この背理法に惚れること間違いなし【今週の整数#14】
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- Опубліковано 8 вер 2024
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noto / 2nd single『Telescope』（feat.みきなつみ）
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【noto -『Telescope』】
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【みきなつみ公式UA-cam】
/ @mikinatsu_official
【訂正】
2:29 「全ての素因数の指数がn」という表現は適切じゃありませんでした。ここでは2^2×3^4というような(指数が2で統一されていないような)n乗数の場合、2^2×3^2×3^2という形で考えることを想定しています
17:56 (k+n-1)の"n乗"はいらないです。うっかり書いちゃいました
すみません。2^2×3^1と3^3に分かれることはないのですか。
@@tkym4533 なんでn乗数って言われてるのに指数を揃えようと思わないのか、、
@@user-lq3cc6fs3qありがとうございます。 n乗数はn乗数同士に分解できることはわかりますが、隣り合う2数等の特定の条件のときにその2数がn乗数と表せるのか疑問に思いました。的外れのことを言っていたらすみません。
@@tkym4533 私の理解が及んでなければ申し訳ないのですが、3^4を3^2×3^2と表すことも、3^1×3^3と表すこともできるけど、n乗数、つまりnには同じ自然数が入ることを考えたら、2で揃えることが自然だと思います。
@@user-lq3cc6fs3q 何度もご説明ありがとうございました。しかし、しっくりきません。ひとえに私の実力不足によるものです。時間のあるときに考えてみます。私にとって東大は無謀でした。
コメント欄で更に理解が深まるリスナーに感謝
ヨビノリさんが結局一番わかりやすい
19:15
1 以上 0 以下であり得ない整数 j になってしまうとありますが、その場合直ちに矛盾するため背理法を用いる上で全く問題ありません。1
記述式の整数問題ってすごく本質的で見てて面白い。（受験期のときは嫌いな分野だったけど）
証明に入る前に方針を説明するのすごく分かりやすい
kとk+1が互いに素である証明は
「(k+1)-k=1なのでユークリッドの互除法によりこの2数の最大公約数は1。すなわち互いに素である。」
てのが本番の記述では最短で楽だと思う
互助法でいうなら割った商が1であるというのが正しいですね
中学生な私でも理解しようと奮闘しています。
がんばれ！
頑張れ👍
なんか似てて草
アイコン茶色
@るんるん 釣りだったので押さないようにね
この(2)は、この年の東大のセットの最難問だったと思います。(1)の解法がそのままでは使えず、「n乗数だとすれば、間の数のn乗数になってないといけない」と試験場で思いつくのは中々難しかったと思います。
↑の動画「神っぽいな」の
歌ってみたに飛ぶので注意です
@るんるん こっちですね
ua-cam.com/video/gcHbtrkY72k/v-deo.html
これ東大の問題なの？
@@asdfasdf-el1ro 2012の第4問(理系)
いつも唸る動画をありがとうございます。受験生でも理系でもなく、全てが理解できるわけでも全くないのですが、動画を見てそういう世界があるんだ！と考えるのが楽しいです。
ところで今後の動画で、いつか正規数についての解説をお願いできないでしょうか…最近読んだ数学系エッセイに出てきて「たとえ小説一冊まるごとでも、数字の列に置き換えたらその数列は必ず正規数のどこかに含まれている」というのにすごくショックとロマンを感じたのですが、調べてもあまりわかりやすい情報にヒットせず…定義からしてr進正規数とか、ほとんどすべての実数はこれなんだとか、頭が？？となってしまい。UA-camでもぱっと見よさそうなのが出てこなかったので、いつかテーマに取り上げていただければうれしいです。
整数問題「本当にこれで良かったのでしょうか？」が多すぎて、不安から脱出できない
20:40 1個前の小問の結果を次の小問で使うことはよくありますが、証明問題でもそういうことあるんですね。よりエレガントに求まる別解があるか否かが気になるところ
どうしても（1）の結果を使いたくなければ，16:50 あたりで
k ＜ p ＜ k ＋ n － 1
を出したところで，
n ＝ 2 のとき，k ＜ p ＜ k ＋ 1 となるが，このような自然数 p は存在しない。
以降 n ≧ 3 として考える。
とすれば・・・とも思いましたが，結局 n ＝ 2 のときをはじくためには個別に検討，となって（1）を持ち出す必要がありますね。
自力でやってみて、(1)は動画と同じ方法で解けたけど、それをどう(2)に活かすのか分からなくて、諦めて動画を見てしまった😅
「隣り合う2数は互いに素」ってけっこう強力なんだな〜
(2)は頭冷やすためにアイス5個も食べてやっと解けたレベルなので、実際に受験した人は難しかったと思う。
@ああ 食べたよ
9:14 ここでqのn乗＝1のn乗＋pのn乗においてnが3以上の時フェルマーの最終定理よりpとqは存在しないッッッ
(2)は最初の断りなくても、n=2の場合はk
★★★★で思い出しました
今週の積分でなくてもいいので今週の極限とか今週の微分シリーズまためっちゃみたいです😍
これはいい問題！！
昔この問題解いてて、どこで(1)使うんやろと考えてたら途中でピッタリ使うとこが出てきて声出た思い出ある
年齢が進むにつれて、人間の時間認識の感覚は変わっていきます。
子供の時期は時間が遅く進み、成長するにつれ時間は早く進むようになります。
私も米国に初めて行った時は時間の進み方が遅く、太平洋上での飛行時間が長く感じ、
なかなか到着しませんでしたが、今では直ぐに到着するようになりました。
欧州行きでも、アフリカ行きでも同じで直ぐ到着します。
9:13 ここで「1 = q^n - p^nを移項するとp^n + 1^n = q^nになるから、フェルマーの最終定理より矛盾する」って解答する受験生いるのかな？
結局n=2の時は示さなきゃいけないトラップ…！
@@user-of3vr7jm4v 確かに、ピタゴラスの定理ですもんね。お恥ずかしい。
@Ki ra その理屈でいくと「数Ⅲの回転体の積分ができない人は球の体積の公式使うな」ってことになりません？まあ、言わんとすることは分かりますが…。
@Ki ra じゃあワイルズならいいんだ(白目)
@Ki ra間違ってはないよなぁ...
(1)の結果を使わなったとしても、n=2のとき条件を満たすpが存在しないことから矛盾するのでn=2の時はそれで証明できる気がする
早送りの時のチョークの音が気持ちよすぎる
謎解きのお仕事楽しみにしています！
数学的帰納法でnについての命題を連続するn個の自然数の積はn乗数でない
という命題の元で解いていくのは無理なのかな。
2の時は普通に示して、
nの時命題が真と仮定して
n+1の時で解いていくみたいな。
否定命題or存在命題を帰納法で解くのは大抵難しいor不可能です。(互いに素なのを示せ系も当てはまる)
理由は帰納法の仮定が式で表せないからですね。
@@user-in6pw1ou3z なんで、俺より数学できそうな人のyoutubeの名前、こんな変なん。
たしかに数学的帰納法で解いてみようと頭の中で考えたけどn+1の時に結局背理法を使って、仮定した"nの時の命題が真"を用いずに解くから数学的帰納法を使う意味が皆無なのかと思えた。
２を素因数に持つのが偶数だけなので･･･というセンでいくと思う
n個の連続した自然数の積は、素因数2を2^(2/n)という形でしか持てないのでn乗数にはなりえない
2×3×4=3×2^3となりますがこれはその論理の反例になりませんか？
@@tokumoli314 こりゃいけない、大恥をかきました
連続するn個の自然数の積がm乗数（n>=3,n≠m）である可能性はあるんか
今更の返信ですが、「連続するn個の自然数の積が
2乗数になるか？」
「連続するn個の自然数の積が
m乗数になるか(n,mは独立)」については、
大学入試レベルを遥かに超えてますね。下記のpdfを参照下さい。
www1.kcn.ne.jp/~mkamei/math/20161206Erdos.pdf
(日本語：解説形式)
www.renyi.hu/~p_erdos/1939-03.pdf
www.renyi.hu/~p_erdos/1939-04.pdf
www.renyi.hu/~p_erdos/1975-46.pdf
(英語：論文形式)
解説は極めて明解。しかし、実戦なら、後問はやっぱり捨てるべきではないかな？
メイクセンス！
ヨコサワで見たぜ お疲れ様！
(2)でｎが揃っている前提であるのは、連続するｋ個の自然数の積がｎ乗数になることはある、ということでしょうかね。具体例は思いつきませんが。
2:24 ある数がn乗数ならば全ての素因数の指数がnだというのは正しいのでしょうか..？
(反例: 2^2×3^4=324=18^2)
ある数がn乗数ならば全ての素因数の指数がnの倍数、ではないでしょうか
全ての素因数ではなく自然数であればOKでしたね。
不適切な表現でした！固定コメントで修正しましたm(_ _)m
固定コメントで納得できました..!
2^2×3^2×3^2という形で考える発想が自分の中になかったため、混乱してしまいました..
わかりやすい解説をありがとうございます!
ハーイリハイリフレハイリホー
素晴らしい問題だな……
難易度こんなに高いのかな？整数問題の発想として両辺の約数、倍数に注目することは知っておかなければならないし。
でも東大入試においてはこの難易度かも知れませんね。この知識があっても時間的に厳しすぎる
17:56でなぜ(*)の(k+n-1)部分がｎ乗になっているのか分かりません。
ホントだ。n乗は不要ですね。先生のうっかり，でしょうね。
→（追記）訂正が出ました。先生のうっかりミスだったようです。
@@satton5360 ありがとうございます✨
そういうふうに解くのか。(1)の問題からnを偶奇に分けて考えたりするんかなー(適当)とか思ってた
(1)において自然数p, qを使用していますが、一応この2数学が互いにそであることは明記しておいた方が良さそうですね
すみません、どうしてですか？
p,qが互いに素であることは後の議論に用いていないので書く必要は無いのでは？
特にそうする理由はないというか暗黙のうちに明示されているね
17:54の式、左辺にn乗が余分じゃないですか？
ニセコイの問題やん。
千棘、東大の問題一瞬で解いてやがったのか。
18:34
？「この余白はそれを書くには狭すぎる」
導入部分、相対性理論の話をするのかと思ったら終わった
(1) では隣り合うn乗数の差はnより大きいことから証明しても大丈夫ですかね?
やべっ、今日月曜だったわ
そうか今日は月曜日か
17:53
ここ左辺の(k+n-1)にn乗が掛かってますよー
背理法だからサムネの人は背を向けているのか…な？
(1)は、xとx+1が互いに素なのを用いて
連続する2整数がn乗数ならば
その２整数いずれもn乗数になる
(∀自然数x, x(x+1)がn乗数⇒
∀n, xかつx+1がn乗数)
であるから、例えばx=1が反例で証明された。
でよいのでしょうか。
「ある」自然数nに対してn(n＋1)がn乗数ならばn,(n＋1)もn乗数である。
→「任意」の自然数mに対してm,m＋1がともにn乗数にならないことを示さなければならない。ゆえにm＝1で反例を挙げたとてそれが示されたことにはならない。
端的に指摘すれば()内の部分が違います。∀ではなく∃です。
小問１は自力ですぐ解けたけど、２は解けなかった．．．
最初の大小設定に気づけなかった、悔しいな
これ入試では絶対に解けなきゃいけないサービス問題だ
隣り合う数は互いに素数であるか。基本の基本。難しいけどチャレンジしがいがあります！
互いに
素
まず背理法使うって気づくのもまぁまぁハードルある上に、kとk+1は互いに素なのでk＝p^n,k+1＝p^n+1とかそうそう書けないよぉ...w
「否定的命題（〜でないこと）の証明は背理法！」って覚えちゃいましょう！
背理法でやってみて上手くいかなかったら他の方法試してみれば良いだけですし。
()２は無理ゲーじゃね？思いつかないよ
(1)は経験積んだら見た瞬間に解法浮かぶから、そのレベルに達するまで頑張れ。そう遠くはないはず
@@user-in6pw1ou3z 1は出来ますよ....
@@user-rw7nx2tq9t 書き方的にできないと思ったんで
背理法と数学的帰納法は組み合わせられないのか？！
n乗数になるn個の積とn＋1乗数になるn＋1個の積には関係性がないので無理ですね。自分でやってみればうまくいかないのはすぐにわかります
うぽつです＿|＼○＿！
カプリティオチャンネルとコラボしてほしい〜
⑵本番で解ける気がせん
京大に似たような問題があったような
ないっす
自然数p.qの積が0になることあるんか？
不等式だから実際にとる数値は考えなくて良いんですよ。≧の関係さえ崩れなければいいから。
@@user-uj4uj4oo3f なるほど、サンガツ
qのｎ乗-Pのｎ乗がなぜあんな式になるのか理解できません。誰か教えてくださいm(*_ _)mあと、なぜqに2を入れて他をゼロにしたのか分かりません。
最初の質問
等比数列の和の公式を逆に見ただけ。(公比p/q 、初項q^(n−1))
次の質問
p^n−q^n＝(k＋1)−k＝1
だから
p^n−q^n≧2
が言えれば矛盾を導けたとこになるから。
q^n−1＋q^(n−2)p・・・(略)＝A
は自然数をたくさん足してるから明らかに2より大きい。
だからA≧2がいえる。
それを不等号をつかって言っただけ。
qに2を入れたのはAがどんなに小さくても2であることを言うため。
@@user-in6pw1ou3z 理解しました！ありがとうございました！🙇♀️
(1)は0を自然数に含まないという文言がないなら
0×1=0
0^n=0(n>=2)
があるのでは？
高校数学では0は自然数じゃないです
大学入試までは，教科書に書いてある
1以上の整数を自然数という。
が自然数の定義です。
したがって，高校・大学入試の問題文では特に注釈がない限り，自然数に 0 は含まれません。
なるほど、あずちさんsattonさん教えてくださりありがとうございます。
サムネにたくみさんのイラストがない、、
冗談けど $(\infty-1)*\infty$ の場合は？
いくら勝った？
２００万ドルくらいかな。