または f(x)=±1 または f(f(x))=g(x)=±1 となるはず。
しかし x=±1 ならば h(x)=f(f(f(x)))=f(f(±2))=f(±2)=±2≠0, f(x)=±1 ならば h(x)=f(f(f(x)))=f(f(±2))=f(±2)=±2≠0, g(x)=±1 ならば h(x)=f(g(x))=f(±1)=±2≠0
よって h(x)=0 に重解はない。
(2)は合成函数を微分してしまった。ハハ･･･。極値は±2でその極値が交互に表れることからg(x)=0の実数解の個数は9個。ただ、それでやると（3）がちょっと辛い。
東大の問題の渋さがわかる問題。
東大という名前にやられて覚悟してかかったら案外あっさり解けました。
ただ異なるのかが記述でどう書くのか気になります。図より明らかでいいんですか？
むしろ国語力センスを問われますよね。簡潔で的確な図と説明がキモですかねー。27次関数で虚数解がない。だから27個。とか書いたら何点くらいなんかな？
(2)において仮に、f(x)=0とf(x)=√3が共通の解をもっていたとしましょう…
0=√3になってしまいますね
だから「解が重複しないことは自明」と答案に書けばいいんです。
いやそれは√3＝-√3になるから
みなさんがいろいろ説明されているとおりなんですが、y=f(x)、g(x)、h(x)という形の時点で、
これらは陽関数であり、ひとつのxに対してただひとつのyしか対応しません。
ですから、f(x)=0, f(x)=√3, f(x)=-√3のそれぞれの解xが重複することはありません(もし重複するとひとつのxに対して複数のyが対応することになる)。
同様に、g(x)=0, g(x)=√3, g(x)=-√3のそれぞれの解xが重複することもありません。
動画を再生する前に自力で解いてみると、f(x)＝t, g(x)＝u などと置き換えて実数解 x の個数は求まりましたが（所要時間は20分）、「異なる」実数解かどうかまできちんと調べてないので、やはり減点を食らってしまう・・加点法か減点法かはわかりませんが・・
東大文系の場合、二次試験の数学は確か大問4つの80点満点なので、大問1個分の配点は20点。減点の幅は、全体的に完璧な答案を書いた受験者が多ければ、小問(2)と(3)で「異なる」実数解の議論をしないと大量に差っ引かれる感じかなぁ。
逆に、「異なる」実数解かどうかを調べた受験者が少なければ、4割～5割の得点になると思います。
配点は、(1)＝3点、(2)＝7点、(3)＝10点、合計20点ではないかな？
それで、今回の当方の場合は、(1)で減点される要素は無く、(2)と(3)で「異なる」実数解かどうかを調べてないので、それぞれ3点と4点入れば御の字という感じか（これだと20点のうち10点確保・・・あまり不利にならない）。
他の受験者の多くが完璧な答案を書いていたら、当方は(2)と(3)が0点になって、20点のうち3点しか確保できない・・・そうなったら非常に不利。
東大文系の合格ラインは結構高めだったかな・・・センター試験と二次試験の合計で65～70％ほどだったかな（理系は55～65％、理Ⅲだけ70％以上）。
まぁ、当方は理系なので、文系の二次試験はよく知りませんが、東大文系の世界史・日本史が鬼のように激ムズなので、全く狙う気にもならなかった^^ あんなのに合格する人は宇宙人？
東大でも難しいけど意味の分からない問題は出さないんですね
これは問題が良すぎる。類題はほぼ見たことないし、本質的にわかってる人だけが解ける。計算も殆どない。
三角方程式で似たような解法の問題がたくさんあるやん
@@jalmar40298 違うものも同じように考えられる学生を求めていると言えましょう
良問で草
今日はよびのりのお方じゃないんですね
(2)と(3)はどうして=aではなく=0という問題にしてしまったのでしょう？aが動くときのfn(x){f(x)のn回合成}の実数解の個数の変化を見るのがこの問題の醍醐味なのに…。なんのために極値f(2)=2＞√3 , f(-2)=-2＜-√3 としたのか、その意味を知らずに終わってしまいます…。
理系の(3)が
fn(x)=0を満たす実数解の個数は3^n個であることを示せ。
となっており、
多くの受験生が帰納法でやればよさそうということに思い至ると思いますが、fn(x)=0のまま帰納法をまわそうとすると難しく、
帰納法がまわりやすくするために、
fn(x)=a を満たす実数解の個数は|a|2のとき1個、|a|=2のとき(3^n+1)/2個、|a|
@@いと-m5w |a|＜2,|a|=2,|a|＞2のときのfn(x)の実数解の個数を予測することこそがこの問題の醍醐味だと考えていましたが、確かに最初からその結果が命題として与えられていてそれを示せという問題だったならば帰納法が効果を発揮してしまいますね。
東大らしい問題だな〜〜
おはようございます。
高一だからまだ分からないわー
これは灯台
グラフ書く時って、増減表書けって書いてなかったら、何も書かずにグラフだけ書けばいいですか？
グラントウォード さん
採点基準についてはわかりません。増減表は書いて損はないことだけは確かでしょう。
グラントウォード 今年の理系第1問は、「f(x)=~の増減表をつくり、~のときの極限を調べよ」という問題でした。この問題ではグラフをかくときの過程を問うています。私は、これはつまりグラフをかくときは増減表をかきなさいという東大からのメッセージだと思います。
鈴木貫太郎 ありがとうございます
RRR FFF そうでしたか
とりあえず書いとけばいいですね
ありがとうございます
Ouch, everything is in 3. But, the bicycle has two wheels (I am joking).
ハイ理で見たことある。
desmosでグラフ書いたらとんでもないことに、笑
おはようございます☀
7分37秒32