Comment Thalès a trouvé son théorème
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- Опубліковано 11 січ 2024
- Redécouvrons par nous-mêmes le théorème de Thalès !
Lien de l'article écrit sur Thalès : mathrais.fr/theoreme-thales/
Note : La preuve que je présente n'est en fait pas celle de Thalès mais seulement celle qui me parait la plus naturelle à trouver pour un mathématicien ! Pour ceux intéressés par l'Histoire, Thalès a surtout été connu pour s'en être servi pour calculer la hauteur d'une pyramide mais le théorème était connu d'avant par les babyloniens/egyptiens. Tout comme le théorème de Pythagore, il faut attendre les Éléments d'Euclide (vers -290) pour qu'une preuve formelle apparaisse.
Page Wikipedia à ce sujet : fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...
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la démonstration est intéressante.
Le problème avec la géométrie, c'est qu'on ne se rend jamais compte du choix de l'axiomatique sous-jacente, car la géométrie c'est le premier chapitre de la physique, c'est à dire ce qu'on a sous nos yeux...et ce qu'on a sous nos yeux est évident. Si on fonde la géométrie sur la physique, les notions premières sont des notions de point et de distance, avec la possibilité de distinguer deux points en disant que la distance qui les sépare est non nulle. On voit qu'on est très loin des droites, du parallélisme, et encore plus de l'algèbre linéaire (espaces vectoriels). Cette approche permet de fonder aussi les univers non euclidiens où on a toujours une notion de distance. La première notion qui vient c'est le cercle (ou la boule) et non la droite : ensemble des points M situés à égale distance d'un point A donné. Pour construire la droite (ou l'hyperplan en dimension quelconque) on peut la construire comme une médiatrice d'un couple de points : ensemble des points M situés à égale distance de deux points A et B donnés. On peut aussi la construire en définissant d'abord la longueur d'une courbe (borne supérieure de la somme des distances entre des points ordonnés de la courbe, ordre supposant une approche topologique), puis en disant que pour tout couple de points de la courbe, si on ne peut pas trouver une autre courbe reliant ces deux points avec une longueur moindre, alors c'est une droite (on construit par la même occasion les géodésiques d'un espace non euclidien). Après, le parallélisme c'est compliqué : deux droites parallèles sont-elles deux droites confondues ou d'intersection vide ?
Ce qui est certain, c'est que pour poursuivre, il va falloir définir d'abord les déplacements (isométries) et les surfaces...car on voit bien qu'on utilise ces notions pour "démontrer" Thalès comme pour démontrer "Pythagore".
Bref, l'axiomatique de la géométrie qui consiste à entreprendre le même travail qu'Euclide, n'est pas du tout simple car il faut savoir s'extraire du monde sensible, tout en lui restant fidèle. C'est cette démarche qui avait été ratée dans la pédagogie des mathématiques modernes du début des années 70, car on enseignait alors très peu de géométrie "opératoire", ce qui posait un gros problème aux professeurs de physique de seconde qui devaient enseigner la statique (équilibre des points massifs et des solides).
Je suis d'accord avec vous mais ces questions là ne se sont soulevées que plus tard, avec notamment les géométries non euclidiennes. Tout comme lorsqu'on apprend les ensembles, on ne se pose pas la question du paradoxe de Russel, je pense que lorsqu'on apprend la géométrie on peut au départ se contenter des axiomes d'Euclide. Tant mieux si certains élèves curieux se posent des questions d'axiomatique, mais s'ils ne s'en posent pas, je pense qu'il vaut mieux ne pas s'embrouiller avec.
Le style Bourbaki des années 70 dont vous parlez n'a en effet pas fonctionné pour l'enseignement des mathématiques.
Vous voulez dire le théorème dit de Thalès ...
C'est pas trop mal. La démarche intellectuelle est parfaite pour qui veut démontrer sans tautologie, le théorème de Thalès. Ça n'est pas une démarche qui est proposée aux élèves de 3ème, fort heureusement !
En revanche, l'idée du triangle semblable est fondamentalement nécessaire pour aider les élèves de 3ème à comprendre les raisons intuitives qui fondent "joliment" ce théorème. Dans leur esprit, cela leur permet une bonne compréhension de l'utilisation des formules qui "fonctionnent". Sans cela c'est un peu "par magie" que ces formules "marchent".
Cependant, votre vitesse d'explication est trop rapide !
reprendre son souffle et réussir à suivre ce que vous dites (trop vite) n'est pas aussi simple que ça.
D'ailleurs beaucoup de youtubeur en mathématiques fonctionnent comme ça : vite, vite, vite avec en plus une voix "haut perchée" et monocorde !
Vôtre vidéo est pas mal, la démonstration excellente, mais il m'a fallu y revenir (arrêt, reprise...) plusieurs fois.
Rare sont les vidéos de sur ce théorème.
Donc, vous gagnez un très bon point à mes yeux, et me suis abonné.
En revanche, je verrais s'y j'y reste en fonction des futures vidéos. Si vous galopez comme beaucoup d'autres, je partirai peut-être.
La vitesse de présentation, qui permet au cerveau de comprendre et de vous suivre en vidéo, est essentielle pour qualifier la qualité du travail rendu.
Je me permet donc de vous donnez un conseil : allez moins vite dans les étapes.
Moi ce que j'en dis....
A bientôt. Cordialement
Merci beaucoup pour votre commentaire !
En effet je me suis rendu compte après coup que j'étais trop rapide, plus encore que d'autres de mes vidéos où je vais déjà vite. Ce n'est pas simple de trouver le bon rythme mais je vais essayer de progresser à ce niveau grâce notamment à ce genre de critique constructive que je reçois. A bientôt !
@@Mathrais Je trouve que ton appréciation du rythme, telle que tu le dis, est bonne.
Ce qui aide beaucoup, ce sont les animations graphiques pour représenter les triangles ; puisque citer un trg ABC ou ADG, cela demande à l'auditeur d'aller analyser sur le graphique de quel figure il s'agit et pourquoi celui-là.
Dans ces vidéos UA-cam, on est obligé d'aller assez vite. Comme il s'agit de divertissement, je n'irai pas les visionner si elles dépassaient 15mn.
Après, dans le visionnage, je fais plein d'avances rapides de 10s pour passer un passage que je devine et inversement, je peux faire une pause quand je veux (ex: quand on a fini une étape et que je prends du recule sur l'ensemble) et je fais un retour arrière de 10s sur un passage plus difficile ou sur lequel je n'étais pas concentré.
Et si je diffuse la vidéo à un groupe, ou un enfant, je ferai des pauses, elle prendrait 3 fois plus de temps.
@@arnobozo9722 Je suis d'accord avec le fait qu'une vidéo va de toute façon aller plus vite qu'un cours scolaire au tableau néanmoins je pense que pour celle-ci j'ai quand même été un peu trop rapide même pour ce format. Il y en a qui sont à l'aise avec la modification de la vitesse, le retour en arrière, etc mais ce n'est pas la majorité des personnes donc il vaut mieux trouver le rythme qui convient au plus grand nombre (ce qui est loin d'être évident, d'où l'importance des retours). Et puis je ne qualifierais pas ces vidéos de divertissement uniquement, c'est plutôt un mix entre le scolaire et le loisir, mais si on veut se détendre c'est pas forcément ça qu'on regarde je pense ^^
@@Mathrais oui
Cela me parait bien compliqué tout cela.
Pourquoi vous n'utilisez pas la relation de Chasles et la somme de vecteurs ?
Le résultat coule de source
Il faut faire attention car certains résultats avec les vecteurs paraissent évidents de par le formalisme mais reposent justement implicitement sur ces théorèmes fondamentaux. Par exemple, comment justifiez-vous que dans le plan k(u+v)=ku+kv où u,v sont des vecteurs et k un scalaire (c'est un axiome d'espace vectoriel mais il faut bien le montrer pour justifier que R^2 en est bien un) ? La justification ne repose-t-elle pas justement sur le théorème de Thalès ...?
Le deuxième point c'est que je ne cherche pas à faire la démonstration la plus simple, je cherche à en proposer une qui parait logique et naturelle à trouver.
@@Mathrais C'est l'éternel problème de l’œuf et de la poule.
La somme vectorielle et la multiplication d'un vecteur par un scalaire dérivent-ils de la notion d'espace vectoriel ou la notion d'espace vectoriel a-t-elle été définie à partir des ces 2 opérations de base ?
Il me semble tout à fait logique de définir la somme de 2 vecteurs dans le plan, comme étant le vecteur obtenu en mettant bout à bout les 2 vecteurs.
En faisant la même opération sur un axe avec k fois le même vecteur, on voit bien que la norme du vecteur résultant est k fois celle du vecteur de départ.
En tout cas, c'est comme cela que c'était enseigné en classe de 4ème au collège au milieu des années 60 :
Définition d'un vecteur > qui introduit la relation de Chasles > qui permet de démontrer le théorème de Thalès > qui permet de démontrer le théorème de Pythagore; tout cela dans un cheminement on ne peut plus logique.
@@Mathrais Quand on écrit k(u+v)=ku+kv on fait de l'algèbre. Faire de la géométrie suppose en effet qu'on admette qu'un espace vectoriel opère de façon simplement transitive sur un espace de points, c'est à dire qu'en gros on ait d'abord défini ce qu'était une translation dans l'espace des points, puis qu'on ait pu exhiber un isomorphisme (entre la composition et l'addition) entre cet ensemble de translations et l'espace vectoriel. Fonder la géométrie ainsi est contre intuitif. Il vaut mieux d'abord introduire les points, les distances, puis les surfaces et les isométries, la notion de vecteur venant bien après (dans un espace non euclidien, le vecteur n'apparaît que dans le fibré tangent à l'espace en un point donné !). Si ce qui est intuitif est ce qu'on voit, on voit d'abord des points et des distances, on voit aussi des déplacements (rotations, translations) des symétries et des surfaces. On ne voit pas des vecteurs, par contre on les "sent" avec la force en physique.
Par contre si vous démontrez Thalès par les espaces vectoriels sans les distances, vous pouvez obtenir la proportionnalité des mesures locales sur les deux droites sécantes quels que soient leurs vecteurs directeurs mais vous ne pouvez pas parler de distances proportionnelles sur les droites parallèles.
@@danielb7311 "La somme vectorielle et la multiplication d'un vecteur par un scalaire dérivent-ils de la notion d'espace vectoriel ou la notion d'espace vectoriel a-t-elle été définie à partir des ces 2 opérations de base ?" Tout cela n'a pas de rapport avec la géométrie ; je vais par exemple étudier l'espace vectoriel des polynômes voire en étudier un anneau en considérant aussi la multiplication...
"Il me semble tout à fait logique de définir la somme de 2 vecteurs dans le plan, comme étant le vecteur obtenu en mettant bout à bout les 2 vecteurs." Ce que vous écrivez-là vous semble logique mais c'est impossible à démontrer. C'est bien ce lien entre algèbre (vecteurs) et espace de points (extrémités de représentants de vecteurs) qui fonde tout le reste.
"En tout cas, c'est comme cela que c'était enseigné en classe de 4ème au collège au milieu des années 60" Ce que je peux vous dire c'est qu'en mathématiques modernes (entre 1968 et 1975), on introduisait d'abord le milieu de deux points de façon plus ou moins axiomatique (sans la distance et sans la droite c'est compliqué) puis on introduisait une relation d'équivalence (l'équipollence) sur l'ensemble des bipoints (A, B) : deux bipoints (A,B) et (C,D) sont équipollents si et seulement si (A,D) et (B,C) ont même milieu, puis on définissait les vecteurs comme les classes d'équivalence de cette relation...Intuitif non ?
On peut quasiment toujours éviter le problème de l’œuf et de la poule en maths (sauf pour les quelques axiomes fondamentaux). Typiquement ici, la preuve que je présente ne se pose pas ces questions.
Le formalisme vectoriel rend encore plus intuitif ce qui l'était déjà géométriquement, mais conduit trop à de "On voit bien que" comme vous le dîtes justement. Je ne dis pas que ce n'est pas bien de voir les choses comme ça, au contraire c'est ce qui fait sa force de manipuler plus facilement les objets. Mais quand on veut prouver des propriétés fondamentales telles que le théorème de Thalès, il vaut mieux revenir, selon moi, à la géométrie de base pour être sûr de ce que l'on utilise.
A noter que le raisonnement que vous faîtes ici n'est a priori valable que pour $k$ entier, mais bon vous pouvez l'adapter donc ce n'est pas ça le problème.
Houla ça me parait un peu long, on peut pas juste dire que les deux triangles sont semblables donc ils sont liés par un rapport (et donc la preuve est juste triviale) ?
Là tu te sers de ce que te dit le théorème de Thalès pour montrer ce théorème donc non ce n'est pas possible ^^' Ce n'est pas parce qu'un résultat parait intuitif que la preuve est toujours facile (le meilleur exemple étant le théorème de Jordan en topologie). Il existe des preuves un peu plus rapides mais ce n'est jamais trivial.
Non pour le lemme que j'utilise les triangles ne sont pas forcément imbriqués. Et dans ce cas comment définissez vous des triangles semblables ?@@Mathrais
Je définis des triangles semblables comme des triangles qui ont leurs trois angles de même mesure. Évidemment si on prend une définition de triangle semblable avec des côtés proportionnels comme on la voit parfois, ça repose justement sur Thalès et on ne fait que dire une tautologie.
même si on prend l'autre définition avec les angles on peut simplement reconstruire thalès plus vite avec ça : ils ont chacun un angle de même mesure donc on peut les superposer par celui-ci et ensuite les angles correspondants finissent la preuve, il me semble ?@@Mathrais
@@kikilolo6771 Les angles, quand vous ne connaissez que la notion de distance (qui n'est pas nécessairement euclidienne), c'est beaucoup plus difficile à définir que de démontrer Thalès...