équation diophantienne - résoudre 13x+9y=2 - arithmétique - spé maths 💡💡💡 - très IMPORTANT
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- Опубліковано 1 жов 2024
- Objectifs:
- savoir résoudre une équation diophantienne ax+by=c à l'aide du théorème de Bézout et Gauss
- comprendre les différents cas possibles
💡💡💡: difficulté: type BAC très classique
arithmétique - spé maths - terminale S - mathématiques
![Une équation diophantienne très instructive ! [TN-C-15]](/img/n.gif)
j'adore les équation diophantienne, je trouve le nom marrant et une fois maitrisé la méthodologie est toujours la meme
oui en effet, pour plus d'info:
jaicompris.com/lycee/math/arithmetique/theoreme-gauss.php
très bonne soirée
Pour la q1 on peut juste dire PGCD(15;9)=3 et 3 ne divise pas 14 => pas de solutions entières
oui mais ça marche sans forcement avoir le pgcd
si tu as 8x+16y=15
2 divise 8 et 16 et pas 15, pas d'obligation d'aller chercher l'argument du pgcd
Merci beaucoup ! c'est très clair, très utile !
Merci!!!!
13x+9y=2 s'écrit aussi:
13(x+y)-4y =2 par exemple.
Il suffit alors d'écrire 2= 13×(2)-4×(6) pour obtenir par identification:
y=6 et x+y=2 soit x=-4
Ainsi le couple (x0=-4 ; y0=6) est un couple solution particulière .
La solution générale s'écrit alors :
(x0+9k; y0-13k) , k dans Z.
En effet, si x=x0+mk et y=y0+pk sont solution de: ax+by=c alors
mb+pa=0 cad d(mb' +pa')=0 où d=pgcd(a,b), ce qui donne :
m=a' et p=-b' (Themi's trick).
Très utile. Je donne 5 étoiles 👌👌👌
Pour l'équation 13x+9y=2
J'utilise le schéma d'Ouragh
13.....9......4.......1
........-1.....-2
.........3.....-2.......1
Donc
13(-2)+9(3)=1
Et donc
13(-4)+9(6)=2
Et en associant l'équation de départ on aura (par soustraction)
13(x+4)+9(y-6)=0
D'après Gauss on aura
x=9k-4
y=-13k+6
avec k€Z.
J'ai trouvé différentes solution : x = 5 et y = -7
Avec ces solutions différentes je ne peux pas revenir à x=-4+9k et y=6-13k; pourtant ces solutions marchent. Est-ce une erreur ma part ou l'énoncé à restreint le nombre de solutions aux votres? Merci!
Heuuu j'ai même pas fini la vidéo et je me permet de vous déranger x). Désolé, vous y repondez à la fin de la vidéo
Merci encore
pas de probleme et tu vois que 5 (ta solution) à -4 (la mienne) il y a 9 d'ecart... très bonne soirée
Bonjour je voulais savoir si le correcteur , le professeur va nous pénaliser si on trouver des solutions particulières différentes mais qui marche va nous pénaliser ?
Bonjour il me semble qu'au d) ce ne soit pas x+4=9k mais x+4=-9k
c'est la même chose car k est un entier relatif
je crois que si on montre que k=k' (14:50) on démontre en même temps la réciproque, car on montre que k=k'13x+9y=2... mais je ne suis pas certain...
je ne suis pas sur d'avoir compris ta question, mais à la question d) on a utilisé le théoreme de gauss qui est une implication et pas une équivalence, donc on doit faire la réciproque
@@jaicomprisMaths merci pour cette réponse. Je comprends bien qu'il faut démontrer la réciprocité. Ce que je me demande c'est si on choisi de démontrer que k=k', est ce là une autre manière de démontrer cette réciproque ?
pour la question 1 n'était il pas plus simple de dire si 15x-9y = 14 admet des solutions alors 5x-3y = 14/3 avec x,y €Z ce qui est absurde, car la somme de deux élément de Z € Z?
mem si ta maniee permet d utiliser le cours c'est donc plus propre (mais moins inyuitif pour l'éleve que jai été) :)
Encore Bvo à toi
merci beaucoup
merci
j'adore beaucoup cette equation.
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bonjour prof merci pour votre efforts j'ai une remaque sur la q1 on peut dire que l'equation n'admet pas une solution si et seulement si a delta b ne devise pas c
Comment ça se passe si on doit résoudre dans N^2?
Pour cela, il faut à la fin remplir ces deux conditions : -4+9k>=0 ET 6 - 13k>=0 . Ça revient en fait à résoudre un système d'inéquations.
Pour trouver les entiers u et v je connais plusieurs méthodes supers pratiques si vous voulez savoir : calculatrice, algorithme d’Euclide etc..
regarde ici: jaicompris.com/lycee/math/arithmetique/theoreme-bezout.php
mercii
J'en n'ai for beson ..
Vous êtes hyper bon !!!
merciii!!!!
Merci
:-))
13X + 9 Y=2 ON a une confusion finalement on peut avoir des solution double ou triple
par exemple trions par un simple fait il sagit bien d'une equation diophantienne
il y'a plusieurs application pour moi j'ai vue dans la construction d'un robot
Thanks
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Mais je comprends pas pq prendre (la question 2)b) ) -4 et 6 comme solution puisque nous sommes dans (Z au carré). Par conséquent, quand j'ai vu la question je me suis dis c'est impossible. Pourriez vous l'expliquer
vous expliquez très bien mais on ne vois absolument rien essayer de reprendre avec la craie et en gros caractères merci bonne compréhension
Mais 15x+5y=14, si je favorise j'ai 5(3x+5y)=14 or d'après Gauss 14|3x+5y. Non?
bonjour s'il vous plaît pouvez vous m'aider sue cette question:
déterminer tous les nombres entiers naturels x et y tels quexy+3+y=12
il faut te ramener à une équation ...*...=cste
regarde exo 9 sur cette page: www.jaicompris.com/lycee/math/arithmetique/divisibilite-TS.php
MERCI
Aller quelques heures avant le BAC haha, très bien expliqué !
tres bon cours bien expique
Merciiii!
voix enervante