え？東京大学で公式証明の問題が出たんですか？？
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- Опубліковано 17 жов 2024
- ※実際の入試では三角比の範囲での証明ではなく、一般角θでの証明問題が出されました。
ただ、編集の都合上、どうしても作るのにあまりにも労力がかかってしまうので、シンプルな解説となっております。
どうかお許しください..これでも作るのに15時間くらい掛かってるもので..
・動画で使用した素材
GAHAG 様 東京大学の校舎でございます。どこから引っ張ってきたかは忘れてしまいましたが、
著作権フリーの東大校舎写真のサイトを貼らせていただきます。
gahag.net/
MusMus様
musmus.main.jp/
Hmix様
www.hmix.net/mu...
・参考にさせていただいた証明方法
www.chart.co.j...
![[UA] NAVI vs MOUZ | BO5 | IEM Rio 2024](http://i.ytimg.com/vi/CMBYk0cbGoA/mqdefault.jpg)
最後、尺の都合で端折ってしまったcos(α＋β)の導出方法をこちらに書いておきます。
少々解説が雑で申し訳ありません..
sin(90°−θ)=cosθという性質があるので,θをα＋βに置き換えて
sin{90°−(α＋β)}=cos(α＋β)という等式が成り立ちます。
sin{90°−(α＋β)}を、sin{(90-α)＋β}として加法定理を適用すると、
sin{(90°-α)＋β}=sin(90°−α)cosβ＋cos(90°−α)sinβという式が得られます。
sin(90°−α)=cosθ
cos(90°−β)=sinθなので、sin{(90°-α)-β}=cosαcos(-β)＋sinαsin(-β)、
つまりはcos(α＋β)=cosαcosβ-sinαsinβが得られます。
訂正5:57 こちら、正しくはsinαcosα+sinβcosβです。申し訳ありません..
最後ってマイナスじゃないんですか？
@@らーめん-h6s そうですね..訂正いたします。
間違ってるのは{90-(α+β)}を{(90-α)+β}で置き換えてる所から
数学だから、角度はラジアンでないと違和感ある… せめて90°にしてくれ。
@@クッキー-o3g申し訳ありません..
とりあえず度数を入力させていただきました。
東大「てめぇらまさかとは思うが証明出来ない公式なんか使ってねぇだろうな？」
という東大からの熱いメッセージ
ていうか、円周率無理数ってちゃんと証明してから使っている？（By 阪大）
授業ちゃんと受けてなかったせいで、加法定理の理解を曖昧なままにしちゃってたから助かります…！
開成でも同様の問題出されてた記憶。円周率の定義とか、解の公式の証明とか。
最高峰の学校で、きちんと基礎とか公式の背景まで抑えてるか問われるのは面白い。
ちゃんと小学生からやり直さないとダメだ……
なるほど、三角形の面積を求める計算ってこういう事に繋がるんか……
うわー、無理だ……
すげえ納得できた！！
神動画ありがとう
ぜひ一般角の方もおなしゃす‼
ありがとうございます！
いつになるかは分かりませんが、また一般角での証明方法も紹介いたしますね。
いつも楽しませてもらってます。鳥数学シリーズマジで好き。
次も楽しみにしてます。
これまでにやってきた公式を全て証明してからしか使ってはいけないという縛りプレイしてて良かった〜///
毎回、公式の途中式を追ったら等しいことの理解はできるんだけどなんで急に変なもの足して来たり引っ張って来るのかわからん…数学者は変態ばっかだな〜♡
オイラーの多面体定理証明しないと使えないのつらすぎる
@@にいと-f8y中二で数3はすげえわ
@@にいと-f8y🤓
>なんで急に変なもの足して来たり引っ張って来るのかわからん…数学者は変態ばっかだな〜♡
殆どの場合は問題周辺の膨大な試行錯誤があって，関わった人数も一人だけではない事も多い．
うまくいった結果をその苦労した過程を省略して要領よく記述して後世に伝えているだけ．
高校で大学数学学ばなければならなくなるのかわいそう
これ一問目で定義聞いて二問目で定理を証明させるのが面白くて、ちゃんと一問目で答えた定義に則って証明しろよっていうメッセージが隠されているんですよね。
小手先のテクニックとか記号的操作に長けているかどうかだけではない、真の数学的素養を問う素晴らしい問題だと思います。
オイラーの公式使うなら
三角関数もテイラー展開で定義しとけよっていう意図が見えて面白い。
校舎が喋るとかもうここ4次元なんかな
新しい方向からの発想やな
かっこいい大学いちねんせいになるためのだいがくさんからの試練やぞ
画期的な大学だな(棒)
問題が話してる方がどうかしてるわw
多様性の時代.....(?)
これベクトル使うとsinとcosそれぞれの加法定理を簡単かつ一瞬で導けるよね
ベクトルを回転させるってことでしょ？
@@shu_saku-n6z 回転はさせるね。本質は射影または内積だけど。
これ内積で出すやつ感動した
リクエスト聞いてくださりありがとうございます！北大ピチピチ建造物目指して頑張ります
半年位経ってしまいましたが、何とか作れて良かったです。リクエストありがとうございました。
応援しております！
教科書的には
点A( cos(α), sin(α) )と
点B( cos(β), sin(β) )なる点A,Bを定義して
線分ABの長さを求めるって感じだったと思う。
2点の距離は { (x_a - x_b)^2 + (y_a - y_b)^2}^0.5 で表せるので
AB^2 = ( cos(α) - cos(β) )^2 + ( sin(α) - sin(β) )^2 = 2 - 2 cos(α)cos(β) -2 sin(α)sin(β)
幾何的に（余弦定理の証明と同じやり方でやればOK）
AB^2 = ( OA・sin(α-β) )^2 + (OB - OA・cos(α-β))^2 = OA^2 + OB^2 -2OA・OBcos(α-β)
（0< α, β
皆が暗記している公式の代表格をまさか証明といった形で試してくるとはね。流石、東大です。
折角定義からさせてくれてるんだから、冪級数で定義するのが手っ取り早いのかな。東大側の想定のうちの1つでもありそう。
素人感なんだけど、幾何学的な定義ってsinx/xの循環とか面倒くさいし、何か嫌ってのはあるかも。
(1)でいかなるΘについてもsin Θ=cos Θ=0と定義すれば楽勝説ほんと好き
αが90未満ってことは
負とπ/2以上は含まれr(弧度法中毒者)
きんも
昔から東大はこんな感じのど基礎を深堀する問題が伝統芸。変わってない。
数学の公式覚えられんくて、ほとんど導出過程を覚えてたけど、加法定理は導出よりも公式の暗記の方が楽で導出覚えてなかった数少ない公式だからテストで出たらマジ泣くわ。
編集お疲れ様です。鳥さんｶﾜﾖｲ
普通にベクトルを90度回転して、それともとのベクトルを基底にcos分、sin分進めば、cosとsin同時に証明できるなぁ
そうにきまってる
音と数の神
今だと真っ先に思いつくのこれだけど、高校生時点で思いつけるか怪しい
@@kh_d23高校生ワイ、複素数平面からインスピレーションを得る
左に理学部棟映っててすき
理学部が左？（難聴）
これって図形以外の式だけによる解法はあるんですか？あったらめっちゃくそ簡単に概要だけ知りたいです。
図形を使わないで数式だけでの証明だと、オイラーの公式を使った解き方がありますね。
e^iθ=isinθ+cosθを用いた証明です。
@@pacho731
ありがとうございます。
今度調べてみます！
@@pacho731
小問１でe^iθの実部をcosθ、虚部をsinθと定義できたら
小問２の加法定理証明は掛け算で簡単に終わりそうですが、
小問１の定義のためにe^iθ、cosθ、sinθのマクローリン展開が必要で、
マクローリン展開をするためにcosθ、sinθが先に定義されてないといけないように思えて、小泉論法になりそうなので、うまくいく方法があれば教えてください
@@bufferie3810
そうですね..マクローリン展開は三角関数の微分を前提としているので、引っかかるのはlimh→0 sinh/hでしょうか。
ここの部分の循環論法が解消されれば大丈夫かと思います。
@@pacho731
この問題、加法定理の証明と見せかけて、
「（１）で述べた定義にもとづき」、矛盾や循環論法にならない
論述を行いなさい、という問題なのかな、まるで現代文だ。
明後日どんな問題でるか楽しみ☺️
2完半はしたいな
行列使った証明になっちゃうけど
(cosα,sinα)っていうベクトルをβ回転させるのが一番楽かつ完結だと思う
でも(a,b)をθ回転させたベクトルが
cosθ(a,b)+sinθ(-b,a)になるのは幾何的に説明できるので現課程の範囲でもできそうですね
複素数使えば1発じゃない？
@@sk-yx8cjそれ循環論法なってない？
大丈夫？
@@zouo-from-Taikonotatsujin
複素数上の冪級数で定義するってことならなってないんじゃないかな。普通三角関数とかの初等関数は冪で定義するし、それでやるのが1番早い気がする。
@@sk-yx8cjドモアブルの定義使ったら思いっきり循環論法になりますよ
高一の教科書に普通に載ってるレベルの問題出るんだ...
先生によっては定期テストレベルの問題な気がするけど、、、
加法定理は内積使ったら一瞬でcos(α-β)は出せるからそのあとは変換公式ゴリ押せばよいかと
公式は暗記するもんだと思っていると点数がとれなくなりますよと言うメッセージを含んだ設問ですね。受験生は気を付けましょう。
お疲れ様です！
ベクトル(cos (-a), sin(-a))とベクトル(sin b, cos b)の内積がcos(a+b)になるってのが好み。
余弦定理しか使っていない
今後出そうな問題
「円周率が一定であることを証明せよ」
この問題なつかしいな
え！いいの？ってみんな驚いてた
生物だけが生きてるわけじゃないことを証明せよ。
うむ。 ←かわいい
本番でページめくったらいきなりこれで頭真っ白になった40代のおっさんが来ましたよー
2番複素数（だったかな？）3番確率が比較的解きやすくて
そっちを先にやってから落ち着かせて取り組んだ思い出
俺ならとけるぞ！
「いいんですか」が「do you understand?」にしか聞こえへん
ド・モアブルの定理使えば証明できるゾ（循環論法）
左下の鳥がいつもレインボーになっていて、まるで777みたいなノリですね
この年に受験しました。
割と本気で唖然としたのを覚えています。
「天下の東大で加法定理！？」って。
あと滅茶苦茶面倒くさい積分計算させられた挙句、
その値の大きさを評価(証明)したりしたかな？
とにかく時間が足らん。
(cosα,sinα)をβ回転させるのを行列演算すると
xにcos(α+β)
yにsin(α+β)
が出る
ちょっと理学部1号館が見えてるの面白い
加法定理の証明のこのパターンは定期テストレベルじゃね
一応加法定理の証明教科書に載ってるんだよね....
これを待ってたぜ🎉
マトモな受験生が大多数ならこんな馬鹿みたいな問題はでなかったろう
東大のこの伝説の問題、懐かしいな〜
「現代文の」先生がゆってたやつや！笑
なんか後半共通テストみたいで頭が痛くなった
これちょーーど昨日学校の赤本コーナーで2000年とかの赤本見つけて友達と見たわこの問題w
ベクトルはすべてを解決する
センターでも弧度法の定義出されたから
皆腰低くて好感が持てますね。
最初は問題ちゃんもご機嫌ヨークシャーテリアとか言う偉そうなお嬢様だったのですが、しっくりこなくてやめました。
こっちの方が作ってて気持ちよかったです。
とりさんかわいい
感動
感謝
オイラーの定理使うとこんな感じ
e^iθ=cosθ+isinθから
e^iα=cosα+isinα
e^iβ=cosβ+isinβ
sin(-θ)=-sinθ cos(-θ)=cosθ より
e^±iβ=cosβ±isinβ (複号同順)
これで、オイラーの公式より
cos(α±β)+isin(α±β)=e^i(α±β)
=(e^iα)x(e^±iβ)
=(cosα+isinα)(cosβ±isinβ)
=cosαcosβ∓sinαsinβ+i(sinαcosβ±cosαsinβ)
実部と虚部に分けると
cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ
sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ (複号同順)
(Q.E.D)
ベクトルじゃないといけないという東大がおかしいんだよね。これで良し。
京大「お前の好きな数をお前の入試の点数にしてやるぞ」
0☺️
加法定理の証明なのにπ-αとかπ/2-αでのsinとcosの変換を使うのは正直どうかなって思う。これから証明していく定理を使ってるやん。
まあ..三角関数の定義からsin(π/2-θ)=cosθは明らかですので...
ちょっと違うけど
基礎問題精巧に証明法が載ってた気がすんな
カカポォテェーリーﾃﾞｽｶｰ
あれ、昔の入試試験じゃなかった？
って思ったら昔の問題の解説だった。
オイラーの公式だと何点になるんだろう
設問だけ見ると、「えっ、マクローリン展開で説明するん？」とか、「極形式の複素整関数で片付く問題じゃん」とか思わされて、実は小問で加法定理の証明でしたとかブチギレる展開
ところで、台形からプトレオマイオスの定理(トレミーの定理)を使う展開もあります。
単位円書いてαと-βを書いて距離を求めればいい
とある大学が東大に聞こえるのうぇい
これたしか標問にのってるよね
今日受験終わって見に来ました。
お疲れ様です！
台形から引くsinAsinB+cosAcosBって違うような・・・
申し訳ございません..編集ミスです..
@@pacho731 いえいえ、sin(A+B)からの証明、参考になりました。
cos(α＋β)の証明の方が圧倒的に多いですから。
この問題、マジで嫌い
加法定理を満たす連続関数として三角関数を定義するぞ
うるせぇ！鉄球ぶつけんぞ！（未遂
内積でcos(α-β)示して他を調整するのはあり？
それもありですね。いろいろなやり方があると思います。
複素数の回転で解けたりするんかな
覚えててよかった(？)
点の距離と余弦でいけそう
オイラーの公式使うと一瞬
湿潤パンパおけ
4:57 ここのsincosが間違っているので注意ですね。
sinAsinB+cosAcosBではなくsinAcosA+sinBcosB
が正しいです。
あ..ありがとうございます。訂正いたします。
ですよねー。良かったーsinAsinB+cosAcosBで悩んでしまいました。
普通に学校でやったんだが
正味、ベクトルでcos示してからsinが1番楽だし高校範囲でもいける、、？
幾何的に求めて一完ってわけにいかないのかな？
最後のcosの変形が何やってるか分からない💦何方か教えて欲しいです
ヒント
sinとcosの関係
申し訳ありません..最後の部分は少々説明不足でしたね..
sin{90−(α＋β)}についてでしょうか。
sin(90−θ)=cosθという性質があるので,θをα＋βに置き換えて
sin{90−(α＋β)}=cos(α＋β)という等式が成り立ちます。
sin{90−(α＋β)}を、sin{(90-α)＋β}として加法定理を適用すると、
sin{(90-α)＋β}=sin(90−α)cosβ＋cos(90−α)sinβという式が得られます。
sin(90−α)=cosθ
cos(90−β)=sinθなので、sin{(90-α)-β}=cosαcosβ-sinαsinβ、
つまりはcos(α＋β)=cosαcosβ-sinαsinβが得られます。
なんで英語に聞こえるの？
英語の合成音声を無理矢理日本語出力しているので..
party parrotってこれがスタンダードなんやで
丸暗記良くない言われても、このレベルだとそんなん知らねーよってなると思うけどな、作問者だって受験生時代そんなん意識せずに使ってたでしょ。
公式の証明系は後出しジャンケン過ぎるから結構理不尽な気がする、外野は他人事だから東大からのメッセージ👊👊😁とかテキトーなこと言えるけど、当事者からしたら迷惑な話よね
2:42 オイラーの公式の定義に三角関数あるから循環にならんの?
オイラーの公式は三角関数の定義に基づきマクローリン展開を用いて証明出来るので、恐らく循環論法にはならないかと思います。
もっと言えば、
マクローリン展開を
(その定義域を)複素数に拡張した
指数関数と三角関数を用いてオイラーの公式は定理と示さる
この立場ではオイラーの公式に加法定理は不要です。
これ授業でやったからできた
東大って,校舎まで『カシコイ』んだね。
自明である。
本気でこの問題出したのだろうか？
三角関数は二重定義の気がする。チャットＧＰＩでも怪しい返答だった、私はこう答える。
cosθ=1−θ²/2!＋θ⁴/4!−
sinθ=θ−θ³/3！＋
これは二階微分方程式の解でべき関数です。
普通は、直角三角形のx y r〜
オイラーの公式使ったらだめかね
循環論法説もある
@@Fumao2 危険だ…
まあ同次元なはずないよな
三角can数
複素数平面でok😁
なんで△AOBが1^2×sin(α+β)×½になるのか誰か教えて😭
ある三角形を長さa,b、その間に挟まれた角をθとすると、その面積はsinθを用いて1/2×sinθ×a×bという風に表すことができます。(これについては三角比の定義から証明が可能ですので、ぜひとも調べたり自分で導いていただけると幸いです)
そして、今回出てきた∠AOBは、180-(α＋β)という風に表すことができます。
また、三角比の定義から導かれるsin(180°-θ)＝sinθという事実から、sin∠AOB=180-(α＋β)=sin(α＋β)という式が成り立ち、先ほどのsinθの三角形の公式に当てはめると、△AOBの面積は1/2×sinθ×a×bというになります。
単位円とかって関係なかったっけ
あやふや
行列使うやつかんどーする
コラム的な
音声ききとりきくいです
すいません..これでも最大限聞こえるように努力はしているのですが..どうしても元が相当に聞き取りにくい音声でして..
なんでこんな喋り方なんですか？
聞き取りにくいので普通に発音してほしい
まあ..本来英語の合成音声を無理矢理日本語で出力してるので聞きにくいですよね..
よく分かります。
これでも何とか聞こえるように工夫しているもので..
カカポは現在の音声のままにしますが、
他は別のもっと聞きやすい音声にしようかと検討しております。