dy/dx は分数なのか
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- Опубліковано 12 лют 2024
- 今回は, 導関数dy/dxは分数扱いしてよいのか議論します。
間違いの指摘はコメント欄にお願いします。
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/ hatomatzu
[1] 高木貞治, 『解析概論』
[2] 高瀬正仁, 『dxとdyの解析学』
[3] Terence Tao, Analysis Ⅰ
[4] 角田譲, 無限小(Infinitesimal)の意味と形式
www.mathsoc.jp/publication/tu...
[5] Stack Exchange, Notation for partial derivative of functions of functions
math.stackexchange.com/questi...
[6] Stack Exchange, Newton vs Leibniz notation
math.stackexchange.com/questi...
[7] Wikipedia, One-form (differential geometry)
en.wikipedia.org/wiki/One-for...)
[8]Wikipedia, Notation for differentiation
en.wikipedia.org/wiki/Notatio...
[9] More than infinitesimal What is dx
math.blogoverflow.com/2014/11...
[10] Mikhail G. Katz, David Sherry, Leibniz's Infinitesimals, arxiv.org/abs/1205.0174
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#数学 #微分
分数じゃないのにあたかも分数として使えるような記法を生み出したライプニッツが天才だったと言うお話
そこそこ長く数学やってきて今ではそれなりに扱えるようになってきたけど、初めて習った時はこれだいぶ頭を抱えた。
こればっかりは、「正しいことを全て覚える」ではなく「間違った覚え方で解かない」だけを心がけるようにしてるw
同感です。何が正しいかより、何が間違いかっての方がハッキリしてますね
結論から述べるあたりが素晴らしい...
高木貞治の解析概論ざっくり；
点m=(a,f(a))上で、接線上の変動(dx,dy)∈R^2を考えたらdy=f'(a)dxとなる。
変動でdx,dyを考えたので分数としてちゃんと意味を持てる。
(dxは気持ち的には"無限小"だが、代わりに任意の変動を考えることで"無限小"の代わりとみなしている。)
dxって変化するものなのだけど、結局何者なのかって感じがする場合は次を考えれば良い；
点mにおける"x軸方向の変動"は1次元ベクトル空間となるので、基底を∂xと書くことにする。
「Δxだけ変化させた」をΔx を係数と見てΔx∂xで表す。
すると、Δx∂xからΔxを取り出す関数がdxとなるが、これは∂xの双対基底に他ならない。
∂y，dyも同様に定義すると、y=f(x)の場合は
dy=f'(a)dx
が成り立つ。
dxやdyを変動の具体的な値X-a,Y-f(a)に置き換えるには、
(X-a)∂x+(Y-f(a))∂yに作用させればよい。
私が高木貞治の解析概論のものを多様体の言葉に直したらこんな感じかなというのが上のなので、怪しかったり詳しく知りたいと思ったら多様体の本を何か読んでください。
分数みたいには使ってたのに意味はわからなかったからこの動画たすかる
「記号dy/dxにおいてdxおよびdyが各々独立の意味を有するから，dy/dxは商として意味を有する」by 高木貞治 on 解析概論
数学科を卒業した社会人です。
とても面白かったです。
変数分離法の微分方程式の解き方を知った時にライプニッツの記号はよくできているなぁと思った記憶があります
無限小の分数って考えが物理的な理解に役立つ事が多々ある
7:28 の極限による定義が不備であるとの指摘がありました。極限の収束先が実数でない,未定義の概念になってしまっています。つまり中盤の説明は数学モドキなので当てにしないでね
所謂代数的な分数ではないけど、分数と同じ性質がいくつか成り立つので、抽象的な意味で分数と見做すことが出来る事もある、というのが誠実な説明なのかな、と思ってます。実数体と体の違いみたいな。
これ高校の時に全然理解できなくて先生に質問したけどはぐらかされた記憶があってずっと腑に落ちてなかった
こんな難しい説明をしないと正確でないとしたらはぐらかされた理由については納得だな〜〜（内容は全然分からなかったけど）
最初はニュートンのダッシュでも良いかと思ってたけど、合成関数の微分のところで dy/dt dt/dx = dy/dx がでてきて、よく出来てるなーと思ったかな。
高校数学では、dy/dx は分数ではない、と教えながら、実際には「あたかも分数のように考えて」と言い訳しながら（そうして良い理由は述べずに）魔改造を繰り返しています。
これは一部の学生を混乱させる原因になっているので、最初は「分数である」と教えたほうが良いように思います。
実際、⊿y/⊿x の極限として定義しているので、分数と考えても致命的な問題はないですよね。
20:10
d²z/dx² は (d/dx)²z から来ているので､分母dx² は (dx)² の括弧を省略している､dx を一字と見ている､と私は捉えています｡
逆に分子は d(y²) と捉えると､ライプニッツ記法と微分作用素を同一視でき､
こうすると約分の下りでは必然に正しい変形を考えざるを得なくなります｡
分数の極限だから分数と関連していて、分数と同様の性質を持ってはいるが、分数とは異なる性質も持っているので、分数そのものではないでしょう。それでもまだ分数かどうか拘る理由は、たまたま分数の記法が慣用的に用いられているから心理的に落ち着かないという以上のものではないでしょう。
2回掛けると0になるということに着目して実数に無限小量を付加したのが二重数ですね。コンピュータでの自動微分に応用されています。
補足ありがとうございます。自動微分全然知らなかったので勉強になります。
双対数
僕は高校でdxやdyを無限小の量と考えるとすごく微積が理解できました。しかしなぜdy/dxは分数ではないという人がいるのかとても疑問に思ってました。ただ今回の動画でdyやdxは実数ではないから厳密には分数ではないということでとてもすっきりしました。ありがとうございます。でもやっぱり僕は分数のように扱います。
すごく楽しい！
Спасибо за видео!
ラグランジュのやつが一番わかりやすい
ライプニッツの記法は置換積分の公式
∫f(x)dx=∫f(g(t))g'(t)dt (x=g(t)と置換)
について、
dx/dt=g'(t)
なんだけど両辺にdtを"形式的に"掛けることで
dx=g'(t)dt
となってあたかも代入しているような操作をしているように感じられるというのが良いところ(混乱のもとでもあるが…)
微分方程式でも、たとえば恒等的に0ではないxの関数yが
dy/dx=-xy/2 (x=0でy=1)
を満たすとすると多くの人は
dy/y=xdx
として両辺に∫をつけるというやりかたで計算するけど、実際は
(1/y)(dy/dx)=x
の両辺をxについて積分する(ここでもdxがキャンセルされるように感じられる)ことでほしい計算結果
y=exp(-x^2)
を得ている
ライプニッツの記法は分数ではないというものの、変数分離形の微分方程式を解くときにはまるで分数のようにdyとdxを分けてしまい積分記号をくっつける、なんていう記法が散見されますよね。
二回微分のとき刻み幅が変化する可能性もちゃんと考えるとライプニッツ流でも大丈夫
ddy は本来 dd y = p dd x + q (dx)^2 + (極小)
という形で、普段は刻み幅一定なので ddx = 0 だけど
x を他の変数で表すなら ddx を含めて考える。
(d/dx) * y = (dy)/(dx) ですけど、d/dxとdyで意味が異なることに注意ですね。
この話題でdy/dx が分数というのは、超準解析の話ではないと思います。
２次元ユークリッド平面上の余接ベクトル空間の基底dx,dyをとります（動画で微分形式と言っておられたのとほぼ同じです)。そして y=y(x) の曲線の接ベクトル(ようするに接線方向のベクトル）をVとして、Vをdxとdyにそれぞれ作用させたもの、つまりdx(V),dy(V)をあらためてdx,dyと書いてやります（つまり dx=dx(V), dy=dy(V))。
これはら通常の数で、その比 dy/dx は通常の微分と一致します
微分幾何がさっぱりわからないので、その話題を丸ごと省いてしまいました。
曲線の接ベクトルに余接ベクトルを作用させて得られる実数値の比としてdy/dxが得られる理解でよろしいでしょうか？
また接ベクトルがy軸に並行な場合dxがどのような値になるのか気になってます
@@hatomatsu はい、私はそう理解しています（間違っていたら申し訳ありません）
接ベクトルがy軸に平行な場合はdx=0になります
このあたりのイメージは高木貞二「解析概論」のlinesegment.web.fc2.com/books/mathematics/zouteikaisekigairon/zouteikaisekigairon_013.html の図、およびその左側にある説明をみてください。dx,dyが普通の数として導入されています。
@@hatomatsu はい、そのように私は理解しています
接ベクトルがy軸に平行な場合、dx=0となります
高木貞治「解析概論」の第2章微分法、13.微分．導関数 では初等的にdx,dyを導入しています。このdxやdyは通常の実数です
@@yoshi46-319ありがとうございます
少し理解が進みました
解析概論に習って初等的に定義すれば良かったと後悔してます。(そうすると分数でないとの主張もひっくり返りますが)
なるほどこれはいい話が聞けました
22:22
無限小全体の集合L={x∈ℝ*:∀y∈ℝ_[>0](|x|*
超準解析では分数じゃないのですか... 情報ありがとうございます
なにこの最初らへんの文字の羅列、というより顔文字？
コメント欄眺めてて思ったけど、要はこれって分数という言葉の定義が問題の要旨なんじゃないかな。
分数という言葉に「実数(複素数)同士の比」という意味を与えれば文句無しでdy/dxは分数じゃないし、実数や複素数における分数と全く同じ性質を持つ概念を改めて「分数」として呼称すれば、dy/dxを分数と呼んでも良い体系はあると思う
d/dx は演算子とも関数とも
置換積分でもdt/dxを約分みたいなことしてた気がする 誰か教えて
昔は分数たり得たのかつまり今は拡張したので分数ではなくなったのか、最初からそうなのか気になります。受験で分数のように使った覚えがあるんですよねもうはっきり覚えてないのですが。。。
ただ単にこうやったら上手くいく、実際計算してくとそうなる、この記号にしたら汎用性が高いだろう、って決めてるだけなんだよね(もちろん昔の人はこれを実証するのに苦労した訳だが)。基礎というか理論的に理解してないとこういうのは扱いきれない。
7:28
数学の内容とは関係ないですが，ダブルクォーテーションの向きが気になりました．
TeX のクォーテーションのやり方が間違ったやり方してました
物理学科出身で細かい数学的な話は分からないけど、少なくとも物理においては分数として考えて間違えたことはない。
その辺の細かい話は数学科がやってくれると丸投げして、ひたすら計算してます。
変数分離形の微分方程式で、dxを右辺にえいやと持っていって両辺にインテグラルを付ける
そんな解き方でちゃんとテストの点は取れるけど、正しいのかは全然判らない
記法の定義は最初にしなければならない
記法が分かりやすかったり覚えやすいってめっちゃ重要な性質だけど
許される計算規則ちゃんと覚えてないと記法に騙されてうっかり計算ミスしちゃうってデメリットもあるよね
1
=1^(1/2πi)
=(e^2πi)^(1/2πi)
=e
みたいな
2階微分は本来はd²y/dx²ではなく、d(dy/dx)/dxと書くべきなのを省略記号として書いているので言い掛かりにしか見えない
3階微分をd(d(dy/dx)/dx/dxと書くのが嫌ならd³y/dx³という一貫性を捨てた記法を受け入れるしかない
sin⁻¹x • sin²x = sinx でないのと一緒
おっしゃるとおりで, 言いがかりのところは誇張して話しました
Δy/Δxなら分数だけどこれの極限がdy/dxだからそりゃ分数そのものではないでしょ、と静観してたわ……
私は分数派、なぜなら、
リーマン・リゥヴルの非整数階積分
A>0 ,D=d/dx として、
(1/A)^s
=int[(t^(s-1))*exp(-A*t),t=0..∞]/gamma(s)
と言うガンマ関数の公式で、
A→Dを『代入』して、右からf(x)をかけると、
exp(-D*t)*f(x)=f(x-t)なので
f(x)のs階セキブンをF(x)とすると
((1/D)^s)*f(x)=F(x)と読め、
F(x)=int[(t^(s-1))*f(x-t),t=0..∞ ]/gamma(s)
となる。
高階微分の記法のところは微分作用素的な書き方ってわけではないんですかね？
ざっくりいうと「微少量」の分数よね。だから微少量同士なら「通分」できる。
100%分数に決まっている(物理過激派)
dyやdxの意味は考えないので分数表記はただの記号とありますが、普通にdy(x,dx)＝y(x+dx) - y(x)として関数及びその変数として定義して、微分自体をyとxに対する式ではなくdyとdxの分数として定義しても何も矛盾無いと思います。
高階微分、多変数、陰に依存する関数に関しても単に記法の定義が悪いだけで、微分を逐次新しい関数と定義して常に1変数１回微分の表記に帰着させれば、こちらも分数としての性質を破っているわけでは無いことがわかると思います。
例えばf(x(t),y(t))をtで微分する場合などはどう考えますか？
(個人的には線型写像の合成と見るのが1番筋がいいと考えています.)
その定義でy=x^2を考えるとdy/dx=2x+dxとなりますがどう整合性を取りますか？
統計学以外、数学はほとんど使わなくなった社会人です。晩酌をしながらUA-camを見ていたら、この動画がなぜか出てきて、結局最後まで見てしまいました。真ん中あたりからはきつかったです。
酒がかなり醒めてしまったよ。でも、久しぶりで面白かったなぁ。
limx→0(f(x)/x) = (limx→0(f(x))/(limx→0(x))
が成立しないってことね
高木の解析概論
lim[x→0]Δy/Δx=dy/dx
だからなんの計算するかによっては不都合が生じるだろうなあと思います。
動画完走してないので言ってたらすんまそん😢
無限少量dxの2乗は本当に0になるのか？dxが決して0にならない限り、dxの2乗も0にならない気がするけど。いくら小さすぎても無視して0にするのは間違いじゃない？
yの全微分dyとxの全微分dxの商dy/dx
当たり前ですが、dxやdyを定義しないとdy/dxを分数として扱えないのですね...
dが立体になったり斜体になったりしていて、統一感がないと感じました。もしdに何らかの思想をお込めになっているなら、それを明示していただけると有り難いです。
動画内では立体dに揃えたつもりでしたが斜体dが混ざってましたね、紛らわしくてすみません
サムネはあえて斜体にしてますが、意味に違いはないです
大学でdy/dxは分数でないと口酸っぱく教わりましたが、Michael PennさんのUA-camとか見てると分数としてバンバン扱ってる場面が多くて驚いたことがあります。厳密性は大事ですが場面によっては分数とみなして応用力を高める必要もあるかと思います。まぁ、日本ではdy/dxだけ分数と違ってディーワイディーエックスと発音させられますが、英語では2/3もツーオーバースリーですから、違和感が小さいのかもしれませんね。
私も微分方程式解く時は分数のように使ってます
「微分」と「微分する」の使い分けがはっきりしていればもっと良かった。接線の傾きを求めるのは「微分する」の定義です。
ありがとうございます。混同してました
以前に某予備校講師がやってるチャンネルでdy/dxは分数なのか？という質問をしたら、分数なので通分も約分もできるという返信が来ました。dxは微小なx、dyは微小なyでdy/dxは微小な変化の割合なので私も分数だと思います。
微分を習ったけどいまいち納得（整理）できてない高校生にとってはかなり良い動画だと思った。
はとまつ先生
ごぞんじでしたら教えてください。
「行列」の積（乗法）には、通常使われる積以外の積もあるようですが、
通常使われる積には、何か名前が付いていますか？
よろしくお願いいたします。
（参考）
ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E4%B9%97%E6%B3%95
先生ではないので先生呼びはやめてくださいっ。僕の知る限り、通常の行列の積は「行列の積」しか思い浮かびませんでした
@@hatomatsu
ありがとうございました（つまらない質問で済みません）。
@@an337 どういたしまして、質問の意図がわかりやすかったので答えやすかったですよ
@@hatomatsu
最近チャンネル登録させていただきました、今後ともよろしくお願いいたします。
@@an337 ありがとうございます。こちらこそ、よろしくお願いします
なんかアレやろ
英語の動詞みたいに変数を修飾する感じやろ
で、逆数とると対義語みたいな関係になって結局何もしなくなる（1をかけるみたいな感じ）になるってヤツやろ。
高校生の時に大体の人が考えるやつですね。特に合成関数だとか逆関数、媒介変数の微分の時にあたかも分数のような計算で求めるから、余計ややこしい。
追記 同じこと動画内で言っとるわ笑
ライプニツ記号の最大のメリットの１つに、n回微分のnを実数に拡張できるという点があります。他の表記法では、この拡張を連続的に表記するのは不可能ですね。
コメントありがとうございます！これは大変興味深いです
「分数階微分」ですか。主にライプニッツ風の微分作用素(d^α/dx^α)を使うようですね。
他にもd/dx∮f(x)dx=f(x)とか分数的に扱ったから上手いこと消せて両辺が一致するなぁって考えてた。
細かいですが16:50の逆関数はxとyが逆じゃないでしょうか？
普通はxを独立変数、yを従属変数で表すのでy=f-1(x)とかy=g(x)と書きますが、ライプニッツ記法の左辺に合わせてxとyを逆に書いてます。あまりこの書き方は推奨されません
ツイッターでdx/dyが約分できてx/yって言ってる人がいましたねえ
定義によっては正しい
私の通っている大学の理論物理の教授が、我々は所詮無限小という大きさを考えることはできないからdy/dxは分数だよ、みたいなこと言ってたけど、これは物理だからなのかもね。
dy/dxは分数でしょ！！←
分数だけどdx=0、dy=0の超微小変化量で0/0の不定形の分数のイメージがあります
元々の微分や積分の成り立ちを考えるとちゃんと分数だけどそこから高次元に進んだら常に分数になる保証はないですよね
ライプニッツも分数だと思ってたからこの表記にしたんじゃない？
確かそうです
特殊な分数って話であって、それ以外の話は言葉遊びじゃないの
理系高校生の8割が頭を抱えるとこ
私も頭抱えている
初見です、一つ質問があります
21:10の動画の中にあるライプニッツの記法の注意点について、下から２行目にある
「d²z/dx² = d(dz/dx)/dx = d²z/dy²・(dy/dx)² + dz/dy・d²y/dx² は正しい」
とされていますが、実際は
「d²z/dx² = d(dz/dx)/dx = d(dz/dy・dy/dx)/dx = d²z/dxdy・dy/dx + dz/dy・d²y/dx²」
と右辺の第一項目が間違えているのではないかと思ったのですがどうでしょうか？
第一項の因数 d²z/dxdy をどのように表示するかという違いだと思います。
dx/dy=g(y) とおくと, 連鎖律より
d²z/dxdy = d/dx(g(y)) = d(g(y))/dy・dy/dx =d/dy(dz/dy)・dy/dx = d²z/d²y・dy/dx
と考えました。
まだ間違ってたら教えて下さい
団塊のジジーです、たまたまここに飛び込みました。
高校時代は教室でよく寝ていたのですが、あるとき目が醒めたら「dy/dx=dy/dt・dt/dx」と先生が分数計算をやっていました。「dy/dxは微分の記号であって分数ではないはず」と私が言ったものだから先生は「今まで寝ていた者のくせに・・・」と不機嫌そうな顔で説明。納得できなかったが「ここだけはそうヤレッ！」でパス。
懐かしい思い出です、ありがとう！
質問よろしいでしょうか？
ニュートンも分数と思っていたのでしょうか？
また、純粋数学の立場からは分数として認めることはできないということですか？もしくは、数学界だけではなく、一般的に（その他の一般理工学分野などでも）dy/dxは分数としてみなすべきではないということなのでしょうか？分数とみなした場合の現代科学・工学における😮現実的な弊害としてはどんなものがあるのでしょうか？
わいがダックスフンドる。
dy/dxをある面において分数として扱えるのは、Δy/Δxが分数だからですね
ちょっと数学難しいから、猫ミームで説明お願いします🥺
いや、僕は分数だと思いますよ。詳しくは高木の解析概論を読んで下さい。
Xを定数とし、
Δx=X-xと定義して(このΔxは無限小量ではない)、
dy=f‘(x)Δxと定義すれば、
(x)’=1より、dx=Δx
したがって、dy=f‘(x)dx
よって、dy/dx=f’(x)
要は分数関数を分数と認めるならば、dy/dxも分数じゃない？って思うわけです。
yがベクトルならdyとf'(x)がベクトルでdxはスカラーですよね？dy=f'(x)dxはベクトルのスカラー倍の等式であり、dxを移項して「ベクトルのスカラー除算」にすることはできないと思います。dy*1/dxとするなら分かりますが、一般的にdy/dxが分数(つまり/が除算記号)と言うことはできないと思います。
分数関数は分数ではないのでdy/dxも分数ではありません
多項式のなす環を考えて商体を作れば除算が定義されるので、多項式の分数はありますが、分数関数とは似て非なるものです
そもそも「分数」とは何かの認識が各々で異なっているから議論に齟齬が生じている。dy=f'(x)dxなのを表すために形式的にdy/dxと書いているのか、/を除算記号として用いてdy/dxと書いているのか、そしてそれらを分数と呼ぶのかの話をしてもらいたい。個人的には分数は除算記号を用いた表現のことであり、dy/dxの/は除算記号でないため分数でないと考えている。例えばyがベクトルのときdyもベクトルになるがベクトルに除算はないからである。
dy/dx = y/x だから分数ですね。
？？？
赤りんご
結局厳密なのはε-δ論法なんだから何でもいいや
普通にx/yでしょ
dy/dxは分数で良いのではないですか？ 特に微積分の実用的イメージ面を考えたら、その方が有用です。
分数で考えて良いのだけれども、dy/dxのdyとdxとをあたかも無関係な数のように分離して捉えてしまうところに誤解や問題が生じるのではないでしょうか。その意味で、この動画の解説は『定義』や『表示形式』の議論一辺倒で善し悪し判断を下そうとしているように受け取られ、少々違和感を感じます。
「dy/dxを分数として捉えて良いのだが、あくまでdyとdxが紐付けされてますよという前提を崩さない範囲内での話である」という風にすれば、特に不都合は生じないと思います。
今はまあまあ分かるようになったが（俺じゃ、完璧とは口を裂けても言えない）、微分形式勉強してた頃は凄い混乱した記憶
今回の話とは多分ずれるけど
間違いです。それは分数です
私の高校の時の先生は、dx/dyが割り算でないことをちゃんと説明しないまま、授業を進める先生でした。最悪～～～～～
こんなしょーもないことを授業でいちいち説明するほうが最悪
ツイフェミのあのツイート？
「y=axとおけばa=y/xと表せるから分数です」という説明は詭弁だろう。「xとyをそれぞれが意味を持つ量として定義した上でa=y/xと表せるからaは分数だ」という説明をするべき。
日本語も英語もでぃーえっくす分のでぃーわいじゃなくて、でぃーわいでぃーえっくすと読むから分数ではない
この動画は全然ダメ…