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Conheci técnicas de prova esse semestre numa disciplina do mestrado. Achei muito massa, e isso despertou mais meu interesse em aprofundar em matemática
Foi uma grande coincidência, meu caro. Hoje mesmo, fiz uma breve leitura do Elementos de Aritmética, de Abramo Hefez. Logo no início do livro ele apresenta o axioma da indução, de tal modo que nunca tinha visto antes, como um teorema. Aliás, é muito interessante como o autor trabalhou essa distinção, se fizermos uma leitura atenta. Ele trata do *Axioma* da Indução, com respeito ao conjunto dos números naturais e somente isso. Logo depois, ele apresenta o *Princípio* da Indução Matemática como um teorema, esse tomando como base o Axioma da Indução. Basicamente, ele prova o Princípio da Indução Matemática utilizando o Axioma da Indução.
09:00 pequena curiosidade: o termo recursão já é usado na computação e, na verdade, também é a mesma coisa que indução ao menos de isomorfismo! (Curry-Howard)
Esclarecendo (mas de forma nada resumida) dois questionamentos feitos no vídeo: (1) Os termos "indução" e "indutivo" em Lógica Matemática não tem estritamente a ver com entendimento destes últimos em Filosofia. Referem-se ao processo que auxilia, de forma rigorosa, na dedução que estabelece a prova de uma propriedade sobre objetos de uma teoria matemática por meio de passos enumerados por algum (número) ordinal, no qual, em cada passo após o primeiro, verifica-se a propriedade supondo-se que nos passos anteriores tal propriedade já tenha sido verificada, com o primeiro passo sendo denominado de passo base (ou básico) e os passos após o primeiro sendo denominados de passos indutivos (no sentido que foi expresso anteriormente). Nos casos em que o ordinal que enumera todos os passos é maior que algum ordinal limite, há passos indutivos de dois tipos: sucessor e limite. Considerando o conjunto dos naturais (de von Neumann, caso os objetos da teoria matemática estejam formalizados dentro da Teoria dos Conjuntos ZF, de Zermelo-Fraenkel), este é formalmente o menor ordinal limite, e não há passos indutivos limites no processo de indução finita (ou seja, sobre os naturais). No entanto, para processos de induções transfinitas (isto é, sobre ordinais maiores que o menor ordinal limite), há tais passos para a prova de uma propriedade sobre ordinais de uma classe (conjunto ou não) fixada. (2) A sentença que estabelece o passo indutivo na prova por indução finita não diz que a propriedade que se quer provar é válida. O que ela estabelece é uma implicação material quantificada universalmente: Fixada uma propriedade (ou seja, uma sentença aberta) P sobre números naturais (isto é, numa variável n que assume ordinais finitos como valores), a sentença "para todo n natural, se P(n), então P(n+1)" não é logicamente equivalente à sentença a ser provada "para todo n natural, P(n)". Por exemplo, tome a propriedade P(n) := "0=0.n=1" e considere a sentença universal associada a P que estabelece o passo indutivo "para todo n natural, se 0=0.n=1, então 0=0.(n+1)=1". É claro que esta última é verdadeira (pois o antecedente do seu escopo é sempre falso nos naturais). Contudo, é obviamente falsa, nos naturais, a sentença universal "para todo n natural, 0=0.n=1". Para haver uma equivalência lógica, é necessário que haja a conjunção da sentença universal que estabelece o passo indutivo com a sentença que estabelece o passo base P(0) (ou P(m), sendo m o primeiro natural para o qual P é verificada). Portanto, o que o Princípio de Indução Finita (ou Matemática) realmente estabelece é, por exemplo, a equivalência lógica a seguir: "P(0) e, para todo n natural, se P(n), então P(n+1)" se, e somente se, "para todo n natural, P(n)". Por fim, note que isto é algo bastante similar (porém, mais "forte" em comparação) ao que estabelece a regra Modus (Ponendo) Ponens em Lógica Proposicional Clássica para quaisquer proposições p e q: "p e, se p, então q" implica q.
@@matematicaHobby, fico muito grato por suas palavras destinada a mim e te parabenizo por manter seu trabalho de divulgação científica sobre Filosofia, Lógica e Matemática aqui no UA-cam. Caro Cloves, apesar da grande demora em responder à mensagem que enviou por e-mail para mim, enviei há pouco para você o que falta para responder toda a sua mensagem. Um abraço.
Estudando manuais de filosofia, também cheguei à mesma conclusão: o princípio de indução é, na verdade, um processo dedutivo. "É duvidoso, entretanto, que haja aí uma verdadeira indução. Parece, antes, que lidamos com uma dedução, consistindo em aplicar indefinidamente uma propriedade verificada em um caso dado de construção numérica a números construídos do mesmo modo. Essa dedução poderia ser traduzida da seguinte forma: O que é verdade de n, o é de n+1. Ora, tal propriedade é verdade de n. Logo, é verdade de n+1." Tratado de Filosofia, tomo I, página 183.
Consideremos os 4 tipos principais de raciocínio: dedução, indução, analogia e abdução. Na minha cabeça, indução Matemática se vale por ex. de raciocínio por analogia. Se eu considerar que alguma propriedade vale para os casos base n = 1 ou n = 0 e depois mostrar que aquilo vale também para n + 1, isso para mim parece um raciocínio por analogia, valendo-se do expediente lógico-matemático da recursão. Mas como estou mostrando uma propriedade numérica que pode ser generalizada, isso envolve falar de leis e geralmente a dedução é baseada por leis que vão subsumir casos específicos. Mas no geral, as provas por indução tem certo "aspecto indutivo" mesmo, por isso o nome, embora isso seja muito mais no modo figurativo. Realmente nada tem a ver com o conceito comum de indução que vemos nos livros-texto de ciências naturais, onde uma consciência humana apreende fenômenos naturais e com base em sua arquitetura cognitiva, começa a esperar que mais casos parecidos com aqueles observados se manifestem mediante certas condições. Ademais, entender a indução é compreender profundamente três das áreas que considero de máxima relevância para os que se envolvem com matemática, a Teoria dos Números, Lógica matemática e Análise. No livro de Análise do Abott ele não entra nesse vespeiro e recomenda o estudo da Teoria Axiomática dos Números pra entender melhor os números naturais. Mas dado todo o imbróglio envolvido nesse tipo de tópico, talvez isso seja necessário, mas não suficiente.
Na primeira vez que vi indução , não entendi porcaria nenhuma kk, parecia magia . Quando fui estudar vi que na verdade era algo bem simples. Indução me ajudou muito a tirar da garganta o que eu queria dizer em algumas questões kkkk. Acho que o nome "indução" vem muito da ideia de resolver problemas usando indução mesmo. As vezes a propriedade que você quer provar tem de ser muito manipulada para poder "enxergar" a indução, talvez por isso, tenham decido "indução".
Sim, concordo! Você induz a ocorrência de uma cadeia de "eventos". Não é à toa que a analogia com o "efeito dominó" é muito usada: você derruba a primeira peça (no caso, o número zero) e, uma vez verificado previamente que, se qualquer elemento da fila de dominós for derrubado, o seguinte também será derrubado, então podemos deduzir que, uma vez derrubado primeiro dominó da fila, isso induzirá à derrubada de todo conjunto de dominós na fila. É claro que esta não é uma analogia que captura 100% da ideia por trás da Indução Matemática, porque, no "domínio do infinito", nossas intuições podem cair por terra. Daí a necessidade de recorrer aos axiomas (exigimos que os naturais tenham aquela propriedade do quinto axioma de Peano) para garantir que este processo funcione em um conjunto infinito de "dominós". Agora, como mencionado no vídeo, o termo "indução" também é usado para generalizar uma propriedade a partir da observação de uma grande quantidade de eventos, ideia essa que não condiz com o que de fato ocorre na Indução Matemática. Então já que o termo "indução" pode sofrer desta ambiguidade, alguns sugerem que seria melhor usar outro termo que melhor capture esta dedução a partir do axioma/teorema em questão.
Salve! Então, muito cedo para dizer algo sobre isso, mas meus interesses nos últimos tempos tem ido na direção de Fundamentos da Matemática, onde se usa muita lógica e Teoria dos Conjuntos. Por hora estou apenas "turistando", mas quem sabe no futuro eu estabeleça "moradia" definitiva nesta área.
Nunca tratei o princípio de indução como teorema ou axioma, minha visão a respeito foi unicamente de ferramenta, mais especificamente um algoritmo julgado válido para algumas demonstrações. O intuito é presumir se um padrão se repete a todos os elementos, como a queda de um dominó em uma fileira de dominós, vão derrubando um aos outros. Sendo assim, para mim a indução é uma ferramenta de *exposição de característica* , ou seja, que se aplica a uma função que mapeia um conjunto entrada quando desejo verificar se todo o respectivo conjuto imagem possui uma determinada característica.
Devo dizer que não compreendi. O que seria a indução senão parte da compreensão intuitiva que temos acerca dos números naturais? Se eu tenho o objeto 1, posso obter o todos os naturais somando (onde o termo somar é empregado em sentido informal) 1 a ele sucessivas vezes. O que captura essa propriedade senão o pressuposto da indução ou algum de seus equivalentes lógicos? Devo dizer que entendi menos ainda o último parágrafo.
@learnitbyyourself perceba que não nego que a indução é uma ferramenta com origem na intuição ou msm razão, e sim que eu *nunca* tratei a indução matemática como *axioma* ou *teorema* , ela não é algo a nivel de axioma e nem de teorema, por isso a trato estritamente como ferramenta e/ou principio, de modo que é utilizada para expor uma propriedade referente a conjuntos. Um paralelo pode ser feito com o princípio da causalidade, que nada mais é que uma ferramenta de construção de conhecimento, não é um axioma ou teorema, mas um princípio guia útil para a compreensão de fenômenos. Veja tbm que o caso que você trás de exemplo nada mais é que uma *recursão simples* em cima da *função sucessor* , portanto *é falso que possa obter todos os naturais a partir dela* , pelo simples fato que o conjunto imagem da função sucessor é N-{0}(os naturais menos o elemento zero, considerando 0 natural, pois não existe S(n)=0 resultando em uma impossibilidade). Por fim, no final do meu primeiro comentário eu afirmo que a indução matemática é uma ferramenta que expõe se uma propriedade pertence a um conjunto, aqui me refiro a expor se essa propriedade pertence a todos os elementos. Talvez eu esteja abusando da palavra *propriedade* , pois estou usando no sentido de característica ou como afirmação feita a respeito de um conjunto, vou tentar ser mais didático e comentar o seguinte: dada F uma função qualquer, Im(F) seu conjunto imagem limitado ou não, P uma propriedade/característica/afirmação a ser verificada e uma variável *n* pertencente aos naturais. Se P aplicasse ao conjunto Im(F) então P necessariamente aplicasse tanto a F(n) quanto a F(n+1). E ai que a indução entra na jogada, pois ela será usada para expor P, se ela aparecer em F(n) e F(n+1) então P fica demonstrado pertencer a Im(F). O uso de recursão e/ou manipulação algébrica na minha opinião é apenas meios usados para conseguir expor P em F(n+1) concluindo a demonstração, visto que adotasse P válido para F(n) inicialmente.
@@Rintauro314 1. Não tem como a indução não ser um teorema ou axioma em algum sentido, visto que ela é uma afirmação a respeito dos números naturais. Diferentemente do axioma da escolha, na teoria dos conjuntos, que é independente, isto é, não é necessário para a concepção completa do conceito de conjunto, o axioma da indução (ou um de seus equivalentes) é parte fundamental para a caracterização completa dos números naturais. Um axioma é uma afirmação acerca de determinado objeto que você toma como verdadeira, num sistema axiomático. Um teorema é uma afirmação que figura como consequência lógica dos axiomas e definições do seu sistema. Daí se segue o porquê de uma afirmação acerca de determinado objeto só poder ser um axioma ou teorema. 2. Eu quis dar uma imagem de como o axioma se nos apresenta na intuição, por isso coloquei um aviso entre parênteses. Assim, cabe a seguinte reformulação: num sistema axiomático você obtém todos os outros números naturais por meio da sucessiva aplicação da função sucessor ao número 1. Essa característica é capturada pelo axioma da indução ou algum equivalente seu. 3. Como se define uma "ferramenta" em termos matemáticos?
@@learnitbyyourself meu caro eu estou tratando da minha visão a respeito, o princípio da indução não é um axioma, ele se aproxima mais de um teorema pois pode ser deduzido através de outros axiomas, um deles é o princípio da boa ordenação. Segundo, eu não defino _ferramenta_ em termos matemáticos e sim no sentido estrito e figurado da palavra. _[Figurado]: Meio que se usa para alcançar um objetivo, fim, propósito._ E qual o objetivo da indução? Demostrar que P contempla todos os elementos de F.
Os Axiomas de Peano não precisam caracterizar ℕ unicamente como conjunto, e sim como estrutura. Quaisquer dois conjuntos, com um elemento inicial em cada, uma função sucessor em cada e que satisfaçam os axiomas, vão ser isomorfos (preservando o primeiro elemento e a função sucessor). Como a ordem e as operações vão ser definidas usando o sucessor e o 0, ℕ vai ser único como semianel ordenado também (a menos de isomorfismo).
Os matematicos sempre viram com reservas (para dizer o mínimo...) a o "rigor" da " estatistica matematica". Esquecem desse pé de barro da análise matematica.
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Conheci técnicas de prova esse semestre numa disciplina do mestrado. Achei muito massa, e isso despertou mais meu interesse em aprofundar em matemática
Bom demais! Comecei a estudar demonstrações com o intuito de estudar o livro Algoritmos que tem como pré-requisito familiaridade com indução.
Algoritmos do Sedgewick ou do CLRS?
@@brunnocarvalho1941 Algoritmos do CLRS, eu não conhecia o livro do Sedgewick, ele é bom?
@@LucasSL.01 os dois são boas referencias, mas o CRLS usa pseudocode e o sedgewick usa o Java, e como meu foco ta na linguagem Java optei pelo Sed
Na disciplina fundamentos de aritmetica o professor demonstrou-se o PBO com indução
Foi uma grande coincidência, meu caro. Hoje mesmo, fiz uma breve leitura do Elementos de Aritmética, de Abramo Hefez. Logo no início do livro ele apresenta o axioma da indução, de tal modo que nunca tinha visto antes, como um teorema. Aliás, é muito interessante como o autor trabalhou essa distinção, se fizermos uma leitura atenta. Ele trata do *Axioma* da Indução, com respeito ao conjunto dos números naturais e somente isso. Logo depois, ele apresenta o *Princípio* da Indução Matemática como um teorema, esse tomando como base o Axioma da Indução. Basicamente, ele prova o Princípio da Indução Matemática utilizando o Axioma da Indução.
09:00 pequena curiosidade: o termo recursão já é usado na computação e, na verdade, também é a mesma coisa que indução ao menos de isomorfismo! (Curry-Howard)
Leia "Obsessão prima" (John Derbyshire) sobre a Hipótese de Riemann. Recomendo fortemente. Abs!
Esclarecendo (mas de forma nada resumida) dois questionamentos feitos no vídeo:
(1) Os termos "indução" e "indutivo" em Lógica Matemática não tem estritamente a ver com entendimento destes últimos em Filosofia. Referem-se ao processo que auxilia, de forma rigorosa, na dedução que estabelece a prova de uma propriedade sobre objetos de uma teoria matemática por meio de passos enumerados por algum (número) ordinal, no qual, em cada passo após o primeiro, verifica-se a propriedade supondo-se que nos passos anteriores tal propriedade já tenha sido verificada, com o primeiro passo sendo denominado de passo base (ou básico) e os passos após o primeiro sendo denominados de passos indutivos (no sentido que foi expresso anteriormente).
Nos casos em que o ordinal que enumera todos os passos é maior que algum ordinal limite, há passos indutivos de dois tipos: sucessor e limite. Considerando o conjunto dos naturais (de von Neumann, caso os objetos da teoria matemática estejam formalizados dentro da Teoria dos Conjuntos ZF, de Zermelo-Fraenkel), este é formalmente o menor ordinal limite, e não há passos indutivos limites no processo de indução finita (ou seja, sobre os naturais).
No entanto, para processos de induções transfinitas (isto é, sobre ordinais maiores que o menor ordinal limite), há tais passos para a prova de uma propriedade sobre ordinais de uma classe (conjunto ou não) fixada.
(2) A sentença que estabelece o passo indutivo na prova por indução finita não diz que a propriedade que se quer provar é válida. O que ela estabelece é uma implicação material quantificada universalmente:
Fixada uma propriedade (ou seja, uma sentença aberta) P sobre números naturais (isto é, numa variável n que assume ordinais finitos como valores), a sentença "para todo n natural, se P(n), então P(n+1)" não é logicamente equivalente à sentença a ser provada "para todo n natural, P(n)".
Por exemplo, tome a propriedade P(n) := "0=0.n=1" e considere a sentença universal associada a P que estabelece o passo indutivo "para todo n natural, se 0=0.n=1, então 0=0.(n+1)=1". É claro que esta última é verdadeira (pois o antecedente do seu escopo é sempre falso nos naturais). Contudo, é obviamente falsa, nos naturais, a sentença universal "para todo n natural, 0=0.n=1".
Para haver uma equivalência lógica, é necessário que haja a conjunção da sentença universal que estabelece o passo indutivo com a sentença que estabelece o passo base P(0) (ou P(m), sendo m o primeiro natural para o qual P é verificada). Portanto, o que o Princípio de Indução Finita (ou Matemática) realmente estabelece é, por exemplo, a equivalência lógica a seguir:
"P(0) e, para todo n natural, se P(n), então P(n+1)" se, e somente se, "para todo n natural, P(n)".
Por fim, note que isto é algo bastante similar (porém, mais "forte" em comparação) ao que estabelece a regra Modus (Ponendo) Ponens em Lógica Proposicional Clássica para quaisquer proposições p e q:
"p e, se p, então q" implica q.
Salve Prof. Cirineu! Muito bom ver novamente seus comentários aqui no canal, enriquecendo com o conhecimento de quem atua na área. Um forte abraço! 😄
@@matematicaHobby, fico muito grato por suas palavras destinada a mim e te parabenizo por manter seu trabalho de divulgação científica sobre Filosofia, Lógica e Matemática aqui no UA-cam.
Caro Cloves, apesar da grande demora em responder à mensagem que enviou por e-mail para mim, enviei há pouco para você o que falta para responder toda a sua mensagem.
Um abraço.
Estudando manuais de filosofia, também cheguei à mesma conclusão: o princípio de indução é, na verdade, um processo dedutivo.
"É duvidoso, entretanto, que haja aí uma verdadeira indução. Parece, antes, que lidamos com uma dedução, consistindo em aplicar indefinidamente uma propriedade verificada em um caso dado de construção numérica a números construídos do mesmo modo. Essa dedução poderia ser traduzida da seguinte forma:
O que é verdade de n, o é de n+1.
Ora, tal propriedade é verdade de n.
Logo, é verdade de n+1."
Tratado de Filosofia, tomo I, página 183.
Consideremos os 4 tipos principais de raciocínio: dedução, indução, analogia e abdução. Na minha cabeça, indução Matemática se vale por ex. de raciocínio por analogia. Se eu considerar que alguma propriedade vale para os casos base n = 1 ou n = 0 e depois mostrar que aquilo vale também para n + 1, isso para mim parece um raciocínio por analogia, valendo-se do expediente lógico-matemático da recursão. Mas como estou mostrando uma propriedade numérica que pode ser generalizada, isso envolve falar de leis e geralmente a dedução é baseada por leis que vão subsumir casos específicos. Mas no geral, as provas por indução tem certo "aspecto indutivo" mesmo, por isso o nome, embora isso seja muito mais no modo figurativo. Realmente nada tem a ver com o conceito comum de indução que vemos nos livros-texto de ciências naturais, onde uma consciência humana apreende fenômenos naturais e com base em sua arquitetura cognitiva, começa a esperar que mais casos parecidos com aqueles observados se manifestem mediante certas condições. Ademais, entender a indução é compreender profundamente três das áreas que considero de máxima relevância para os que se envolvem com matemática, a Teoria dos Números, Lógica matemática e Análise. No livro de Análise do Abott ele não entra nesse vespeiro e recomenda o estudo da Teoria Axiomática dos Números pra entender melhor os números naturais. Mas dado todo o imbróglio envolvido nesse tipo de tópico, talvez isso seja necessário, mas não suficiente.
Na primeira vez que vi indução , não entendi porcaria nenhuma kk, parecia magia . Quando fui estudar vi que na verdade era algo bem simples. Indução me ajudou muito a tirar da garganta o que eu queria dizer em algumas questões kkkk.
Acho que o nome "indução" vem muito da ideia de resolver problemas usando indução mesmo. As vezes a propriedade que você quer provar tem de ser muito manipulada para poder "enxergar" a indução, talvez por isso, tenham decido "indução".
Sim, concordo! Você induz a ocorrência de uma cadeia de "eventos". Não é à toa que a analogia com o "efeito dominó" é muito usada: você derruba a primeira peça (no caso, o número zero) e, uma vez verificado previamente que, se qualquer elemento da fila de dominós for derrubado, o seguinte também será derrubado, então podemos deduzir que, uma vez derrubado primeiro dominó da fila, isso induzirá à derrubada de todo conjunto de dominós na fila.
É claro que esta não é uma analogia que captura 100% da ideia por trás da Indução Matemática, porque, no "domínio do infinito", nossas intuições podem cair por terra. Daí a necessidade de recorrer aos axiomas (exigimos que os naturais tenham aquela propriedade do quinto axioma de Peano) para garantir que este processo funcione em um conjunto infinito de "dominós".
Agora, como mencionado no vídeo, o termo "indução" também é usado para generalizar uma propriedade a partir da observação de uma grande quantidade de eventos, ideia essa que não condiz com o que de fato ocorre na Indução Matemática.
Então já que o termo "indução" pode sofrer desta ambiguidade, alguns sugerem que seria melhor usar outro termo que melhor capture esta dedução a partir do axioma/teorema em questão.
Clovis, na sua mentalidade de hoje, você quer se tornar um pesquisador de matemática na área de lógica?
Salve! Então, muito cedo para dizer algo sobre isso, mas meus interesses nos últimos tempos tem ido na direção de Fundamentos da Matemática, onde se usa muita lógica e Teoria dos Conjuntos. Por hora estou apenas "turistando", mas quem sabe no futuro eu estabeleça "moradia" definitiva nesta área.
A matematica pode avançar o que for na sua estrutura lógica. Mas nunca vai escapar da "pegadinha" do escocês do Sec. XVIII.
Nunca tratei o princípio de indução como teorema ou axioma, minha visão a respeito foi unicamente de ferramenta, mais especificamente um algoritmo julgado válido para algumas demonstrações.
O intuito é presumir se um padrão se repete a todos os elementos, como a queda de um dominó em uma fileira de dominós, vão derrubando um aos outros.
Sendo assim, para mim a indução é uma ferramenta de *exposição de característica* , ou seja, que se aplica a uma função que mapeia um conjunto entrada quando desejo verificar se todo o respectivo conjuto imagem possui uma determinada característica.
Devo dizer que não compreendi. O que seria a indução senão parte da compreensão intuitiva que temos acerca dos números naturais? Se eu tenho o objeto 1, posso obter o todos os naturais somando (onde o termo somar é empregado em sentido informal) 1 a ele sucessivas vezes. O que captura essa propriedade senão o pressuposto da indução ou algum de seus equivalentes lógicos?
Devo dizer que entendi menos ainda o último parágrafo.
@learnitbyyourself perceba que não nego que a indução é uma ferramenta com origem na intuição ou msm razão, e sim que eu *nunca* tratei a indução matemática como *axioma* ou *teorema* , ela não é algo a nivel de axioma e nem de teorema, por isso a trato estritamente como ferramenta e/ou principio, de modo que é utilizada para expor uma propriedade referente a conjuntos. Um paralelo pode ser feito com o princípio da causalidade, que nada mais é que uma ferramenta de construção de conhecimento, não é um axioma ou teorema, mas um princípio guia útil para a compreensão de fenômenos.
Veja tbm que o caso que você trás de exemplo nada mais é que uma *recursão simples* em cima da *função sucessor* , portanto *é falso que possa obter todos os naturais a partir dela* , pelo simples fato que o conjunto imagem da função sucessor é N-{0}(os naturais menos o elemento zero, considerando 0 natural, pois não existe S(n)=0 resultando em uma impossibilidade).
Por fim, no final do meu primeiro comentário eu afirmo que a indução matemática é uma ferramenta que expõe se uma propriedade pertence a um conjunto, aqui me refiro a expor se essa propriedade pertence a todos os elementos.
Talvez eu esteja abusando da palavra *propriedade* , pois estou usando no sentido de característica ou como afirmação feita a respeito de um conjunto, vou tentar ser mais didático e comentar o seguinte:
dada F uma função qualquer, Im(F) seu conjunto imagem limitado ou não, P uma propriedade/característica/afirmação a ser verificada e uma variável *n* pertencente aos naturais.
Se P aplicasse ao conjunto Im(F) então P necessariamente aplicasse tanto a F(n) quanto a F(n+1).
E ai que a indução entra na jogada, pois ela será usada para expor P, se ela aparecer em F(n) e F(n+1) então P fica demonstrado pertencer a Im(F).
O uso de recursão e/ou manipulação algébrica na minha opinião é apenas meios usados para conseguir expor P em F(n+1) concluindo a demonstração, visto que adotasse P válido para F(n) inicialmente.
@@Rintauro314
1. Não tem como a indução não ser um teorema ou axioma em algum sentido, visto que ela é uma afirmação a respeito dos números naturais. Diferentemente do axioma da escolha, na teoria dos conjuntos, que é independente, isto é, não é necessário para a concepção completa do conceito de conjunto, o axioma da indução (ou um de seus equivalentes) é parte fundamental para a caracterização completa dos números naturais. Um axioma é uma afirmação acerca de determinado objeto que você toma como verdadeira, num sistema axiomático. Um teorema é uma afirmação que figura como consequência lógica dos axiomas e definições do seu sistema. Daí se segue o porquê de uma afirmação acerca de determinado objeto só poder ser um axioma ou teorema.
2. Eu quis dar uma imagem de como o axioma se nos apresenta na intuição, por isso coloquei um aviso entre parênteses. Assim, cabe a seguinte reformulação: num sistema axiomático você obtém todos os outros números naturais por meio da sucessiva aplicação da função sucessor ao número 1. Essa característica é capturada pelo axioma da indução ou algum equivalente seu.
3. Como se define uma "ferramenta" em termos matemáticos?
@@learnitbyyourself meu caro eu estou tratando da minha visão a respeito, o princípio da indução não é um axioma, ele se aproxima mais de um teorema pois pode ser deduzido através de outros axiomas, um deles é o princípio da boa ordenação.
Segundo, eu não defino _ferramenta_ em termos matemáticos e sim no sentido estrito e figurado da palavra.
_[Figurado]: Meio que se usa para alcançar um objetivo, fim, propósito._
E qual o objetivo da indução? Demostrar que P contempla todos os elementos de F.
Os Axiomas de Peano não precisam caracterizar ℕ unicamente como conjunto, e sim como estrutura.
Quaisquer dois conjuntos, com um elemento inicial em cada, uma função sucessor em cada e que satisfaçam os axiomas, vão ser isomorfos (preservando o primeiro elemento e a função sucessor). Como a ordem e as operações vão ser definidas usando o sucessor e o 0, ℕ vai ser único como semianel ordenado também (a menos de isomorfismo).
Apesar de em teoria de conjuntos ser comum definir ℕ como um conjunto específico, que seria modelo da Aritmética de Peano
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Sao 6 axiomas de Peano. Nesse livro, Russell poupa um.
Os matematicos sempre viram com reservas (para dizer o mínimo...) a o "rigor" da " estatistica matematica". Esquecem desse pé de barro da análise matematica.