Kannst DU die Fläche des Quadrats berechnen? - Mathe RÄTSEL Geometrie
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- Опубліковано 14 чер 2024
- Mathe Rätsel Geometrie mit Lösung
In diesem Mathe Lernvideo erkläre ich (Susanne) wie man den Flächeninhalt des Quadrats berechnen kann. Wir nutzen die Ähnlichkeit von Dreiecken, um die Seitenverhältnisse gleichsetzen zu können und verwenden den Satz des Pythagoras, um die Seite des Dreiecks zu bestimmen. Mathematik einfach erklärt.
0:00 Einleitung - Mathe Rätsel Geometrie
0:47 Lösung
3.03 Dreiecke Ähnlichkeit
7:02 Satz des Pythagoras
8:19 Bis zum nächsten Video :)
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Ich wollte mich bei dir für die Videos bedanken. Hab in meiner letzten Prüfung 13 Punkte geschrieben, obwohl Mathe eigentlich nicht so mein Ding ist. Das habe ich vor allem dir zu verdanken, da ich fast ausschließlich mit deinen Erklärungen gelernt habe. Jetzt macht mir Mathe sogar um einiges mehr Spaß als früher. Vielen Dank für deine tolle Arbeit und deine sympathischen und einfachen Erklärungen.
Wenn meine Lehrkräfte das so erklärt hätten, dann wäre ich heute nicht gegen Mathe allergisch.
@@fizzelgizzel5521 Lehrer sind spätestens seit der Mitte des 20. Jahrhunderts synonym zu Lehr-Vertreiber. Synonym hierzu ist die Moderne...
Deine Lösung ist extrem elegant! Ich versuche bei all deinen Aufgaben zunächst selbst auf die Lösung zu kommen. Ich habe 30 Min versucht, mit 6 Variablen zu rechnen und sie über Gleichungen zu eliminieren - bis ich dann entnervt aufgegeben habe. Und habe dann bei deiner Lösung große Augen gekriegt. Da wäre ich in 100 Jahren nicht drauf gekommen. Danke, wieder was gelernt!
Es ist immer wieder eine Freude, dich zu sehen und zu hören. Danke für deine tollen Videos und Erklärungen.
Danke! Hey Susanne, solche Geometrie-Rätsel gefallen mir sehr. Die Winkelgleicheit von alpha war mir zwar klar, aber den Ausdruck "Stufenwinkel" kannte ich nicht. Ist immer wieder erstaunlich, dass der Pythagoras so universell verwendbar ist. Herzliche Grüße!
Dankeschön René! 🥰
Hey zusammen, hier ein alternativer Lösungsvorschlag der 5 Sekunden dauert: Durch Parallelverschiebung der Geraden, sodass ihr oberer rechter Punkt auf dem oberen rechten Eck des Quadrats liegt, sieht man die Lösung. Der Grund ist, dass der Teil der geraden innerhalb des Quadrats 5 beträgt und außerhalb auch 5 - sprich diese verschobene linie ist also die diagonale, die das Quadrat bei x/2 schneidet. Also wenden wir den Satz des Pythagoras an: (5)² = x² + (x/2)² --> x = Wurzel 20 --> A = 20 Done
genau
Liebe Susanne ich freu mich wirklich und vielen vielen Dank! Bliebst du gesund und munter
Hallo Susanne, herzichen Dank für das kleine Intermezzo 🙏 Mein Lösungsvorschlag lautet: Ich habe ein Verhältniss zwischen den beiden Dreiecken gesehen, das kleine oben rechts, und das untere Dreieck das mit dem oberen sich schneidet (der Punkt, an dem sich die oberen Kanten berühren) somit: (7/3)=(x/(a-x)) ergibt: 3x=7a-7x und 10x=7a, daraus x=(7/10a). Dann innen im Quadrat auch ein Dreieck das mit dem Dreieck von unten links in Verhältniss steht: also: (2/5)=x/a, daraus folgt: x= (2a/5), wenn man für das größere Dreieck das Gesetz von Pythagoras anwendet: 7²=(a+2a/5)²+((7/10)a)² ergibt:
49=(49a²/25)+(49a²/100) ist gleich: 49=(5*49a²)/100, und a²=100/5 = 20 FE
Welchen Weg ich gegangen bin? Ich bin den Weg des einfachen Zuschauens gegangen. Es ist leicht, bequem und führt super entspannt zum Ziel! 😀
Wie so oft fuehrt dieser einfache Weg aber nicht zum Ziel, wenn man eine solche (oder aehmoliche) Aufgabe ohne Ieinen Rechner mit nternetzugriff loesen soll ...
🤣
Wieder eine tolle Aufgabe. Dein Lösungsansatz ist sehr gut nachzuvollziehen. Danke
Hallo Zusammen, guten Abend,
Hier mein Weg zur Lösung:
(LE=Längeneinheit(en), FE=Flächeneinheiten)
A sei der linke untere Eckpunkt des Quadrates.
B sei der rechte untere Eckpunkt des Quadrates
C sei der linke Schnittpunkt der gelben Geraden mit der Seite des Quadrates.
D sei der rechte Schnittpunkt der gelben Geraden mit der Seite des Quadrates.
x sei die Seitenlänge des Quadrates
y sei die Länge der Strecke CA
z sei die Länge der Strecke DB
Wenn ich mir nun eine zur rechten Seite des Quadrates parallele Hilfslinie vorstelle, die durch den ganz links liegenden roten "Markierungspunkt" geht,
kann ich nach Strahlensatz folgende Zusammenhänge hinschreiben:
x/10 = y/8 =z/3
Daraus folgt
x/10 = y/8 | *8
y=8/10x (ich kürze bewusst nicht)
x/10 = z/3 | * 3
z= 3/10x
Nun kann ich mir eine weitere Hilfslinie vorstellen parallel zur Grundseite des Quadrates, die durch C verläuft.
Der Schnittpunkt dieser Hilfsgeraden mit der rechten Quadratseite sei E
Damit habe ich ein rechtwinkliges Dreieck CED mit den Katheten CE und ED und der Hypotenuse CD, von der ich weiß, dass sie 5 LE lang ist
Die Länge der Strecke CE ist x, die Länge der Strecke DE ergibt sich aus y-z, also 8/10x -3/10x =5/10x=1/x
Somit ist alles beisammen um schließlich Pythagoras anwenden zu können.
x^2 + (1/2x)^2 = 25
x^2 +1/4x^2 =25
5/4x^2 = 25 | *4/5
x^2=(25/5) * 4
x^2 = 20
Das Quadrat hat somit einen Flächeninhalt von 20 FE
Allen eine schönen Freitag und ein super Wochenende, wenn es soweit ist.
LG aus dem Schwabenland.
So einfach kann es gehen 🤣
Ich habe natürlich eine viel kompliziertere Variante genommen, nämlich die Seiten vom kleinsten Dreieck mit x und y bezeichnet. Dann kamen natürlich einige Berechnungen mit Verhältnisgleichungen, Wurzeln und Brüchen. Aber am Ende stand A=20 da. ✌
Wieder eine super schöne Aufgabe. Klasse.
Für jemanden wie mich, der ich an mathematisch-Geometrie her Sehschwäche leide, ganz hervorragend geführt....🤦😂🙋♂️
Hallo,
ich habe die gelbe Strecke parallel nach rechts verschoben, sodass sie in der unteren linken Ecke des Quadrats beginnt. Damit erhalte ich zwei kongruente Dreiecke, eines im Quadrat und ein zweites rechts oben. Da die Strecke x auch im zweiten Dreieck auftritt, führt das zu y=2x. Danach habe ich x²=20 auf die gleiche Weise wie du gefunden.
🤓🤩
Du bist genial!
Tolle Aufgabe
Wie cool ! 👍💐
Hallo , vielen Dank für die schöne Erklärung.
Ich sehe immer erstmal nur Bahnhof und erkenne stets keinen Ansatz.
Aber wenn ich jetzt das Vorschaubild das zweite Mal anschaue, nach dem Schauen des Videos, erkenne ich , dass 5 zu X genauso ist wie (2+3) zu X.
Daher die Erleuchtung für mich, Y ist 2X.
Schöne Aufgabe! Ich habe eine Trigonometrie-Methode verwendet.
Aus dem großen Dreieck erhält man: sin α = x/10.
Aus dem Dreieck innerhalb der roten Quadrat erhält man: cos α = x/5.
(sin α)^2 + (cos α )^2 = 1 deshalb
(x/10)^2 + (x/5)^2 = 1
(x^2)/100 + (x^2)/25 = 1
(x^2)/100 + 4(x^2)/100 = 1 -------> 5(x^2)/100 = 1
(x^2)/20 = 1
x^2 = 20
Die Fläche der roten Quadrat ist x^2 = 20
(Bitte entschuldigen Sie meine schlechtes Kenntnisse der schönen deutschen Sprache.)
Male das große Rechteck x, y mit Diagonale 10. Verschiebe das Quadrat im Rechteck zur Seite nach rechts. Dann wirst du feststellen, dass die Diagonale im Quadrat immer noch 5 lang ist, und im Bereich links ebenfalls 5 (2+3). Der Bereich links hat somit die gleiche Höhe und gleiche Breite wie das Quadrat. Dein y ist somit 2x und nach Pythagoras ist x²=20.
Hab ich genauso gemacht. Im Kopf. Weil ich so gut bin. Ich bin übrigens fast so gut wie ich demütig bin.
Ich habe um y zu berechnen einen etwas anderen ansatz genommen, undzwar so: Die Hypothenusen der beiden kleinen Dreiecke sind 2 + 3, also 5 zusammen. Dadurch, dass die beiden kleinen und das mittlere Dreieck alle ähnliche Dreiecke sind, konnte ich daher schließen, dass die horizontalen Katheten der beiden kleinen Dreiecke zusammen x ergeben
Mathematik ist einfach wenn ein schönes Wesen es erklärt.Mit Spass und Freude kann sich das Gehirn alles merken.
Schönes Mathe-Rätsel!
Also ich habe das so gerechnet:
Großes Dreieck: cos(Alpha) = x / 10
Kleines Dreieck: sin(Alpha) = x / 5
Sin(Alpha) / cos(Alpha) = tan(Alpha)
Damit erhält man Alpha = 63,4°
Damit kann man x ausrechnen (x= 4,47 X² = 20)
Summe der kurzen Seiten =eine Seitenlänge, kurze Seiten über Ähnlichkeit also a:2=b:5=c=3 und b über Pythagoras 5^2=b^2+(a+b+c)^2
Spitze!
Wegen 1. Strahlensatz und Linearität (Gerade ÷ lineare Funktion mit konstanter Steigung) gilt, daß die waagerechten Katheten der drei Dreiecke sich verhalten wie die Hypotenusen, also wie 2:5:3. Insbesondere gilt, daß die waagerechte Grundseite x des Quadrats 5/(2+5+3) = 5/10 = 1/2 so lang ist wie die waagerechte Grundseite g der ganzen Figur, also gilt x = g/2 bzw. g = 2x. Diese Gesamtfigur kann man zu einem großen rechtwinkligen Dreieck verlängern, dessen Höhe wiederum x ist und dessen Hypotenuse 2+4+3 = 10 lang ist.. Und es gilt der Pythagoras, also
g^2 + x^2 = (2 + 5 + 3)^2
(2x)^2 + x^2 = 10^2
4x^2 + 1x^2 = 100
5x^2 = 100
x^2 = 20
x = sqrt (20) = sqrt(4*5) = 2*sqrt(5)
x = 4,47 (ungefähr)
Da mogeln wir mal. Wir verschieben das Quadrat nach rechts, sodaß die obere, rechte Ecke mit der oberen rechten Ecke des großen Dreiecks zusammenfällt.
Die entstehende Strecke ist die Hypotenuse des "Aussendreiecks" mit der Länge 5. Die Ankathete ist x, die Gegenkathete x/2.
Phythagoras: 5² = x² + (x/2)²
25 = x" + x"/2"
25 = x² + x²/4
25 = 4x²/4 + x²/4
25 = (4 +1)x²/4 = 5/4 x²
25*(4/5) = x² = 20
Ich habe auch das Dreieck verschoben. Anstatt den Pythagoras habe ich den Winkel mit dem Arcustangens berechnet und dann weiter mit dem Cosinus die Länge bestimmt. (5*cos(arctang(0,5))^2=20
Easy im Kopf berechnet. Die gelbe Linie kann man nach rechts verschieben sodass sie in der linken unteren Ecke des Quadrats liegt. Dann sieht man, dass die Gesamtlänge der gelben Linie 10 ist und davon 5 das rote Quadrat der gesuchten Seitenlänge X durchqueren, die restlichen 5 müssten also auch die Länge X Betragen. Wir haben also ein großes rechtwinkliges Dreieck der Katheten X und 2X und die Hypotenuse von 10.
Mit Sdp bekommen wir 10^2 = X^2 + (2X)^2
100 = X^2 + 4X^2 = 5X^2
Also X^2 = 20. Der Flächeninhalt des Quadrat ist hier X^2, also ist 20 Flächeneinheiten unsere gesuchte Lösung.
Eine Variante dieses Gedankens innerhalb des roten Quadrates:
5^2 = x^2 + (x/2)^2 -> x^2 = 20
Ok, die Lösung ist extreeeem kompliziert.
Weiß , man jedoch um alle Winkel- und Seitenverhältnisse in Quadrat und Dreiecken mit den selben Winkeln, ergibt sich eine ganz einfache Lösung:
Seitenverhältnis der Katheten ist IMMER 2:1
Flächenverhältnis der Katheten² ist dann immer 4:1
Bedeutet meine Hypotenuse² hat 5 Teile (4+1) Fläche.
Somit ist das Flächenverhältnis der Hyptenuse² zu X² 5:4
Somit ergibt sich JEDE Lösung die diese Art von Quadrat und Dreiecksverhältnissen hat:
Hyptenuse² / 5 * 4 = Fläche des Quadrats
5² / 5 * 4 = 20
Jetzt mit 7:
7² / 5 * 4 = 39,2 usw... funktioniert mit jeder Zahl und geht fast immer auch im Kopf
TOLL DANKE. Das hat wieder Spass gemacht. Mir ist im Prinzip auch kein anderer Weg gelungen. Verhältnis der Seiten und Pythagoras.Trigonometrische Funktionen oder Vektoren wären vielleicht auch möglich. Ich werde es noch probieren .
Vektoren waeren tatsaechlich auch ein interessanter Ansatz (ich habe allerdings zur Ermittlung der Laenge von y auf den ersten Strahhlensatz zurueckgegriffen), nur finde ich da im Moment keinen Ansatzpunkt dafuer.
Eine Loesung von Geometrieaufgaben mit Vektoren laeuft oft darauf hinaus, dass man einen geschlossenen Streckenzug als Summe von linear unabhaengigen Vektoren ausdrueckt. Da es ein geschllossener Strckenzug ist, muessen die Faktoren vor den beiden linear unabhaengigen Vektoren beide 0 sein. Daraus ergibt sich bei einer solchen Loesung dann i.d.R. ein Gleichungssystem, dessen Loesung zum gewuenschten Ergebnis fuehrt. Aber solch einen Ansatz sehe ich hier erst einmal nicht ...
@@juergenilse3259 Ehrlich gesagt auch mir fehlt ein Fixpunkt an dem alle anderen Punkten def. werden koennen. Ich dachte ich sehe ihn nicht! DANKE
Habs geschafft und richtig 🥳 .. nur halt nicht so elegant wie deine Lösung 😜 .. damals in der Schule wär meine Lösung sicher nicht durchgegangen 😅
Bei der Aufgabenstellung mit dem Bild wäre für mich nicht eindeutig gewesen wofür die 5 steht. Ich hätte es beim ersten Blick nicht auf die Länge der Hypotenuse bezogen. Aber wie immer ein sehr eleganter Weg. Danke.
Das ging relativ fix, da beide kleine Hypotenusen 5 ergeben. Da musste ja die eine grosse Kathete doppelt so lang sein wie die andere.
Habe eigentlich gleich mit der Gleichung 5x^2=100 begonnen.
Aber gute Übung die einfachste Lösung zu finden. Das Rechnen kann ja mal nebensächlich sein👍
man unterteile das ganze zusätzliche waagrechte parallelen durch die Schnittpunkte an der Diagonalen durch das Quadrat.
Diese unterteilen die kurze Seite auch im Verhältnis 2:5:3
die Längen betragen das sin alpha fache. die Längen der unteren Langseiten Unterteilung ebenfalls im Verhältniss 2:5.3 und betragen das cos alpha fache.
daraus folgt für die Quadratseite a = 10*sin alpha = 5* cos alpha. Daraus und wegen cos²+sin²= 1 folgt: cos² alpha = 4/5
also A = a² = 25*4/5 = 20
Also mir hat es gefallen. Ich selber hatte kurz überlegt, fand ich für mich aber zu schwer. Drum habe ich mir bald die Lösung angesehen von der Mathematik+ Lehrerin. Allerdings weis man jetzt auch nicht, wie gross das Quadrat ist, weil keine Längenmssseeinheit gegeben ist. Ob 20km^2 oder 20m^2 usw.
Auch ich habe sinus von beiden gleichen Winkeln gleichgesetzt (Verhältnis von kleinen linken Teil unten zur Quadratseite nämlich 1/5 herausgefunden) + Strahlensatz + Satz des Pythagoras (für den kleinen Dreieck unten links). Für Fläche bekomme ich so auch 20. Hierbei braucht man nicht Seiten und Linien zu verlängern oder andere Dreiecke als die in der Aufgabe zu berücksichtigen.
Ich hätte das vor 2 Tagen gebraucht
Hier gibt's genau 4 ähnliche Dreiecke. Von denen brauche ich genau 2. Das erste hat die Hypotenuse 5 und Grundseite x, das zweite hat die Hypotenuse 2+5+3=10 und damit die Grundseite 2*x. Die Höhe des großen Dreiecks beträgt ebenfalls x. Damit ist nach Pythagoras das Hypotenusenquadrat 100 und die Summe der Kathetenquadrate 4x^2 + x^2=5x^2. Damit ist x^2 (die Fläche des gesuchten Quadrates) gleich 20.
Eine Lösungsmöglichkeit über Winkelfunktionen:
x = (2+5+3) * sin alpha = 5 * cos alpha -->
sin alpha / cos alpha = tan alpha = 1/2
alpha = arctan (1/2) = 26,6°
x^2 = (5 * cos 26,6°)^2 = 20
Über die Winkelfunktionen bin ich auch gegangen, aber den Winkel habe ich nicht explizit ausgerechnet.
Man braucht doch nur die diaagonale innerhalb des Quadrats auf die Grundlinie zu ziehen und die 2 nach oben rechts zu verschieben. So entstehen 2 Diagonale mit Länge 5. Also muss der Schnittpunkt im Quadrat rechts genau in der Mitte der Höhe liegen. Nun haben wir ein Pyth.-Dreieck mit Hypothenuse 5, bei dem die Katheten x/2 und x sind. Also: x^2 + x^2/4 = 5/4 x^2 = 25, bzw. x^2 = 20. Und das ist gleichzeitig die Fläche des Quadrats: 20 FE 🙂
Zuanfangs das Quadrat ganz nach rechts schieben. Wobei sich Y=2X ergibt. Da die Diagonalen der beiden Dreicke addiert der Diagonale des großen Dreick ergibt.
Der Strahlensatz währ auch eine lösung oder?
=> Es ergibt sich ein Quadrat mit einer Fläche von 4,5×4,5 =20,25 FE. Nachweisbar über den 1. Strahlensatz
ZA/ZB=ZA'/ZB' 1,78/2=62,5/69,5 0,89
Nennen wir die Kantenlaenge des Quadrats (die wir allerdings noch nicht kennen) einmal.a Die Flaeche des Quadrats waere dann a^2. Ergaenzen wir nun einmal die Figur, indem wir die untere Basislinie des Quadrats nach rechts verlaengern und durch den ganz rechten Eckpunkt des oberen kleinen weissen Dreiecks eine Parallele zur senkrechten Kante des Quadrats einzeichnen. Den Schnittpukt dieser beiden Strecken nennen wir S. Nun haben wir ein groesseres rechhtwinkliges Dreieck, dessen Eckpunte der linke Eckpunkt des unten liegenden kleinen weissen Dreiecks, der Punkt S und der rechte Eckpunkt des oben liegenden kleinen weissen Dreiecks sind. Von diesem Dreieck kennen wir bereits die Hpothenuse, denn die ist gleich der Summe der Teilstrecken, deren Laenngen bereits in der Zeichnung vorgegeben sind (2+5+3=10). Die Kathete auf der rechten Seite kennen wir auch schon, denn die ist (nach unserer Konstruktion) ja genauso lang wie die Kantenlaenge des Quadrats, also gleich a. Die Laenge der noch unbekannten Kathhete kann mit demm 1. Strahlensatz ermittelt werden (in mehreren Schritten). Die unten liegende Kathete des kleinen weissen Dreiecks unten links hat die Laenge 2/5*a (nach 1. Strahlensatz, un zu sehen, auf welche Figur der angewwendet werden muss, sucht in der Zeichnung nach den vorgegebenen Streckenlaengen 2 und 5).
Auf die selbe Methode koennen wir auch den "rechten Streckenabschnitt" unserer gesuchten Kathete bestimmen, denn der ist genauso lang wie die obern liegende Kathete des oberen kleinen weissen Dreiecks. Die gesamte gesuchte Kathetenlaenge des grossen rechtwinkligen Dreiecks ist also 2/5*a+a+3/5*a=2*a. Nun is das grosse Dreieck ja rechtwinklig. Bei rechtwiklingen Dreiecken faellt einem sehr schnell der Satz des Pythagoras ein:
Die Summme der Quadrate ueber den Katheten ist gleich dem Quadrat ueber der Hypothenuse.
Setzen wir die gefunden Laengen der Dreiecksseiten ein. Die Hypothenuse ist gleich 10, die eine Kathete ist gleichh a, die andere gleich 2*a. Pathagoras liefert a^2+(2*a)^2=10^2, also a^2+4a^2=100. Fassen wir die beiden Summmanden auf der linken Seite noch zusammen, erhalten wir 5*a^2=100. Nach a^2 aufloesen: a^2=20. Die gesuchte Flaeche des Quaddrats ist ja gleich dem Quadrat der Kantenlaenge, also gleich a^2. Die Flaeche des Quadrats ist also 20.
Schöne Aufgabe mal wieder und deine Erklärungen sind erste Sahne! Du musst Lehrerin sein oder werden! Solche Erklärtalente dürfen nicht brachliegen!
3-4-5-...ist immer ein rechtw. dreieck....also 4x4=16m²
Mein Ansatz war sin(alpha)=x/10 und cos(alpha)=x/5. Warum einfach, wenn's auch kompliziert geht? 😅
Habe es auch über ähnliche Dreiecke gelöst, allerdings habe ich die untere Kante als x + y + z gesehen und musste daher erst noch einiges umformen. Dein Weg war wesentlich eleganter.
z/3 = (x + y + z) / 10
y/2 = (x + y + z) / 10
z/3 = y/2
z = 3y/2
z = 6x/10
y/2 = (x + y + 3y/2) / 10
10y=2x+5y
5y=2x
y = 2x/5
(x+y+z)² + x² = 10²
(x + 2x/5 + 6x/10)² + x²=10²
((10x+4x+6x)/10)² + x²=10²
5x²=10²
x²=20
den pythagoras und den strahlensatz anwenden also l1 l2 l3 gegeben und dann ist l1/la=(l1+l2)/(la+lb) lb ist die sehnenlänge des quadrats =(l1+l2+l3)/(la+lb+lc), damit kann man dann die länge und breite sowie fläche berechnen:
10 l1=2:l2=5:l3=3:sw=.1:ng=l1^2+l2^3+l3^3:la=sw:goto 40
20 dlb1=la/(l1+l2):dlb2=la/l1:lb=(l1+l2)*(dlb2-dlb1)
25 dlc1=la/l1:dlc2=(la+lb)/(l1+l2+l3):lc=(l1+l2+l3)*(dlc1-dlc2)
26 dlu1=(la+lb+lc)^2/ng:dlu2=lb^2/ng:dlu3=(l1+l2+l3)^2/ng
30 dl=dlu1+dlu2-dlu3:return
40 gosub 20
50 dl1=dl:la1=la:la=la+sw:if la>100*sqr(ng) then stop
60 la2=la:gosub 20:if dl1*dl>0 then 50
70 la=(la1+la2)/2:gosub 20:if dl*dl1>0 then la1=la else la2=la
80 if abs(dl)>1E-10 then 70
90 print lb,"die flaeche des quadrats ist=";lb^2
"run" ergibt
4.47213596die flaeche des quadrats ist=20
>
viel spass mit bbcbasic sdl
Mein Ansatz: In dem großen Dreieck kann ich das Quadrat nach links verschieben. Dadurch rutscht das kleine Dreieck nach oben rechts zu dem Dreieck mit Hypotenuse 3. Die beiden kleinen Dreiecke zusammen ergeben dann wieder ein großes Dreieck mit Hypotenuse 5. Damit sieht man sofort dass y=2*x ist und der Rest ist dann gleich
Im Prinzip bin ich ähnlich vorgegangen. Nur hatte ich anfangs die Diagonale nach rechts verschoben, sodass sie unten links am Beginn des Quadrates anfing. So hatte ich immer noch fünf Längeneinheiten, die durch das Quadrat verliefen. Rechts vom Quadrat blieben dann ebenfalls fünf Längeneinheiten über, die ganz genau zu einem zweiten Quadrat passen. Somit hatte ich zwei X nebeneinander und eins übereinander. Zusammen mit den 10 LE der Diagonale und dem Pythagoras ergaben sich dann auch die 20 Flächeneinheiten.
Finde ich noch einfacher als die im Video gezeigte Lösung 👍
Ich habe einfach die Diagonale so verschoben, als wenn die an der linken unteren Ecke vom Quadrat beginnt.
Da die Diagonale 10 lang ist und der Abschnitt durch das Quadrat nur 5 lang ist, sah ich direkt, dass die Gegenkathete doppelt so lang ist wie die Ankathete. Die Hypotenuse ist 10² und intuitiv sah ich schnell, dass die Fläche der Gegenkathete 80 und die der Ankathete 20 ist und somit auch das rote Quadrat 20 als Flächeninhalt hat.
Man braucht das rote Quadrat nur nach links in die Ecke zu schieben dann sieht man dass dieses die Hälfte des Rechtecks unter den Parallelen ist. Diese Diagonale schneidet dann bei x/2 und nach Pythagoras ist:
5² = x² + x²/4 = 5x²/4,
oder: x² = 5mal4 = 20.
Fertig.
habe ich auch so gemacht. einfach und elegant.
@@janesamaseika1324 noch einfacher: das gesamte Rechteck hat die Seiten 2x, x und die Diagonale 10.
Nun ist 4x² + x² = 5x² = 100,
und x² = 20
Man verschiebe die gelbe Gerade parallel so, dass sie durch den linken unteren oder oberen rechten Eckpunkt des Quadrates geht. Dann verschiebe man die kleineren Dreiecke entlang der gelben Linie auf die andere Seite des Quadrates und ordne sie nebeneinander an. Dann sticht der Pythagoras 5² = x² + (x/2)² regelrecht ins Auge.
Ich Dummy hab statt mit Pythagoras natürlich erstmal über den Tangens den Stufenwinkel berechnet (0,5) und darüber dann mit dem Sinus den Wert für x raus bekommen. Ist etwas umständlicher, aber den Flächeninhalt von 20 hab ich so auch rausgefunden 😇
Die Hypotenuse des großen Dreiecks ist 10 (2+5+3) also sind die Katheten 6 und 8. Die kürzere Kathete also 6 ist gleich der Seitenlänge des Quadrates. Die Fläche des Quadrates ist daher 36.
Oder bin ich da ganz falsch?
❤️❤️
Ich habe die gelbe Strecke horizontal nach rechts verschoben bis sie im unteren linken Punkt des Quadrats startet.
Innerhalb des Quadrats legt die Strecke 5 Längeneinheiten zurück, außerhalb ebenfalls (2+3=5). Die Strecke endet auf der selben Höhe wie die obere Kante des Quadrats.
Die beiden letzten Bedingungen sorgen dafür, dass die Strecke nun die rechte Kante des Quadrats in der Mitte schneidet.
Es ergibt sich also unten rechts im Quadrat ein rechtwinkliges Dreieck mit den Kantenlängen
Unten: a (Kantenlänge des Quadrats)
Rechts: a/2
und ein Teil der gelben Strecke: 5
Pythagoras nach a² umstellen, bringt die Lösung 20.
Ich habe das Quadrat einfach nach links verschoben in der Abbildung. Da die Linie ja 2+3 außerhalb und 5 innerhalb des Quadrates ist, schneidet die Linie dann das Quadrat genau in der Mitte und die Abbildung wird klarer. Dann Satz des Pythagoras mit einer vertikalen Seite x und einer horizontalen Seite 2x, sowie der langen Linie 5. Also x^2 + (2x)^2 = 25, also 5x^2=25, also x=wurzel(5), wobei x die halbe Quadratseite ist. Die Fläche wäre dann (2xwurzel(5))^2 = 4*5 = 20, also dein Ergebnis.
der winkel muß 30 grad sein sonst geht das nicht . ???sonst geht das nicht auf oder es gibt ein Rechteck . ???
Das wir da einen Haufen ähnlicher Dreiecke haben, war mir sehr schnell klar, aber das y=2x sein muss klickte erst als du das große Dreieck eingezeichnet hast.
In der Frage steht aber nicht, dass das Gelbe eine Gerade ist. Wie kommt man darauf?
Hab die Diagonale einfach soweit nach rechts verschoben, dass die Diagonale im linken unteren Eck des Quadrates endet. Die Diagonale hat nun die Längen 5 + 5.
x sei die Seite des Quadrates, die Diagonale teilt bei 1/2 x. Nun kann der Pythagoras angewendet werden.
x²+(½x)²=5² -> x²=20
Den Winkel zu Waagerechten nenne ich Alfa, die Seite des Quadrates a.
a= 5cos Alfa
a= (2+5+3)sin Alfa=10 sin Alfa, also
cos Alfa= 2sin Alfa
ctg Alfa= 2 also waagerecht haben wir Ankathete von 2a
Aus den großen Dreieck und Pitagoras
(2a)^2 +a^2 = 10^2
5a^2 =100
a^2 = 20
Hier mein Lösungsweg:
x sei die Seitenlänge des Quadrats und alpha der Winkel der schrägen Linie zur Grundseite des Quadrats.
sin (alpha) = x/10 und cos (alpha) = x/5
Dann folgt
sin^2 (alpha) + cos^2 (alpha) = 1 = (x/10)^2 + (x/5)^2 = (5*x^2)/100 und daraus x = 20 [FE]
Hier mein Lösungsweg:
Aus dem großen Dreieck ergibt sich sin α = x/10 ⇔ x = 10 sin α ⇒ x² = 100 sin² α (i), und aus dem mittleren folgt cos α = x/5 = 2x/10 = 2 sin α ⇒ cos² α = 4 sin² α (ii).
Wegen der allgemeinen Beziehung cos² α + sin² α = 1 gilt mit (ii) cos² α + sin² α = 4 sin² α + sin² α = 5 sin² α = 1 ⇔ sin² α = 1/5.
Einsetzen in (i) liefert die gesuchte Fläche: x² = 100 sin² α = 100/5 = 20. ✅
Geht auch mit den Cosinus
Ich habe den brutalen Kraft von Wolfram-Alpha benutzt um zu finden, dass die Areal(g) ist gleich 20!
{f^2 + (c - b)^2 = 25, a^2 + b^2 = 9, (a + f)^2 + c^2 = 64, e^2 + d^2 = 4, f = c + e, f^2 + (a + f + d)^2 = 100, g = f^2}
a = 6/sqrt(5), b = 3/sqrt(5), c = 8/sqrt(5), d = 4/sqrt(5), e = 2/sqrt(5), f = 2 sqrt(5), g = 20
Bei mir hieß die Seitenlänge des Quadrates l, das Stück, das unten rechts übersteht y, das Stück oben rechts x und der Winkel phi. Die bekannten Strecken hießen a=2, b=5 und c=3.
Dann gilt:
1. cos phi = (x + y + l) / (a + b + c)
2. sin phi = l / (a + b + c)
3. Aufgrund der ähnlichkeiten Dreiecke: (x + y + l) / l = (a + b + c) / b
4. Flächeninhalt: l² = b² * cos² phi
1. + 2. ergeben: sin phi = cos phi * l / (x + y + l) = cos phi * b / (a + b + c)
sin² phi + cos² phi = 1
(b / (a + b + c))² * cos² phi + cos² phi = 1
cos² phi * (1 + (b / (a + b + c))²) = 1
cos² phi = 1 / (1 + (b / (a + b + c))²)
= 1 / (1 + (5 / (2 + 3 + 5))²)
= 1 / (1 + (5 / 10)²)
= 1 / 1,25
= 4 / 5
Daraus ergibt sich für den Flächeninhalt: l² = b² * 4 / 5 = 5² * 4 / 5 = 20.
Schöne Aufgabe! 🙂
Vielleicht könntest du auch mal reaction Videos hochladen. Deine Meinung zu diesem Video (Schulmathematik: Vergleich Indien-NRW von Prof. Dr. Bernhard Krötz) würde mich durchaus interessieren.
Mein Ansatz: wenn man das rote Quadrat nach links schiebt, sieht man ja, dass es die Hypothenuse durch 2 teilt. Da es sich um lauter ähnliche Dreiecke handelt, kriege ich ein Dreieck unten links, das eine Hypothenuse von 5 hat und die Katheten das Verhältnis 1:2 haben. Den Rest erledigt Pythagoras.
Jeder Holzhandwerker kennt die 3, 4, 5 Formel zum Ausrichten zweier Balken im rechten Winkel. 3quadrat plus 4quadrat gleich 5quadrat. Somit hätte die die Hypotenuse unter der Kathede mit Länge 5, die Länge 4 und das gesuchte Quadrat eine Fläche von 16. Wie kann das sein, wenn Du auf 20 kommst?
Welche Wege ihr gefunden habt?
Dir zuzuhören. :-)
Tippe auf
20
Hätte man das auch mit Sinus cosinus und tangens rechnen können? So hätte ich es gedacht :,)
Ja. Andere haben schon entsprechende Loesungen hier praesentiert. Lies dir einfach mal die anderen Antworten durch.
Lösung:
Seite des Quadrates = a
Das senkrechte Stück der Seite a, das zur Hypothenuse 5 gehört, nenne ich x. Dann gilt nach dem zweiten Strahlensatz:
x/5 = a/10 ⟹ x = a/2
Pythagoras: a²+x² = 5² oder a²+(a/2)² = 25 ⟹
a²+a²/4 = 25 ⟹ 5a²/4 = 25 |*4/5 ⟹ a² = 20 = Fläche des Quadrats
2:23 y = 2x?
Der Teil der durch x * x geht ist gerade die Hälfte der Hypothenuse.
Lösung:
Was ist gegeben:
Wir haben drei rechtwinklige Dreiecke mit den Hypothenusen 2, 3 und 5.
Die senkrechten Katheten bilden zusammen die Seitenlänge des gesuchten Quadrats.
Die waagrechte Kathete des 5er Dreiecks ist ebenfalls die Seitenlänge des Quadrats.
Da die Hypothenusen eine durchgehende Linie bilden und die Katheten alle parallel zueinander sind, sind die Winkel bei allen drei Dreiecken identisch. Dadurch sind die Seitenverhältnisse zueinander identisch. (Strahlensatz!)
Benennung der Linien:
a ist die horizontale Kathete des 5er Dreiecks und die Seitenlänge des Quadrats
v ist die horizontale Kathete des 3er Dreiecks
w ist die horizontale Kathete des 2er Dreiecks
x ist die vertikale Kathete des 5er Dreiecks
y ist die vertikale Kathete des 3er Dreiecks
z ist die vertikale Kathete des 2er Dreiecks
Aufstellen der Gleichungen:
a = x + y + z
v/y = w/z = a/x = (a+v+w)/(x+y+z) = (a+v+w)/a
2/w = 3/v = 5/a = 10/(a+v+w)
Wichtig davon sind:
5/a = 10/(a+v+w)
a/x = (a+v+w)/a
Gleichungen mit a multipliziert:
5 = 10a/(a+v+w)
a²/x = (a+v+w)
Gleichung 2 in Gleichung 1 eingesetzt und vereinfacht:
5 = 10a/(a²/x)
5 = 10x/a |:10
1/2 = x/a |*a
a/2 = x
Gefunden Abhängigkeit per Satz des Pythagoras auf das 5er Dreieck anwenden:
5² = a² + x²
5² = a² + (a/2)²
5² = a² + a²/4
5² = 5a²/4 |*4/5
5 * 4 = a²
a² = 20
Flächeninhalt des gesuchten Quadrats ist A = a² = 20 FE
Hallo Susanne, ich liebe dein Rätsel.
Ich war aus dem Bauch heraus bei der Lösung 16!!! -> was ist falsch.
Ich dachte an Pythagoras = 3,4,5 somit wäre x=4 -> x*x = 16
Wo ist der Fehler?
Der Fehler liegt darin, dass 3 & 4 nicht die einzigen Zahlen sind, die man beim Satz des Phytagoras einfügen kann, um auf fünf zu kommen. Man könnte ja genauso gut die Quadratwurzel von Zehn und die Wurzel von fünfzehn nehmen.
2ichtig
Ärgert mich jetzt ein wenig. Habe zwar auch mit ähnlichen Dreiecken gearbeitet, aber das größte Dreieck habe ich total übersehen. Und hab dann da viel länger dafür gebraucht. Lösung passt zwar. Aber...
Wäre auch ein schönes bestimmtes Integral, wenn man sich das Leben lustiger machen will. :)
a^2 + b^2 = 100 und b = 2a. Einsetzen und nach a^2 auflösen, ergibt 20
Quadrat nach links schieben. => man sieht, dass die Steigung der Geraden 1/2 ist.
Pythagoras sagt: 5² = (1/2 s)² + s² = 1/4 s² + s² = 5/4 s²
s² = 25 * 4/5 = 20 FE
Diesen Weg habe ich auch genommen. Bin auch zu Anfang direkt auf das verschieben gekommen und habe dann gesehen, dass das Dreieck und Quadrat sich in der Hälfte schneiden. Dadurch ergibt sich das Verhältnis.
Wie war das mit sin von 30 Grad?
Wenn die Hypotenuse 10 ist und X die lange Kathete bei einer Hypothenuse von 5 ist, und ich "skaliere" jetzt wieder auf 10, ist Y = 2X.
Daraus ergibt sich eine Steigung von 50% (X / 2X). Und damit sind auch schon alle Winkel bekannt.
Hupsiii.
Sin(Alpha)=x/10
Cos(Alpha)=x/5
Sin^2(alpha) + cos^2(alpha)=1
X^2/100+ x^2/25=1
X^2=20
Über die Winkelfunktionen die beiden Katheten ausrechnen. Dann kann ich auch die Fläche des Quadrates bestimmrn
Habe schnell mit Strahlensatz im Kopf gelöst.
Das Dreieck mit Hypothenuse=5 und einer Kathete x (=Seitenlänge vom Quadrat):
Die andere Kathete ist x/2 entsprechend 5/(5+2+3) wegen 'Ähnlichkeit der Dreiecke'.
Pythagoras somit:
5^2 = x^2 + (x/2)^2
25 = x^2 + (x^2)/4
25 = 5/4 * x^2 | *4
100 = 5 * x^2 | /5
20 = x^2 = Fläche vom Quadrat
Schade kann ich die Exponenten hier nicht setzen. Mit ^2 ist schlechter lesbar.
Statt der Ähnlichkeit kann man auch den Strahlensatz nutzen
Ok, falsch. Gott sei Dank war ich bei den Pyramiden nicht dabei. 🤭
😂
😂😂😂 👍👍👍
Am Ende stand bei mir zur Kantenlänge x: x = sqrt (20). Den Lösungsweg willst du nicht wissen. Deiner ist elegant, meiner stümperhaft.
Wieviel Dreiecke seht ihr 🙂
Quadrat ganz nach links schieben, dann ist x quadrat mal 1/2 x quadrat gleich 5 quadrat 😁
Leider fehlerhaft formuliert.
wenn man schätzt kommt man eig auch auf 4,5² , nur war das nicht gefordert und nicht gerechnet ^.^"
X^2+2X^2=10^2 A=XxX
Schon mal was von Strahlensatz gehört? Sie braucht satte 7 min, um herauszufinden, daß y = 2x. Mit Strahlensatz oder über den Cosinus dauert das 20 sec. Danach steht dann auch sofort der Pythagoras: x^2 = 10^2 - (2x)^2 = 100 - 4x^2 ==> 5x^2 = 100 ==> x^2 = 20 = A
Glaub mir, sie ist mir haushoch überlegen. Ich habe es auch mit Pythagoras gelöst, genauso wie sie erklärt hat und brauchte bestimmt keine 5 Sekunden.
Sie ist wohl doppelt so schnell.
Die 7 Minuten braucht sie um es für jeden verständlich zu erklären.
Es ist ja nur 100 durch 5 wenn man den Lösungsansatz hat.
Ich empfehle ihnen mehr von diesen Videos zu schauen damit sie lernen den einfachen Weg zu gehen
Ist y nicht 2x?
Sieht man eigentlich auf den 1. Blick.
Sehen allein reicht nicht, man muss es halt auch begründen können.
@@lowenzahn3976 dadurch, dass die Hypotenuse 10 ist & die längere Kathete von 10/2 X ist ... stelle um => Y = 2X
War jetzt nicht so das Problem.
Das ergibt eine Steigung von 50% (X / 2X = 1/2) und damit sind auch schon alle Winkel bekannt.
16 durch wissen.