#3. Une bien méchante équation !
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- Опубліковано 7 лют 2025
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Saurez-vous résoudre une bien méchante équation ?
Voici le troisième épisode de la série Les exos de Maths+1.
Cet épisode traite d'un exercice d'algèbre de niveau bac+1 (licence L1 de mathématiques, classes préparatoires aux grandes écoles, CPGE, MPSI, PCSI, PTSI, TSI, ECS, ECE, ECT, BCPST, BL...)
L'équation de départ conduit à une équation du quatrième degré que nous résolvons en nous inspirant d'une méthode de Lagrange.
Les équations du troisième et du quatrième degré furent résolues dans le cas général par divers mathématiciens à la Renaissance dont Tartaglia, Jérôme Cardan (Cardano) et Ferrari.
La recherche de méthodes pour les équations de degrés supérieurs ou égaux à cinq conduisirent Abel et Galois à démontrer qu'il n'est pas possible de trouver de méthodes à base de radicaux pour les équations de degrés supérieurs ou égaux à cinq ce qui déboucha sur une théorie aujourd'hui appelée Théorie de Galois.
Source de l'exercice : Les équations algébriques, Hors Série n°22, Bibliothèque Tangente, Éditions Pole.
Musique générique début et fin composées par Eric Pruvost.
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© 2019, Maths+1 • Éric Pruvost • eric75p@yahoo.fr
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Vraiment Bravo Exceptionnel! très logique!!Merci de plus!
Bien joué! Bravo!!
Equation très intéressante, méthode très pédagogique, présentation très claire. Bravo et merci
Vidéo très intéressante merci beaucoup. Je propose une autre solution plus simple pour un étudiant de 1ère année :
x^2 + x^2/(x+1)^2 = 3
x^2 +(x/(x+1)) ^2 = 3
C'est la somme de 2 carrés on complète avec -2x^2/(x+1) et on ajoute la même chose pour ne rien modifier.
x^2 +(x/(x+1)) ^2 -2x^2/(x+1) + 2x^2/(x+1)= 3
On applique l'identité remarquable (a-b)^2
(x-x/(x+1))^2 + 2x^2/(x+1)= 3
((x^2+x-x)/(x+1))^2 + 2x^2/(x+1)= 3
((x^2)/(x+1))^2 + 2x^2/(x+1)= 3
On effectue un changement de variable u=x^2/(x+1)
u^2 + 2u = 3
u^2 + 2u - 3 = 0
u = -4 ou u = 1
On retrouve x :
u=x^2/(x+1)
Si u=1
1=x^2/(x+1)
Donc x^2-x-1 = 0
x = (1+sqrt(5))/2
Ou x = (1-sqrt(5))/2
Maintenant
Si u=-4
-4=x^2/(x+1)
Donc x^2+4x+4 = 0
C'est une identité remarquable
(x+2)^2=0
x= -2
Méthode intéressante mais il y a une erreur :
En effet c'est u=1 et u=−3 (et non −4)
Ce qui fait que l'équation finale dans le cas où u=−3 est : x^2+3x+3=0 qui n'a pas de solution réelle ! et on retrouve les solutions de la vidéo.
merci
Explications claires
C'est ce que je cherchais en vain
Merci ❤️❤️
Merci :)
J'ai aimé
Le nombre d'or en embuscade :)
Génial merci à toi
Belle équation
Une proposition de résolution approchée fournissant à la fois une valeur approchée de x et une forme algébrique est possible en se ramenant à une équation du 3e degré par la ruse suivante :
le terme x^2/(x+1)^2 ~ x^2/((x+1)^2-1) = x/(x+2)
l'équation devient alors : x^2-3+x/(x+2)=0
en multipliant par (x+2), il vient : x^3+2x^2-2x-6=0
Cette équation du troisième degré possède une unique racine réelle :
x=(10^(2/3)+10^(1/3)-2)/3 ~ 1.60 (arrondi par excès au centième)
Le nombre d'or n'est pas si éloigné de cela ;)
L'astuce peut servir à factoriser des polynomes, chouette !
Hhhhhh cette equation tellement très mechante
a force de vous suivre avec le lambda , tout de suite mon cerveau convergeait a la lambada merci !!!
Pourquoi ne pas avoir simplifier l'expression x^2 +2x +1
Exactement d'après le théorème fondamentale de l'algèbre une polynôme de n degré admet n solution merci par avance🙏
Comment est-t-on sensé penser à utiliser (x^2+x)^2 ?
Bonjour, parce que l'on veut obtenir des carrés et que les deux premiers termes de gauches correspondent au développement d'un carré :)
@@mathsplusun mmmmh intéressant merci d'avoir répondu 😊
Cette méthode fonctionne-t-elle dans le cas général pour la résolution des équations du 4eme degré?
Bonjour, en l'adaptant, on peut résoudre d'autres équations. Toutefois, ce que est présenté ici n'est pas une méthode générale de résolution des équations du quatrième degré. Vous trouverez plus d'informations sur fr.wikiversity.org/wiki/Équation_du_quatrième_degré
En Remplacent last solution often ca march pas eyyyy
Tchaiiii🥴
ok demo