A la main, je le fais pour n se terminant par 1 : si n = 10 p + 1, alors n^10^d = (10 p + 1)^10^d = ∑ (k parmi 10^d) 10^k p^k, pour k allant de 0 à 10^d. Le terme de rang 0 vaut 1, et le terme de rang k (k≠0) contient 10^k et au moins (10^d)-k+1 dans la combinaison (k parmi 10^d). Donc n est congru à 1 mod 10^(d + 1). Merci pour vos videos ! 🙂
Toujours à la main, pour n se terminant par 9 : si n = 10 p - 1, alors n^10^d = (10 p - 1)^10^d = ∑ (k parmi 10^d) 10^k p^k (-1)^(10^d -k), pour k allant de 0 à 10^d. Le terme de rang 0 vaut 1, et le terme de rang k (bien qu’alterné) contient 10^k et au moins (10^d)-k+1 dans la combinaison (k parmi 10^d). Donc n est congru à 1 mod 10^(d + 1). Pour n se terminant par 3 ou 7, c’est un peu plus délicat…
Bonjour, Je pense qu'on peut le faire en bidouillant avec z/4z et z/5z. 1) dans Z/5z, l'équation x^4+1 n'a pas de solution 2) dans Z/4z, l'équation x^2+1 n'a pas de solution 3) petit théorème d'Euler ou Lagrange dans Z/10^{d+1}Z, n^{4.10^d}-1 =0 modulo 10^{d+1} C'est à dire, il existe entier K tel que (n^{2.10^d}-1)(n^{2.10^d}+1)=k.10^{d+1} Par 1) 5 est premier avec le second facteur. Par 2) 4 est premier avec le second facteur Donc 10^(d+1) divise le premier facteur Et on recommence en factorisant le premier facteur
A la main, je le fais pour n se terminant par 1 : si n = 10 p + 1, alors
n^10^d = (10 p + 1)^10^d = ∑ (k parmi 10^d) 10^k p^k, pour k allant de 0 à 10^d.
Le terme de rang 0 vaut 1, et le terme de rang k (k≠0) contient 10^k et au moins (10^d)-k+1 dans la combinaison (k parmi 10^d). Donc n est congru à 1 mod 10^(d + 1).
Merci pour vos videos ! 🙂
Toujours à la main, pour n se terminant par 9 : si n = 10 p - 1, alors
n^10^d = (10 p - 1)^10^d = ∑ (k parmi 10^d) 10^k p^k (-1)^(10^d -k), pour k allant de 0 à 10^d.
Le terme de rang 0 vaut 1, et le terme de rang k (bien qu’alterné) contient 10^k et au moins (10^d)-k+1 dans la combinaison (k parmi 10^d). Donc n est congru à 1 mod 10^(d + 1).
Pour n se terminant par 3 ou 7, c’est un peu plus délicat…
Magnifique !!
Si n = 1, alors 1^10^d = 1, et il faut généraliser le « commence par 00…01 » en autorisant les zéros muets ?
@@jpl569 oui on va faire ça en hommage à Bourbaki 😁
Bonjour,
Je pense qu'on peut le faire en bidouillant avec z/4z et z/5z.
1) dans Z/5z, l'équation x^4+1 n'a pas de solution
2) dans Z/4z, l'équation x^2+1 n'a pas de solution
3) petit théorème d'Euler ou Lagrange dans Z/10^{d+1}Z, n^{4.10^d}-1 =0 modulo 10^{d+1}
C'est à dire, il existe entier K tel que (n^{2.10^d}-1)(n^{2.10^d}+1)=k.10^{d+1}
Par 1) 5 est premier avec le second facteur.
Par 2) 4 est premier avec le second facteur
Donc 10^(d+1) divise le premier facteur
Et on recommence en factorisant le premier facteur
@@totototo8119 belle solution digne des Olympiades !
Oui, l'arithmétique c'est toujours plein de surprises.
Je m'associe à jpl, merci pour ces vidéos !
Meilleurs vœux 2025.
@totototo8119 merci et meilleurs vœux à toi Toto ! j'espère encore plein de belles preuves alternatives sur cette chaîne!