Вставка
- Опубліковано 30 тра 2024
- Формула Пика - красивейший результат комбинаторной геометрии, который знает и применяет почти каждый абитуриент. Но почему она везде фигурирует без доказательства? Может, оно очень сложное? Может, формула и не доказана вовсе?
0:00 - Предыстория
0:30 - Формула Пика
0:45 - Где нельзя ее применять
1:07 - Где можно ее применять
1:23 - Доказательство. Шаг 1: аддитивность
3:03 - Доказательство. Шаг 2: триангуляция
4:20 - Вопрос для самых смышленых!
В этом ролике иллюстрирую элементарное доказательство формулы Пика, которое доступно даже восьмикласснику! Рассмотрим любопытные примеры, когда формулу можно использовать, а когда нет.
Формулировка теоремы. Площадь многоугольника с целыми вершинами и без самопересечений определяется формулой S=i+b/2-1, где i - количество целых точек внутри многоугольника, b - количество целых точек на его границе.
ПОДРОБНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ДЛЯ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
(четвертая минута видео)
1) Пусть стороны прямоугольника ABCD параллельны линиям сетки, а вершины находятся в целых точках. Тогда диагональ BD делит прямоугольник на два равных треугольника ABD и BCD: количество внутренних целых точек и граничных целых точек у этих треугольников равное.
2) Мы предварительно доказали, что формула Пика верна для ABCD, а также свойство аддитивности.
3) Предположим, формула Пика дает для ABD площадь больше, чем она есть на самом деле. Тогда и для BCD она дает результат больший, чем на самом деле. Но из аддитивности мы знаем, что тогда формула Пика для ABCD даст площадь больше, чем на самом деле. А мы доказали, что формула Пика для ABCD дает верный результат. Противоречие.
4) Аналогично предыдущему шагу предположим, что формула Пика дает для ABD площадь меньше, чем на самом деле. Тогда площадь ABCD, рассчитанная по формуле Пика, будет меньше истинной, но мы явно доказали, что для ABCD формула работает корректно. Противоречие.
5) Значит, формула для треугольника ABD работает верно, а вместе с ним и для любых прямоугольных треугольников с целыми вершинами, катеты которых параллельны линиям сетки.
БОЛЬШЕ КРУТЫХ ВИДЕО О МАТЕМАТИКЕ
1. Зачем нужна математика: • #200. ЗАЧЕМ НУЖНА МАТЕ...
2. Самая красивая формула: • #161. САМАЯ КРАСИВАЯ Ф...
3. Проблема тысячелетия: • #170. ГИПОТЕЗА РИМАНА ...
4. Как извлекать корни в столбик: • #140. КАК ИЗВЛЕКАТЬ КО...
5. Логарифмическая линейка: • #107. КАК ПОЛЬЗОВАТЬСЯ...
6. Постижение числа (feat. А.Савватеев): • #182. Постижение числа...
#наука #математика #ЕГЭ
Вспоминается цитата классика:
«Пика-пика-пикачу!»
Все вы знаете эту теорему. Но можно ручаться, что 99 из 100 никогда не видели ее доказательства: в большинстве статей и видео ограничиваются примерами использования. В итоге красивейший результат комбинаторной геометрии остается в памяти как лайфхак для решения задачек ЕГЭ. Досадная ситуация, которую нужно исправить! Перед вами доказательство, которое доступно даже семикласснику! Абитуриенты, подкиньте видео друзьям в чаты. Учителя и репетиторы, поделитесь роликом со своими учениками!
Полезай в покебол, математик! Я соберу вас всех!
Я тот 1, что уже видел доказательство -_-
Но видео всё равно крутое, как и автор)
у нас так свет во всем районе вырубило от перенапряжения
А я вспомнил геопику нормально стелит и качает в тачке а видео вообще не понял кому нужны эти циферки ни разу в жизни не пригодится умничаете лучше послушайте геопику фонтанчик с дельфином вещь рееомендую там про пацанов и лагеря.
Жизненно очень а все эти треугольники совсем не жизненно
Представляю, что будет, если это видео увидит ЭЛЬМИР))
Как-же я смеюсь на счёт того, что решая ту задачу который решал ЭЛЬМИР, сказал:"раз, два и проблема решена".Хотел показать, что можно решить проще.)
искал этот коммент))
Кто такой эльмир
@@user-sd1ty7hk5i снимает решение математических задач ЕГЭ. Формула Пика - один из локальных мемов с того канала
@@jacks5793 спасибо вам
Спасибо Эльмиру за то, что он поведал нам, простым смертным эту формулу, через проходит само мироздание
Спасибо вам, что наконец-то показали ее доказательства
Пиковцы могут спать спокойно
Площадь равно группа крови В+1/2 говна -1
Спасибо, что продвигаете истину в массы!
Да я знал эту истину, когда был ещё эмбрионом
Эльмир,красава, брат, маэстро данной формулы
Истина вне массы.
По поводу вопроса про "дыры" в конце ролика, похоже, что получилось вывести модифицированную формулу, но я пошёл дальше и она работает теперь даже в том случае, если у нас какие-то "дыры" соединяются в одной узловой точке:
S = В + (Г+2n-C)/2 - 1, где В - внутренние точки;
Г - граничащие точки;
n - кол-во "дыр"в фигуре;
С - узловые точки, соединяющие две или более близ лежащих "дыр" внутри фигуры.
Я попробовал сначала у данных фигур закрывать "дыры" другими частями фигуры так, чтобы по итогу фигура не была модифицированной. Оказалось, что у с одной ранее "дырой" фигуры можно сделать перестановку так, чтобы в формуле число Г увеличилось на 2 (Г+2). Если делать так с большим кол-вом "дыр", то оказывалось, что можно записать Г/2 как (Г+2n)/2. Однако я учёл случай "слипания" этих отверстий в некоторых узлах. Тогда оказалось, что такая точка должна быть вычтена из граничащих (я бы объяснил это тем, что в такой точке происходит как бы наложение двух граничащих точек сразу, а потом одну надо вычесть (или более, если "дыр" больше). Конечно, экспериментально, но наверняка это можно и строго доказать)
Будет ли она работать если дыры будут "неправильными"? Например, десяток-другой круглых "дыр" площадью m, случайно разбросанных по фигуре так, что-бы ни одна не пересекалась.
Нет, контпример похожий на контрпример к оьычной формуле пика
Кому в голову пришёл ЕГЭ стендап
+++
😁
Даунам
Всем
Первое что приходит в голову, как можно модифицировать формулу Пика, это считать отдельно площадь закрашенной части и не закрашенной как одно целое и вычитать из неё площадь внутренней незакрашенной части
Это отличная идея! В этой задаче еще интересно, можно ли такую процедуру свести к одной единой формуле, не вычисляя всякий раз отдельно вырезанные фигурки.
@@WildMathing тогда в голову приходит считать так:
Полусумма точек внешнего контура плюс полусумма точек внутреннего контура плюс сумма точек внутри фигуры, т.е. просто не вычитать единицу)
p.s. Пока контрпримера не нашёл, так что звучит правдоподобно
В момент 4:35 твоя формула корректно работает для левой картинки, но не правой. В любом случае - уже неплохо! Скорее всего имеет значение количество вырезов.
@@WildMathing ого, точно надо тогда ещё подумать
@@WildMathing Тогда получается мы к формуле пика добавляем количество дырок в нашей фигуре. Формула получается такая "S = i + b/2 + h" где h количестве дырок в фигуре
Зачем нужен определенный интеграл, когда есть такая замечательная формула...
Не для всех фигур она, увы)
@@nikyshal знак приблизительно решает вопрос
@@bain6988, ну почти: легко привести пример фигуры, площадь которой через определенный интеграл будет равна 10¹⁰⁰, а по формуле Пика -1.
@@WildMathing ох уж эти математики - легко им, видите ли :) это вам легко. А нам только "нетрудно видеть" :)
Для поноса мозгов
полвидео глазами следил за появляющимися и исчезающими точками в кружках-пересечениях.
Почему я уже на 3 курсе мехмата, но все еще с удовольствием смотрю новые видео, магия какая-то!) Они великолепны))
момент с уплывающим "титаником" - просто чудо! да и в целом видео очень интересное.
Не по колокольчику, а по зову калькулятора
Применим формулу Пика последовательно для многоугольника без дыры и для дыры, затем вычтем площадь дыры. Спасибо за доказательство формулы Пика.
Я, кажется, вывел формулу экспериментально:
S = i + b/2 - 1 + k ,
где k - количество внутренних фигур.
Условия: 1 - без самопересечений; 2 - вершины в целых точках; 3 - стороны должны быть отрезками (для кругового сектора и т.п. не работает)
не всегда
Ну наконец-то, дождались!
Невероятный канал про математику!Всё интересно, кратко, ясно и познавательно разумеется! Респект!
"Ёлочка", в которой сокрыто много комбинаторики - это треугольник Паскаля!
Нехай в нас є многокутник, для якого справджується формула Піка, та N многокутників всередині нього. Площа Зовнішнього многокутника і + k/2 - 1; Площа кожного внутрішнього многокутника х + у/2 -1, де х - к-ть внутрішніх точок, у - зовнішніх для даного внутрішнього многокутника. Для зовнішньому многокутнику точки х та у є внутрішніми точками, отже їхній вклад у загальну суму х + y. Тоді різниця площ зовнішнього многокутника і внутрішнього (i - x - y) + k/2 -1 + (x +y - x - y/2+1) = (i - x - y) + (k + y)/2 -1 + 1. Оскільки це справедливо для кожного внутрішнього многокутника, то "загальна" формула Піка буде l + u/2 - 1 + N, де l = i - x_заг - у_заг - к-ть внутрішніх точок у початковій фігурі, u = к + y_заг - к-ть зовнішніх точок у початковій фігурі, N - к-ть многокутників, що знаходяться в зовнішньому многокутнику.
P.S. Дякую автору за чудове відео)
Браво автору! Так изложить материал! Спасибо огромное за доставленные удовольствие!
Большое спасибо за фидбек, Андрей!
Как всегда великолепно)
Ооо, круто-классно, всегда хотел узнать хорошее доказательство, которое пойму)
Как всегда, не видео а сказка! 💕
Отличный канал, всегда смотрю с удовольствием.
Спасибо вам за труды.
Вам спасибо за добрые комментарии!
применяем формулу пика для исходного многоугольника без выреза и вычитаем площадь, полученную с помощью формулы пика для вырезанного многоугольника
Видос как всегда просто божественный! Особенно эффект сияния от формулы Пика - просто огонь! Или это магия какая-то?
Это была магия (огня)!
Отличное видео и объяснения. Прекрасные анимации. Продолжай в том же духе)
Продолжение следует!
@@WildMathing скорее бы уже! давай, заводи это видео! давай!
Автор канала, Вы так красиво все иллюстрируете и наглядно показываете, что я, далёкий человек от этих формул, с завораживанием смотрю, перематываю и пытаюсь открыть для себя чудесный мир математики. Браво!!!! 😊🎉
Спасибо за добрые слова!
Рад, что завеса приоткрывается! В этом деле главное - интерес
Первый раз слышу об этой формуле. Прикольная вещь.
Спасибо большое за ваш труд!
Спасибо, что смотрите и комментируете!
Для модификации обозначим граничные точки пустот как b', внутренние точки пустот как i', количество пустот как n. Тогда искомая формула S = ((i + i' + b') + b/2 - 1) - (i' + b'/2 - n) = i + b'/2 + b/2 -1 + n.
ВОПРОС ДЛЯ САМЫХ СМЫШЛЁНЫХ
Не претендую на правильность, но моя мысль, которая работает для показанных в ролике фигур: прибавлять к формуле пика кол-во вырезанных частей, в первом случае +1, во втором +2 и ответы становятся правильными
большое спасибо за видеоролик!
Все для вас, все для вас!
а еще есть любопытное обобщение теоремы Пика: Многочлен Эрхарта, который позволяет посчитать кол-во внутренних точек растянутого в t раз многоугольника.
Получил эстетическое удовольствие
Это главное!
Спасибо,Wild! Доказательство не КОКАЕТ, но при этом все равно наступает КАТАРСИС!
Эх. Поздно посмотрел ролик. Сегодня была олимпиада. И проиграл с разромным счетом.
Ребят . Ум всехда двигал человечество вперед. Сейчас вы сможете сделать открытие которе через 100 оть чз 1000 лет где то пригодиться!
Учитесь. Ум никогда не делал плохое. Плохое делали те которые незнают до конца.
Нету вреда от математики.
Сегодня я потерял тот шанс после которго не могу участвовать в Олимпиаде. 😢.
Да. В олимпиаде кайф. Там такие же или более умные в той диссиплине люди. И побеждать таких умных это такой кайф
Анимации очень красивые, благодарим за ролик
Привет, никогда не задумывался о доказательстве Формулы Пика. Не видел у тебя на канале арифметику остатков, интересная для олимпиад тема, хотелось бы увидеть!
Приветствую!
Кое-что уже есть: ua-cam.com/video/X2CueA2JB1o/v-deo.html
Кое-что наверняка будет и еще!
Наверное, для многоугольников с вырезами можно просто записать как разность площади всего многоугольника и площади выреза?
Видео как всегда божественно, но к сожалению это доказательство я уже знал)) Но вот что мне всегда не нравилось в доказательствах по индукции - она не позволяет "найти" формулу, не догадываясь о ней, тут тот же самый вопрос)
@Starky ну, хотелось бы узнать, как мы вообще пришли к подобной формуле
аплодисменты стоя, у меня 8-ми летний брат, пойду докучать геометрией)
Спасибо за ваши видео и за то, что вы делаете. Если не трудно, можете посоветовать какие-нибудь видео или источник для изучения гомотетии.
Вам спасибо, что смотрите!
По гомотетии обязательно будет ролик на этом канале!
А для полноценного изучения рекомендую начать с уроков Дмитрия Терешина: ua-cam.com/video/IJMAozpC-zg/v-deo.html
После них можно смело вооружиться книжками Прасолова и Понарина (1 том)
Эльмир передавал привет!
Сначала найти площадь большого многоугольника, как если бы он был цельным, без дыр. Потом вычесть площади этих дыр по той же самой формуле
Один я знаю эту формулу в 8 классе, когда я открыл одноклассникам её, не понимали че делать, а теперь, я понял что математика с геометрей это моё
Про модификацию формулы: нужно просто прибавить количество дырок :)
Да, причём возникает смешной «парадокс»: чем больше дырок в фигуре, тем больше её площадь :)
Для многоугольников, в которых нет пустых участков, подойдет обычная формула Пика, а вот если есть пустые участки, то, наверное, надо вычесть из итога формулы Пика количество точек, на которых лежат эти пустые участки. Если эти участи не лежат на точках, то «ну, конкретно в этой ситуации, ну, наши полномочие всё, окончились».
Пик молодец, отличную теорему придумал)
Классные анимации!
пусть я и опоздал на несколько лет, но свои 5 копеек вставлю.
итак. для нахождения площади "дырявого" многоугольника я решил вычесть площадь отверстий. для начала найдем площадь фигуры с одним отверстием: S=(i0 +j0/2-1)-(i1+j1/2-1)=i0-i1+(j0-j1)/2
теперь найдем площадь для фигуры с двумя отверстиями: S=(i0 +j0/2-1)-(i1+j1/2-1)-(i2+j2/2-1)=i0-i1-i2+(j0-j1-j2)/2+1. высчитывая формулы площади для фигур с последующих "дырявых" фигур можно прийти к общей формуле: S=i0-(i1+i2+...+ in)+(j0-(j1+j2+...+jn))/2+n-1,
где
i0 - количество внутренних узлов у исходной фигуры,
in - количество внутренних узлов у n-ного отверстия,
j0 - количество внешних узлов у исходной фигуры,
jn - количество внешних узлов у n-ного отверстия,
S - площадь,
n - количество отверстий
Модифицированная версия: В+Г/2- П , где В - количество точек внутри фигуры, Г - количество граничных точек фигуры, П - количество частей плоскости, на которые фигура разбивает её остаток. Понятно, что для многоугольника оно равно 1. Правда, работает только для связных фигур, причём без точек, которые являются граничными для двух "сторон" одновеменно. Так что для ^ёлочки^ не подойдёт.
Здравствуйте, как ваши дела? Не желаете ли вы порешать индийский экзамен по математике? На английском конечно, но все же понять можно
Идея для фигуры с дырами: площадь = число внутренних точек + число граничных точек / 2 + количество кусков, на которые разбивается плоскость нашей фигурой - 2.
Формула Пика чем то напоминает формула гаусса для вычисления площади многоугольника по его координатам
Это мощная оптическая иллюзия или все точки на самом деле мерцают? Как будто внутри каждой белой, то появляются то исчезают чёрный точки.
Ого, здрово, правда интересно почему я не встретил эту формулу в школе, сейчас я в 9 классе, но 1.5 лет назад такая формула не помешала бы
Ну я думаю, что форму фигуры можно чуть изменить, убрав квадрат в одной части, и поставив его в другой клетке, так всё сойдётся
4:36 Вспомнил монстра из одной геометрической игры. Моей любимой, кстати.
Сколько в школе учился, никогда не слышал про формулу Пика
S=i+b/2+a-1
a- кол-во вырезаных фигур
i- внутренние точки фигуры
Скорее всего (особо не думал, мне еще к экзаменам надо готовиться))), количество целых точек на внутренней границе надо взять с минусом. То есть b = внешние границы - внутренние границы
В задаче в начале ответ 1?
Мои соображения: прямоугольник с минимальной площадью и минимальной стороной будет размера 1×n, значит расположение отмеченных клеиок должно учитывать этот случай, это возможно только при n = 1, в любом другом случае прямоугольник можно сдвинуть с линии квадратов
Задача интересней, чем кажется: заключительный этап Всероса. Решение и ответ здесь: www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=109519
@@WildMathing, упс, да, я перепутал последнюю строчку), вместо хотя бы одну, поставил все, все-таки первый шаг в решении задачи - полностью понять и запомнить условие
Спасибо за раскрытие такой секретной информации, да ещё с пояснением, да ещё с каким) ещё одно отличное видео получилось. А главное, на одну тайну меньше осталось в этом мире..
Подбором получилось так: S=i + b/2 - 2.
Спасибо за то, что посмотрел да еще и вызов принял!
Если вычитать двоечку, то для квадратика 3×3 без центральной клетки такая формула даст результат 6 (маловато)
@@WildMathing, пожалуй, оставлю этот пример невнимательности и самоуверенности в назидание читающим комментарии)
@@pavluha.official, это поступок сильного человека!
Так тут же все просто,вспомним как мы находили площадь квадрата например A^2, а что если внутри квадрата есть пустота в виде другого квадрата, А1^2-A2^2, так можно провернуть с любой фигурой, только формулу площади меняем. в итоге получаем i+b/2-1-(i1+b1/2-1), просто вычитаем внутреннюю пустоту по той же формуле, если таких фигур несколько то вычитаем площадь каждой фигуры
Кстати, для любой фигуры подойдёт:
Метод палетки
n число полных клеток (закрашенных);
k число частичных клеток;
S₁ площадь 1 клетки;
S площадь всей фигуры произвольной.
1
S=S₁•(n+ - •k)
2
Кто-то не знал о формуле Пика?
Я тоже
я не знал(
Нам в 8 классе дали эту формулу, сказали используйте на огэ. В 10 классе сказали не используйте эту формулу никогда :с
@@ignarusaffectus6209 Возможно, потому что лень объяснять случаи, в которых формула не работает. Эх..
@@nien1164 потому, что в чертежах не всегда видно попадает узел на границу или находится внутри многоугольника.
Угу, да. Угу. Ясно, да. Угу..
Ааа. Я правда знаю эту формулу, хоть и не пользовался ей))
Вот это крутоооооо
фигуру просто замкнули . нужно прибавить единицу, ведь начало и конец в такой фигуре считается 1 раз и единица площади утрачивается
Формула Пика: I + B/2 - 1 = S
Самое простое, если не единственное - S = S1 - S2, где S - Закрашенная фигура, S2 - Незакрашенная фигура внутри границ заграшенной, S1 = S+S2.
Формулы всех площадей легко находятся если известны все точки. Осталось только сложить 2 и 2:
S1 = I + B/2 - 1
S2 = I1 + B1/2 - 1, но незакрашенных областей может быть несколько. В таком случае S2 = I1 + I2 + ... + In + B1/2 + B2/2 + ... Bn/2 - n = I1 + I2 + ... In + (B1 + B2 + ... + B3)/2 - n
S = S1 - S2 =
= (I - I1 - I2 - ... - In) + (B - B1 - B2 - ... - Bn)/2 + (n - 1), где числа после букв - коэффициенты, а n - количество точек.
Спасибо за видео, как раз дз по 15-тым доделываю)
В логарифмических неравенствах формула Пика - самое оно!
Wild, подскажи пожалуйста. С чего начать ботать серьезные олимпиады (всерос, сосковская, тургор) но и про перечневые олимпиады не забывать (оммо, физтех). Я имею ввиду, что у меня есть довольно много материалов, но с чего начать ботать, например, теорию чисел, непонятно. Буду благодарен за совет)
Вот здесь самые ценные советы:
1. Олимпиады: ua-cam.com/video/6TogU_qxNcc/v-deo.html
2. Олимпиады: ua-cam.com/video/J4hqBNvj9UM/v-deo.html
3. Олимпиады: ua-cam.com/video/IFDiQ4YfxXc/v-deo.html
По теории чисел всячески рекомендую «Делимость и простые числа» (А. Сгибнев), «Азы теории чисел» (К. Кноп)
Огромное спасибо за видео, Вайлд, не подскажите ли хорошую, тонкую книжку по основам топологии и с интересными задачками?
Смотря какой уровень и чего ты хочешь. Если ты старшеклассник и хочешь сначала именно "прочувствовать" топологию, то подойдёт "Наглядная топология" Прасолова. Если уже студент и хочешь какого-то формализма, то из книжек я знаю "Топологию для младшекурсников" Васильева, "Задачи по топологии" Прасолова, "Введение в топологию" Васильева. А уж лекций на ютубе вообще огромное количество. Есть лекции с мехмата, есть целые курсы лекций по топологии на канале "Лекториум"
@@bluepen2637 Огромное Вам спасибо!
@Toy Joy, за видео - всегда пожалуйста! Литературу, рекомендуемую Blue Pen выше, всячески одобряю. Если хотелось бы малый объем и наличие задач для первого знакомства, то присмотрись еще вот к этим материалам: dfgm.math.msu.su/ngit.php (лекции 2 и 12)
Конечно есть идеи: это фигура в фигуре. Считаем сначала по формуле пика одну площадь, потом вторую площадь (вырез) и от большей отнимаем меньшую. Получаем ответ.)
Спасибо за ответ!
Тут еще любопытно понять, можно ли записать одну формулу, не вычисляя всякий раз площадь вырезанных фигур по формуле Пика.
Здравствуйте,автор канала wild mathing ,как начинающий математик, я хотел бы у вас спросить: стоит ли мне писать конспекты ,то есть выводы всяких формул , определения , правила и т.д.,если даже у меня есть книга не электронная (материальная ) ?
Все зависит от целей: скажем, при подготовке к экзамену, когда есть список тем, билеты, большое количество теорем к доказательству, конспекты очень помогают. Многие лучше усваивают информацию, пока ее (неспешно) записывают, расставляют акценты. Но чаще всего в математике продвигает решение задач, и им стоит уделить большее внимание: попался незнакомый термин - посмотрел определение, и дальше решаешь задачу. Тогда все укладывается само собой в процессе работы, и отдельно выписывать формулы не приходится.
Здравствуйте ! Подскажите пожалуйста, в задание 19, например в пункте «б» сказано, что числа не должны повторяться, распространяется ли это условие также на следующий пункт «в»?
День добрый!
Пункты а), б) и в) задачи 19, как правило, формулируются независимо. Если в пункте б) сказано про отсутствие повторов чисел, а пункте в) такого условия нет - значит, в пункте в) повторы возможны. В ином случае можно встретить уточнение: «Верно ли с учетом условий предыдущих пунктов, что...»
@@WildMathing спасибо огромноеее!
@@user-rh8ct6ll3f, не за что!
Где красивая музыка в конце видео? :,(
Ладно-ладно, это я шучу. Как всегда, очень красиво!
Для тех, кому хочется увидеть вывод формулы модифицированной формулы: S=S1-S2; S1 = (b-hx)/2 + hx + i - 1; S2 = h(x/2 - 1) отсюда S=(b-hx)/2 + hx + i - 1 - h(x/2-1) = b/2 + h + i - 1.
S - общая площадь; S1 - площадь фигуры, если отверстий нет; S2 - площадь отверстий; b - пункты на границах ( как внешних, так и внутренних );
h - количество отверстий; x - сколько пунктов входит в одно отверстие( ну в итоговой формуле это знать не обязательно ); i - сколько внутренних пунктов. Думаю это верный вывод ( если считать, что все отверстия одинаковые и в них не может быть своих внутренних пунктов). А теперь вопрос от меня - где можно найти вывод основной формулы Пика, или она только экспериментально выводилась?
Можно разнести (почти) любую фигуру на треугольники и посчитать отдельно
Это и делает формула Пика
В последнем можно : 4+12/2-1-1=8,что верно)
Формула в конце для таких фигур - что-то наподобие эйлеровой характеристики?
Когда на 1.52 начал ругаться маитематическими терминами-хотел выключить-но досмотрел.
С помощью формулы Пика ещё до зарождения вселенной просчитал содержание этого ролика
"Формула пика работает для многоугольников без самопересечений". Не совсем понял, что подразумевается под самопересечением, но судя по доказательству я бы сказал так: перед тем как пользоваться формулой проверь что можно триангулировать так, что все треугольники имеют вершины в пересечениях сетки и все смежные треугольники имеют общую сторону. Wildmath, не могли бы вы прокомментировать такой критерий корректности формулы как "многоугольник без самопересечений"
Хорошо, что ты спросил, поскольку фигуру в момент 0:59 триангулировать можно, все вершины целые, но при этом теорема для всей фигуры разом не сработает. Во многих книжках определение многоугольника уже дается так, что оно исключает самопересечения. Однако можно встретить и такую формулировку: «Многоугольник - часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной». При этом для ломанной предварительно вводятся все нужные термины, в частности: «Ломаная имеет самопересечение, если хотя бы два её звена имеют общую точку помимо общей вершины».
@@WildMathing что такое ломаная без самопересечений понял, спасибо. В своем сообщении выше я указал, что нужна не только триангуляция, но еще и такая, что любые смежные треугольники имеют общую сторону, что не выполнено для фигуры 0:59. У нее в месте самопересечения треугольники всегда будут стыковаться по одной вершине
@@negin1812, cмежные треугольники имеют общую сторону - это плеоназм: они не могут не иметь общей стороны. Но твою мысль понял, если поправить условие смежности, определение станет вполне рабочим
На последок можно применить формулу с дополнением. S=i+b/2-(n-2)/2-1. Где n количество крайних точек внутри внутри многоугольника.
Спасибо, что принял вызов! Сработает ли формула для квадрата 4х4, из центра которого вырезали квадрат 2х2?
Почему я такой тупой человек? Мне так хочется познать математику и модифицировать формулу пика для решения воспроса к смышлённым людям, аааа😫
Напишем формулу Пика для целой фигуры: S0 = i0 + b0/2 - 1. Очевидно, что надо для площади вычесть площадь вырезанного многоугольника 1, которая составляет S1 = i1 + b1/2 - 1. Тогда искомая формула: S = (i0-i1) + (b0-b1)/2 или i + b1 + (b0-b1)/2 = i + (b0+b1)/2, где i -- количество не граничащих точек внутри многоугольника. Заметим, что i -- это i0, из которого вычли не только количество внутренних точек вырезанного многоугольника (i1), но и граничащих (b1). Поэтому i0-i1=i+b1.
Если вычли k многоугольников, то несложно показать аналогично, что исходная площадь S = (i0-I) + (b_0-B)/2 + k -1, где B=\sum_{n=1}^k b_n; I=\sum_{n=1}^k i_n. Учитывая, что i = i0-I-B, то S = i + (b_0+B)/2 + k-1
Проверим на данных примерах:
1. Количество внутренних точек -- 0, количество граничащих внешних точек -- 12, количество граничащих вовнутрь точек -- 4, количество вырезанных многоугольников -- 1, т. е. S = 0 + (12+4)/2 + (1-1) = 8
2. Количество внутренних точек -- 2, количество граничащих внешних точек -- 16, количество граничащих вовнутрь точек -- 6, количество вырезанных многоугольников -- 2, т. е. S = 2 + (16+6)/2 + (2-1) = 14
В обоих случаях формула работает правильно.
Конечно же, формула не работает для самопересекающихся вырезанных многоугольников, но думаю, и эту проблему можно решить
а, ещё очевидно, то b_0+B = b, то есть просто количество граничащих точек
Я правильно понимаю, что исходную формулу для одного квадратика просто подобрали? Или есть какой-то вывод для неё?
Привет! Сдаю профильный егэ по матеше в этом году. Нынешний уровень знаний где-то 65-70 баллов. Какие хорошие книги или учебники есть для подготовки к егэ по проф матеше, рассчитанные на балл 90+?
Приветствую! Здесь все, что нужно:
1. Первая часть ЕГЭ: ua-cam.com/video/41YLfvO8xDc/v-deo.html
2. Вторая часть ЕГЭ: ua-cam.com/video/CarNgXgGxCM/v-deo.html
3. Стереометрия: ua-cam.com/video/JWXWYnkd7KE/v-deo.html
4. Планиметрия: ua-cam.com/video/t3OxwI-3r6Y/v-deo.html
5. «Экономические» задачи: ua-cam.com/video/AGA4noUJP5s/v-deo.html
6. Задачи с параметром: ua-cam.com/video/6JczuBkhqC8/v-deo.html
7. Теория чисел: ua-cam.com/video/ghXIDJVaS-s/v-deo.html
Как поступить в МФТИ и стоит ли вообще поступать?
Поступать лучше всего по олимпиадам. Вот здесь основной ролик с объяснениями, почему это лучший вариант, а также с литературой для подготовки: ua-cam.com/video/J4hqBNvj9UM/v-deo.html
А по поводу стоит ли поступать: зависит от интересов. Стоит определиться с направлением, в котором хотел бы развиваться дальше, из этого уже исходить при выборе вуза. МФТИ по многим фронтам один из лучших университетов в России.
@@WildMathing допустим я хочу быть программистом. Machine Learning. Научат ли там этому?
@@user-xh8rr2wx7w ВМК МГУ, ФКН ВШЭ, МФТИ, ИТМО и в любых других топ физ.мат.вузах научат машинному обучению
Автор, подскажите, как правильно определять упорядоченную пару точек a, b: (a, b) = {a, {a, b}} или (a, b) = {{a}, {a, b}}?
А в чём принципиальное отличие?
В математике один и тот же объект может иметь несколько эквивалентных определений, и нельзя сказать, что какое-то из них «более правильное»
@@WildMathing Спасибо за ответ!
А как найти площадь фигуры на 4:12 без формулы Пика? На что разделить фигуру?
Вот два, пожалуй, самых простых способа, исключая формулу Пика.
1. Площадь четырехугольника (в том числе невыпуклого) можно найти через полупроизведение диагоналей на синус угла между ними. S=½d₁d₂sin(α)=½√2∙√2=1.
2. Проведем диагональ четырехугольника, которая делит его на два равных треугольника. В момент 4:12 как раз иллюстрирую, как найти его площадь, вычитанием из прямоугольника 2×3 площади единичного квадрата и трех прямоугольных треугольников.
@@WildMathing Благодарю! По формуле,конкретно в таких ситуациях,гораздо проще,да и быстрее.
Через формулу шнуровки Гаусса?😂
Я думал это про доту
Уже сдал егэ и почему-то смотрю это видео в пол5 утра
А где использовали отсутсвие самопересечения?
Это важный вопрос! Общая граница двух частей «Титаника» должна быть невырожденной ломаной: если осколки имели бы только одну общую точку, то аддитивность теряется.
Не очень понял доказательство формулы для прямоугольных треугольников... Жалко
Но видео очень понравилось. Тема интересная и действительно большинство, кто скорее сдавал егэ, знакомо или слышало о формуле, но вот условия применения и доказательство их далеко не каждый знает из этого большинства) Можно узнать что-то новое и простое, это классно
Дублирую свой ответ по поводу прямоугольных треугольников:
«Для нужных квадратов и прямоугольников мы доказали корректность формулы в момент 3:22, не опираясь при этом на треугольники. А затем уже из этого доказали корректность формулы для прямоугольных треугольников. В момент 3:50 прямоугольник S, для которого формула верна, делится на два равных треугольника S₁. Из аддитивности мы знаем, что если формула Пика работает верно для левой части равенства S=2S₁, то она работает верно и для правой. Этим и доказана корректность формулы для нужных прямоугольных треугольников. Не разберешься - дай знать!
»
@@WildMathing Хм. Мы ведь до этого на примере кораблика доказали, что если складывать многоугольники для которых формула верна, то и для общего многоугольника формула также верна. У нас ведь не было что то типа такого: если формула верна для объединения равных фигур, то и для них она также верна. Я просто не очень согласен с выводом, который следует из уравнения площадей S=2S₁, потому что мне кажется, что вы доказали в видео только следующее: если формула верна для правой части, то и для левой она будет верна, а вот наоборот не понятно
Понимаю сомнения, и сомнения в математике - это хорошо!
1) Пусть стороны прямоугольника ABCD параллельны линиям сетки, а вершины находятся в целых точках. Тогда диагональ BD делит прямоугольник на два равных треугольника ABD и BCD: количество внутренних целых точек и граничных целых точек у этих треугольников равное.
2) Мы предварительно доказали, что формула Пика верна для ABCD, а также свойство аддитивности.
3) Предположим, формула Пика дает для ABD площадь больше, чем она есть на самом деле. Тогда и для BCD она дает результат больший, чем на самом деле. Но из аддитивности мы знаем, что тогда формула Пика для ABCD даст площадь больше, чем на самом деле. А мы доказали, что формула Пика для ABCD дает верный результат. Противоречие.
4) Аналогично предыдущему шагу предположим, что формула Пика дает для ABD площадь меньше, чем на самом деле. Тогда площадь ABCD, рассчитанная по формуле Пика, будет меньше истинной, но мы явно доказали, что для ABCD формула работает корректно. Противоречие.
5) Значит, формула для треугольника ABD работает верно, а вместе с ним и для любых прямоугольных треугольников с целыми вершинами, катеты которых параллельны линиям сетки.
@@WildMathing Понял, спасибо!)
@@chalovivan2000, не за что!
Какой совет дадите перед регионом по математике?
За два дня советы в первую очередь нематематические: прийти в форму, поправить режим дня (если требуется), написать пробный вариант и сделать из него выводы и в любом случае настроиться на победу. Поставь себе цель - решить как можно больше задач на олимпиаде в отведенное время. Успехов!
@@WildMathing спасибо!
Подскажите, пожалуйста, учебник по теории графов, чтоб на олимпиадах выигрывать. Спасибо.
Гуровиц В.М., Ховрина В. В. Графы. Брошюра, которая отлично подойдет для первого знакомства с темой. Дальше можно взять книжку по графам за авторством О. Оре или посмотреть курс Андрея Райгородского на платформе «Открытое образование»
А кто-нибудь знает аналог формулы Пика для многомерного многогранника, вершины которого находятся в узлах многомерной целочисленной решётки ℤ × ... × ℤ?
Если знаете, напишите пожалуйста! Мне просто интересно.