К геометрии нет царских путей ➜ Найдите площадь квадрата
Вставка
- Опубліковано 2 лют 2022
- В прямоугольный треугольник вписан квадрат, имеющий с треугольником общий прямой угол. Найдите площадь квадрата, если его вершина делит гипотенузу на отрезки 2 и 3.
Telegram: t.me/volkov_telegram
Мой Дзен: zen.yandex.ru/valeryvolkov
Группа ВК: volkovvalery
Поддержать: donationalerts.ru/r/valeryvolkov
Предыдущее видео: • Решите уравнение ➜ √(x...
Valery Volkov / valeryvolkov
Семейный Дзен: zen.yandex.ru/rinaval
@arinablog наш семейный канал
/ @arinablog
Instagram: / volkovege
Twitter: / volkovege
Почта: uroki64@mail.ru
Только сейчас увидел, что можно было бы использовать теорему Пифагора для любого из двух маленьких прямоугольных треугольников вместо большого треугольника. Тогда решение было бы на 10 секунд короче. )))
Да, так и решил, двумя способами. x^2+(3x/2)^2=9 и (2x/3)^2+x^2=4 дают одинаковый результат.
Теорема Фалеса тоже интересна.
При случае ещё какую-нибудь задачу с применением этой теоремы изобразите.
Решение было бы в 10 секунд перерисовавши бы мы рисунок так что бы сторона равная 2 это один из катетов прямого треугольника , сторона равная 3 второй катет прямоугольного треугольника, а сторона квадрата это высота нашего нового треугольника и тогда все находиться по формуле h²=(2²•3²)/(2²+3²)
Здравствуйте Спасибо За Разбор Оригинальных .Даже если длинное решение но все равно красиво и изящно , зато можно узнать два способа оешения .Спасибо Еще раз .Класс отличная задача на планиметрию
Вот именно. :-)
Синус острого угла при основании данного треугольника равен x/3, а его косинус равен x/2. Применим основное тригонометрическое тождество: (x/2)*+ (x/3)*=1, поучаем: 13x*=36. x*=36/13. Площадь квадрата равна 36/13.
Самое элегантное, самое простое и самое быстрое решение.
это прямо великолепное решение!
Безусловно, это самое элегантное, самое простое и самое быстрое решение. Но в более громоздких решениях мы имеем удовольствие неторопливо изучать свойства математического объекта. В этом есть своя прелесть, согласитесь.
Не пойму и тут, откуда число 13 взялось, ни у автора ни тут нет объяснения ему
@@user-sv3bo4hj4m 3^2 + 2^2 = 13
Все. Не могу. Признаюсь. Профессор, я вас обожаю. Следить за вашими рассуждениями одно удовольствие.
Коротко и ясно. ❤
Вот жена-то обрадуется такому признанию в любви... 🙂
Интересная задача. Красивое решение. Спасибо.
Можно просто выкинуть из рисунка квадрат и провернуть верхний треугольник вниз по часовой стрелке на 90 чтобы оба треугольника соединилист стороне х. И все сведётся к нахождению высоты прямоугольного треугольника через катеты. Формула легко гуглится
После поворота верхнего тр-ка на 90° против часовой стрелки имеем:
1/x^2=1/2^2+1/3^2, S=x^2=2^2*3^2/(2^2+3^2). Это с прямоугольного тр-ка с катетами 2 и 3, и высотой на гипотенузу х.
Маленькі трикутники подібні за кутом. Нехай сторона квадрата 6x, тоді а=4х, b=10х. Звідки за теоремою Піфагора 325х²=25, х²=1/13.
S=36x²=36/13
Чудово!
Я решил по другому. Находим синус и косинус любого угла треугольника. Они соответственно равны х/3 и х/2 (или наоборот если другой угол взять).
Потом через ОТТ:
(х/3)^2 + (х/2)^2 = 1
4х^2 + 9х^2 = 36
х^2 = 36/13
Супер! Красиво.
маленькие дети не знают тригонометрии
Ровно так же решил. В уме. Смутился дроби 36/13, посмотрел решение в видео. Убедился, что ещё чего-то могу ))
Самое красивое решение, которое только встречал по данной задаче)))
Я решил точно таким же способом
Качественное видео. Спасибо за информацию Валерий Волков. 👍😁
Можно решить чуть проще. Сначала ТК же соотношение сторон, а потом по теореме Пифагора берём только маленький треугольник.
2/3=а/х. > а=2/3*х
а*2+х*2=2*2
4/9х*2+х*2=4
13/9х*2=4
Х*2=36/13
Второй способ: треугольники с гипотенузами 2 и 3 - подобные (доказать, что углы равны, можно, например, указав, что в трех местах на чертеже сумма углов равна 180 градусам и выстроив логическую цепочку). Если сторона квадрата равна X, то малый катет треугольника с гипотенузой 2 равен 2/3X, а большой катет треугольника с гипотенузой 3 равен 1,5X. И уже опять через теорему Пифагора находим X^2, беря любой из треугольников. (Пока писал коммент, понял, что я нашел те же стороны a и b, только другим способом, да и не смотрел на большой треугольник)
Можно проще доказать подобие через соответственные углы двух параллельных прямых
Валерий Волков, это олимпийский задача:
Отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольника АВС, равны 5, 12, 13. Найдите площадь треугольника АВС?
(Группа С, сложная задача)
можете решать????
А что значит отрезки, соединяющие основания треугольника АВС?
Может, по т. Герона? Или посмотрите на 5, 12 и 13:
5²+12²=13² , значит треугольник прямоугольный. Дальше в голову ничего не лезет...
@@lego4452 соединяющие основания высот
@@lego4452 он сказал "основания высот". Точка, где встречаются сторона треугольника и её высота, называется основанием.
@@volodymyrgandzhuk361 Спасибо)
Как всегда, красиво!
Я решал через подобие треугольников
Так очевиднее пропорциальных отрезков и теореиы Фалеса. Треугольники подобны по углам. через теорему Пифагора находится сторона треугольника-квадрата, всё.
По моему, есть царский путь: из подобных малых треугольников (возводя длины сторон в квадрат): x^2/(4 - x^2) = (9 - x^2)/x^2.
Решается элементарно: x^4 = x^4 - 13x^2 + 36; x^2 = 36/13.
Красивая задачка, спасибо!
И можно сразу писать не x^2, а площадь:
ua-cam.com/video/V-O5h0Od7SE/v-deo.html
@@getaclassphys о, какие люди здесь )
Можно решить так: приложить треугольник с гипотенузой 2 к треугольнику с гипотенузой 3 стороной х. Тогда получается прямоугольный треугольник с катетами 2 и 3. Его гипотенуза будет равна √13. Площадь этого треугольника можно найти двумя способами, приравняем их: (2*3)/2=(х*√13)/2; 6=х√13; х=6/√13. Площадь квадрата: х²=36/13.
Особое спасибо за упоминание теоремы Фалеса. с остальным "согласен" )))
По-моему так короче:
Из подобия маленьких треугольников: x / 2 = b / 3, но b = √9 - x^2
Получаем: x / 2 = √9 - x^2 / 3, возводим в квадрат: x^2 / 4 = (9 - x^2) / 9
9x^2 = 36 - 4x^2
x^2 = 36/13
Решается за пять сек. Нижний угол альфа. Sin=x/3, Cos=x/2. Складываем их квадраты. Сумма =1.
Это не "египетский" треугольник (3,4,5). Катеты- сумасшедшие дроби: 2.77...., 4,16......И интересно: можно ли построить такой треугольник при помощи циркуля и линейки?
Не бывает не египетский прямоугольный треугольник с гипотенузой равной 5
Бесчисленное множество.
С гипотенузой=5.
Катеты при этом- не целые числа.....
Только у "египетского" катеты- целые числа.
За это его знают и любят.....
Если из вершины прямого угла провести диагональ квадрата, то она будет биссектрисой треугольника. Используя теорему о биссектрисе, получим значения катетов.
Спасибо, очень интересно и поучительно. Предлагаю другой вариант. Из подобия маленьких треугольников следует равенство соответстченных углов. Берём sin a одного треугольника равен x /3,а cos a другого треугольника равен х/2. Так как углы равны, то справедливо равенство сумма квадрата sin и квадрата cos равно 1. Получаем уравнение
(х/3)(x/3) + (x/2)(x/2) = 1. Откуда x в вдрате равен 36/13, а это и есть площадь искомого квадрата. Спасибо.
треугольники подобны, а из-за квадрата получается что катеты относятся как 2k:3k. По пифагора из большего треугольника 4k^2+9k^2=9; k^2=9/13; Площадь квадрата = (2k)^2 = 4*9/13=36/13.... А теперь посмотрим видео... Ну ты и намудрил :)
Amazing. Thank you.
Треугольники с гипотенузами 2 и 3 подобны, а значит 2/3 = x/y или y = 3x/2.
По теореме Пифагора x^2 + y^2 = 3^2 => x^2 + (3x/2)^2 = 9 => x^2 + (9/4)*x^2 = 9 => (13/4) * x^2 = 9 => x^2 = 4*9/13.
я прикинул так: если гипотенуза =5, то катеты - 3 и 4, в маленьком треугольнике соотношение сторон 1.2:1.6:2, т.е. 1.44+2.56=4, отсюда S=2.56, вроде бы красиво, но ответ не сходится
Гениально, просто и со вкусом
Спасибо, интересно🤔💭
Используя подобие большого треугольника каждому из маленьких, катеты большого треугольника выражаются через сторону квадрата x как (5/2)x и (5/3)x. Ну а дальше теорема Пифагора для большого треугольника: (25/4+25/9)x^2=25, откуда x^2=36/13.
Красиво!
Короче всего через синус (x/3) и косинус (x/2) правого острого угла из среднего и меньшего подобных треугольников. Синус квадрат плюс косинус квадрат равно единице, x^2=36/13.
Можно и обобщить на случай если вершиной квадрата гипотенуза разбита на куски m и n.
x^2=(m*n)^2/(m^2+n^2)
@@user-jg1kr9ts3b , в случае Вас как мастера абстрагирования, я всеми конечностями "за!";
в случае объяснения старшеклассникам, -- увы, пичаль/тоска. Больше букак -- меньше понимания.
👍👍👍👍👍
Доброго дня, не помню как называлется такой прямоугольный треугольник , но с школы помню стороны равны 3-4-5 это именно такой, и через подобие по идее можно решить и без квадратов
Прямоугольные треугольники с гипотенузой 5 бывают разные. В данной задаче этот прямоугольный треугольник другой, то есть не египетский (не 3-4-5).
@@ValeryVolkov спасибо, тут у меня возникает вопрос доказательства о не единстве египетского треугольника подумаю
@@ValeryVolkov то бишь сколько прямоугольных треугольников с гипотенузой 5
Таких треугольников бесконечное множество.
@@alekseykostenko4975 все, у которых катеты a и √(25-a²), где 0
3 - 1 минута. Хорошая задача !!! Настоящая!
Можно было гораздо проще решить. Исходя из равенства углов двух треугольников, получается равенство их синусов (косинусов). А далее сторона квадрата х (катет одного из треугольников), катет другого корень из диагонали в квадрате плюс х2. 4 строки и площадь найдена.
1. Разобьём каждый катет тр-ка на 5 частей
2. Постоим "еденичный" тр-ник - соеденим 1 часть первого катета с 1 частью второго катета
Вывод:
"еденичный" тр-ник подобен основному тр-ку, следовательно:
(x/3)^2 + (x/2)^2 = 1^2
x^2 × (1/9 + 1/4) =1
Ответ: 36/13
Я через подобие решал, получилось подольше немного. Но таки решил)
Не чего уже не помню , Но всё равно смотрю регулярно ! Спасибо
В способе с теоремой Пифагора ловко на обыкновенную дробь умножили.
Не знаю сторону не нашел, но мне в голову сразу пришло вот такое решение: вырезаем квадрат ножницами и ломаем гипотенузу треугольника в месте , где квадрат касается ее своим углом, так, чтобы основание верхнего треугольника соединилось со стороной нижнего в единое целое ( ведь они равны т.к. являются сторонами квадрата) . Тогда мы получим прямоугольный треугольник с двумя катетами 2 и 3 и нам останется только найти высоту этого треугольника. Почему прямоугольный? Да потому что изгибая гипотенузу мы целиком повторяем угол вырезанного нами квадрата.( Справедливости ради следует отметить, что такой способ решения уже есть у вас комментариях)
1/х^2=1/2^2+1/3^2
Треугольники подобны по трем углам. Пусть сторона квадрата равна 2x. Тогда бОльший катет треугольника с гипотенузой 3 равен 2x. То есть:
9 - 9x^2 = 4x^2
x^2 = 9/13
S квадрата равно 2x*2x = 4x^2, то есть 9/13 * 4
Ответ: 36/13
Крутяк !)
решается в уме:
a, b - стороны большого треугольника
2/5*a = 3/5*b (из-за подобия треугольников и того факта, что вписан квадрат)
b=2/3*a
a^2 + (2/3*a)^2 = 25
a^2 = 225/13
S = (2/5*a)^2 = 4/25 * 225/13 = 36/13
S=36/13 Через синус и косинус, рассмотрев два прямоугольных треугольника, сторону квадрата взять за х.
Можно чуть упростить. Переменная а лишняя (или b - кому как удобно).
b/x = 3/2, b = корень из (9 - x2) то есть sqrt(9 - x2), значит sqrt(9 - x2)/x = 3/2, Возведем обе части в квадрат - (9 - x2)/x2 = 9/4 Перемножим на противоположные знаменатели. 36 - 4x2 = 9x2, 34 = 13x2, x2 = 36/13
прямоугольный треугольник с гипотенузой 5 - египетский треугольник с катетами 3 и 4, далее можно обойтись без сложного уравнения
Нет. Здесь треугольник со сторонами: 10/√13, 15/√13 и 5.
Долго решал. Но решил. В три этапа. Посмотрим правильно ли.
1. Сначала составляем систему из 3 уравнений Пифагора (a - сторона квадрата)
a2 + x2 = 4
a2 + y2 = 9
(a+y)2 + (a+x)2 = 25
Вычитаем из третьего уравнения первых два, упрощаем, получаем: a(x+y) = 6
2. Теперь нужно доказать подобие прямоугольных треугольников. У них равны углы alpha и 90-alpha. Значит треугольники равны. Из этого следует, что
x/a = 2/3 и a/y = 2/3 => x = 2a/3 и y = 3a/2
3. Подставляем найденные на втором этапе x и y в уравнения с первого этапа и решаем:
a*(2a/3) + a*(3a/2) = 6
13*a^2 = 36
a^2 = 36/13
Ответ: Площадь квадрата равна 36/13.
ПС. Поправил подсчет третьего этапа.
У меня 9/ 3.25
Исходя из нижнего треугольника, где в= 1.5x
x^2+(1,5x)^2= 9
Полагаю, если разделить 9 на 3.25 , то ответ будет тот же, если 36 разделить на 13.
Угу, тот же.
Интересная задачка, есть несколько способов решения.
постройте этот треугольник
Здравствуйте, скажите пожалуйста, существует ли способ разрезать произвольный прямоугольник так чтобы получить из этих частей равновеликий ему квадрат?
У меня нигде не удалось найти ответ на этот вопрос
Очевидно, чтобы найти площадь квадрата, нам нужно найти длину его стороны. Обозначим её как x.
Тогда искомая площадь будет x².
Треугольники со сторонами 2 и 3 очевидно подобны по 3 углам.
Сразу отметим, что нам известна длина гипотенузы каждого из них и, условно, один из катетов - x.
Что связывает катет и гипотенузу? Точно: всеми любимые тригонометрические функции!
Обозначим острый правый нижний угол при основании подобных треугольников, как æ, тогда:
• из нижнего треугольника с гипотенузой 3
sinæ=x/3;
• из верхнего треугольника с гипотенузой 2
cosæ=x/2.
Из основного тригонометрического тождества известно, что
sin²æ + cos²æ = 1
(x/3)² + (x/2)² = 1
13/36 • x² =1
x² = 36/13
А это и есть искомая площадь квадрата.
Быстро, просто и даже записи не требует.
Всё - эпик вин!
Я решил через подобие треугольников. Слава Богу, получил те же 36/13. Я рассматривал верхний маленький треугольник.
Составил жуткое уравнение, выразив a и b по теореме Пифагора из маленьких треугольников и вставив в теорему Пифагора для большого. После нескольких возведений обеих частей уравнения в квадрат и приведения подобных слагаемых получилось уравнение 169t^2-936t+1296=0, где t=x^2. И оно имеет нулевой дискриминант и как раз решение 36/13 =)
Əla
Тригонометрия 13x^2=36. Ответ 36/13.
👍🏻👍🏻
Проще из подобия треугольников. 3/2=x/(√(4-x^:2). 3√(4-x^2)=4*x^2.
Обязательно в ответе добавлять кв.ед? Ведь нигде единицы измерения в этой задаче не фигурируют
👍
А можно как-нибудь решить, достроив всё это дело до ромба? Получается ромб со всем сторонами 5 и вписанным квадратом, который делит эти стороны в соотношении 2:3
(может это что-нибудь даёт, а может и нет 😀)
При таком соотношении отрезков гипотенузы, квадрат вписать нельзя. Сторона прямоугольника, принадлежащая малому катету (=3), больше стороны прямоугольника, принадлежащей большему катету (=4). 3*(3/5)=1,8 > 2*(4/5)=1,6. Sпр.= 2,88
Единственное правильное решение, для вписанного квадрата, будет при соотношении отрезков гипотенузы равном 3:4.
4*(3/7)=1,[714285]... == 3*(4/7)=1,[714285]... . Ответ: Sкв.=1,[714285]...^2=2,93877551020.....
Соотношение отрезков гипотенузы может быть любым. Строим квадрат и бесконечные прямые вверх и вправо от левой стороны. К правому верхнему углу прикладываем линейку и под любым углом к горизонтали (но не параллельно ей) проводим прямую. Пересечение с двумя другими даёт треугольник с любым соотношением сторон (зависит от угла).
Таковой быть не может
Объясните пожалуйста, как вы перешли с 4 строчки (красной) на 5 (синюю)? За ранее благодарю!
Нашел сумму отдельно в каждой скобке и возвел каждую получившуюся сумму в квадрат.
@@ValeryVolkov во время видео вы сказали точно-также, я хотел немного подробнее. в любом случае спасибо)
А мне спать охота, лень решать
☀️☀️☀️☀️☀️☀️☀️
хех, а я ответ нашел через подобие треугольников с гипотенузами 2 и 3.)))
Прекрасно, но короче x/2=cos a, x/3=sin a , cos a=√(1-sin^2 a) , x/2=√(1-(x/3)^2); 9x^2+4x^2=36 ...
Решила сама сразу, намного проще
Я, как всегда решая строго в уме, зачем-то нашёл один из углов (самый маленький), и на этом меня обуяла лень. 🙂 Хотя, чую нутром, вполне можно было и этот способ довести до ответа.
PS. Почитал комменты... Зря я тормознул, способ-то оказался вполне годный.
Решил по другому:
Х = 3sinB и Х = 2 cosВ. В этоправый угол
Х*2 = 9sinВ*2. Х*2 = 4cosВ*2 =4(1-sinВ*2)
sinВ*2=Х*2/9. Х*2 = 4 - 4sinВ*2
Х*2 = 36/13.
Я примерно так же решал.
Изи, но я выразил немного по-другому.
(4-S)/4=S/9, отсюда ответ.
@GetAClass - Физика в опытах и экспериментах Да, я уже писал в закрепленном комментарии, что для решения можно было использовать любой из двух маленьких прямоугольных треугольников, тогда, если используем верхний маленький, то получаем: (4-S)/4=S/9, а если используем нижний маленький, то получаем: (9-S)/9=S/4. Можно и так, и так.
@@ValeryVolkov Я обычно решений не гляжу, сначала сам решаю, потом заглядываю. Просто я не записывал формулы, а по своему обыкновению нарисовал квадраты на сторонах, тогда сразу видно, как проще.
@@ValeryVolkov А ещё можно так: (4-S)(9-S)=S^2, здесь сразу видна структура, из которой возникает ответ. И стороны писать не надо, сразу площади.
@@ValeryVolkov Рассказал в своём стиле: ua-cam.com/video/V-O5h0Od7SE/v-deo.html
@GetAClass - Физика в опытах и экспериментах Да, у Вас получилось красивое решение!
Кто куда проходит и зачем!????
Я через тригонометрию решил
Ну хоть что то я могу решить
не понял откуда и как получилось 25?
Ить правда! a^2+(3*a/2)^2=9; 4*a^2+9*a^2=36; 13*a^2=36; a^2=36/13
С первого же взгляда определила стороны треугольника 3 и 4 и далее.... площадь ровна 144/49.Спасибо что помогаете восстановить мышление.
3 и 4 - ?
@@vitaliyruban2538
Не верно. B данной задаче : a/b =(2X/3)/(3X/2) = 4/9. A при катетах 3 и 4 получается, что a/b = 3/4.
@@vitaliyruban2538 с детства знала, что это 3 в квадрате плюс 4 в квадрате и равно 5 в квадрате.
Так и не понял объяснение откуда значение 13 взялось, ни объяснения ничего.
36/13 Через синус и косинус и основное тригонометрическое тождество
Са
честно, задача очень скучная
Имеем классический треугольник: 3, 4, 5. Здесь даже синусы не нужны. Легкое дополнительное построение и все решается моментально. Старик Пифагор решал все это на песке, веточкой. Ему, наверное, скучно было. Тем более, иррациональные числа он, скорее всего, не признавал.
Катеты равны 10/√13 и 15/√13
чё -то автор наворотил