東大 ヨビノリのタクミ先生 Mathematics Japanese university entrance exam
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- Опубліковано 18 вер 2024
- 連絡先 kantaro@momo.so-net.ne.jp
ヨビノリタクミの今週の積分シリーズ
• 今週の積分
ツイッター / kantaro196611
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「家族で行こう！自転車の旅」
#ドラゴン堀江 #鈴木貫太郎 #ヨビノリ
【誤植訂正】
12:55 0
ファボ令和のボケしろ
感想がシンプルでいいと思いました(小学生並みの感想
【補足説明】について：なぜこのような補足をされたのか理解致しかねます。わざわざ上限（最大値）-1/3を挙げなくても、n>0より、-n/(2n+1)
@@たま-z6n9k 上界すら動画内で言ってなかったような気がするから多少はね？
@@jalmar40298 さん：まぁ、確かに明言はしていないようですが… それにしても彼は暗算速いですね。どうせなら、その仕組みを補足説明して欲しいものです。■
たくみ先生暗算力つよすぎまる
ポイントは2n+1
変数分離ぽく考えると状況を理解しやすいです。
まず実数で考えたいからmをxと書くと、
条件式：x(x+1)>a{x-(n^2)/(2n+1)} となって、
左辺の放物線（0,-1でx軸と交わる）と
右辺の((n^2)/(2n+1),0)を通る直線 の位置関係を考える。
（視覚的に解くのが好き！）
a=1/(2n+1),2n+1 の場合に接点を持ち、
接点x座標=(a-1)/2 （元の式の軸の位置）である。
a=1/(2n+1)のときの接点は区間(-1,0)にあって、
x=-1,0のとき不等号が成り立てばよいから、
aが小さい側の条件はa>0に緩和できる。
a=2n+1のときの接点はx=nとなり整数値であるから
条件緩和できずa
4:35 さすがに計算速くてビビった
タクミ先生のやり方は、とても美しいですね！
自分は、定数分離でやって泥臭い計算が多かったですが、正答には何とかたどり着きました。
解説わかりやすすぎて笑った
この問題はとても有名でいろんな問題集に取り上げられています。最初から同値変形で考えて、放物線と直線で考える方法、定数分離して分数関数で考える方法などもありますがそちらは問題集でご確認ください。今回、新しい方法を思いつきましたので以下に記します(この解法は私は問題集で見たことはありません)。計算量はかなり少ない解法ですが、量化文を自在に操る力と式の図形的解釈の力がともに相当要求される解法になることをあらかじめ断っておきます。
〔解答〕
題意が成立するための実数a, 自然数nの条件は ∀m∈Z [ m²-(a-1)m+n²a/(2n+1)>0 ] …①である。
いま、①の条件を p(a-1, n²a/(2n+1))と記述すれば、
① ⇔ ∃s, t∈R [ 2s=a-1 ∧ t=n²a/(2n+1) ∧ p(2s, t) ]
⇔ ∃s, t∈R [ a=2s+1 ∧ t={n²/(2n+1)}(2s+1) ∧ p(2s, t) ]
であるから、
① ⇔ ∃s, t∈R [ a=2s+1 ∧ t={n²/(2n+1)}(2s+1) …④ ∧ ∀m∈Z [ m²-2sm+t>0 …② ] …③ ]
である。
ところで、②は、(s, t)がy=x²のx=mにおける接線よりも上の領域にある点の集合であることを意味する。
したがって、③を図示すると、次の図のような領域( y=x²に外接する多角形の領域の内部で境界含まず )になる。
ja.numberempire.com/graphingcalculator.php?functions=x%5E2%2C%200%2C%20-1-2*x*1%2C%20-1%2B2*x*1%2C%20-4-2*x*2%2C%20-4%2B2*x*2%2C%20-9-2*x*3%2C%20-9%2B2*x*3&xmin=-5.447389&xmax=5.996702&ymin=-1.296998&ymax=6.332394&var=x
一方、④は、(s, t)が(-1/2, 0)を通る傾きn²/(2n+1)の直線上の点の集合であることを意味し、(-1/2, 0)は上記多角形領域の頂点の1つである。また、④上に(n, n²)が存在するが、これは上記多角形領域の辺上にある。
ゆえに、③ ∧ ④ ⇔ -1/2
何点か補足しておきます。
1. ∀m∈Z [ m²-(a-1)m+n²a/(2n+1)>0 ]は何についての条件か？
基本の確認ですが、これはmについての条件ではありません。mは単なる束縛変数であり、これで制約を受けるのは自由変数a, nです。ですから、条件①をp(a-1, n²a/(2n+1))と記述できるのです。
2. ②は、(s, t)がy=x²のx=mにおける接線よりも上の領域にある点の集合であることを意味する。
y=x²のx=mにおける接線の方程式は y=2mx-m²で、この接線より上の領域は y>2mx-m² となりますから、上記の主張が正しいことがわかります。
この言い換えを突然閃いているわけではなく、m²-2sm+t=0 ⇔ (s, t)∈{ y=x²のx=mにおける接線上の点の集合 } で簡単に(s, t)が図示できるというのは知識として知っていて、この形に持ち込むべく新たに束縛変数 s, tを自分で導入しているわけです。
3. ∃s, t∈R [ ]の中身の変形について
(s, t)をxy平面で考えたいので、a, nが複数の式に跨がって存在していると、a, nを動かしたときに2つの図形が同時に動いてしまって考えにくいです。なので、上記のようにaとnが分離されるように同値変形しています。
アラビア語ですねわかります
解説が超超超がつくほどわかりやすい。（高１の自分でもなぜか理解できた）
その暗算力にガチ恋した
先日の高知大の問題に似てるかなと思った。
必要性から攻めるのは思いついて、普通0と±1を代入すると思ってたが、
文字が少なくなるようにnを代入するとは思いつかなかった。
軸の動く範囲を絞り込めているところはすごいと思った
備忘録👏75G,【 整数 m についての絶対不等式 】nは自然数の定数 で 実数aの範囲が求めるもの。
(与式) ⇔ m²＋m＞ a( m－p ), ただし p＝n²/(2n+1) (＞0)･･･☆とおいた。これが任意の整数 m に
ついて成立するような 実数 a の範囲が求めるもの。y＝x²＋x ･･･①, y＝a(x－p) ･･･② ①と②の
グラフを利用する。第1象限で接するとき、連立して x²－(a－1)x＋ap＝0 (判別式)＝ (a－1)²
－4ap ＝ a²－2(2p＋1)a＋1＝０ 解の公式より、a＝2p＋1 ＋2 √p(p＋1) (＞0) このとき 接点の
座標は、重解で x＝ (a－1)／2＝ p＋√p(p＋1) ここで ☆を代入して、x＝n ( ∈整数 ) このとき、
n＝ (a－1)／2 ⇔ a＝2n＋1 グラフを合わせて、０＜ a ＜2n＋1 ■
〖ヨビノリは必要から十分への戦略〗文字を操るチカラ→ ＝p とおいて見易くする戦術🌀
ファボゼロのボケゼロというエイプリルフールネタを持ってくるたくみさん好きです
必要条件を考えて、範囲を絞るというやり方はスマートだけど、職人芸なので一般人には難しい。
f(n)から必要条件絞り込むところ痺れる
0とか±1とかしか代入の候補になかった
タクミさんの解説聞いたらなんだか簡単に解けてしまいそうになるのが怖い…
おはようございます これは難しいですね～
「aの条件をｎを用いて表せ」っていう問題だからｎを任意に固定された数と思ってmにnを代入するという発想に至るのかな？
計算すごくない？w
2次方程式以降の論理は合ってたけど、最初の絞り込みが思いつけなかった…なるほど…
さすが東大、勉強になるエッセンスが多く詰まってましたね。必要条件から攻めるのはあまり演習したことがなかったのでちょっと難しかったです。
D≧0の時について、
-1/20としていましたが、
-n/2n+1の取りうる範囲が-1/2から-1/3だからこの条件でいいという解釈でよろしいですかね。(要は軸が1とか2とかの値を取らず絶対-1/2から-1/3の間にしか無いから、f(0)とf(-1)をチェックすればいいということですか？)
そうですよね。
-n/2n+1の範囲を明確に論述しないと、f(0)とf(-1)が正となることが十分条件となることを言えてないと思います。
ヨビノリさんの補足つきましたね
-n/(2n+1)の取りうる値の範囲って、g(x)=-x/(2x+1)としたとき、g'(x)=-1/(2x+1)^2
@@Landuo1 さん -n/(2n+1) = (-1/2)+(1/2)*1/(2n+1)} ＜ (-1/2)+(1/2)*1/(2*1+1) = -1/3 でどうですか？
n>0 より -n/(2n+1)
いつも応援してます！
質問なのですが、序盤の必要性を確かめるところで、0
0
俺の嫁コーラは そのための十分性の確認ではないですね。範囲がこれより狭まる可能性はありますが広くなる可能性は0です。
@@vtyou5176 あ、2n+1より小さいといってるものかと勝手に思い込んでました。間違えましたすみません。
aをnで表す必要があるため、整数mをなくしたい。mは、n、ーn、0ですべてなので、これを代入すると2n＋1＞a＞0が得られる。
広い範囲より狭い範囲の方が優先されるでしょ
必要条件から攻めるさい今回たまたま求める解と一致したけどそうじゃない際は結局場合分けの数は変わらないのかと思いました
あと暗算のプロセスを是非とも教えて貰う機会が欲しいものですね
昨日までプールで泳いでいたけど今日いきなり津軽海峡で泳げと言われるくらい難易度の差がありました（かなり盛ってる）。９０年代の東大数学は難しいと風の噂で聞いていましたがここまで難しいとは思いませんでした
新高３です！今日から毎日貫太郎さんの動画の問題を必ず解くことにします！がんばります
m = nを代入するのと、軸の範囲を絞るのは気づかなかったな。
無念。
これ学校でやったけど、えぐかった覚えがある
「すべてのn」と書いてあると、０とか１を代入して必要条件を出すというのは思いつきますが、nを代入するというのは思いつきませんでした。
凡人的には、定数分離して、グラフ描いてやる方法がいいと思います。
すなわち、与式⇔(m^2+m)/(m-c)>a (m-c>0) または(m^2+m)/(m-c)
定数分離で考えるならば、論理的には単純になります。（計算は面倒ですが…）
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
n∊ℕ, a∊ℝ（以下の議論の前提とする）
∀m∊ℤ [ m^2 - (a-1)m + {n^2/(2n+1)}a > 0 …① ]
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
同値関係
① ⇔ m^2 + m - {m - n^2/(2n+1)}a > 0
⇔ (2n+1)(m^2 + m) - {(2n+1)m - n^2}a > 0
⇔ (2n+1)(m^2 + m) > {(2n+1)m - n^2}a …②
が成り立つ。
もしも (2n+1)m - n^2 = 0 ならば、
m = n^2/(2n+1)>0 かつ (②の右辺)=0
となるから、aの値にかかわらず、不等式②が成り立つ。
よって、以下(2n+1)m - n^2 ≠ 0と仮定しても一般性を失わない。
この仮定の下で、
「(2n+1)m - n^2 > 0 かつ (2n+1)(m^2 + m)/{(2n+1)m - n^2} > a」
② ⇔ または
「(2n+1)m - n^2 < 0 かつ (2n+1)(m^2 + m)/{(2n+1)m - n^2} < a」
となる。よって
f(x) = (2n+1)(x^2 + x)/{(2n+1)x - n^2}
とおくとき、題意の条件は、
「任意の整数mに対し
m > n^2/(2n+1) ⇒ f(x)>a,
m < n^2/(2n+1) ⇒ f(x)
これ打つのにどれくらい時間かかってるんだろう
僕も定数分離で解きました。
最初に実数の関数の方程式として判別式が負だと解くっていうのはmが整数であることの必要条件だと思って更に解が絞り込めるんじゃないかとおもった。。わかんない。。。
今回の問題のポイントは軸の動く範囲を絞るところだったかと、
新数学スタンダード演習(2018)の1・12の問題のシチュエーションを場合分けの1つとしたものですね！
与えられた式の二次の係数が1なら判別式Dを2つの解α、βにより(α-β)^2(2つの解の差の2乗)と表せるということを利用してました。
暗算かっこいいーー！
5:10くらいの暗算をどうやって頭の中で考えてるのか知りたいです。
必要条件である02n+1は少なくともこの範囲に答えがあると考えるということですか？
「答えがあるとすれば、少なくとも0
D>0のときはaの範囲から軸の範囲がわかるから軸の周りの整数も絞れるのか
そこで手が止まってもた
難しいですね
東工大にもありそうな問題
m^2 + (1-a)m > -an^2/2n+1 でやると1/2n+1 < a < 2n+1 しか出てこないんだけどどうしてだろう？
サラリーマンにとって年度替わりは何かとバタバタ。おまけに、自分が勤務している会社は4月1日で合併したのでなおさら。
ということで問題は考えたけどコメントできてませんでした。
ｍ＝０を代入することは思いついたけど、ｍ＝ｎを代入することには思及びませんでした。連続する整数の間なら、負になってもOKというのも思いついたのだけど･･･。
理論展開より、たくみさんが暗算したところの根拠がイマイチ分からない。
こういう部分って参考書や問題集では身につけにくい、動画配信ならではの部分なだけにちょっと残念。
thank you sir.
f(n)の計算の速さに度肝を抜かれました
が、後になってΣk^2の公式が頭に浮かんでるのかなあと思いました
また、何と無く地道な実行の跡(努力？)を感じました
だとすると、気になるのは、凡人には難題のこれと足された努力の和が、何の夢なのか？と思う次第です
代数をもっと勉強したいなあ
届けこの声よ
細かいけど場合分けする時、1/(2n+1)を含むために等号入れた方がいい。
東大の問題は昔のほうが難しいな・・・
今日は難しかった…
必要条件で攻めるっていう手法もあるのか勉強になります
わかりやすい解説でした
8:48こっからの暗算えぐすぎん？
掌握で見たことあって気持ちいい～～～～
驚異的スピードで暗算してたとこの考え方がよく分からないです…
掌握にも上問にもあったな
4:44 のところの暗算どういうことやってるのか分かる方いますか？
あ、これ掌握でやったら所だ！！！！
式の形から因数分解でもなんとか行けそうなんですが出来る方いらっしゃいますか？
なんていうか数1の論理の部分もっと深くやってほしい。必要とか十分とかの見分けるやつじゃなくて問題を解くということを論理のところでしっかりやりたい
出来ないことをできないってはっきり言える人カッコイイ
昔トヨタで同じこと言われた
出来ないなら出来ないってハッキリ言おうと
かっこつけて出来ますって言って出来ないって無様だわ
この様な難問を理解し、説明できるたくみさん、大学からこの問題の作成依頼をされたのではないかと。
東大の物理と数学の試験対策は たくみさんの動画で相当助かるかも。
20:21 おなか減った
上問の問題やんけ…
てか今気づいたけど貫太郎さんってたくみさんより背低い？
掌握のもんだいじゃねえか
本番やったらいかに部分点とれるか
かなぁ
こんにちは
もうすぐ新元号発表でワクワクしています
2解の差が1未満という必要条件でやった人いますか
令和
ファボゼロのボケ zero(コーラかw)
掌握に載ってたからでけた（もちろん初見じゃ無理だった）
カメラの性能もっと上げれませんか？
いや～ほならねお前が買って差し上げろって話でしょ 私はそういいたいですけどね
@@jalmar40298 なにゆーてん笑
上げれないならそれでいいんだよ
掌握にあるやつだな
これ難問じゃん