For English speakers: We have n cards numbered from 1 to n where n ≧ 3 is a natural number. We choose three cards from them randomly. Find the probability that if we rearrange the three cards from lowest to highest, the order is an arithmetic sequence. We can easily find that the number of all the cases to choose three cards of them is n(n-1)(n-2)/6. Thus we complete the question if we find the number of the cases that the order is an arithmetic sequence. Check the number if n is small number such as n = 3, 4, 5, 6. Thus we can find the regularity.
今日もわかりやすい解説をありがとうございます。
私は次のように考えてみました。
公差が 1 のとき (1,2,3), (2,3,4), ...... ,(n-2, n-1, n) なので n-2 通り。
公差が 2 のとき (1,3,5), (2,4,6), ...... ,(n-4, n-2, n) なので n-4 通り。
公差が d のとき (1, 1+d, 1+2d), ...... ,(n-2d, n-d, n) なので n-2d 通り。
ここで公差が d のときに注目すると n-2d ≧ 1 より、d のとりうる範囲は
d = 1, 2, ......, [(n-1)/2]
(ここで [ ] はガウス記号)
です。よって
Σ (n-2d)
(d は 1から [(n-1)/2] まで)
という和を計算したものが分子になります。
3数のうち最大の数と最小の数が定まれば真ん中の数は自動的に定まるので、最大最小の2数に注目すると、これらは差が公差の2倍になることから偶奇が一致する。
よって場合の数は、(n以下の偶数から2個選ぶ組合せ)+(n以下の奇数から2個選ぶ組合せ) と表せる。
n=2p のとき偶数と奇数はともにp個なので、2*pC2=p(p-1)=n(n-2)/4
n=2p+1 のとき偶数と奇数はそれぞれ p, p+1個なので、pC2+(p+1)C2=p(p-1)/2+(p+1)p/2=p^2={(n-1)^2}/4
分母はいずれもnC3=n(n-1)(n-2)/6 なので、求める確率は偶数のとき 3/2(n-1), 奇数のとき 3(n-1)/n(n-2)
奇数と偶数で分けて一個飛ばしに漸化式を作ってもいいかもしれない。
n+2以下の数から3個取り出して等比数列になる場合の数は、(3個ともn以下の場合の数)+(最大の数がn+1の場合の数)+(最大の数がn+2の場合の数)
最大の数がn+1, n+2ならば公差はそれぞれn/2, (n+1)/2 以下になるので、nが偶数なら場合の数はそれぞれ n/2, n/2 であり、nが奇数ならそれぞれ (n-1)/2, (n+1)/2 。よって和は偶奇にかかわらずnになる。
よってn=2m ならば a(m+1)=a(m)+2m, a(2)=2, n=2m+1 ならば b(m+1)=b(m)+2m+1, b(1)=1 を解くことで場合の数がわかる。
a(m)=2+Σ(k=2→m-1)2k=2+(m+1)(m-2)=m(m-1)=n(n-2)/4
b(m)=1+Σ(k=1→m-1)(2k+1)=1+m^2-1=m^2={(n-1)^2}/4
あとはこれらをnC3で割れば偶数のとき 3/2(n-1), 奇数のとき 3(n-1)/n(n-2) を得る。
等差じゃなくて等比数列だったらどうなるんだろうとちょっと考えてみた。
最大の数 a を初項として、公比を1より小さい有理数q/p (q
問題文をパッと見て、偶奇で答え分かれそうというイメージまで持てたところで、どうしても自力で解きたくなって動画をポーズして白紙に書いて解いてみました。（合っててホッとしました。）
4年前に京大経済学部を卒業した者です。
受験とは無関係な仕事に就きましたが、先生の動画をみていると今でも時々解きたくなってしまいます。
先日も大学時代の仲間と飲んでるといつの間にか整数問題の話になっていたり笑
今後も楽しませていただきます！！
鈴木先生のように公差に着目してもよいですが、3数が等差数列というのは、真ん中の数が残り2数の平均ということなので、真ん中の数に着目するのも自然です。残り2数の位置は真ん中の数に対して鏡の位置関係になっています。(※追記：コメント欄にあるように最大・最小の2数の奇偶が一致するような選び方と言い換えられればもっとすんなりいきます)
3数の真ん中の数をαとする。
① nが奇数のとき、
1とnのちょうど真ん中の自然数が(n+1)/2であることに注意して、
i) 2≦α≦(n-1)/2のとき、各αに対して残り2数の選び方はα-1通り。ゆえに3数の選び方はΣ[2, (n-1)/2](α-1)=Σ[1, (n-3)/2]α=(n-1)(n-3)/8通り
ii) (n+3)/2≦α≦n-1のとき、i)との対称性から3数の選び方は(n-1)(n-3)/8通り
iii) α=(n+1)/2のとき、3数の選び方は(n-1)/2通り
以上から、3数の選び方は合計 (n-1)² /4通りで、求める確率はこれをnC3で割って、3(n-1)/{2n(n-2)}
② nが偶数のとき、
1とnのちょうど真ん中の数は自然数でなく、(n+1)/2の両隣の自然数がn/2, (n+2)/2であることに注意すると、
i) 2≦α≦n/2のとき、3数の選び方は① i)のときと同様に、Σ[2, n/2](α-1)=n(n-2)/8 (① i)の計算結果のn-1をnに変えればよい)
ii) (n+2)/2≦α≦n-1のとき、i)との対称性から3数の選び方はn(n-2)/8通り
以上から、3数の選び方は合計 n(n-2)/4通りで、求める確率はこれをnC3で割って、3/{2(n-1)}
条件から二文字に絞り「領域の格子点」と「題の場合の数」の一対一対応での解法しか思い浮かばなかったので私にとって斬新でした
いきなりイースーチーでワロタwww
a,b,cの順に等差数列だとして、(a,c)からbを考えることも、bから(a,c)の組み合わせを考えることもできて面白いですよね
抽象的な問題ほど具体的に考えろって受験生時代に口酸っぱく自分に言い聞かせていたのを思い出しました
京大数学らしい問題ですね
公差1のときの3つの数の組合せをa_mとする。(1≦m≦n-2)3つの数のうち2番目に大きい数を固定して、公差のみを変える場合を考える。公差1のときを含めてこれらの場合の総数をp_mとすると、明らかにp_m=p_(n-1-m)。かつ(p1,p2,p3…p_[n-1/2])=(1,2,3…[n-1/2])
①nが偶数のとき、題意=2×(n-2/2までの自然数の総和)=n(n-2)/4
②nが奇数のとき、題意=p_(n-1/2) +2×(n-3/2までの自然数の総和)=n-1/2 +(n-3)(n-1)/4=(n-1)²/4
①②それぞれの値をnC3で割ると、それぞれ3/2(n-1), 3(n-1)/2n(n-2)
nとdの関係、人狼の村人の総数と吊縄の数と同じですね
study tube読みましたーとっても面白かったです！
MATH POWERものぞいてみようかなぁ。
最大と最小の二数は偶奇が一致し、かつ、それを選べば唯一真ん中の数が定まる（＝（最大＋最小）÷２）という方針で、偶奇分けて解答した記憶がある。この年は比較的易しかった。
「最大と最小の二数の偶奇が一致する確率」×「中央の値を選ぶ順序3通り」。検算として、nが3,4,5,6の場合で確認すれば完了。
格子点と同じ考え方ですね。
初項をa、交差をdとすれば
a+2d
既に何名かコメントしていますが、選ばれる3数の最小値と最大値の偶奇が一致することは、等差中項の関係と、その中項が自然数であることから分かります。
そこで、nを3以上で偶奇分けをし、それぞれの場合で、最大値と最小値の選び方を偶数ver.と奇数ver.で考えれば、中項は一意に決まるので場合の数を考えなくてよく、また分子の値も簡単な和をとるだけなのですぐに求まります。
動画にあるような n―d 対応表を思い付かず、(公差)＝1～(n/2 付近) と考えて、n＝(偶数)＝2m、n＝(奇数)＝2m+1 で場合分けしました。
ところが、最初に n＝(奇数)＝2m+1 で計算するところを n＝2mｰ1 とやってしまって答えがややこしくなり（これでも解ける筈だが計算ミスしたのか n＝3, 5 を代入しても合わない……）、最初からやり直し………20分弱で解けていた筈が、結局、合計42分もかかってしまいました。
（結果論ですが、全部をやり直す必要はなかったのに紙面の余白が残り少なく、書いた計算を目で追いきれずパニックになってしまい、もう１枚紙を用意して、奇数だけでなく偶数もやり直してしまった）
一応、正解には辿り着けましたが、京大理系の数学は全部で６問あり制限時間150分なので１個あたり25分で解かないと全問を得点することは不可能です。
まぁ、京大理系の数学を６個とも正解できた人は僅かでしょう。理・工・農学部だと６問中３問得点できれば多分合格でしょう。医学部だと４問+αってところかなぁ。
おはようございます。熱意が伝わる講義、いつもありがとうございます。パチンコの大当たり確率なら興味あるんですけど。
I am unable to like any probability problems, but I am able to love beer t-shirt.
後は計算するだけだったのに、公差の処理を怠った為にミス…
悲しい
分子の数えかたは違ってたけど、出た答えは同じだった、
こういう難関大の問題とかって、大学名を教えて解かせた場合と、大学名を伏せて解かせた場合、正答率にどれぐらい差が出るんだろう
大分時間かけてしまいましたが、分子の数列{Cn}が n=2k-1(2≦k, k∈ℕ)のとき、C[n] = C[n-1]+(n-1)/2、n=2kのとき、C[n] = C[n-1]+n/2-1と漸化式から解きました。
次はn=136のとき、d=1の等差数列が4つと頭1組の組み合わせで平和型天和の天文学的確率をお願いします！
字牌が邪魔ですね(笑)
大学の過去問になると複素数平面が全くわかりません。お願いします😭😭😭
あかほんよりわかりやすい
ありがとうございます
等差数列のa+c=2bってなる性質使って、aとcが決まればbが一意に決まるのと、a+cが偶数→a,cの偶奇が一致するってところからnが奇数の時、偶数の時でa,cになりうるペアの数探す方針でやって見たら割と簡単に答え一致したんですけどこの解法は問題ないですかね?
nが奇数(n=2m+1)→a,c奇数のペアは(m+1)C2コ、a,c偶数のペアはmC2コ
nが偶数(n=2m)→a,c奇数のペアはmC2コ、a,c偶数のペアもmC2コ
みたいな感じで
n奇数でmが1の時同じ式使えるかは別でちゃんと評価必要そうな気はしますけど
くすのき さん
いとさんの別解をご参照下さい。
あ、そうか、こちらのほうが上手いですね！
答案になおすとこんな感じでしょうか？
3つの自然数を小さい順にa, b, cとすると、a, b, cが等差数列 ⇔ b=(a+c)/2
aとcの奇偶が一致しなければ上記を満たすbが存在せず、aとcの奇偶が一致すれば上記を満たすbがただひとつに決まるから、
結局、題意を満たす3数の選び方は、aとcの奇偶が一致するようなa, cの選び方と同じである。
① nが奇数のとき、
この中に偶数は(n-1)/2個、奇数は(n+1)/2個存在する。よって題意を満たす3数の選び方は、
i) n=3のとき、2C2=1通り (偶数が1個しか存在しないので場合わけが必要)
ii) n≧5のとき、[(n-1)/2]C2+[(n+1)/2]C2=(n-1)(n-3)/8+(n+1)(n-1)/8=(n-1)² /4通り
であるが、(n-1)² /4は、n=3のときに1となるから、結局まとめられて、(n-1)² /4通り
② nが偶数のとき、
この中に偶数はn/2個、奇数はn/2個存在する。よって、題意を満たす3数の選び方は、n/2C2×2=n(n-2)/4通り
以上から、求める確率は
nが奇数のとき、{(n-1)² /4}/nC3=3(n-1)/{2n(n-2)}
nが偶数のとき、{n(n-2)/4}/nC3=3/{2(n-1)}
ヨビノリから
言われる前から見てたけどw
上半期にあと1日は絶対有給取る必要があるので、こんな時間のコメントです。
私も中項は初項と末項の平均になる必要ありで分類して数えました。nが偶数と奇数で結果違うというのは具体例を考えれば分かりますが、ほんとにそれで合ってるかは不安になりますね。
とりあえず、n=10とn=11で計算して答えがあっていたので一般のnでも合ってるだろうだったのですが、白状するとn=10の場合とn=11の場合から一般化したというのが正直なところです。
しかし、実際の入試でこの問題に遭遇したら取りあえず小さなnの値でモデルを作って一般化できる自信はありません。それを出来る人でないと京大には入れないということなのでしょうね。
なんか、いかにも旧帝大系の問題という感じ。
昨日の出勤間際、玄関先で解法を考え込んで身動きもしなかったらいつもより1本遅い電車になってしまった！（遅刻はしませんでしたが。）
出てきた二つの答えを足しちゃった。
まあでも検算でわかるよね(笑)
自力で解けましたが…本番でカモれるほどのスピードとスマートさはないなあ
study tubeの「オイラ」をオイラーと見間違えた・。・；
うp乙です。
今から解きます。
これ抽出が２コならば∞×∞^∞＝∞？…などとバカな考えを連想するのは私だけでしょう。
京大を受験しようとするレベルの受験生なら多分簡単に規則は見いだせるでしょうね。でも限られた時間内で整理して解く場合、計算ミス(書き間違いも)はあるはず。昔の京大なら大筋合ってれば原点は少なかったけど今はどうでしょうか？問題としては幅広い受験生の実力を正確に問える良い問題だと思います(数学苦手でも努力すれば点数が少しはもらえる)
For English speakers:
We have n cards numbered from 1 to n where n ≧ 3 is a natural number. We choose three cards from them randomly. Find the probability that if we rearrange the three cards from lowest to highest, the order is an arithmetic sequence.
We can easily find that the number of all the cases to choose three cards of them is
n(n-1)(n-2)/6.
Thus we complete the question if we find the number of the cases that the order is an arithmetic sequence. Check the number if n is small number such as n = 3, 4, 5, 6. Thus we can find the regularity.
イースーチーは草
いーすーちー
7のときの公差3の言い方中国語で草
この問題、等差数列じゃなくて等比数列だったらどう解くんですか？
間違ってる気がするけど、(分子）＝Σ([√(n/k)]-1) ただし和をとる範囲はk=1,…,[n/4]
これ以上簡単な式になる気がしない…
ありがとうございます、やはり、等差数列ほどきれいに解けるわけでは無いのですね。nに、条件を指定したら（例えば4k+1の形で表せる素数等）ならもう少し上手く解けると思うんですけど
イースーチーは草