Schwieriges Mathe RÄTSEL - Wie lang ist die Sehne im Kreis?
Вставка
- Опубліковано 2 чер 2024
- Knifflige Mathe Rätsel Geometrie
In diesem Mathe Lernvideo erkläre ich (Susanne) wie man die Länge der Sehne am Kreis berechnen kann. Wir verwenden den Umfangswinkelsatz (Peripheriewinkelsatz) eines Kreises und stellen mit dem Kosinussatz für allgemeine Dreiecke Gleichungen auf. Wir lösen das Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren. Mathematik einfach erklärt.
0:00 Einleitung - Mathe Rätsel Geometrie
0:37 Dreiecke einzeichnen
1:48 Umfangswinkelsatz Kreis
5:01 Kosinussatz
9:23 Gleichungssystem lösen
13:27 Bis zum nächsten Video :)
Jetzt Kanalmitglied werden und meinen Kanal unterstützen:
➤ ua-cam.com/users/mathematrick... 😊 💕
MEIN KOMPLETTES EQUIPMENT
➤ mathematrick.de/mein-equipment/
Unterstütze mich gerne mit ein paar Münzen für eine Tasse Tee! 🍵
➤ www.paypal.me/MathemitSusanne ❤️
ÜBER MICH
📱 Mein Insta: @mathema_trick
💡 Meine Website: www.MathemaTrick.de
📝 Meine E-Mail: info@MathemaTrick.de
🎤 Meine Band: / moonsunband
Adresse für geschäftliche Anfragen und Fanpost:
Susanne Scherer
Gaustraße 8, F32
67655 Kaiserslautern
Päckchen und Pakete bitte direkt an die DHL Packstation senden:
Susanne Scherer
1054501450
Packstation 179
67655 Kaiserslautern
#Rätsel #Mathe #MathemaTrick
*Mein komplettes Equipment*
➤ mathematrick.de/mein-equipment
_____________________________________
Meine Wunschliste: mathematrick.de/wunschzettel
Das ist ein wirklich tolles Rätsel, weil so viel Theorie darin verwendet wird: Umfangswinkelsatz, gleichschenklige Dreiecke, Kosinussatz. Einfach genial!
De Umfangswinkel kannte ich noch nicht. Wieder was gelernt 😃
Zu Zeiten des Abiturs (lang lang ist's her) konnte ich die genauen Werte für Sinus und Cosinus auch mal
Hab ich auch noch nie gehört bis grade. :D
Satz der Thales ist ein Sonderfall
Der Sinus eines Winkels ist die Länge der Sekante in einem Kreis mit Durchmesser 1. Ich halte die Einführung des Sinus über den Satz des Thales für viel sinnstiftender als die definitorische Einführung als Verhältnis von Gegenkathete zu Hypothenuse. Man kann den Satz des Thales nämlich sofort durch den Umfangswinkelsatz ergänzen und beschränkt lediglich die Einführung auf den Spezialfall des rechtwinkligen Dreiecks, sieht aber sofort in der Erweiterung auf jedes Dreieck im Kreis mit dieser Sehne, dass der Sinus selbst ein Winkelmaß ist, dessen Gültigkeit nicht auf ein rechtwinkliges Dreieck beschränkt ist.
gesundheit
Herzlichen Dank für diesen wieder sehr gut erklärten Lösungsweg einer Anfangs teuflisch aussehenden Aufgabe. Der Umfangswinkel war der "Schlüssel" zum Erfolg! Solche Aufgaben sind für mich (82) immer wieder wie eine "Hirnmassage".
Eher Hirn-Jogging 👍
@@gumpantos3110 Da hast du auch wieder recht.
Sie sind super. Es soll niemand behaupten, Mathe sei langweilig! Bitte mehr, herzlichen Dank.
Herausragender Mathe-Erlebniskanal!
Angefangen von der Vielzahl der Aufgaben, der übersichtlichen Darstellung der Lösungen,
den charmanten zielgerichteten Erklärungen in druckreifem Deutsch in erstklassiger Bild- und Ton-Qualität!
Zum Nachholen von versäumtem Unterricht für mich der „Gold Standard“. 🥇
Vielen Dank Susanne für dein Talent und deinen Fleiß! 👏
Hey Bernhard, Dankeschön für deine lieben Worte! 🥰
@@MathemaTrick 😊
Guten Morgen, tolle Aufgabe . Werde gleich meine Kinder damit beglücken (10. Klasse).
Danke, dass du Mathe wiederbelebst.
Das ist aber schön, dass deine Kinder die Aufgaben dann mit dir machen :)
Ob sich die Kinder darüber freuen??
Tolle Aufgabe und Lösung. Der Cosinus von 30 Grad ist mir geläufig, die Aufgabe war spannend. Hab mitgeschrieben in Teilen.
Das mit dem Umfangswinkelsatz hatte vor 45 Jahren bestimmt auch in der Schule, war mir aber irgendwie wieder entfallen. Ganz lieben Dank für die charmante Auffrischung 😀. Super erklärt ! 🥰
Dankeschön! ☺️
Eine andere Lösungsvariante: man zeichne die Senkrechte zu x durch den Punkt B. Mit Hilfe des Umfangwinkelsatzes findet man dann 2 gleichseitige Dreiecke ,eines mit Seitenlänge 10 und eines mit Seitenlänge 2. Die Höhe h des einen Dreiecks liegt auf x und hat die Länge 5√3. Nun benutzt man den Sehnensatz für eine Sehne mit Abschnitten der Länge 5√3 und x - 5√3 und eine Sehne mit Abschnitten der Länge 5 und 7 .Der Sehnensatz besagt dann
5√3 *(x - 5√3 ) = 5*7 ,woraus folgt x = 22/√3 .
Heinrich Hemmes mathematische Rätsel sind die BESTEN. (06.07.2022)
Top erklärt 👍
Wieso?
@@wolfgangbalu1253 Ich liebe die Rätselbücher von Heinrich Hemme. Er besitzt eine gute Sammlung von Aufgaben. Selbst sammelt er sie auch aus den verschiedensten Bereichen zusammen. Matheolympiade bzw anderen Rätselbüchern.
@@wolfgangbalu1253 Spektrum mathematische Rätsel 06.07.2022
Wunderbar. Hoch soll Sie leben.
geile Nummer, als Elektriker weis man die Wurzel(3)/2 natürlich auswendig, ungefähr 0,866, auch das cos(30 Grad) ist, kommt ja im Gleicheinigen Dreieck vor, wie bei der Symmetrischer Belastung vom 3 Phasen Wechselstrom, die dann auch ein Gleichseitiges Dreieck beim Drehstrom bilden.
Schön detailliert erklärt, hat mir den Cosinussatz wieder ins Gedächtnis gebracht. Danke und freundliche Grüße!
Ein wunderbares Training!
Perfekt erklärt! Vielen Dank!
Das hast Du hervorragend erklärt. Vielen Dank.
PS: Bei dem Gesetz der Umfangswinkel hättest Du meiner Meinung nach noch ein wenig länger erklärend verweilen können.
bei mathe kommt es einfach auf den lehrer drauf an und wie in diesem fall auf die lehrerin.. es macht spass zuzuschauen und man merkt selber, dass mathe so gut erklärt keine hexerei ist. danke dir 🙏🏻
Dankeschön für die lieben Worte! 🥰
War tatsächlich interessant. In Teilen war ich auf dem Holzweg, aber danach die Strategien und Erklärungen wunderbar verstanden. Und einiges wusste ich auch noch.
Cool, wenn man sich doch noch so erinnern kann :)
Keine Angst Susanne, ich gucke regelmäßig deine Videos, so bleibe ich stark in Mathe. Aber fürs Abitur bin ich doch nicht geschaffen, der Grund: ich kann meinen Körper nicht stundenlang ruhig halten und meinen Geist solange konzentrieren.
Sehr schöne Erklärung.
Wow! Wieder was gelernt! 😮
Wären Sie nicht so wunderschön, könnte ich mich auf die Matheaufgabe konzentrieren.. aber ich muss ständig in ihre wunderschöne Augen schauen.
Tolles Video, wie immer, danke!
Ohne Umfangswinkelsatz geht es auch:
1) Wenn man Senkrechten auf die Mitten der Sehnen AB und AD legt, treffen diese sich im Mittelpunkt M des Kreises. Das Viereck, das dabei entsteht, kann man mit einem Radius in 2 Dreiecke teilen und alle Längen und Winkel per Winkelfunktionen berechnen. Aus der Richtung und Länge dieses Radius errechnet man x/2. Weniger Arbeit macht dieser Lösungsweg allerdings nicht.
2) Wer keinen mathematischen Ehrgeiz hat, findet die Lösung viel schneller mit einem CAD-Programm ;-)
wer wie ich sich nicht an den Umfangwinkelsatz erinnert, kommt zwangsläufig darauf, die Sehnen zu halbieren und den Kreismittelpunkt in der Figur aufzusuchen. Es geht doch immer bei solche Aufgaben darum, mit Hilfslinien Strukturen des Problems zu finden.
Man kann auch den Sehnensatz verwenden. Dann braucht man den Kreismittelpunkt nicht.
Vielen Dank für das Vorstellen dieser schönen Aufgabe.
Hallo liebe Frau Scherer,
Habe tatsächlich das Video angehalten und die Lösung selbst gefunden.
Habe dafür den Umstand genutzt, dass die Mittelsenkrechten von Dreiecksseiten sich im Mittelpunkt des Umkreises schneiden. Mithilfe von Sinus, Cosinus, Tangens, Arkustangens, Pythagoras etc. habe ich den Radius des Kreises und schließlich x bestimmt, ebenfalls zu ca. 12,7.
Danach habe ich das Video angeschaut - sehr elegant mit dem Umfangswinkel-Satz und der Gleichsetzung. Der Umfangswinkel-Satz war mir noch nicht bekannt - habe wieder etwas gelernt: Danke dafür!😘
@uwelinzbauer3973 Ich habe auch den Film angehalten und diesen Lösungsansatz verfolgt. Ich versuchte eine allgemeine Lösung zu erreichen und habe hierzu Wolfram Alpha benutzt - es stimmt dann halt eher als wenn ich es selber, von Hand, versuche. Wie erwartet gibt es mit diesem Vorgehen
{d = 2 r sin(c), c = π/2 - b, b = 1/2 (π - 2 a) - π/6, a = sin^(-1)(5/r), r = 2 sqrt(31/3)}
dazu noch im Bogenmass, keine "gescheite" allgemeine Lösung. Die Aufgabe nummerisch durchrechnen hat geklappt...
Großartig dargeboten und erklärt!
Spannend, der Umfangswinkelsatz war mir neu! Cosinussatz hatte ich auch vergessen, jetzt kommt mir der wunderbare DorFuchs-Song wieder in den Sinn 😁
Danke!
Ich finde es interessant, dass beim Cosinussatz sich die 2. Binomische Formel widerfindet (c² = a² + b² - 2ab ...).
Vielen Dank für dass Video. Es wäre hilfreich für mich, wenn Du während Du den Umfangwinkelsatz erklärst, ein klein wenig langsamer sprechen würdest.
Tolles Thema, toll erklärt 😃
Selber immer gut in Mathe gewesen und etwas studiert in die Richtung viel Nachhilfe für Schüler gegeben und teilweise für Studenten und trotzdem noch nie von dem Umfangsatz gehört :D
Peter Volgnandt
Finde ich Klasse, wie hier der Satz vom Peripherenwinkel angewandt wird und anschließend der Cosinussatz.
Danke sehr! Ihnen auch schönen Tag !
sehr schöne Aufgabe Danke dafür
Es ist Sonntag morgen, ich liege im bett, hab noch nicht lange die augen offen und mathe ist generell nicht so mein ding.
Kannst du mir erklären warum ich das video zuende geguckt habe? Ich verstehe mich gerade selber nicht 😂
Der Umfangswinkelsatz war auch mir neu. Danke
Die Werte für sin 30 45 60 und in umgekehrte Reihenfolge für cos sind 1/2 von (1 bzw 2 bzw 3 ) hoch 1/2 . Ich habe es so im Kopf behalten.
Seltsam, dass ich von diesem “Umfangswinkelsatz” nie was gehört habe, im Gymnasium nicht, in HM1-4 an der TH nicht. Aber das ist eine gute Motivation, den Satz zu beweisen.
Super, ich hab mir ganz nebenbei beim Lösen dieser Aufgabe das mit dem Umfangswinkel selber hergeleitet weil ich den Satz zwar irgendwann mal (vermutlich) gelernt hab aber schon längst wieder vergessen :-D
Nette Aufgabe!
Ein anderer Ansatz ginge über den Sehnentangentenwinkel a - also dem Winkel zwischen einer Tangente an den Kreis und der Strecke mit Länge L zwischen Schnittpunkt von Tangente und Kreis und einem passenden anderen Punkt auf dem Kreis mit Radius r.
L = 2 * r * sin(a)
Damit kann man wieder drei Gleichungen für die Winkel zwischen der Tangente am Kreis durch A und den Strecken AB, x und AD aufstellen:
1) AB = 10 = 2 * r * sin(w)
2) AD = 12 = 2 * r * sin(w + 60/180*PI)
3) x = 2 * r * sin(w + 30/180*PI)
Als Ergebnis bekommt man dann ebenfalls:
x = 22/sqrt(3) ~ 12.702
Hallo Susanne,
hätte die Aufgabe nicht lösen können.
Cosinus-Satz und der Wert für Cox(30°) hatte ich nicht mehr parat. Und an den Umfangswinkel habe ich überhaupt nicht gedacht. (geschweige denn, dass ich den noch zusammen gebracht hätte.
Also wieder eine schöne Aufgabe mit "Aha-Effekt"
Danke Dir.
LG auch an Thomas, nach Bayern und Kanada aus dem Schwabenland.
Ich hab's mit dem Sehnensatz gelöst:
Ich zeichne eine horizontale Sehne ein, so dass ich ein gleichseitiges Dreieck erhalte, dessen Seiten s = 10 m lang sind.
Die 12 m lange blaue Sehne wird dadurch unterteilt in ein 10 m und ein 2 m langes Stück.
Die horizontale Sehne ist aus Gründen der Symmetrie ebenfalls 12 m lang und wird im gleichen Verhältnis zerteilt wie die 12 m lange blaue Sehne (10 : 2).
Die Sehne x zerteilt die horizontale Sehne in die Teilstücke 5 m (halbe Dreiecksseite) und (12 - 5) = 7 m.
Die Höhe des gleichseitigen Dreiecks h ist 5√3 m lang und Element von x.
Der untere Teil von x ist (x - 5√3) lang.
Der Sehnensatz besagt nun, dass 5 * 7 (Unterteilung der horizontalen Sehne) = 5√3 * (x - 5√3) (Unterteilung von x)
5 * 7 = 5√3 * (x - 5√3)
35 = 5√3x - 25 * 3
35 = 5√3x - 75
5√3x = 110
x = 110 / (5√3) = 22/√3 = 22√3/3
x ≈ 12,7 m
Jetzt das Video schauen...
Das sieht nach einer echt coolen Lösung aus, die ich mir in einer ruhigen Minute und in einem wacheren Zustand mal genauer zu Gemüte führen werde. Da ich den Umfangwinkelsatz bis heute noch nicht kannte, habe ich die Lösung über die Kreisgleichung mit etwas Trigonometrie gefunden und hier in einem gesonderten Kommentar beschrieben.
Beste Grüße ins Reich der pünktlichen Züge
Nachdem ich mir die Lösung jetzt wirklich noch einmal genau angesehen habe, kann ich nur lobend sagen: Schöne creative Lösung mit bestens nachvollziehbarer Erläuterung.👍
Danke für die Rückmeldung. Ich bin auf einer Bahnfahrt beim Betrachten des Thumbnails auf die Lösung gekommen und habe sie dann zuhause am Computer ausgearbeitet.
Das ist die schönste Lösung, die ich zu dem Problem gesehen habe. Hut ab!
@@trick3370 Danke für die positive Rückmeldung. :)
Ich kann nur staunen, super 😀
Diesen Satz von den Umfangswinkeln kannte ich auch noch nicht. Ab da ist es dann einfach. Aber bei mir knirscht es immer sehr in meinem mechanischem Gehirn, wenn sich die Zahnrädchen in Bewegung setzen. Vor 40 Jahren fiel mir das leichter.🤯
Toll!😘
Wow, das mit Sinus und Cosinus habe ich schon in der Schule nicht kapiert und heute (50+) verstehe ich immer noch "Bahnhof". Nichts desto trotz, sehr interessant und informativ. Freue mich immer wenn ein neues Video erscheint. Einge konnte ich auch schon (noch) ohne Hilfe lösen. Aber bei solchen Sachen versuche ich nur das halbwegs zu verstehen.
Aber immerhin versuchst du es :)
Hallo Susanne, ein gesundes und erfolgreiches Jahr 2023 wünsche ich Dir - möge Dein toller Kanal stetig weiterwachsen 🙂 Das Ergebnis 12,7 stimmt, rein optisch nicht - die rote Sehne ist doch kürzer als die Blaue. Bestimmt entsprechen die angegebenen Werte nicht der Realität. Ich habe übrigens erst an den Thaleskreis gedacht - AD wäre dabei der Durchmesser des Kreises gewesen, und ich wollte mit dem rechtwinkligen Dreieck ACD und sin30° loslegen...aber dem war dann ja nicht ganz so. Viele Grüße, Uwe.
Es handelt sich um eine Skizze und keine massstabsgetreue Darstellung.
@@Waldlaeufer70 Danke, das hatte ich selbst bereits kommentiert.
Der Begriff "Umfangswinkelsatz" war mir auch neu, obwohl ich wusste, dass dieser Winkel über der Sehne zu allen Kreispunkten gleich ist. Das war aber eher Wissen aus Matheolympiaden, nicht aus Schule oder Studium.
Diesmal hatte ich aber einen ganz anderen Lösungsweg, der sogar schneller zum Ziel geführt hat:
- Der obere Punkt ist A
- Mittelsenkrechte der linken Sehne gezeichnet, Schnittpunkt mit der Sehne mit X ist F. Die Strecke AF ist 10/wurzel(3). (Durch Kosinus im rechtwinkligen Dreieck 5/AF=cos(30°))
- Mittelsenkrechte der rechten Sehne gezeichnet, Schnittpunkt mit der Sehne X ist G. Die Strecke AG ist 12/wurzel(3).
- Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten ist der Kreismittelpunkt S.
- Das Dreieck FGS ist ein gleichseitiges Dreieck. Die Mittelsenkrechte von x geht auch durch den Kreismittelpunkt, die Mittelsenkrechte schneidet auch FG genau in der Mitte, neuer Punkt H.
- Wenn AF=10/wurzel(3) und AG=12/wurzel(3), dann ist FG=2/wurzel(3). Die Hälfte von FG ist dann 1/wurzel(3) (=FH).
- Die Strecke AH ist dann AF+FH=11/wurzel(3)
- X ist das Doppelte von AH, also 22/wurzel(3)
Ich verstehe nicht, wie so ein schöner Kommentar noch keine "Daumen hoch" hat. Viel eleganter, als meine Lösung und genau das, was ich beim Durchsuchen der Kommentare zu finden gehofft habe. Ich freue mich sehr daran eine möglichst einfache Lösung zu sehen. Wenig Formeln, wenig rechnen - wunderschön. :D
Tolles Video, wie immer super erklärt. 5:12 Das ist definitiv kein rechter Winkel. Nur wenn die Sehne durch den Kreismittelpunkt geht, ist der Umfangswinkel 90°
Ja, Sie haben recht, das ist definitiv kein rechter Winkel. Darum, sagt sie und das an dieser Stelle auch extra dazu!
Mr im Jahr 69, als vor mehr als 50 Jahren, später Technikerstudium. Mathe war nicht unbedingt Lieblingsfach, aber mir immer noch lieber als Französisch (abgewählt). Vieles vergessen, klar, vor allem erst mal Lösungsansätze finden. Hat man dann aber von Dir den „Tritt“ bekommen fällt einem doch vieles wieder ein bzw. man versteht zumindest den Lösungsweg.
Danke für das tolle Video ,-)
Macht echt Spaß mal wieder altes Mathe Wissen raus zu kramen.
Aber mal ne kurze technische Frage. Was für ein setup benutzt du zur Darstellung? I-Pad und welche App? Oder ein Grafik tablet am pc? Und welches Programm?
Dankeschön! Hier findest du mein ganzes Equipment: mathematrick.de/mein-equipment :)
Macht noch mehr Spaß als Sudoku oder Kreuzworträtsel. Abi liegt fast siebzig Jahre zurück; darum wohl nicht der eleganteste Weg: Hat man drei Punkte des Kreises kennt man auch seine Gleichung. Und dazu noch die der x-Geraden: Schnittpunkte, Pythagoras, fertig.
Hallo Susanne, vielen Dank für diese tolle Aufgabe.
Zum ersten mal überhaupt habe ich möglicherweise einen einfacheren Lösungsweg gefunden. Hier ist meine Lösung:
1. Alle Mittelsenkrechten der drei Sehnen schneiden sich im Kreismittelpunkt.
2. Wähle ein Koordinatensystem in dem die Sehne X senkrecht verläuft und der Schnittpunkt der drei Sehnen der Koordinatenursprung ist.
3. Für die Mittelsenkrechten der zwei blauen Sehnen kann man je eine Gleichung in der Form y = mx + n aufstellen: (x und y sind Koordinaten)
I) y = -(tan 30)x - 5/cos 30
II) y = (tan 30)x - 6/cos 30
Addiert man Gleichung I + II erhält man die y-Koordinate des Kreismittelpunkts:
2y = - 11/ cos 30
Die y-Koordinate des Kreismittelpunkts liegt auf halber Höhe der Sehne X. Die Länge der Sehen X ist demnach der Betrag von 2y.
Beste Grüße. Ich freue mich schon auf die nächste Aufgabe.
In der Tat eine coole Lösung, die ich mir in einer ruhigen Minute und in einem wacheren Zustand mal genauer zu Gemüte führen werde. Ich musste kurz überlegen, warum sich die Mittelsenkrechten der drei Sehnen im Kreismittelpunkt schneiden, aber dann fiel es mir wieder ein: Die Mittelsenkrechten der Seiten eines Dreiecks schneiden sich im Mittelpunkt des Umkreises. Da ich den Umfangwinkelsatz bis heute noch nicht kannte, habe ich die Lösung über die Kreisgleichung mit etwas Trigonometrie gefunden und hier in einem gesonderten Kommentar beschrieben.
Beste Grüße von der Ostsee
? blaah? (rauschen) ? Versteh kein Wort. 😵💫🤔 Egal, muss ich auch nicht 😆
Aus der Beschreibung könnte man annehmen, dass die gesuchte Sehne AC (bei Susanne als x bezeichnet) auf der y-Achse des Koordinatensystems liegt.
Da der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der blauen Sehnen (d.h. der Kreismittelpunkt) aber nicht auf der gesuchten Sehne AC liegt, kann diese nur parallel zur y-Achse verlaufen.
Wie man von den Gleichungen der Mittelsenkrechten auf die Gleichungen
I) y = - tan 30 - 5/cos 30
II) y = tan 30 - 6/cos 30
kommt, konnte ich leider nicht nachvollziehen.
Da das Ergebnis aber richtig ist, suchte ich diesen Lösungsweg und habe dazu folgende Punkte benannt:
E sei die Mitte von AB und F die Mitte von AD.
K sei die Mitte von AC und deren Schnittpunkt mit der x-Achse
Die Mittelsenkrechte von AB schneidet AC im Punkt G.
Die Mittelsenkrechte von AD schneidet AC im Punkt H.
M sei der Kreismittelpunkt.
Im Dreieck AHF gilt: cos(30°) = 6/(0,5*AC + KH)
Im Dreieck AEG gilt: cos(30°) = 5/(0,5*AC - GK)
d.h. 0,5*AC = 6/cos(30°) - KH
und 0,5*AC = 5/cos(30°) + GK
Da die Winkel
@@achims.6382 Hallo. Vielen Dank für deine Antwort. Zur Klärung, die Gleichungen I) + II) können direkt abgelesen werden. Eine Berechnung über die Punkte G,H und K ist nicht notwendig.
Für Gleichung I) benutze ich die Form: y= mx + n, m: Steigung , n: Schnittpunkt mit der x-Achse. In meinem Beispiel lege ich den Koordinatenursprung nicht auf den Punkt K, sondern auf den Punkt A den Schnittpunkt der drei Sehnen.
Für die Mittelsenkrechte der Sehne AB kann die Steigung direkt abgelesen werden: m = ∆y/∆x = -sin 30/cos 30 = -tan 30. Der Schnittpunkt mit der y-Achse kann ebenfalls direkt abgelesen werden: n = -5/cos 30.
Für Gleichung I) erhält man nun y = -(tan 30)x - 5/cos 30
Für Gleichung II) erhält man y = (tan 30)x - 6/cos 30
In meiner ursprünglichen Antwort habe ich in Gleichung I) +II) das x vergessen einzufügen. Das war ein Tippfehler von mir, der das Ergebnis aber nicht ändert, da die Variable x verschwindet. Vielen Dank für deinen Hinweis, ich werde meine ursprüngliche Antwort korrigieren.
@@photonenbremse Mein Fehler war: Habe den Koordinatenursprung im Schnittpunkt der 3 Mittelsenkrechten und nicht im Schnittpunkt der 3 Sehnen (Punkt A) angenommen. Jetzt habe ich deine Lösung verstanden.
Peter Volgnandt
Satz vom Peripherenwinkel hab ich zufällig vor ein paar Wochen im Scheid/Schwarz gelesen und auch den vom Sehnentangentenwinkel. Erlaubt z.b. so Dreieckskonstruktionen wie gegeben Gamma =50°, c= 6 cm und b = 3cm.
Hmm, ich finde deine Videos super lehrreich, hier hab ich aber gestutzt. Vom Gefühl her und auch am Monitor nachgemessen ist die Strecke AC kürzer als AD. Rechnerisch ist x (AC aber größer als AD. Hab ich da irgendwo einen Denkfehler?
Die Zeichnungen bei solchen Aufgaben sind absichtlich nicht maßstabsgetreu (falsche Winkel, falsche Längenverhältnisse), damit man die Aufgaben nicht mit Nachmessen oder durch Schätzen lösen kann.
Danke für das wieder tolle Video, den Umfangswinkelsatz kannte ich noch nicht, obwohl ich Elektrotechnik studiert habe, vielleicht war ich da auch in der Schule krank 🙂🤷♂
ich habe einen winkel gewählt, um ein Koordinatensystem in den schnittpunkt der 3 sehnen zu legen. das ergebnis weicht etwas ab von dem was susanne berechnet hat, aber die probe, ob der schnittpunkt auf dem kreis liegt, ist erfülllt (ausführen mit bbc basic sdl)
1 a11=1:a12=1:a13=10:a21=1:a22=-1:a23=1:gosub 60:rem test
10 print "berechne die sehnenlaenge x":l1=10:w1=50:w2=30:l2=12:w3=30
20 x1=0:y1=0:x2=-l1*cos(rad(w1)):y2=-l1*sin(rad(w1))
30 wu=180-w1-w2-w3:x3=l2*cos(wu):y3=-l2*sin(wu)
40 a11=2*(x2-x1):a12=2*(y2-y1):a13=x2^2-x1^2+y2^2-y1^2
50 a21=2*(x3-x1):a22=2*(y3-y1):a23=x3^2-x1^2+y3^2-y1^2:gosub 60:goto 120
60 ngl1=a12*a21:ngl2=a22*a11
70 ngl=ngl1-ngl2:if ngl=0 then print "keine loesung":end
80 zx1=a23*a12:zx2=a13*a22:zx=zx1-zx2
90 zy1=a13*a21:zy2=a23*a11:zy=zy1-zy2
100 xl=zx/ngl:yl=zy/ngl:print "x=";xl;"y=";yl
110 return:rem r berechnen und eine quadratische gleichung loesen
120 r1=sqr((x2-xl)^2+(y2-yl)^2):r2=sqr((x1-xl)^2+(y1-yl)^2)
130 df=r1/r2:df=(1-df)*100:print "fehler=";df;"%":xm=xl:ym=yl
140 cw=cos(rad(w1+w2)):sw=sin(rad(w1+w2)):p1=2*(x1-xm)*cw:p2=2*(y1-ym)*sw
150 p=p1+p2:k=-p:xs=k*cw:ys=k*sw:print xs,ys
160 lg=sqr((x1-xs)^2+(y1-ys)^2):print lg
170 rp=sqr((xs-xm)^2+(ys-ym)^2):dp=rp/r1:dp=(1-dp)*100:print "fehler=";dp;"%"
x=5.5y=4.5
berechne die sehnenlaenge x
x=0.739685256y=-7.14770607
fehler=0%
-2.40005098 -13.6113655
13.8213427
fehler=-2.16840434E-17%
>
kopieren mit strg tab aus dem ergebnis fenster und einfügen mit strg v
sin(30°)=0.5, das kann man sich noch gut merken. Dann kann man über den trigonometrischen Pythagoras sin²(x)+cos²(x)=1 den cos(30°) berechnen als √(1-0.5²)=√(3/4)=1/2*√3.
cos(x) ist nach Definition gleich sin(90°-x) bzw. sin(x)=cos(90°-x). Also ist cos(30°)=sin(60°).
Mein Lehrer hat mir die Winkelfunktionen so erklärt:
Sin(0)=√(0)/2=0
Sin(30)=√(1)/2=1/2
Sin(45)=√(2)/2
Sin(60)=√(3)/2
Sin(90)=√(4)/2=1
Und der cosinus ist halt umgekehrt
11:34 "pinkes Teil plus pinkes Teil" 😅 Ich denk immer noch so, aber meine Teile sind halt ♂️ und 🖊️, aber dieses "in Blöcken denken", àla Apfel und Birnen, das hilft, auch bei Punkt und Strich und Brüchen und Exponenten und für dezenten Farbeeinsatz gibt's auch beim Abi keinen Punktabzug (außer rot ist glaub nicht gewünscht). 😊
Ja, die typischen sinus und kosinus werte musste ich auswendig lernen. Zumindest von einigen klassischen Winkeln.
Mathe macht Spaß
Wäre das nicht einfacher gegangen?
Bei Minute 5 haben wir vom roten dreieck 2 winkel, aber keine Seite. Die hypothenuse (BD) ist aber auch eine seite des oberen dreiecks, von dem wir bereits zwei seiten (10 und 12) sowie einen winkel (30°+ 30° = 60°) haben.
Das bedeutet doch, dass wir das obere Dreieck trigonometrisch lösen können und BD hätten.
Zurück zum unteren dreieck: wenn wir nun die Länge BD wissen, können wir auch die Schenkel y berechnen.
Jetzt könnten wir uns das rechte dreieck ACD ansehen und haben zwei Seiten (12, y) und mindestens einen winkel (30°) und könnten von hier aus auf x lösen.
Oder sehe ich da was falsch?
Ps: vielen Dank für diese Videos! Ich hab mich seit 15 Jahren nicht mehr mit solchen Aufgaben befasst und hatte vergessen, dass das Spaß machen kann!
Auf den ersten Blick hatte ich Zweifel an der Eindeutigkeit.
Allerdings glaube ich mich erinnern zu können dass 3 Punkte auf dem Umfang reichen um einen Kreis eindeutig zu beschreiben.
Und 3 Punkte gibt es ja. Weil es ein eindeutiges Dreieck gibt.
Einen 60Grad Winkel und 2 Längen.
Damit hat man 3 Punkte auf dem Umfang.
2 der Seiten des Dreiecks hat man.
Bei einer zeichnerischen Lösung ist das Dreieck schnell komplett.
Per Winkelfunktionen am Taschenrechner auch einfach zu rechnen.
Indem man auf mindestens 2 der Seiten in der Mitte die senkrechte erzeugt bekommt man Linien die sich im Mittelpunkt des Kreises kreuzen.
Zirkel einstecken und einen der Eckpunkte für den Radius nutzen und fertig ist der Kreis.
Also in meiner Schulzeit hätte ich das vermutlich zeichnerisch gelöst.
Und jetzt noch das Video ansehen.
Ja, zeichnerisch wäre der Kreismittelpunkt und damit die Strecke x schnell gefunden. Wozu Sie dazu Winkelfunktion und Taschenrechner benötigen erschließt sich mir allerdings nicht.
Schön gerechnet - hat Spaß gemacht aber: wenn ich mir die Zeichnung ansehe, muss x zwischen 10 und 12 liegen und kann nicht größer sein als 12🤔 - wie groß ist der Kreis? Kann das Ergebnis stimmen? der Durchmesser muss zwischen 12 und 12,7 sein?
Das ist keine maßstabsgetreue Zeichnung. Das Ergebnis stimmt
Hallo ich kann es nicht verstehen, wie eigentlich du das machst es ist so kompliziert für mich obwohl ich mag gerne mathematik aufgeben zu lösen, aber danke für Mühe 🙂
Liebe Susanne,
hab es nicht glauben wollen und daher Deine Berechnung nachgezeichnet . Deine Seite X mit 12,7m stimmt.
WTF also ich (jenseits 40; Dipl-Ing (TU)) habe den Umfangswinkelsatz noch nie gehört 😮
Sin Cora konnte ich auch mal auswendig…mangels Not nicht mehr auswendig in petto. Aber meine abi-formelsammlung ist noch immer im Alltag am Start
Danke für das lehrreiche Video. Mal wieder alles erste Sahne. Hätte nicht gleichgesetzt sondern Gleichung 1- Gleichung 2. geht beides und kaum unterschied
Meine Liebe: du gehörst mit deinen Fähigkeiten zu erklären echt in die Lehre. Kein Lehrender vermochte egal wann und wo so anschaulich und auch nachhaltig zu erklären 🎉
22/3 x Wurzel 3 - Nenner rational;)
In Unkenntnis des Satzes bin ich natürlich staunend gescheitert. Again what glernd oder so….😊
Ist im Grunde genommen der erweiterte Satz des Thales für alle Kreissehnen. Beim Thales ist es halt die Sehne durch den Mittelpunkt.
Grüss dich Susanne . Trage ein Mathe Problem seit vielen Jahren mit mir . Tatsächlich war ich in meinem Berufsleben damit konfrontiert .
Die Frage .: gibt es eine Formel , um die Fläche eines Kreissegments nur mit 1. Radius und 2. ,, h ,, zu berechnen ? schönen Dank im voraus .Franz .
12:33 : Die Werte für sin und cos für 30,45,60 und 90 Grad kann man sich mit einer Merkhilfe ganz gut einprägen :), hab es einmal gelernt und seitdem die Werte für diese speziellen Winkel im Kopf
Und die Merkhilfe lautet;??
Für cos: von 4 auf 0 „runterzählen“, die Zahl radizieren und durch 2 teilen. Also für 0 Grad z.B.: sqrt(4)/2=1. Für 30 Grad also sqrt(3)/2 usw. bis 90 Grad (sqrt(0)/2=0). Für Sinus genau andersrum, hier zählt man von 0 auf 4 hoch
@@wolfgangbalu1253
sin(0) = 1/2 * Wurzel(0) = 0
sin(30) = 1/2 * Wurzel(1) = 1/2
sin(45) = 1/2 * Wurzel(2)
sin(60) = 1/2 * Wurzel(3)
sin(90) = 1/2 * Wurzel(4) = 1
Und beim Cosinus einfach umgekehrt.
@@georgvonusedom3198 Danke, gute Idee
Habe mir immer die Zahl 0,866 für den cos von 30 (bzw. sin von 60) gemerkt gehabt, das mit der halben Wurzel von 3 ist natürlich besser. Gleich mal speichern irgendwo ganz hinten im Hypothalamus 😁
Wie immer toll erklärt. Aber es geht doch auch einfach oder irre ich mich? Der Winkel bei A hat 60°, mit den Seiten b + d kann man die Strecke B-D ausrechnen. Da die Winkel des Dreiecks BCD alle bekannt sind, kann man nun y berechnen und anschließend X. Gerne Feedback.
wau suppper ich lerne danke
Gilt der umfangswinkel über einer Sehne auch für die Sehne x ?
Wenn ich in der Skizze bei 1:00 schaue, ist der Winkel zwischen AD und CD identisch zu dem Winkel zwischen AB und CB ? Eher nicht oder ? Umfangswinkel nur auf derselben Seite der Sehne ?!
Kläglich gescheitert 😔
Da hat sich doch dieser Umfangwinkelsatz doch in meinem Gehirn völlig in Luft aufgelöst. Als ob ich zum ersten Mal davon gehört habe 😳
Bisher war alles irgendwie noch da. Zwar 35 Jahre ungenutzt aber irgendwie noch vorhanden. Hier, gar nichts. Null, absolut nada.
Ich hoffe nun in 35 Jahren ist noch was vorhanden 😊
Bei dieser Gelegenheit möchte ich dich bitten eine Serie zu machen in der du all diese Sätze beweist. Das hat mich immer fasziniert. Ich kann einen Satz auswendig lernen, kein Problem. Ich will ihn aber verstehen.
Diese Clips dürften zum Teil etwas länger dauern aber ich trau dir zu das attraktiv und verständlich zu gestalten.
Bitte, bitte, mach mir den Gefallen 🤗
Die Aufgabe lässt sich aber auch quasi elementar, ohne geniale Idee, ohne Hilfsdreiecke und Spezialwissen über Umfangswinkel lösen. Der „Trick“ ist, zuerst die Daten des Kreises zu berechnen: den Durchmesser D und welchen Winkel die Durchmesserlinie zu den beiden bekannten Sehen hat.
Die Länger L einer Sehne im Kreis mit dem Durchmesser D
L=D*cos(alpha)
wobei alpha der Winkel zwischen Sehne und der Durchmesserlinie des Kreise ist.
Durchmesser und Winkel alpha lassen sich aus den vorgegebenen beiden Sehnen berechnen:
12 = D*cos(alpha)
10 = D*cos(alpha+60°)
Hieraus ergibt sich
tan(alpha) = -2/(3*sqr(3) und D= 12*sqr(31/27).
Du gesuchte Länge der mittleren Sehne ist dann
x= D*cos(alpha+30°)
Der Cosinussatz ist eine Verallgemeinerung von Pythagoras; wegen cos(90°) = 0 fällt der cos-Term für rechte Winkel halt weg, und übrig bleibt dann c² = a² + b².
Da ich von der Umfangswinkel-Geschichte noch nie etwas gehört hatte, hätte ich das so auch nicht lösen können. Allenfalls wäre ich auf die Idee gekommen, dass die Abstände zwischen B und C sowie zwischen C und D von der Logik her gleich groß sein müssten, weil die rote Sehne den Winkel zwischen den beiden blauen Sehnen in A mittig teilt. Aber mit Sätzen belegen können hätte ich das dann auch nicht.
ich bin spontan über den Umkreis gegangen. Also Radius per Cosinussatz ermittelt, dann die von dir y genannte Strecke über umstellen von 2R = c /sinγ bestimmt. Jetzt noch der Sinussatz und man hat ebenfalls x.
Das Umfangswinkelgesetz liefert den Thalessatz?
Den Satz des Umfangswinkels kannte ich noch nicht. Der Satz des Thales scheint dann ein Sonderfall des Umfangwinkels zu sein. Wieder etwas gelernt :-)
Aber zu 30 Grad fällt mir ein, dass der Sinus von 30 Grad gleich 0,5 ist. Und wenn man das weiß, kann man auch den Kosinus errechnen, Pythagoras: SQRT(1-0,25) = SQRT(3/4) = 1/2 * SQRT(3). Das geht auch im Kopf.
Und schon wieder was gelernt, was mir bislang noch nicht untergekommen ist:
Susanne zeigt uns einen Schatz
in Form des Umfangwinkelsatz.
Da ich den noch nicht kannte, musste ich mir so behelfen:
Angenommen, die rote Sehne verläuft exakt vertikal, dann sind die Koordinaten der Punkte A und C (x , y) bzw. (x , -y), sofern der Ursprung des Koordinatensystems genau im Mittelpunkt des Kreises liegt. Folglich ist die Länge der Sehne 2*y. Wenn man von den Punkten B und D jeweils das Lot auf die rote Sehne fällt, dann erhält man zwei rechtwinklige Dreiecke mit den Kathetenlängen h*c (vertikal) und h*s (horizontal), wobei h die jeweilige Länge der Hypotenuse ist (also 10 bzw. 12); s und c stehen als Abkürzung für s=sin(30°) und c=cos(30°). Somit können die Koordinaten der Punkte B und D gemäß (x - 10s , y - 10c) bzw. (x + 12s, y - 12s) ausgedrückt werden. Da für die Koordinaten aller Punkte auf dem Kreis die Kreisgleichung gelten muss, können folgende Gleichungen aufgestellt werden:
x² + y² = r²
(x-10s)² + (y-10c)² = r²
(x+12s)² + (y-12c)² = r²
Subtrahiert man die erste von der zweiten und dritten Gleichung, dann ergibt sich nach Vereinfachung folgendes lineare Gleichungssystem:
-sx - cy + 5 = 0
sx - cy + 6 = 0
Aus der Addition der beiden Gleichung folgt unmittelbar y = 11/(2*cos(30°))
Die Länge der gesuchten Sehne ist somit 2*y = 11/cos(30°).
Das dürfte auch eine schöne Lösung sein. Mir ist die Kreisformel nicht mehr so geläufig, da ich sie seit dem Abitur (1989) nie mehr verwendet habe. Ich bin mir jedenfalls ziemlich sicher, diese in deiner Lösung zu erkennen. Irgendwie baut die ja auf dem Pythagoras auf, wobei der Radius die Hypotenuse ist.
PS: Gerald hatte den Peripheriewinkelsatz vor nicht allzu langer Zeit auf seinem Kanal "Get Mathe Fit" behandelt und in diesem Zusammenhang auch den Zentriwinkel (der immer doppelt so gross ist) erwähnt.
Die Sinus- und Kosinuswerte für 30°, 45° und 60° sind ja zum Glück einfach zu merken. (Wurzel aus 1/4 bzw aus 2/4 bzw aus 3/4 und umgekehrt beim Kosinus. Jeweils natürlich zu kürzen.) Das ging also.
Schwieriger war der Umfangswinkelsatz, von dem ich literally noch nie gehört habe. Ist meine Geometrie-Vorlesung zu lange her oder wurde das da wirklich nicht gezeigt, dk. Aber das ließ sich dann recht anständig aus dem Satz vom Sehnenviereck und dem Sinussatz folgern.
Dadurch dass die Winkel bei B und D sich zu 180° ergänzen, ist ihr Sinus identisch, weshalb nach Sinussatz x durch den Sinus jeweils identisch ist und damit BC/sin(30)=CD/sin(30) also BC=CD
Den Rest habe ich dann gleich gefolgert wie du im Video. Hat nur etwas länger gedauert.^^
❤️❤️
"Umfangswinkel" höre ich zum ersten Mal, trotz Mathe-Fachabi mit 1,0. Der Satz des Thales fiel mir als Erstes ein, aber der gilt nur für genau einen Halbkreis. Der Umfangswinkel ist ja im Grunde eine Verallgemeinerung dessen. Hätte der Lehrkörper damals ruhig dazusagen können... 😇
Ist AD der Durchmesser des Kreises? Falls ja: Wie kann x dann >12 sein?
nein, AD ist kein Durchmesser :) (weniger als Durchmesser)
Nein, ist nicht der Durchmesser. Zudem ist die Skizze auch nicht massstabsgetreu.
In einer dunklen grauen Vorzeit huschten mal drei Ungeheuer an mir vorbei: Sin, Cos und Tan. In den oberen Rängen des Schul(t)system warf man dann mal eine Leuchte an, leider wurde (!) ich (deshalb dunkel) irgendwie falsch abgebogen und umso mehr leuchtet es denn heute bei mir. Dafür dann mal Danke! Und gern mehr dazu💐🤗
12:06 Warum rechnet man da den Cosinus nicht auch durch 4?
Ich habe 1986 Abi mit Mathe-Leistung gemacht. Ich kann mich nicht daran erinnern, das wir wissen mussten, dass cos(30 grad) = sqrt(3)/2 ist. Daher hätte wohl 11/cos(30 grad) mit entsprechendem Lösungsweg als Ergebnis gelangt. Aber ehrlich gesagt war ich in deiner letzten Folge andererseits stolz, noch die Ableitungen von sin und cos zu wissen lol.
Den Wert von cos(30°) = sqrt(3)/2 = sqrt(3/4) muss man nicht auswendig wissen. Man kann ihn innerhalb einer Minute jederzeit mit Pytagoras berechen. In einem rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse 1 und einem Winkel von 30° hat die Gegenkathete, die für den Sinus steht, den Wert 0.5. Die Ankathete, die für den Cosinus 30° steht, hat dann lt. Pytagoras die Länge sqrt(1-1/4)
Hallo Susanne, erstmal vielen Dank für deine spannenden Aufgaben! Hättest du Interesse an einem Mathe-Rätsel? 🧐Falls ja, könnte ich es an deine Kanal-Email schicken.
Umfangswinkel sagte mir erst mal gar nichts, und auch den exakten cosinus hatte ich nicht mehr parat. Aber gerade bei Sinus/Cosinus gibt es halt ein paar Schlüsselwerte, die bestimmt zur Schulzeit mal eingetrichtert wurden, meist so für spezielle Winkel wie 30, 60 und 90 Grad bzw mit Pi. Heut zu Tage heist es halt meist: Google ist dein Freund.
Es geht, mit viel Mühe, auch brute force mit der Analytischen Geometrie. Ich hab ein Koordinatensystem so hingelegt, daß die x-Sehne auf der y-Achse liegt und die waagrechte Kathete des linken Dreiecks (mit Hypotenuse 10) auf der x-Achse. Dann haben die Eckpunkte des Dreiecks ABC folgende Koordinaten:
A(0 | 5*sqrt(3)) das ist die obere Ecke
B(-5 | 0) das ist die linke Ecke
C(6 | -sqrt(3)) das ist die rechte untere Ecke
wie man mittels sin(30°) = 1/2 und cos(30°) = sqrt(3)/2 leicht berechnen kann.
Diese 3 Punkte A, B, C liegen alle auf dem Kreis, den man mit der Kreisgleichung
(x - xm)^2 + (y - ym)^2 = r^2
beschreiben kann. (xm | ym) ist der Mittelpunkt, r der Radous des Kreises
Setzt man die Punkte ein und subteahiert je zwei Gleichungen, erhält man ein 3x3-LGS für xm, ym, r
Heraus kommt
xm = 1
ym = 4/sqrt(3)
r^2 = 121/3
Jetzt muß man x = 0 in die Kreisgleichung einsetzen und erhält
y = 4/sqrt(3) +- 11/sqrt(3)
Die Differenz 2 * 11/sqrt(3) = 22/sqrt(3) ist die gesuchte Sehnenlänge.
Pardon, r^2 =3. Die Kreisgleichung lautet
(x - 1)^2 + (y - 4/sqrt(3))^2 = 124/3
Jetzt x = 0 einsetzen, um die beiden Endpunkte der gesuchten Sehne zu erhalten:
1 + (y - 4/sqrt(3))^2 = 124/3. Jetzt 1 subtrahieren
(y - 4/sqrt(3))^2 = 121/3. Quadratwurzel ziehen
y - 4/sqrt(3) = +- 11/sqrt(3)
y = 4/sqrt(3) +- 11/sqrt(3)
Also y1 = 15/sqrt(3) und y2 = -7/sqrt(3),
und die Summe der Beträge bzw.die Differenz ist die gesuchte Sehnenlänge.
r^2 = 124/3
Auf diese Weise können wir auch die Seite mit den nächsten 30° rausfinden, und dann mit den nächsten, bis der Kreis erschöpft ist.
Hätte ich Sie als Lehrerin 🧑🏫 dann wär ich soooo schlau
Vom Umfangswinkel habe ich noch nie zuvor gehört.
*"Noch kommt es euch noch bekannt vor..."*
Klar doch... Pythagoras ist halt der Spezialfall des Kosinussatzes für 90° (cos(90°)=0). Was war eigentllich zuerst da? Der Kosinussatz oder Pythagoras?
nee, hab ich leider nicht im Kopf! Aber super erklärt!
Da ich keinen wissenschaftlichen Taschenrechner besitze (und auch nicht mehr brauche), nehme ich die Werte für Kreisfunktionen wie zu meiner Schulzeit immer noch aus Tabellenbüchern. Funktioniert auch ganz gut.
Sehr gut. Man muss halt nicht alles wissen. Man muss nur wissen, wo es steht 🤷
mich hat der umfangswinkelsatz nicht überzeugt. was ist,wenn E ganz nah an C liegt? oder gar zwischen B und C? und sollte eine aufgabe nicht hinweise beinhalten, was man als gegeben ansehen darf?
Auch wenn E ganz nah an C liegen würde, würde der Winkel gleich bleiben, auch wenn es anders aussehen könnte, es würde nur nicht gehen, wenn Punkt C = E oder B = E. Ausserdem kann der Punkt E nicht zwischen B und C liegen, da der Umfangswinkelsatz besagt, dass "alle Winkel über der gleichen Sehne [...]" gleich sind. Hier wäre der Punkt E aber unter der Sehne B und C.
Ergebnis mit dem Einsatz von sinus, tangens und cosinus erhalten: 12,667
Mit einem Koordinatesystem ist es viel zu lang, aber es funktioniert auch ! Ich habe es für euch gemacht !... 😮
Und, ja, es ist möglich nie mehr zu vergessen dass cos(30°)=√3 /2 , usw.
Zeichen Sie den Kreis mit cos und sin axis. Und bemerken Sie dass:
sin 0° = √0 /2
sin 30° = √1 /2
sin 45° = √2 /2
sin 60° = √3 /2
sin 90° = √4 /2
So habe ich es niemals vergessen !
Zuerst umständlich, eine ziemliche Odyssee ⛵, wenn auch korrekt: Ich habe zuerst die Sehne des großen Dreiecks (60grd) mit dem Sinussatz berechnet, dann herausgefunden wie ich mit dieser Sehne und dem Winkel (wieder 60grd) den Umkreis-Radius bestimmen kann. Und mit dem Radius dann rückwirkend mit dem Cosinus-Satz ( in dem Fall 30grd) die gesuchte Seite x berechnet (wahlweise mit 10 m oder 12 m), wo jedes Mal das Gleiche für x herauskommt, was mich erst ziemlich irritiert hat 😬. Ich habe es zuerst als Widerspruch gedeutet 🙄 und versucht, den vermeintlichen Fehler zu finden🤔, bis ich dann (erst) dahinter kam🕵️, dass ich den Radius gar nicht brauche🤓, weil es ja diese Beziehung gibt zwischen dem Winkel, dem Umkreis-Radius und der Sehne am Umkreis (was ich da schon rechnerisch verwendet hatte) und man somit auch nicht das große Dreieck braucht. Dass es dafür einen Begriff gibt: "Umfangswinkelsatz", habe ich erst HIER erfahren🙂. Damit konnte ich es (im zweiten Ansatz) dann so elegant so lösen, wie Du es in Deinem Beispiel gezeigt hast.😁