Kannst DU die Fläche berechnen? - Mathe RÄTSEL Geometrie
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- Опубліковано 6 чер 2024
- Mathe Rätsel Geometrie
In diesem Mathe Lernvideo erkläre ich (Susanne) wie man den Flächeninhalt des Quadrates berechnen kann. Wir verwenden ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Satz des Pythagoras und lösen die quadratische Gleichung mit der pq Formel, um die Seitenlänge zu berechnen. Mathematik einfach erklärt.
0:00 Einleitung - Mathe Rätsel Geometrie
0:48 Geometrie Grundlagen
3:54 Satz des Pythagoras
5:54 Quadratische Gleichungen lösen
9:09 pq Formel anwenden
11:02 Bis zum nächsten Video :)
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Mein Lösungsweg war folgender: Video anschauen, bei jeden Schritt zustimmend nicken und am Ende sagen: „STIMMT!“ 😂 Genauso hätte ich das auch gelöst! 😂
Haha 😂
Klingt mal definitiv plausibel
genauso machen das Politiker 🤣
@@b.b.b81 dann sind wir jetzt mal alle glücklich, dass ich nur ein passives Mitglied der Partei „die Partei“ bin. 😂
@@maruschke2911 und ein sehr sympathisches wie mir scheint 👍
Immer wieder eine Freude. Du erklärst das großartig und bist dabei immer so ansteckend fröhlich und sympathisch.
Peter du schleimer xD
@@kommentator9086 Da hat er aber total recht! Susanne macht das einfach klasse.
Bin schon fast 60 Jahre aus der Schule - es macht aber immer wieder Spass,, mit Dir die Aufgaben durchzuarbeiten. Danke!
Liebe Susanne, dieses, meiner Meinung nach, recht schwierige Geometrie-Rästel hast Du super toll erklärt. Deiner Ausführung konnte ich prima folgen. Du bist die Allerbeste. Dankeschön und freundliche Grüße!
Mal wieder ein super Video von Dir. Du erklärst nicht zu schnell und nicht zu langsam, und redest dabei auch ruhig und deutlich. Mach so weiter!
Seit meine Kinder auch Geometrie in der Schule habe schaue ich öfters einfach rein.
Finde ich super toll erklärt und die Kinder haben nochmal Nachhilfe 🤓 und zwar nicht von der Mama!!!😅
Der man im Zweifel nix glaubt 😅
Danke für diese kurzen aufschlussreichen Videos!
Der einzige Mensch der es schafft, dass Mathe spannend ist. Mach weiter so 👍🔥
Lehrerschmidt hat auch immer Power gehabt👍
Ich hab's vor dem Anschauen des Videos durchgerechnet - Pythagoras und quadratische Gleichung.
Hast du dann genau so gezeigt. Eigentlich eine schöne Aufgabe für RSA Mathematik. Vielen Dank!
ich danke dir vielmals für die Videos. Du bist eine Inspiration für mich und meine UA-cam-Videos.
Schöne Aufgabe mit wirklich vielen Techniken drin. Gut vorgestellt.
Sehr schönes Video! Ich hatte aber tatsächlich einen ganz anderen Ansatz. Ich bin über die Halbkreisfunktion f(x) = sqrt(r^2 - x^2) gegangen und habe diese mit der Diagonalen durch das halbe Quadrat g(x) = 2x - 20 gleichgesetzt. Da kam dann x = 16 raus, was ich in g(x) eingesetzt habe. So habe ich 12 als Höhe des Quadrates herausbekommen.
Ich habs mit der Kreisgleichung gelöst. Ursprung unten links.
x^2 + y^2 = r^2 = 400
Für den rechten Berührpunkt
muss gelten: 2(x-10) = y
Das in die Kreisgleichung eingesetzt ergibt dann letztendlich x = 16.
Wegen der Symmetrie muss der andere Berührpunkt bei x=4 liegen.
Demnach ist die Seitenlänge
des Quadrats a = 16-4 = 12
=>> A = 12^2 = 144
> Für den rechten Berührpunkt muss gelten: 2(x-10) = y
Kannst Du mal bitte erklären, warum das gelten muss? Mit anderen Worten: Wie kommst Du darauf?
@@MrTimAway schwer ohne Skizze. Ich versuche es mal:
Wenn du von der X-Koordinate des rechten Berührpunktes 10 (= die Hälfte der Seitenlänge des großen Quadrats) abziehst, dann ergibt das die halbe (horizontale) Seitenlänge des gesuchten Quadrats. (Am besten mal aufmalen, damit das klar wird.)
Diese mal 2 genommen ergibt dann die ganze Seitenlänge, welche natürlich gleichzeitig die vertikale Seitenlänge (= die y-Koordinate des Berührpunktes) des gesuchten Quadrats ist. Ursprung des Koordinatensystems wie gesagt linke untere Ecke des großen Quadrats.
@@chriseventy Danke für die gute Erklärung. Ich probier mal eine Skizze einzufügen. i.imgur.com/0bc1Ez8.png
@@MrTimAway jawoll. Ganz genau so sieht meine Skizze auch aus.👍
Elegante Antwort. Nicht ganz einfach darauf zu kommen, aber dann deutlich "einfacher" als der reine Rechenansatz.
Tolle Aufgabe, Dankeschön!
also ich bin folgendermaßen vorgegangen, ich habe mir deinen Lösungsweg angeschaut und mich dann erst über mich geärgert und anschliessend geschämt. Ich find es klasse was Du da machst, mach bitte weiter so ;)
super Erklärung zum Mathe-Rätsel; selber war ich noch nicht auf eine Lösung gekommen, wäre mir vielleicht nach einiger Zeit noch gelungen. Ich hatte schon mal so ein gut erklärtes Rätsel hier gesehen.
Super Lösung - danke👏🙏🏼
Ein schönes Geometrierätsel, schnell und einfach erklärt. 🙂
Viele Grüße, Becky
Peter Volgnandt
Danke Susanne für die schöne Lösung, auch prima erklärt.
Ich hab das Problem als eine zentrische Streckung (in diesem Fall Schrumpfung) des großen Quadrats 20 x20 auf das kleine Quadrat betrachtet. Wenn ich das Koordinatensystem in die linke Ecke des Quadrats lege ist der Zentierpunkt (10|0).
Die Zentriergerade in die rechte obere Ecke des großen Quadrats hat die Gleichung y = 2x-20
Die schneid ich mit dem rechten Viertelkreis, der hat die einfache Formel y^2+x^2 =r^2 = 400 ( hab das so gewält, dass es ein Kreis um den Mittelpunkt geht. Bin ein ziemlich fauler Rechner.
Der Schnittpunkt ist x = 16, erspare mir den simplen Lösungsweg, keine quadratische Gleichung.
Vom Zentrierpunkt 10 sind es 6 nach rechts und 6 nach links also 12
Dann haben wir also als Fläche 12x12 = 144
Schönes Video, danke. Besonders gut bei deinem Videos finde ich, dass du am Anfang die Lösung Idee kurz erwähnst dann kann man auch Schritt für Schritt besser folgen. Viele deiner Marktbegleiter machen das leider nicht und man guckt die ganze Zeit nur einfach den technischen Rechenweg an, ohne zu wissen, warum ❤
Man könnte auch von einem Einheitskreis ausgehen:
r = Radius der beiden Viertelkreise
s = Seite des roten Quadrats
q = grösserer Teil der Grundseite des grossen Quadrats (also s + ein weisser Rest)
Dann gilt die folgende Gleichung für die Seite des roten Quadrats:
s = 1 - 2(1 - q)
s = 2q - 1
Nun wenden wir ebenfalls Pythagoras an:
r² = s² + q²
1² = (2q - 1)² + q²
1 = 4q² - 4q + 1 + q²
5q² - 4q = 0
q(5q - 4) = 0
q = 4/5 = 0,8 (q = 0 ist keine sinnvolle Lösung)
Nun finden wir s für den Einheitskreis:
s = 2 * 0,8 - 1 = 0,6 = 3/5
Statt Einheitskreis nehmen wir nun als Seite die gegebenen 20 m:
s = 0,6 * 20 m = 12 m
A = 12² = 144 m²
Dieser Weg ist vielleicht etwas weniger anschaulich, erscheint mir jedoch mathematisch etwas einfacher.
Cool erklärt 👍☘️
Und wieder eine ganz wunderschöne Aufgabe. Da würde sich jeder Lehrer freuen. Schüler vielleicht weniger. Hihi.
Schönen guten Morgen, ich mag jedes einzelne Video, das du hochlädst, da man sich zunächst selbst Gedanken zu den Lösungsvorschlägen machen kann und du anschließend die richtigen Lösungswege präsentierst.
Eine Frage hätte ich allerdings noch: Woher nimmst du die ganzen Aufgaben her? Nimmst du sie aus dem Internet, aus bestimmten Büchern oder denkst du dir zum Teil selbst was aus? Würde mich über eine Antwort sehr freuen :)
Schönes Wochenende wünsche ich
Deine Videos sind echt toll...kein Lehrer hat mir Mathematik jemals so logisch und einfach erklärt wie du....du bist klug und wunderschön...mach bitte weiter so
Dankeschön für die lieben Worte!
Vielen Dank für Ihre schönen Videos, und das Beste, was diese Videos verstärkt, ist Ihr wunderbares Lächeln ... Danke, meine respektierte Dame
Ich finde Deine Aufgaben immer sehr spannend! 😅
geil,da lerne ich ja sogar ohne abschluss mehr als in der schule !,du bist meine neue lieblings mathelehrerin !!!!!!!!!!!!!!!!...auf zur abendschule !!!!!!!!!!!!!!!!!!n HS nachholen,danke !!!!!!!!!!!!
Wenn es darum geht, alte Mathe-Kenntnisse wiederzubeleben sind diese Videos extrem hilfreich - bester Unterricht in kompakter Form. Auch großartig für mathegeschädigte Schüler :) - die Schöpfen dann neue Zuversicht.
Das ist immer das, was ich an Mathe am meisten liebte: Deutschaufsätze. Mathematische Rechnungen sind nichts anderes, als Unmengen an Schreibarbeit
Danke für das Video!
Sehr gerne! 🥰
Die Kante von dem roten Quadrat könnte man als a definieren, dann wäre a+2p = r also a+2p=20 daraus folgt: a=20-2p (1) Wenn man von der linken unteren Kante des großen Quadrats zu der rechten oberen Kante von dem roten Quadrat ein Linie zieht, lässt sich der Satz von Pythagoras anwenden: r²=a²+(a+p)² daraus ergibt sich: 20²=400=a²+a²+2ap+p² wenn man a mit (20-2p) versetzt bekommt man: 400 = 800-160p+8p²+p²+40p-4p², daraus folgt 5p²-120p+400=0, p1=20 was nicht sein kann und p2=4 somit wäre a= 20-(2*4)=12, Fläche des roten Quadrats=a²=12²=144 m² 🤗
An dieser Stelle muss ich dann doch feststellen, dass die 9. Klasse doch schon 8 Jahre her ist.. Und warum gucke ich mir das überhaupt an einem Samstag Mittag an? Ich bin schon lange aus der Schule raus.. :D? Egal, wie immer super Content und einfach erklärt, das ständige Lächeln hatte ich im Mathe LK zwar nicht, aber es ist suuper ansteckend! Immer weiter machen! ;)
Liebe Susanne, diese wie auch alle deine Mathe Lernvideo sind wunderschön in jeder Hinsicht!
Jetzt möchte ich auch wie du bei Lösung deinen Beispielen sie aufzeichnen wie Du, deshalb möchte ich gerne wissen welches Programm benutzt Du ?
Hab es ähnlich gelöst, allerdings finde ich es deutlich anschaulicher, für die untere Seite einfach die Hälfte von jeder Quadrat-Seite zu addieren. Dann hat man direkt 20/2 + x/2 und braucht nicht den Umweg über (20-x)/2 + x.
Sonst war es mal wieder eine nette Knobelaufgabe😊
Sehr schön erklärt. Ich hatte es noch im Hinterkopf. Aber hätte es nicht mehr zusammen gebracht. Dankeschön
Sehr gerne 😊
Sei a die Kantenlänge des roten Quadrates. Der vertikale Abstand des roten Quadrates zur "Decke" beträgt demzufolge (20 - a), der horizontale Abstand des roten Quadrates zum linken oder rechten Rand muss aus Symmetriegründen halb so gross sein, also (20 - a)/2 bzw. (10 - a/2). Betrachtet man die rechte obere Ecke des roten Quadrats, so gilt für die Koordinaten (x, y) dieser Ecke nach Pytharas x^2 + y^2 = 20^2 = 400 (das gilt für alle Punkte auf diesem Kreis, wenn man die linke untere Ecke als Ursprung des Koordinatensystems nimmt). Setzt man nun x = 10 - a/2 + a und y = a in diese Beziehung ein, so erhält man
(10 - a/2 + a)^2 + a^2 = 400 in der Klammer zusammenfassen
(10 + a/2)^2 + a^2 = 400 binomische Formel anwenden
100 + 10a + 1/4 a^2 + a^2 = 400 zusammenfassen und 400 subtrahieren
5/4 a^2 + 10a - 300 = 0 Jetzt mal 4 nehmen
5a^2 + 40a - 1200 = 0 und durch 5 teilen
a^2 + 8a - 240 = 0 die Zahl 240 auf die rechte Seite bringen
a^2 + 8a = 240 quadratisch ergänzen
a^2 + 8a + 16 = 256
(a + 4)^2 = 16^2
a + 4 = +- 16 jetzt noch 4 subtrahieren
a = -4 +-16
a = 12 oder a = -20
Die negative Lösung macht keinen Sinn, also ist die Seitenlänge des roten Quadrats a = 12 cm und der Flächeninhalt des roten Quadrats A = 144 cm^2. Und jetzt sehe ich, daß es im Video fast genauso gelöst wurde, nur mit x statt a als Variable, und der Term (20 - x)/2 statt 10 - x/2 wurde benutzt.
Seeeehr schön. Liebe Grüße auch an Thomas.
Ich habe es nicht bis zum Ende verfolgt, aber mein spontaner Ansatz war eine Senkrechte durch den Schnittpunkt der Viertelkreise. Danach nur noch eine der beiden Seiten betrachten und dann für die beiden Rechtecke Gleichungen aufstellen und ausrechnen. Das Ergebnis dann verdoppeln.
Alternativer Titelvorschlag: "Wie baut sich der Landschaftsgärtner einen Pythagoras?"
Ganz im Ernst: Da ich im Sommer gerne in meinem kleinen Garten auch landschaftsgärtnere und mich die Schlossparks (vor allem natürlich der von Versailles) faszinieren wünsche ich mir hin und wieder ich hätte in Geometrie besser aufgepasst. Faszinierend wie du das berechnet hast, aber in der Zeit hätte ich das abgeschritten und ausgemessen.
Sei nicht böse, aber bei so geometrischen Aufgaben stelle ich mir immer Blumenbeete, Beetumrandungen, Grünflächen, Fußwege, na, sowas halt vor. Klingt blöd, vor allem weil ich jetzt, Anfang Dezember, heute morgen eine halbe Stunde lang eine weiße Schneefläche angestarrt habe.
Nette Aufgabe zum Samstag Mein Lösungsweg fast identisch, nur habe ich die grüne Strecke mit a bezeichnet, dann ist x=20-2a und das für x in die Pythagoras Formel 20²=x² + (a+x)² eingesetzt, dann gibt's keine Brüche
Danke, sehr cool, 😍😍😘
Hallo Susanne,
schöne Erklärung. Ich bin auch auf die Lösung gekommen, hätte jedoch Punktabzug bekommen, weil ich keine Einheiten hingeschrieben habe. (siehe vorherigen Kommentar) 🙂
Musst Du die Symmetrie, die Du in 3:33 ansprichst nicht erst noch begründen/herleiten, bevor Du sie verwenden darfst? Taugt da meine Begründung aus dem vorherigen Kommentar was?
Dir, Thomas, deiner Mum und auch den "Kanadiern" weiter eine schöne Adventszeit.
Lasst es euch gut gehen.
LG aus dem Schwabenland.
Hallo, ja, dass mit der Symmetrie wollte ich auch reinschreiben. Man muss unbedingt eine Begründung haben, ansonsten ist den ganzen Rechenweg umsonst, egal ob man am Ende falsch oder richtig liegt.
Danke 👍👍
klasse video!
Hey, ich hab heute dein Geschenk erhalten, was eine schöne Überraschung! Echt super lieb von dir! Vielen, vielen Dank dafür und ganz liebe Grüße! 😍
Mein erster Gedanke war, „irgendwas mit Sinus und Cosinus“ und einen Wert für x finden, bei dem die Eckpunke auf den Viertelkreisen liegen und alle 4 Seiten gleich lang sind. Also hätte ich noch mindestens die Differentialgleichung da reingebastelt und mich dann maßlos geärgert, weil das so kompliziert ist :)
So ähnlich gings mir auch. Hätte wetten können, dass irgendwas krummes mindestens mit pi herauskommt, und dann ist es einfach ganzzahlig...
Ich hatte es auch mit Sinus und Cosinus probiert und schon fast aufgegeben, dann aber gemerkt, dass Sinus und Cosinus ja nichts anderes als Brüche sind. So sind bei meiner Lösung nur die Brüche von der Trigonometrie übriggeblieben.
Unglaublich! 😮
Frage: Wie berechnet man die kleine Fläche oben, die nicht von zwei Viertelkreise besetzt ist? Und, oder wie berechne ich die Fläche, die ein Viertelkreis "raubt" dem zweitem? (ohne ins Integrale zugehen)
Hab das Video nich nicht gesehen, könnte man das auch über die Null Stellen berechnen, wo sich das Quadrat an den Kreisen schneiden? Falls wir eine Funktion haben?
ich hab mal eine ganz andere frage: als mathematikerin.. mit was für aufgaben beschäftigst du dich denn? ich meine das hier, das schüttelst du so locker aus dem ärmel.. aber was sind denn bei dir herausforderungen? lieber gruss und nochmals, es ist sooooo spannend dir zuzuschauen. 🙏🏻
Vom Feinsten! Danke!
Zu schade das ich damals keine Lehrerin wie dich hatte. Mathe kann so viel Spaß machen, leider wurde das in der Schule nie so vermittelt.
Hallo.Ich bin gelernter Maurer.In der Berufsschule wurde uns die 5 4 3 Regel beigebracht um einen rechten Winkel zu finden. In diesem Fall ist die längste Seite 20m.Um auf 5 zu kommen wird durch 4 geteilt, also 4.Um auf die 4 zu kommen wird 4×4 gemacht und die 3×4 ergibt 12.X=12 12×12=144
Super Lösung! Manchmal könnte es durch praktisches Denken so einfach sein. Danke!
Ich bin ehemaliger Berufschullehrer für Bautechnik, ich kannte die Mauer Regel nicht obwohl ich lange Maurer unterrichtet habe, die Regel ist aber einfach und gut zu verstehen.
Mit dem Lösungsweg der Mathematikerin hätte ich auch die Maurer so nicht unterrichten können da die meisten dann "abgeschaltet" hätten.
Hab‘s beinahe geschafft! Hab mich nur blöderweise verrechnet 😞. Beim nächsten mal klappt‘s bestimmt 😎
So einfach kann Mathematik sein. Ein Ingenieur... ;-)
Sehr schöne Aufgabe...
Sehr schöne Aufgabe, und super erläutert, danke!
or:
r = 2(a + k)
r^2 = (2a)^2 + (2a + k)^2 = 4(a + k)^2 → k = 2a/3 →
r = 20 = 10a/3 → a = 6 → 2a = 12 → 2a(2a) =144
sin(φ) = 2a/(2a + k) = 3/5 → φ ≈ 36,87° → pyth. triple (12-16-20) 🙂
or:
f(x) = 2x - 20
g(x) = √(400 - x^2)
f(x) = g(x) → 5x^2 = 80x → x1 = 0 → f(x1) = -20
x2 = 16 → f(x2) = 12 → x^2 = 144
Schade, dass über x1 = 0 (y = -20) so salopp hinweggegangen wird. Punkt P (16; 12) ist zwar der obere rechte Eckpunkt des Quadrats, der auf dem Kreisbogen liegt. Punkt N (0; -20) liegt jedoch ebenfalls auf dem Kreis und bildet die Sekante PN (tan(φ) = 2), die die untere Seite des Quadrats halbiert. Damit entsteht ein rechtwinkliges ∆ mit den Längen 16-32-16√5.
N (0; -20) wiederum halbiert die untere Seite des „großen“ Quadrats (Seitenlänge = 32), dessen rechte obere Ecke ebenfalls P (16;12) ist.
Da das Seitenverhältnis kl./gr. Quadrat = 12/32 = 3/8 →
Verhältnis Fläche kl./gr. Quadrat = (3/8)^2 = 9/64
Alternative:
Man verlängert die untere Seite des Quadrats nach links und erhält so den Kreisdurchmesser (2r = 40), dieser ist die Hypotenuse eines rechtwinkliges Dreiecks mit Höhe = k.
Lösungsansatz: Höhensatz von Euklid
(20 - x)/2 := a
Seitenlänge des Quadrats := k →
k = 20 - 2a
a + k = 20 - a → k^2 = (20 - 2a)^2 = (40 - a)a → a1 = 20; a2 = 4 →
k = 20 - 2a = 12 → k^2 = 144
btw:
∆TNC → TN = 2r = 40 = TM + NM, with NM = TM = r = 20
a = ME = BN; k = EA + AB, with EA = AB = k/2
h = BC = k → sin(TCN) = 1 → area ∆TNC = (1/2)40k = 20k = 240 →
area ∆MNC = (1/2)20k = 10k = 120 = (1/2)area ∆TNC →
k^2 = 144 = (1/2)k(k + 3a) →
area k(k) = area ∆MNC + area ∆BNM (= ak/2) →
sin(θ) = k/CT = k/(12√10) = √10/10 →
sin(2θ) = k/r = 12/20 = 3/5 →
sin(δ) = k/CN = 3√10/10 🙂
ahahahahaha
Sensationell. Wie logisch und einfach 40 Jahre später.
Die zwei Berührungspunkte mit den Viertelkreisen könnten ja auch nach oben oder unten wandern, wodurch dann ein Rechteck entstehen würde, dessen Flächeninhalt gegen Null geht. Das Quadrat ist demzufolge ein Maximum an Fläche für ein Rechteck zwischen den Viertelkreisen. Die Fläche wäre gleich Null, wenn der verbleibende senkrechte Strich die Höhe des gleichseitigen Dreiecks erreicht hat oder der verbleibende horizontale Strich deckungsgleich mit der unteren 20m-Linie wird.
Müsste da nicht auch was mit der Differentialrechnung gehen? Maximumberechnung?
Gostei!
oh mein gott, da war ich damals richtig gut drin in der schule, das ist 10 jahre her und ich könnte es nicht mehr. aber macht spaß zuzugucken und das wieder zu lernen.
Hallo Zusammen,
zuerst euch allen ein schönes Wochenende.
Ich habe mir die Lösung noch nicht angeschaut.
Hier zunächst mein Lösungsansatz:
Vorweg, weil es mir ab und an schon angekreidet wurde: Ich schreibe möglicherweise ausführlicher als nötig. Allerdings muss ich ja Sachverhalte, die ich in meiner Lösung verwenden möchte ggf. erst herleiten/begründen. Also seid nachsichtig 🙂
Vorbereitung: (Koordinaten der Hilfspunkte in Klammern
Ich bezeichne den linke unteren Eckpunkt des schwarzen Quadrates mit P (0|0), den rechten unteren Eckpunkt des schwarzen Quadrates mit Q(20|0)
Den Schnittpunkt der beiden Viertelkreise mit S(10|?)
Das Dreieck PQS ist gleichschenklig, da Strecke PS = Strecke QS =20 [Radius der Viertelkreise]. Da außerdem gilt Basiswinkel des Dreiecks sind gleich groß, gilt: Das Lot durch S auf die Strecke PQ halbiert die Strecke PQ und die noch unbekannte Streckenlänge des roten Quadrates. Somit x-Koordinate von S= 1/2 *Strecke PQ =1/2 * 20 = 10
Es liegt Symmetrie vor (Lot ist Spiegelachse), diese Eigenschaft nutze ich für meine Lösung
Weitere Hilfspunkte sind der rechte untere Eckpunkt des roten Quadrates A(X|0), B(20-x|0) und C(20-x|?)
Die y-Koordinate des Punkt C brauche ich für meine Lösung nicht.
Aus oben begründeter Symmetrie folgt Strecke PA = Strecke BQ. Diese Strecken bezeichne ich mit x
Die Stecke AB = Strecke BC sei y
Die Fläche des roten Quadrates ist also y^2
Strecke PQ setzt sich zusammen aus Strecke PA + Strecke AB + Strecke BQ, also x+y+x =2x+y
Strecke PB=x+y=20-x
Strecke PC =Radius des Viertelkreises = 20
Jetzt Gleichungen aufstellen
1) 20-2x=y
2) Pythagoras: (Strecke PC)^2 - (Strecke BC)^2 = (Strecke PB)^2 | Werte einsetzen.
2) 200^2 -y^2 =(x+y)^2
3) x+y=20-x |+x -y
3a) 2x=20-y | :2
3b) x=10-1/2x |3b) in 2)
2a) 200^2-y^2 = (10 + 1/2y)^2 | Klammern auflösen
2b) 400-y^2 = 100 + 10y +1/4y^2 |y^2
2c) 400 = 100+10y+5/4y^2 |-400
2d) 0=5/4y^2+10y-300 |*4/5 [Kehrwert] und Seiten tauschen
2e) y^2+8y -240 = 0 | Lösen mit PQ-Formel. Nur positive Lösung relevant, da y eine Strecke repräsentiert.
NR für PQ-Formel:
P: 8, Q:-240
x1 = -P/2+ Wurzel (((P/2)^2)-Q)
x1 = -4+ Wurzel (16+240)
x1=-4+Wurzel(256) =-4+ 16 =12
y ist 12.
Der Flächeninhalt des Quadrates ist y^2 und somit 144.
Ich hoffe, meine Lösung stimmt. Schaue gleich das Video an.
Allen ein super Wochenende.
LG aus dem Schwabenland.
Sehr interessanter Ansatz.
Mit 2e kam die Lösung dann an denselben Punkt wie im Video.
Ich hatte gewettet keiner schreibts ganz rein. Danke fürs belehren. 🤣
Ich hab eine Koordinatensystem reingelegt, und den Ursprung auf die Mitte der unteren Kante des gesuchten Quadrates gelegt. Dann habe ich die Funktion für den oberen Halbkreis gebildet: f(x)=sqrt(-x²-20x+300). Abschließend habe ich das mit 2x gleich gesetzt, weil 2x genau f(x) sein muss. Da kommt dann 6 oder -10 raus. Die negative Lösung scheidet aus, bleibt also 6. Das ist die Hälfte der Seitenlänge des Quadrates und damit hatte ich die Lösung.
Danke für das sehr interessante Beispiel!
Ohne deine Hilfe hätte ich es jedoch nicht geschafft. Mich beschäftigt die Frage ob der Faktor 0,6 allgemeine Gültigkeit hat.
Obiges Beispiel: 20 • 0,6 = 12
ja großes Quadrat a, kleines Quadrat b, dann gilt allgemein b=(3/5)*a
@@bernhardkoster2188
Danke ❗👍
Wenn man mit der Halbkreisgleichung arbeitet, kann man natürlich auch den anderen Kreisbogen nehmen.
y=√(400-(x-20)^2)
Seitenlänge rotes Quadrat: a
Koordinatenursprung: linker unterer Eckpunkt des großen Quadrates
Koordinaten des Schnittpunktes eingesetzt:
a=√(400-(10-a/2-20)^2)
>>>
a^2+8a-240=0
>pq-Formel>
a=(12;-20)
A=144 (qualitativ richtige Lösung)
A=400 (Quadrat mit vertauschten Eckpunkten)
es lief auf eine quadratische gleichung hinaus:
10 print "mathema trick-kannst du die flaeche berechnen":r=20:xm1=0:ym1=0:xm2=r:ym2=0
20 dim x(1,3),y(1,3):nu=59:sw=1:xs1=sw:goto 50
30 disy=r*r-(xs1-xm2)^2:if disyr then stop
70 xs12=xs1:gosub 30:if dg1*dg>0 then 60
80 xs1=(xs12+xs11)/2:gosub 30:if dg1*dg>0 then xs11=xs1 else xs12=xs1
90 if abs(dg)>1E-10 then 80
100 xs2=xs1+ys1:ys2=ys1:print xs1,ys1:print "die flaeche=";ys1^2
110 masx=1200/r:masy=900/r:if masx
ausführen mit bbc basic sdl und zum kopieren aus dem ergebnisfenster ctrl tab drücken (die grafik kann im kommentar nicht angezeigt werden)
Ich find immer die Interpretation, In-Verhältnis-Setzung der Ergebnisse sehr spannend: das Quadrat hat 60 % der Kantenlänge, also 36 % der Fläche des Gesamtquadrats, ein gutes Drittel.
Das hat manchmal fast was Naturkonstanten-Artiges, das Ergebnis so einer Geometrie. Dass unsere Geometrie genau so ist;)
Wer sich die PQ-Formel - warum auch immer - nicht merken kann, kann es ja mit der quadratischen Ergänzung versuchen. Dazu zu x²+8x=240 umstellen, die QE ist dann (8/2)²=4²=16. Links hat man dann die 1. binomische Formel (x+4)² und rechts 256. Die Lösungen sind somit -20 und +12, wovon aber nur die +12 interessieren. A ist somit 144m².
Und wem es nicht auffällt: Die -20 bzw. der Absolutwert davon ist die Seitenlänge des ursprünglichen großen Quadrats und die 4 der zuvor gesuchte Abstand rechts und links zum großen Quadrat.
Nun kann man sich ja noch den Jux machen, das innere Quadrat vorgeben und das Äußere suchen. Dann steht dort am Ende x²-8x-240=0 (PQ) bzw. x²-8x=240 (QE), wobei die Ergebnisse dann 20 und -12 sind. Somit ist das Ganze eine hervorragende allgemeine geometrische Demonstration für die PQ-Formel bzw. der quadratischen Ergänzung.
Nur mit Buchstaben und allen binomischen Formeln geht es ein bisserl schneller! Aber eine eine lustige Aufgabe! Großes Quadrat a, kleines Quadrat b, fehlende Länge c -> a-2c=b ->a^2=b^2+(b+c)^2->a^2-b^2=(b+(a-b)/2)^2->4(a+b)(a-b)=(a+b)^2->b=(3/5)*a mit a=20 also b=12 🙂
Ich habe mir überlegt, dass die zweite Lösung (-20) geometrisch sehr viel Sinn ergibt!
Als Prämisse beim Aufstellen der Gleichung haben wir gefordert, dass das rote Quadrat mit seiner unteren Seite auf der unteren Seite des Schwarzen Quadrats liegt und dass die oberen Ecken auf den Viertelkreisen liegen. Das ist auch der Fall, wenn das rot Quadrat mit dem schwarzen identisch ist. Die Fläche des roten Quadrats beträgt dann -20*-20=400. Wenn man gedanklich die oberen roten Ecken auf den Kreisbögen nach oben wandern lässt, bis man dieses größere Quadrat erhält, vertauscht sich die rechte mit der linken Seite. Daher das Minuszeichen. Zuletzt evtl. weit her geholt, aber trotzdem "anschaulich".
Eine sehr schöne Aufgabe, die ich eben meinem Sohn gezeigt habe, damit er weiß, warum er die p-q-Formel lernen musste.
Habe auch nachgerechnet, auch mit anderen Methoden und bin zwischen so vielen Kommentaren auf dieses gestoßen. Super !
Habe erst einen sehr ähnlichen Weg probiert - nur ohne vor der ABC Formel nochmal zu vereinfachen. Dann ist es nicht aufgegangen und ich habe erstmal das Video geschaut. Hat sich herausgestellt: ich hatte unter der Wurzel in der ABC Formel einen Vorzeichenfehler, wodurch ich eine negative Wurzel hatte. Ohne den bin ich auch auf das gleiche Ergebnis gekommen :)
Sehr schöne Lösung!
Aus welchem App verwendest du fürs im Bildschirm aufzuschreiben?
Oder ist das Tablet?
Meine Mathezeiten liegen über 50Jahre zurück 🙈
Weil ich viel draußen im Garten arbeite, habe ich das besagte rechtwinkelige Dreieck zugrunde gelegt und analog der Faustformel für die Ermittlung rechter Winkel (Pythagoras) "5/4/3" ausgehend von c = 5 = 20 die Seiten b = 20 × 4/5 = 16 und a = 20 × 3/5 = 12 ermittelt.
Damit kam ich ganz simpel auf A = a^2 = 144 m^2.
Ist das jetzt zu einfach? 😅
Ist es maßstabsgetreu? Wenn ja, dann Lineal benutzen.
Ich hätte es über Winkelfunktionen gemacht:
arcsin(x/20)=arccos((20+x)/40)
Vielleicht noch substituieren u=x/20. Dann ist:
arcsin(u)=arccos((u+1)/2)
Und jetzt lösen ggf. mit Additionstheorem. Wolframalpha hilft oder Taschenrechner, die Gleichungslöser dabei haben. Das Ergebnis ist u=0.6 folglich x=12. Der Erkenntnisgewinn ist, ich wusste gar nicht, dass arcsin(0.6)=arccos(0.8) ist und das ist auch noch gleich arctan(0.75)! Gibt etwa 0.64350.
Etwas kompliziert aber:
Position rechter oberer Eckpunkt:
X: 10+z/2
Y: z
tan a = z/(10+z/2)
sin a = z/20
Die beiden Zusammen haben eine Unbekannte und
0=arctan (z/(10+u/2)-arcsin (z/20)
z=12 (Wolfram Alpha) (z_2=0 st keine sinnvolle Lösung)
Na gut, hier noch eine nicht-numerische Lösung:
Ich stelle mit ein Dreieck vor mit den Punkten 0/0 (im großen Quadrat unten links),
10/0 (unten in der Mitte) und den rechten oberen Eckpunkt des kleinen Quadrats (10+z/2)/z.
Zuerst berechne ich den Winkel ß‘ = 180°-ß mit Hilfe der Punkte 10/0 und (10+z/2)/z
tan ß‘ = z/(z/2)=2
ß‘ = arctan 2
ß‘ = 63,43°
Jetzt kommt der Sinussatz, ich kenne den Winkel ß gegenüber vom Radius und die Länge 10m, somit kann ich den Winkel in diesem Dreieck am oberen rechten Eckpunkt berechnen
r=20m
c=10m
r/sin(180°-ß‘)=c/sin g
sin g = c/r * sin (180°-ß‘)
g = arcsin (c/b sin (180°-b)
g = arcsin (0,5 * sin (116,57°)
g = 26,56°
Mit diesen beiden Winkeln ß und g kann ich den Winkel a vom Pinkt 0/0 zum oberen rechten Punkt des Quadrates berechnen:
a = 180°-116,57°-26.56° = 36,87°
Damit kann ich über den Sinus die Länge z bestimmen:
sin a = z/r
z= sin a * r = sin 36,87° * 20 m = 12 m
A=z^2 = 144m^2
Die Anwendung des PythagorasSatzes mit "spitzer Ecke" unten links ist gleichbedeutend mit der Kreisgleichung mit dem Mittelpunkt unten links ... ;-)
Siehe: x*x + y*y = r*r mit r=20 y=a und x=a/2+10
Ich hab es deutlich komplizierter gelöst:
Ich habe mir gedacht: Es ist ein Quadrat, also müssen beide Seiten gleich lang sein und dann stelle ich einfach zwei Funktionen für jede Seite auf. Dabei kommt man:
1. Die Kreisfunktion: f(a) = Wurzel (20^2-(a-20)^2)
2. Die Funktion: g(a) = (20-2a)
Ich habe die Kreisfunktion so gelegt, dass diese bei 0 beginnt und die andere Funktion ergibt sich daraus, dass man a Mal weitergeht und da das auf beiden Seiten ist 2a
Dann gleichsetzen und dann kommt man auf a = 4 und x = 20 - 2a = 12
A = 12^2 = 144
Tadaa. Diese Methode ist zwar komplizierter, aber jetzt könnte ich jedes Problem, welches „Kreisstrecke“ und normale Strecke verbindet damit lösen :D
Schöne Aufgabe. Ich habe die halbe Quadratseite x genannt.
(x+10)^2 +(2x)^=20^2
lässt sich angenehm lösen: x=6
Also A=144
Elegant!
Sehr elegant gelöst. Bei der Gleichung wurde die Potenz 2 vor dem Gleichheitszeichen vergessen.
Das stimmt! Bei der Schreibweise sieht man Fehler nicht so gut.
Letztendlich aber nur eine Substitution: Hast dann halt "x" statt "x/2" und "2x" statt "x" da stehen. Damit vermeidest du nur einen Bruch, der ab der Normalform der quadratischen Gleichung ohnehin nicht mehr da ist. Wie man seine Hilfsvariablen definiert, ist und bleibt Geschmackssache.
@@teejay7578 Ja klar, aber wir sollten doch erzählen, wie wir das gemacht haben!
Ich hatte zunächst die Mitte der unteren Quadratseite als Ursprung eines Koordinatensystems "angedacht" und x und 2x in die Kreisgleichung (x+10)² + y² = 20² eingesetzt. Die Gleichung konnte ich dann im Kopf lösen (wäre bei Brüchen etwas unübersichtlicher).
(am PC kann ich die Quadrate besser schreiben!)
Echt schade, dass wir im Unterricht nie neugierig gemacht wurden so wie hier. Was für ein wunderschönes Rätsel mit allem was wir in der Schule gelernt haben zum anwenden mit hübschen runden Zahlen!
Ja Wahnsinn :-)
Hab dieser Frau einmal vertraut und ihre Regel in der Arbeit angewandt…. GENAUSO wie sie es gesagt hat.
Hatte dann eine 5-✨
Naja, das sind ja nicht MEINE Regeln, sondern die allgemein gültigen! 😅 Schick mir deine Arbeit gerne mal auf Insta, mich würde interessieren was da bei dir los war! ☺️
Hast du auch Beispiel Aufgaben bearbeitet? Stumpfes auswendig lernen bringt einem nichts.
@@maxaushamburg2376 ja habe ich damals
Hallo mein "einarmiger Bandit" 🎰 macht die selbe Bewegung 🦝 und stimmt 144 hatte ich auch raus
Ich hab einfach geschätzt "müssten laut Proportion eigentlich 12m sein" und ich hab mich selten so gut in Mathe gefühl😂
Mein Lösungsweg war zwar im Grunde genommen derselbe, aber anders durchdacht: Statt (20-x)2+x habe ich gedacht: Man weiß, dass die halbe Strecke des großen Quadrates 10m lang und des kleinen x/2 lang ist. Also statt (20-x)/2+x auszurechnen sieht man direkt, dass 10+x/2 gelten muss.
Hi, wie bist du auf a² + 2 ab + b² gekkommen?
manchmal sind diese lästigen binomischen Formeln die man in der Schule pauken musste halt doch zu etwas nutze ;-)
Mit einem Zirkel bis zum Kreisrand, dann hin zum Satz des Pythagoras und später noch die pq-Formel anwenden, also ich wäre niemals darauf gekommen. Und alles auch noch ohne den Taschenrechner! Für mich war diese Aufgabe gar nicht lösbar!
Nice 1 aber sehr leicht, da 20m dem Radius entspricht und von da an einfach weiter gerechnet werden kann.
Die Quadratur des Kreises, ... 🙂🥳
Mein Lösungsweg? Ich hatte gar keinen! 🙂
Kann mir jemand sagen, wofür bzw. wann man das im Leben benötigt ? Ich habe auch technische Mathematik gelernt, und diese nichtmal im Beruf benötigt. Zumindest wundert es nicht, dass ein "normaler" Schüler keinen Bock darauf hat, wenn es nicht mal ein praktisches Beispiel dafür gibt. Versteht mich nicht falsch, das ist ganz toll, dass hier so viele nachsehen können - und das reicht dann doch auch - wenn man das dann braucht.
Das nennt sich Problemlösekompetenz was man hiermit erlernt. Dabei gehts eben nicht darum, dass man für jedes spezielle Problem was im Leben vorkommt den Rechenweg lernt, sondern die allgemeinen mathematischen Fähigkeiten auf Probleme anwenden kann.
Ich hätte hier mal eine Aufgabe welche wir zum Üben von unserem Mathelehrer bekommen hatten. Ursprünglich stammt sie wohl von einer Lehrerfortbildung:
Syldavien -Oma Pacholke ist mit ihrem Rollator auf dem Zebrastreifen unter-wegs, als sie von einem Taxi gestreift wird. Sie bleibt unverletzt, die Flasche mit ihrem geliebten Eierlikör ist aber kaputt gegangen. Es gibt in Syldavien nur zwei Taxiunternehmen: „Die Blauen“ mit 5000 Taxen und „Die Grünen“ mit 100 Taxen. Oma Erna, die OmaPacholke begleitet hat, hat alles gesehen, ist geistig noch topfit und verwechselt Farben nur in 5 % aller Fälle. Sie berichtet der Polizei: „Das Taxi war grün!“Man findet am Bahnhof ein blaues und ein grünes Taxi, die beide Beschädigungen aufweisen, die zum Unfall passen könnten.Der Kommissar: „Na also, das grüne Taxi war es sehr wahrscheinlich!“ Sein junger Assistent ist aber anderer Meinung: „Ich halte das für eher unwahrscheinlich....“ Nehmen Sie Stellung!
Ich fühle mich wie Erdbeerkäse Nadine wenn ich die Formeln sehe…. „Isch kann das nisch leeeesen….. will isch auch nischh“
Wenn ich solche Matheaufgaben sehe lege ich mich einfach erstmal ins Bett. Ne meine Lösung wäre wenn ich wirklich die Informationen bräuchte, das ich in meinem CAD Programm das so zeichne und der sagt mir dann schon wie lang die Seite ist. Damit komme ich auch zur Fläche
Immer das Schlimmste: Wenn du es erklärt hast, weis man: Man hätte eigentlich selbst drauf kommen können. 😊
Moin, es ist etwas her, aber ich meine mich zu erinnern das mein Lehrer mir damals beigebracht hat das man Gleichungen nicht auf 0 bringt, damit bei Multiplikationen nichts verloren geht. Kann mir das bitte nochmal jemand in den richtigen Zusammenhang bringen? Danke!
PARAMETERUNKTION :
f r ( X ) = 5 X ^2 -- 6 r X + r ^ 2 . Werte für ( r ) in die Funktion einsetzen und nach X 1 ^ X 2 AUFLÖSEN ❤ den ( X Wert ) dann für die Seite a = ( r -- 2X ) einsetzen und dann das Quadrat berechnen .
Ich schaue immer erst die Aufgabe und versuche im Kopf eine Lösung zu entwickeln, aber hier finde ich auf Anhieb irgendwie keinen Ansatz. Vielleicht globales Maximum eines Integrals oder so????🤔😅
Haha, voll auf dem Holzweg. Pythagoras, Binomische Formel und p-q-Formel, viel simpler als gedacht...😅
Ich habe in der Schule gelernt, einen Zirkel und Geodreick zu benutzen. Das man das rein geistig lösen kann, tja, da steige ich aus😂
Ich muss mal in einer Sache korrigieren weil die immer wieder falsch dargestellt wird - der Satz des Pythagoras lautet nicht a² + b² = c² sondern: In allen rechtwinkligen Dreiecken ist die Summe der Flächen der Katheten-Quadrate gleich der Fläche des Quadrates der Hypotenuse. Das eine ist nur die mathematisch formulierte Schlussfolgerung des anderen.