Comment Lagrange a trouvé son théorème des quatre carrés
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- Опубліковано 7 чер 2024
- Tout entier positif peut s'écrire comme une somme d'au plus quatre carrés. On démontre dans cette vidéo ce beau résultat de théorie des nombres.
Notes de cours de Ben Green (en anglais) contenant la preuve de ce théorème : people.maths.ox.ac.uk/greenbj...
Notes de cours de théorie des nombres de Gaëtan Chenevier (en français) : gaetan.chenevier.perso.math.cn...
Ma source pour l'historique de l'intro : Abrégé d'Histoire des Mathématiques de Jean Dieudonné
Lien de ma vidéo sur les 3 raisonnements de maths : • 3 raisonnements mathém...
Lien de ma vidéo sur les ponts d'Euler : • Comment Euler optimise...
Time-Codes :
0:00 Intro
3:37 Identité d'Euler
6:46 Étude des carrés
10:16 p=4n+1
18:50 p =4n+3
23:42 Outro
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Pas mal la démonstration. Je n'avais jamais vu. 👍
Merci ! Elle est en effet très peu enseignée alors que je la trouve très élégante :)
Merci pour ces vidéos, j'aurais bien voulu avoir ça quand j'étais lycéen et que je visitais le Palais de la Découverte, comprenant de nouvelles choses à chaque fois que j'y allais.
Je me sens bien ici, tu as l'une des seules chaînes du UA-cam français à ne pas être infestée par le virus "du coup". Abonné, donc. Et je t'espère le petit colis UA-cam avec la plaquette des 100K abonnés très bientôt!
Ouah je ne fais pas gaffe, j'espère que je ne vais pas attraper ce virus ! J'ai sans doute d'autres tics de langage, faudra faire attention ^^
Merci beaucoup pour ce joli commentaire =)
Lorsque j'ai passé mon agrégation, un de mes developement etait sur le symbole de legendre et dans les questions ont avait discuté de cette propriété, que des souvenirs ^^ merci pour cette vidéo
Haha je n'aurais pas pensé que ça puisse être une vidéo nostalgique x) Merci :)
Merci c'est fascinant.
Avec plaisir, j'adore partager ces beaux raisonnements =)
Chaud. Merci quand même.
C'est en effet une vidéo plus compliquée que d'habitude comme l'indique le marqueur rouge sur la miniature (voir mon blog pour plus d'explications mathrais.fr/pistes/ ).
J'alternerai entre les différentes pistes pour mes vidéos donc ne vous inquiétez pas, si une vidéo est trop avancée pour vous, il suffit d'attendre la suivante ^^
Va falloir que je revois ça un peu plus sérieusement. J'ai eu du mal à suivre :P
Comme l'indique le marqueur rouge sur la miniature, il s'agit d'une vidéo nécessitant des connaissances licence/prépa (d'arithmétique ici). Et même en ayant ces connaissances, la vidéo n'est pas faite pour être comprise immédiatement en un visionnage sans pause (sauf vraiment pour ceux qui auraient de l'expérience).
C'est donc tout à fait normal d'avoir du mal à suivre mais j'espère que ça transmet quelques idées malgré tout et que pour les plus curieux, ils y trouveront tout le contenu nécessaire pour bien comprendre cette preuve :)
merci beaucoup pour cette vidéo qui est très bien expliquée. J'aurais juste une question, comment vous faites pour faire l'animation de l'écriture des chiffres? ça m'intéresse beaucoup.
Pour l'animation en général tu veux dire ? J'utilise Python avec le module Manim (et il faut aussi Latex d'installé pour pouvoir écrire des maths). Je ferai prochainement une vidéo où je détaille comment je réalise mes vidéos car ça m'est beaucoup demandé !
@@Mathrais Merci beaucoup!
Bonjour Mathrais.
Je suis à fond preneur pour une vidéo où tu nous montre tes outils et combinés pour faire tes présentations. Du coup (lol de chez lol) je m'abonne à ta chaîne. Bisous à celui qui dénigre les "du coup".
@@batatltds5922 Bonjour, cette vidéo existe déjà ! Je l'ai faite il y a une dizaine de jours, voici le lien : ua-cam.com/video/EjN7rogdD6k/v-deo.htmlsi=_WeG4VpweDwxgOU-
@@Mathrais Merci. J'ai vu ça. Impeccable.
Ce qui est génial c’est qu’il y a également un lien dans Z[i] pour les nombres premiers dans cet ensemble : les nombres premiers de Gauss avec leur valeur modulo 4 également
Oui il y a énormément de choses à dire sur ce beau domaine de la théorie des nombres avec des connexions de partout ! Ce n'est pas du tout ma spécialité d'ailleurs (j'ai davantage étudié les probas/combinatoire) donc il ne faut pas hésiter à ajouter/expliquer des liens que je ne connaitrais pas :)
Cette preuve aussi, Fermat avait pas la place dans sa marge ?
J'ai étrangement plutôt bien réussi a suivre le début (je dirait que le fait d'avoir bien compris les congruences en Terminale a vraiment aidé)
Et après, j'ai décroché parce que mon attention s'est perdue ailleurs x), mais en saisissant des choses malgré tout (Mais comme je sais que c'est mon attention qui a déconné, je vais sans problème essayer de mieux comprendre plus tard, de toute façon, c'est souvent le genre de vidéo que je regarde a plusieurs reprises)
Mais au moins, j'ai quand même été jusqu'au bout et c'est quand même intéressant de voir que pour prouver des trucs, il faut pas hésiter a y aller étape par étape au lieu de se contenter du problème brut (en plus, en faisant comme ça, même s'il se serait avéré que c'était faux, ça aurait au moins permis de comprendre dans quels cas c'est vrai, c'est toujours une belle avancée)
L'argument a la fin pour m pair pour généraliser a 4n+3 dans N, c'est un argument "simple", ou il faut quand même se creuser pour trouver ?
Haha le pauvre Fermat, il n'est pas mis en valeur. Il faut savoir que s'il a gardé son nom dans l'Histoire, ce n'est pas juste parce qu'il a affirmé des choses sans preuve, il a malgré tout apporté une grosse contribution à la théorie des nombres en fournissant quand même plusieurs fois des preuves. D'ailleurs, à propos de ce théorème, il a quand même décrit un plan d'étapes relativement précises qu'il faudrait faire pour prouver le résultat. Bref, il faut malgré tout le retenir comme un grand mathématicien !
Clairement cette vidéo est difficile à comprendre même en ayant les notions, elle est faite pour être vue et revue avec des pauses si on veut vraiment tout comprendre. J'espère que pour les "simple curieux", un visionnage donnera une bonne idée et que pour les plus motivés, cette vidéo permettra de complètement comprendre la preuve.
L'argument à la fin pour m pair est court (il peut s'écrire en une ligne disons) mais ça ne veut pas dire qu'il est si facile à trouver ^^ Si jamais, il est écrit dans les notes de cours de Ben Green que j'ai mis en description de la vidéo.
Alors, oui, tres clairement, ma ligne concernant la parenthese, c'etait juste une petite boutade pour réagir au début de la vidéo, absolument pas pour le critiquer x)
Ah, il y a pas que mon attention qui est rentré en jeu alors, ça fait plaisir a voir (moi qui m'était dit que la, je me motiverait pour être attentif tout du long, j'avait peur de m'être raté x)) et j'espere bien comprendre au bout de quelques visionnages
J'irait jeter un oeil a l'article au bout de quelques visionnages, j'ai toujours beaucoup plus de facilité a comprendre la vidéo que l'écrit, donc ce sera en derniere étape ;)@@Mathrais
C est chaud et c est beau tout ca...
Pourquoi les plus petits représentants peuvent être choisi inférieure à p/2 et pas dans 0 p-1 ?
Cela vient du fait qu'un nombre et son opposé ont le même carré. Les nombres entre p/2 et p-1 sont les opposés des nombres entre 0 et p/2.
Puisqu'on s'intéresse simplement à la valeur des carrés des représentants ici, on peut donc toujours supposer cela. Ce n'est pas vrai dans d'autres problèmes en général où, pour traiter tous les cas, on devra en effet prendre un représentant entre 0 et p-1.
Je ne sais où vous prenez votre inspiration pour faire ces vidéos mais vous savez fidéliser vos abonnés 😭
.. vraiment même moi
Beaucoup d'années à faire des maths avec une curiosité particulière pour aller voir des résultats à gauche à droite, ça inspire :) Ravi que ça vous plaise en tout cas :D
Je dirais que si m est pair, il faut que a1, b1, c1 et d1 soient tous égaux à m/2, sans quoi on aura l'inégalité stricte. Ça veut dire que 2a, 2b, 2c et 2d sont tous divisibles par m... J'arrive à m/4 divise p... Donc m=4 ou m=4p... Je ne vois pas de problème et ne cherche peut-être pas du tout dans la bonne direction ! 😂
Que veut dire votre expression : "c'est juste pas..." ? Ne serait-ce pas plutôt une faute de français ? Ne doit-on pas dire : "ce n'est pas exact" ?
9'49 petite coquille verbale d'inattention: je pense que tu voulais dire "ne signifie pas forcement qu 'UN des deux nombres vaut zero" et non pas "les deux nombres valent zero" 😅😅 (ceci dit ça n'est pas faux puisque dans z/12z produit nul ne signifie pas forcement que les deux nombres valent zero mais c'est toujours le cas 😅😅😅 (sauf pour l'anneau nul et F_2😅😅😅😅(j'arrete les parenthese car je me suis fixé comme regle arbitraire d'augmenter toujours d'un 😅 par rapport à la serie precedente😅😅😅😅😅(notons que si j'ecrivais l'émoticone à l'ancienne, en terrminant par une parenthese qui fait la bouche je terminerai ceci non pas par 6 parenthese mais par 12😅😅😅😅😅😅(sauf que je n'aurais pas dit "si je les avais mis à la main" puisque je les aurais dffectivement mis à la main😂😂😂😂😂😂😂)))))))
Mdr je vois que j'ai affaire à un esprit un peu dérangé x) (à prendre au second degré évidemment !)
Bien vu pour la coquille verbale, tu as tout à fait raison !
Sauf que en mettant seulement un 😅 dans la phrase "je me suis fixé comme règle arbitraire de toujours augmenter d'un 😅[...] ", tu a coupé ta propre série de multiples 😅 pour ne mettre qu'un seul 😅 (en plus tu a oublié de mettre une parenthèse derrière)
Ta règle des 😅 souffrant donc d'une exception, je décrète que la règle des 😅 n'est pas respectée 😈 (ou alors il aurait fallu expliquer dans la règle des 😅 que tu peut mettre un 😅 isolé si ça fait partie d'une phrase, mais tu ne l'a spas indiqué dans la règle des 😅)
(Est ce que l'esprit le plus dérangé, c'est l'esprit dérangé initial, ou le papillon qui lui répond presque premier degré ? x)
À 18:40 vous écrivez rp=((aa1+bb2)/m)²+((ab1-ba1)/m)². Mais comment prouver que ab1≠ba1 ? (car si ab1=ba1 alors ((ab1-ba1)/m)=0) merci pour la vidéo 🙂👍
Ce n'est pas grave si l'un des carrés vaut 0 tant que les deux ne valent pas zéro. Vous avez quand même la propriété d'être somme de 2 carrés même si l'un vaut 0.
Bon en fait ça ne peut même pas arriver puisque, si on étudie les facteurs premiers, rp ne peut pas être un carré car 0
@@Mathrais merci 🙂👍
g rien compris
C'est en effet une vidéo plus compliquée que d'habitude comme l'indique le marqueur rouge sur la miniature (voir mon blog pour plus d'explications mathrais.fr/pistes/ ).
J'alternerai entre les différentes pistes pour mes vidéos donc ne vous inquiétez pas, si une vidéo est trop avancée pour vous, il suffit d'attendre la suivante ^^
Utiliser 1 au carré, c'est pas un peu de la triche ? Lol
Non en soit on pourrait utiliser un autre nombre car montrer que -1 est un carré dans Z_p, ça permet aussi de montrer que si a est un carré alors -a est un carré. C'est juste que vu que ce résultat vient de -1, autant prendre 1 plutôt que de décréter ensuite l'existence de a et -a qui alourdirait inutilement les choses !
encore une fois pas Lagrange
le théorème est de Claude-Gaspard Bachet de Méziriac (1621)
Selon mes sources, Bachet a traduit le livre de Diophante et c'est donc lui qui a émis la conjecture que ce résultat est vrai. On a donc commencé par appeler cela la conjecture de Bachet mais c'est bien Lagrange qui en fournit la première démonstration complète.
C'est un théorème d'abord arabe .