Joli équation. J'avais pas pensé au changement de variable. Perso j'ai fait comme ça : solution évidente x=0. On suppose maintenant x>0, on divise par racine(x), ça donne x=racine(x)+1 racine(x)=x-1. On met au carré et on retrouve une équation du second degré classique.
J'ai réfléchi de la même façon. Le changement de variable ne m'avait pas traversé l'esprit. J'ai attendu jusqu'à la fin pour voir si on avait la même solution. Heureusement d'ailleurs que c'était le cas parce que j'ai douté en cours de route 😂
Bonjour je suis en première et je prépare les olympiades de mathématiques. Je ne suis pas d'accord avec votre raisonnement, dans ce genre de concours il faut minimiser les calculs, j'ai d'abord passer tout le monde à gauche puis factoriser le tout avec √x, on obtient √x(x-1-√x)=0 donc une équation produit nul. Donc x=0 Ou x-1=√x x^2-2x+1=x x^2-3x+1=0 Delta égal 5 et on retombe bien sur la solution (3+√5)/2. Et donc les calculs sont plus simple avec ma méthode.😁 Bonne journée !!! Sinon encore de belles vidéos, un beau travail !!!
Je trouve que sa méthode est plus propre, plus élégante et pas vraiment moins rapide. Mais après y'a souvent plusieurs chemins pour arriver à la bonne solution.
@@LeoFouard-hu1pq bonjour vous faites des fautes de grammaire surtout: j'ai *passé puis *factorisé (passé composé et non infinitif) les calculs sont plus *simples au pluriel et dans votre réponse c'est "je les *vois" pas "voit" (première pers. du sing.) mais sinon merci pour votre méthode alternative de raisonnement et bonne chance pour les olympiades 😉
On peut aussi faire passer les racines du même côté de l'équation et élever au carre. Joli problème en tout cas! (Il faudra soigneusement justifier l'élévation au carré...)
Pour la fin, quand on a trouvé x=t^2 avec t=(1+rac(5))/2, plutôt que de calculer le carré de t on peut se rappeler que t^2-t-1=0, donc que t^2 c'est aussi t+1, ce qui est plus facile à calculer.
pour ceux qui connaissent le nombre d'or (Phi) le résultat non nul est évident, on sait que : Phi * Phi = Phi +1, donc t (la racine de x par changement de variable) est égal à Phi, donc x = Phi +1 Mais le nombre d'or n'est pas, à ma connaissance, quelque chose qu'on apprend en première, toutefois
Je pense que maintenant que notre professeur s'est fait choper en ayant fait une erreur il va transpirer à chaque fois qu'il publiera une nouvelle vidéo 😂
Pour le changement de variable "à l'envers" à la fin, on avait la solution sans calcul ou presque à partir de l'équation intermédiaire t²-t-1, d'où on sortait que facilement que t² = t+1 (ou plutôt phi +1 car évidemment c'est le nombre d'or).
Perso j'ai quand même une question... lorsque tu affirmes que le premier "candidat" ne peut être retenu car une racine ne peut donner un négatif mais que, par la suite, tu élèves au carré... selon moi tu obtiens un nombre positif. ((1-√5)/2)² est bien positif. Où est-ce que je me trompe ? Sinon, toujours impec ces vidéos, bravo ;)
@@thomaschristophe2196 m'avance pas. Imaginons prendre la ligne avant t=√x donc x=t². Remplaçons t par sa valeur et élevons au carré...le résultat est positif. Ce qui est dit dans la vidéo n'est pas que le nombre sous la racine doit être positif mais bien quelle racine d'un nombre me donne un résultat négatif. A mon sens c'est une question de formulation plus que de maths pures. Merci pour la réponse ;)
@@samuelgillard7887oui mais t ne peut pas etre négatif sinon on a pas le droit d'élever au carré. Je sais pas si ça répond à ta question du coup...(D'une phrase fausse on peut déduire n'importe quoi y compris du vrai) (1 - racine(5))/2
@@smartcircles1988 ce n'est pas son opposé. et ça n'a pas vraiment d'importance puisque les vraies solutions de l'équation de départ sont son carré et 0
Super video, bravo, néanmoins Il n'y a pas marque de resoudre dans R ! Les prochaines videos il va falloir envisager les solutions dans C, ca permettra de pousser la reflexion encore plus loin. Donc (1-V5)/2 = V(x) marcherait je crois
Bonjour. Quand on développe cette équation, le constat est qu'il n'y a aucune racine dans C. Il n'existe aucun nombre complexe qui peut résoudre cette équation mais seulement 2 nombres dans R (0 et (3 + √5)/2). 🙂
"il faut s'assurer que cette équation existe, qu'elle a un sens" Alors oui ou peut-être non, on demande SI elle a des solutions de les donner, elle n'en a p-e aucune, et la formule p e non définie. Est-ce grave, si on ne prétend pas qu'elle DOIT avoir des solutions?
Les calculs sont bien plus simples en conservant x et en factorisant racine(x), ce qui donne racine(x)(x-1)=x avant d'élever les deux membres de l'équation au carré. On trouve d'ailleurs une troisième solution (3-racine(5))/2, qui est positive
J'ai fait la même chose en favorisant √x mais la solution (3-√5)/2 bien que positive mais ne fonctionne pas si on la replace dans l'équation ..chercher l'erreur ? Le passage au carré fait apparaître cette erreur aos pourquoi
@@alexander8862pour pouvoir élever au carré il faut que les termes soient positifs car la fonction carré est bijective uniquement sur [0, +infini[. Par conséquent a^2=b^2 équivalent à a=b si et seulement si a et b ont même signe
Moi aussi je suis passé par un changement de variable. On a donc y²+y-y²y=0 y(y+1)-y²y=0 y(y+1-y²)=0. Et ensuite j'ai fait comme vous, mais en me faisant piégé comme un bleu par ce fameux y1=(1-√5)/2
Sans changer de variable, on factorise l’équation de départ par ✔️x : ✔️x(x-1) = x. Puis on divise par ✔️x (pour tout x non nul) : x-1 = ✔️x. Dont le carré s’écrit : x^2 -3x +1 = 0, et qui se factorise en : (x-3/2)^2 - 5/4 =0. D’où la seule solution positive : (3+✔️5)/2
Bah de manière évidente visible tt de suite 0 est solution. Donc une fois que ça c'est dit on peut diviser par x des deux côtés. √x = 1 + 1/√x √x - 1/√x = 1 x²-3x+1 = 0 et là par formule quadratique on a x = (3±√5)/2, or dans le cadre de notre problème une solution négative est impossible puisque x est sous racine carrée donc seules sont éligibles les solutions ≥ 0. Ici aucun en apparence aucun souci les deux possibilités seraient bien > 0 et donc vraies solutions. Attention cependant élever au carré double artificiellement le nombre de solution par bijection de la fontionc carrée, donc il faut tester les resultats obtenus ! Et après test, la version " - " ne marche pas. L'ensemble des solutions est donc S = {0, phi+1}. Intéressant de retrouver le nombre d'or ici. Ce serait sympa aussi d'essayer de trouver l'ensemble des solutions complexes à cette équation.
Elle n'est pas nécessaire si l'on travaille par équivalence ce qui n' est pas le cas ici... Normalement on doit résoudre dans R équations et inéquations par équivalence, à défaut il faut vérifier que les solutions calculées vérifient bien l'équation données...
Changer de variable t=✔️x, ramène l’équation de départ à celle récurrente bien connue du fameux « Nombre d’or » grec : t^2 = t+1. Dont la seule solution positive est donc le « Nombre d’or » : t=(1+✔️5)/2, dont le carré vaut t+1 = (3+✔️5)/2
Joli équation. J'avais pas pensé au changement de variable. Perso j'ai fait comme ça : solution évidente x=0. On suppose maintenant x>0, on divise par racine(x), ça donne x=racine(x)+1 racine(x)=x-1. On met au carré et on retrouve une équation du second degré classique.
J'ai réfléchi de la même façon.
Le changement de variable ne m'avait pas traversé l'esprit.
J'ai attendu jusqu'à la fin pour voir si on avait la même solution. Heureusement d'ailleurs que c'était le cas parce que j'ai douté en cours de route 😂
sauf que si x=1 à droite 1 + 1 = 2
si x = 0 ça marche autant au NFP qu'au RN
Wtf@@cslevine
* à doite qu'à gauche. Ces correcteurs de @{$# !
Bonjour je suis en première et je prépare les olympiades de mathématiques. Je ne suis pas d'accord avec votre raisonnement, dans ce genre de concours il faut minimiser les calculs, j'ai d'abord passer tout le monde à gauche puis factoriser le tout avec √x, on obtient √x(x-1-√x)=0 donc une équation produit nul.
Donc x=0
Ou x-1=√x
x^2-2x+1=x
x^2-3x+1=0
Delta égal 5 et on retombe bien sur la solution (3+√5)/2. Et donc les calculs sont plus simple avec ma méthode.😁
Bonne journée !!!
Sinon encore de belles vidéos, un beau travail !!!
Je trouve que sa méthode est plus propre, plus élégante et pas vraiment moins rapide. Mais après y'a souvent plusieurs chemins pour arriver à la bonne solution.
Waouhhh...Tremble Elon Musk, Léo Fouard est dans la place....Fais gaffe quand même aux fautes d'orthographes,.
J'ai fait pareil, bien plus simple et rapide
@@greghanssenOn se connait ? Et elles sont où les fautes ? (Je les voit même pas😅)
Merci
@@LeoFouard-hu1pq bonjour vous faites des fautes de grammaire surtout: j'ai *passé puis *factorisé (passé composé et non infinitif) les calculs sont plus *simples au pluriel et dans votre réponse c'est "je les *vois" pas "voit" (première pers. du sing.) mais sinon merci pour votre méthode alternative de raisonnement et bonne chance pour les olympiades 😉
Comme d’hab MASTERCLASS
Très inspirant vraiment j'ai fait une page et demi avant de penser à la factorisation pas racine de x
Rappelons au passage que (1+rac(5))/2 est le nombre d'or
On peut aussi faire passer les racines du même côté de l'équation et élever au carre. Joli problème en tout cas! (Il faudra soigneusement justifier l'élévation au carré...)
Ce que j'ai fait.
Pour la fin, quand on a trouvé x=t^2 avec t=(1+rac(5))/2, plutôt que de calculer le carré de t on peut se rappeler que t^2-t-1=0, donc que t^2 c'est aussi t+1, ce qui est plus facile à calculer.
Exact, caractéristique du nombre d’or phi :)
Est ce que le candidat x = (3+√5)/2 répond à la question ? A priori oui à la 20ème décimale !
1+√5/2 c'est bien le nombre d'or
Ah oe c incroyable ca😮
@@silloo2072 🤔
Attention les parenthèses, mais oui c'est un beau nombre, le nombre d'or
C‘est ca, donc t= 1.618….. et x = t+1 = 2.618….
C‘est quand meme un truc de dingue
@@DavidDavid-ek3wo c‘est simple l‘equoition pour trouver le nombre est x*2 + x + 1 = 0
pour ceux qui connaissent le nombre d'or (Phi) le résultat non nul est évident, on sait que : Phi * Phi = Phi +1, donc t (la racine de x par changement de variable) est égal à Phi, donc x = Phi +1
Mais le nombre d'or n'est pas, à ma connaissance, quelque chose qu'on apprend en première, toutefois
Je pense que maintenant que notre professeur s'est fait choper en ayant fait une erreur il va transpirer à chaque fois qu'il publiera une nouvelle vidéo 😂
😂
😅😉
Tellement vrai 😂😅😅
@xX_360QuickScoperSwagMaster_xX, s'est fait chop"er" , j'espère que vous n'êtes pas prof de français 🤓
@@mickamck6714 Oups, déso, j'ai corrigé, merci. Et non je ne suis pas prof de français. Et encore moins prof de maths d'ailleurs...
J'adore vos vidéos c'est très instructif mais vous pourriez faire des vidéos sur les limites
Pour le changement de variable "à l'envers" à la fin, on avait la solution sans calcul ou presque à partir de l'équation intermédiaire t²-t-1, d'où on sortait que facilement que t² = t+1 (ou plutôt phi +1 car évidemment c'est le nombre d'or).
Histoire de voir un peu où va cette équation, j'ai essayé x=1,x=2,x=3. A priori la solution est entre 2 et 3.
donc S=2+y avec 0
Perso j'ai quand même une question...
lorsque tu affirmes que le premier "candidat" ne peut être retenu car une racine ne peut donner un négatif mais que, par la suite, tu élèves au carré... selon moi tu obtiens un nombre positif.
((1-√5)/2)² est bien positif. Où est-ce que je me trompe ?
Sinon, toujours impec ces vidéos, bravo ;)
Le nombre de depart doit être positif pour avoir a^2=b^2 équivaut à a=b (bijection)
@@thomaschristophe2196 m'avance pas. Imaginons prendre la ligne avant t=√x donc x=t². Remplaçons t par sa valeur et élevons au carré...le résultat est positif.
Ce qui est dit dans la vidéo n'est pas que le nombre sous la racine doit être positif mais bien quelle racine d'un nombre me donne un résultat négatif.
A mon sens c'est une question de formulation plus que de maths pures. Merci pour la réponse ;)
@@samuelgillard7887oui mais t ne peut pas etre négatif sinon on a pas le droit d'élever au carré. Je sais pas si ça répond à ta question du coup...(D'une phrase fausse on peut déduire n'importe quoi y compris du vrai) (1 - racine(5))/2
L'équation est x√x=x+√x
Tu peux effectivement calculer x=(1−√5)²/2² dans ℝ
Mais pas √x=(1−√5)/2
Incroyable ! Le nombre d'or y était caché 😅
il dormait. 🙂
Le nombre d'or !
Pas tout à fait...
@@sakurafromparis1764 Alors si, les solutions de l'équation de degré 2 sont bien le nombre d'or et son opposé. ✅
@@smartcircles1988 ce n'est pas son opposé. et ça n'a pas vraiment d'importance puisque les vraies solutions de l'équation de départ sont son carré et 0
Super video, bravo, néanmoins
Il n'y a pas marque de resoudre dans R !
Les prochaines videos il va falloir envisager les solutions dans C, ca permettra de pousser la reflexion encore plus loin.
Donc (1-V5)/2 = V(x) marcherait je crois
Bonjour. Quand on développe cette équation, le constat est qu'il n'y a aucune racine dans C. Il n'existe aucun nombre complexe qui peut résoudre cette équation mais seulement 2 nombres dans R (0 et (3 + √5)/2). 🙂
"il faut s'assurer que cette équation existe, qu'elle a un sens"
Alors oui ou peut-être non, on demande SI elle a des solutions de les donner, elle n'en a p-e aucune, et la formule p e non définie. Est-ce grave, si on ne prétend pas qu'elle DOIT avoir des solutions?
Les calculs sont bien plus simples en conservant x et en factorisant racine(x), ce qui donne racine(x)(x-1)=x avant d'élever les deux membres de l'équation au carré. On trouve d'ailleurs une troisième solution (3-racine(5))/2, qui est positive
...qui est négative et qui ne convient pas..
c'est comme cela qu'il faut faire avec le produit x(x-1) positif
J'ai procédé de la même manière et effectivement on trouve une troisième solution ainsi, puisque √5 est inférieure à 3 !
J'ai fait la même chose en favorisant √x mais la solution (3-√5)/2 bien que positive mais ne fonctionne pas si on la replace dans l'équation ..chercher l'erreur ? Le passage au carré fait apparaître cette erreur aos pourquoi
@@alexander8862pour pouvoir élever au carré il faut que les termes soient positifs car la fonction carré est bijective uniquement sur [0, +infini[. Par conséquent a^2=b^2 équivalent à a=b si et seulement si a et b ont même signe
Moi aussi je suis passé par un changement de variable.
On a donc y²+y-y²y=0 y(y+1)-y²y=0 y(y+1-y²)=0. Et ensuite j'ai fait comme vous, mais en me faisant piégé comme un bleu par ce fameux y1=(1-√5)/2
j'ai l'intuition que ça marche avec la tête à Toto
On pose u2=x on obtient soit u=0, soit en divisant par u: u2=u+1 formule du nombre d’or - cqfd
Sans changer de variable, on factorise l’équation de départ par ✔️x : ✔️x(x-1) = x. Puis on divise par ✔️x (pour tout x non nul) : x-1 = ✔️x. Dont le carré s’écrit : x^2 -3x +1 = 0, et qui se factorise en : (x-3/2)^2 - 5/4 =0. D’où la seule solution positive : (3+✔️5)/2
t2 = le nombre d'or et x= le carré du nombre d'or...😃😜
Il n'y a qu’une seule solution, dans R. Il y en a 2 dans le plan complexe.
Autrement dit Lee carré du nombre d'or est solution.
Bah de manière évidente visible tt de suite 0 est solution. Donc une fois que ça c'est dit on peut diviser par x des deux côtés. √x = 1 + 1/√x √x - 1/√x = 1 x²-3x+1 = 0 et là par formule quadratique on a x = (3±√5)/2, or dans le cadre de notre problème une solution négative est impossible puisque x est sous racine carrée donc seules sont éligibles les solutions ≥ 0. Ici aucun en apparence aucun souci les deux possibilités seraient bien > 0 et donc vraies solutions. Attention cependant élever au carré double artificiellement le nombre de solution par bijection de la fontionc carrée, donc il faut tester les resultats obtenus ! Et après test, la version " - " ne marche pas. L'ensemble des solutions est donc S = {0, phi+1}. Intéressant de retrouver le nombre d'or ici. Ce serait sympa aussi d'essayer de trouver l'ensemble des solutions complexes à cette équation.
x√x=x+√x avec x≥0
Changement de variable √x=X ⇒ x=X²
X²X=X²+X
X³−X²−X=0
X=0 ⇒ √x=0 ⇒ x=0 solution (1)
Divisons par X≠0
X²−X−1=0
On reconnaît l'équation* de φ=(1+√5)/2
X=φ ⇒ √x=φ ⇒ x=φ²
x=(1+√5)²/2²
x=(1+5+2√5)/4
x=(6+2√5)/4
x=3/2+(√5)/2 solution (2)
* l'autre solution (1−√5)/2 est négative
x✓x = x + ✓x
y = ✓x ≥ 0
y^3 = y^2 + y
y^3 - y^2 - y = 0
y(y^2 - y - 1) = 0
y = 0, (1 + ✓5)/2
x = 0, (3 + ✓5)/2
Ah la fin certes je mattends pas mais je comprends les reflexe
Il manque la vérification 😂
Elle n'est pas nécessaire si l'on travaille par équivalence ce qui n' est pas le cas ici...
Normalement on doit résoudre dans R équations et inéquations par équivalence, à défaut il faut vérifier
que les solutions calculées vérifient bien l'équation données...
Non j'ai pas envie de résoudre ce n'est pas moi qui a créé le problème 😂
J’avais factorisé avec √x mais la solution du changement de variable est plus élégante.
Mais la solution (1+racine(5)) c’est le nombre d’or donc sont carré c’est phi+1
ça manque de paresse : x^2 = x+1 donc x = (1+rac(5))/2+1 = (3+rac(5))/2
🙂
0×0=0!!
Changer de variable t=✔️x, ramène l’équation de départ à celle récurrente bien connue du fameux « Nombre d’or » grec : t^2 = t+1. Dont la seule solution positive est donc le « Nombre d’or » : t=(1+✔️5)/2, dont le carré vaut t+1 = (3+✔️5)/2