Как Диофант Александрийский решал эту систему 2000 лет назад
Вставка
- Опубліковано 25 гру 2021
- Как древнегреческий математик Диофант Александрийский решал системы уравнений 1800 лет назад.
Telegram: t.me/volkov_telegram
Мой Дзен: zen.yandex.ru/valeryvolkov
Группа ВК: volkovvalery
Поддержать: donationalerts.ru/r/valeryvolkov
Предыдущее видео: • Найдите сторону квадра...
Valery Volkov / valeryvolkov
Семейный Дзен: zen.yandex.ru/rinaval
@arinablog наш семейный канал
/ @arinablog
Instagram: / volkovege
Twitter: / volkovege
Почта: uroki64@mail.ru
Оригинальный способ решения. Большое спасибо за видео.
Диофанту Александрийскому - Лайк, Подписка и Колокольчик!;)))
Все это интересно, но Диофант не мог знать об отрицательных числах. О них тогда не знали, потому что все квадратные системы связывали с геометрией. То есть a в квадрате представлялся, как геометрический квадрат со стороной равной а. Отрицательные числа придумали в 1600 годах в Италии.
Что за бред?
Первое их упоминание было в китае в книге "Математика в девяти книгах" примено 2 век до нашей эры. В Индии отрицательные - были как долги, не помню время, но где-то в нашей эре.
А Диофант жил в 3 веке нашей эры и он спокойно их использовал.
То, что римляни дураки были и выкинули все математические знания греции, оставили только как считать деньги, и так и пришло средневековье, которые было хуже развито, чем греция до нашей эры.
И то, даже так, отрицательные числа использовали как долги.
И откуда вообще цифра 16 у вас появилось? Когда Фибоначи жил в 12 веке. Фибаначи был торговцем и путешествуя по арабским странам привез знания о математики. Потому что арабы и индейцы сохранили знания Греции. И к слову, что дошло до нас по поводу Греции прошлого было переведено с арабских записей, поэтому мы не знаем точно, такие же слова или формулировки использовали в Греции, так как арабы могли не много ее искозить, хотя на суть это не влияет, главное, что все законы и теоремы до нас дошли.
Советую вам лучше знать историю. Вы не просто сказали диз инфу, что до италии не было отрицательных чисел, так еще вы не правильно указали дату.
Ведь Леонардо Пизанский(Фибанначи) жил в 12 веке и родился в Италии имено он привез в средневековье заново математику в своей книге "книга Абака"
Исключение составлял Диофант, который в III веке уже знал правило знаков и умел умножать отрицательные числа.
мог знать.
Значит он взял положительное d = 2). А о симметричности неизвестных догадался сам
Ну знаешь, некоторые древнегреческие философы утверждали что земля круглая, а доказали шарообразность только в 17 веке
Подзабыл я Диофанта! Спасибо за видео!
Первая мысль была: возвести первое уравнение в квадрат, подставить туда сумму квадратов и выразить произведение. Затем, зная сумму и произведение, составить приведённое квадратное уравнение с такими коэффициентами и решить. Или, если числа по их сумме и произведению ищутся легко, найти их сразу. Но древние греки, конечно, были гениями!
Я также решил . Конечно это напрашивается сразу, свести аля Виета. Можно систему и устно решить, если постараться. Ну а в защиту греков скажу, что между нами и ими более 1500 лет.
эй а можно найти общее решение для ax+by = c и квадраты
капец методом подставки решил за две секунды не заморачиваясь
@@afganezz а как бы ты решил методом подстановки 2000 лет, не имея решения через дискриминант?
@@artemosipuk5731 какого решения через дискриминант. тупо подставляешь цифры и все
Греческие математики действительно были гениями
отличный и лёгкий способ решения. буду пробовать с помощью решать подобные системы
Перед тем, как перейти к Диофанту, решил сам. Возвел первое уравнение в квадрат, в правой части =400. Вычленил из второго уравнения в правой части 400 за вычетом 192. Разница уравнений дала ХУ = 96. Такое число получается произведением 12х8, конечно, с учетом Х+У=20, а отрицательные отсекаются вторым уравнением системы. Не так замысловато, как у Диофанта, но зато быстро.
Класс! Спасибо!
(x+y)² = x² +2xy+y²=400
208+2xy=400
2xy=192
xy=96
Виета:
(1)xy=96
(2)x+y=20
Получается:
x1=8 или х2=12
y1=12 у2=8
Можно из первого уравнения вынести x или y и подставить во второё.
@@Ravwvil слишком банально
@@s4ymyn4me44 действительно, как будто возвести в квадрат не банально
@@Ravwvil нет
@@s4ymyn4me44 Ам, ок, а чем он не банальный, если я так ещё в 7-ом классе решал ?
Всё понял лайк поставил и подписался спасибо за расшеренние моего кругозора
при условии, что как и в этом уравнении числа не особо большие это можно решить в уме за 30 секунд если не забыть что, сумма 1 и 2 квадратных чисел в сумме дают на конце 8. Начав подставлять с 10 10 (100+100) мы видим, что 8 они не дадут, как и 11 и 9 (121+81). а вот 12 и 8 (144+64) нам как раз подходит, на конце 8, значит можно начать считать. 144+64 = 208.
Почему я предложил именно этот способ? всё просто. у нас ответ в первом уравнении 20, значит мы начнём от его половины, так как это будет самое наименьшее число из возможных 10^2+10^2=200. И уже от него отталкиваемся. Например если б у нас был ответ во втором уравнении 198, то мы бы уже смело могли сказать, что это уравнение не имеет решений. А если число слишком большое, то мы можем попробовать найти максимальное число просто взяв одно из чисел за 20 20^2+0^2=400
так вот, вряд ли много кто в школе замечал, что чем дальше числа от их среднего значения, тем больше получится результат.
Вот все примеры:
10^2+10^2=200
11^2+9^2=202
12^2+8^2=208
13^2+7^2=218
14^2+6^2=232
15^2+5^2=250
16^2+4^2=272
17^2+3^2=298
18^2+2^2=328
19^2+1^2=362
20^2+0^2=400
Это не математическое решение, а обычный подбор подходящего варианта.
@@user-jg2lm2tf7t и он лучше.😅
@@user-jg2lm2tf7t метод подбора и затем доказательство единственности - это как раз математический метод.
@@Max-is9lo Вы , видимо, правы: я не математик.
Ну так-то простое решение. Браво Диофанту Александрийскому.
Красота...
Проще выразить х или у из первого уравнения, х=20-у и подставить ао второе, используем формулу и получаем систему
х=20-у
400-40у+2у²=208
И решаем квадратное уравнерие, а потом просто подставляем корни, никаких вводов новой переменной, всё проще простого
Он не знал как квадраты решать
Тогда не было ни Дискриминанта, ни Виета, он просто не смог бы решить
Но тогда в задаче не было бы смысла
Да и время было другое
@@KrekFret ни дискриминант, ни виет не нужен чтобы решать квадратные уравнения. Главное знать метод выделения полного квадрата, которое появилось ещё в древнем Вавилоне
Я просто вспомнила, какие есть квадраты двузначных и однозначных чисел - дошла до 144 и 64 просто подбором
Я просто подбирал сумму из каких чисел может быть число 20, нашёл 8 и 12, подошло
@@ArchangelYork 19 и 1? 18 и 2? 17 и 3? и тд. Тупое решение
@@gdfosdm3191 зато эффективное
@@gdfosdm3191 не отрицаю, это простое решение и ответ правильный
@@gdfosdm3191 квадрат 19 больше 208, квадрат 18 тоже. 14 первое подходящее, от которого ответ не так и далеко
Класс!
Мне очень понравилось. Трижды лайк
Как может не понравиться такое красивое решение? Изящное решение для подобных систем. Пишу комментарий также в поддержку данного канала.
здравствуйте, мне понравилось что комментируется, что пишется. спасибо.
Мне кажется простейшее краткое решение дискриминантом куда проще, ведь так эту систему спокойно можно решить устно
@@extisecostra7878 это вы можете решить устно а я даже письменно ни чего не понял.
Очень изящно.
Гениально!
Я просто записал x²+y² как (x+y)²-2xy. X+y = 20, а подстановкой x=20-y и дальше решается через ,,y"
👍
Переход к полусумме и полуразности применяли еще в Вавилоне для решения квадратных уравнений
Идея Диофанта: пусть x и y - это корни квадратного уравнения, которое получается из системы в результате всех подстановок. Применяя формулу для корней квадратного уравнения, получаем: x = (-b/2) + d; y = (-b/2) - d, где b - коэффициент при первой степени неизвестной в этом квадратном уравнении, d - корень из четверти дискриминанта уравнения. Но так как b - это взятая с противоположным знаком сумма корней, то -b/2 = (x + y)/2 = 10. Откуда и получается такая удобная подстановка.
Решения через дискриминант на тот момент не существовало. Так что Диофант просто пытался решить систему уравнений любым способом
Было решение, аналогичное через дискриминант путём сопоставления площадей. Я лишь записал это решение, используя современные привычные обозначения и понятия.
Интересно никто не посмотрел в Википедию.Даже автор канала сказал,что допридумал решение, так, как в части решения используются отрицательные числа. Смотрим Википедию Диофант использовал в решении уравнений отрицательные числа. Он знал правила умножения отрицательных чисел. Но считал эти числа промежуточными и не имеющими геометрического выражения.
Для общего случая можно рассмотреть систему:
x+y=a
x^2+y^2=b
Проделывая все тоже самое:
d=(x-y)/2 a/2=(x+y)/2
(I) x=a/2+d; (II) y=a/2-d
Получим d^2=b/2-(a^2)/4
Необходимое условие b/2-(a^2)/4>=0 или 2b>=a^2
d=+(-)sqrt(b/2-(a^2)/4)
Подставляя d в (I) и (II) получим решения.
Для запоминания лучше в формуле для d, считать вычитаемое как (a/2) ^2
Тогда везде половинки a и b
Оригинально и просто!Спасибо! Еще один метод упрощения системы нелинейных уравнений!🦩🌹🌻🌴🦋
Путем подбора, секунд за пять решается ;)
Спасибо за экскурс в историю. Полезно...)
Благодарю
здравствуйте, мне понравилось что комментируется, что пишется. спасибо.
Такого у меня в школе не было.
Во времена Диофанта ещё не было отрицательных чисел. Как он тогда обосновывал первый ответ?
Да, первую пару решений я с помощью отрицательных чисел добавил за Диофанта, но сам Диофант тоже нашел эту первую пару, так как заметил, что система симметрична.
Скорее всего, исходная задача была просто: найти две величины по их сумме и сумме их квадратов. И тут уже неважно, кто первый, а кто второй, и с учётом этого ответ в задаче только один.
Что за бред?
Первое их упоминание было в китае в книге "Математика в девяти книгах" примено 2 век до нашей эры. В Индии отрицательные - были как долги, не помню время, но где-то в нашей эре.
А Диофант жил в 3 веке нашей эры и он спокойно их использовал.
@@ValeryVolkov ох уж эти древние… вечно приходится что-то за них добавлять 😃👍👍👍
А почему тогда древние греки не знали индийских цифр и писали греческими буквами? (использовали греческие буквы как цифры типа как и римляне использовали римские цифры).
А я могу сказать, почему. Потому что ничего не знали о достижениях индийских математиков. Только арабы, торговавшие с Индией, познакомили Европу с достижениями индийских математиков и дали им арабские цифры, которые есть индийские цифры, перерисованные арабами с более простым рисунком, чем первоначально индусы. Но основа - всё равно Индия.
Вы заметили, что при решении Диофант улыбается?
Интересно И Познавательно .Спасибо Валерий За новый Способ решения таких систем
Спасибо за интересное решение. Ваши задачи приводят ум в порядок, освежают память. Просветлённые головы решают задачи даже в уме!
🤔😇👍👍👍
Красиво.
#x+y=20 x2+y2=208
#x=20-y
#(20-y)2+y2=208
#400-40y+y2+y2=208
#2y2-40y+192=0
#D=1600-1536=8^2
#y=(40+-8)/4=12;8
#x=20 - (12;8)= 8;12
ответ= (8;12) и (12;8)
самое очевидное для меня решение было.
Не знаю как решалось, но я бы решил так:
Из 2-ого вычитаем 2* у^2 и раскладываем:
получим 20*(20-2*у)=208-2 * y^2, упрощаем получаем:
96=y*(20-y), откуда перебрав все делетили 96, получим y=12 или у=8, тогда x=8 или х=12 соответственно, проверка 64+144=208, а 12+8=20, подходит.
Это сейчас ты мог такое думать. Точнее тебя учили. А тогда такие уровнение ууууу
откуда известно, что x и y целые? 0_о
@@donkeykong1974 Да, в таком случае он будет перебирать бесконечно долгое время
@@donkeykong1974 диофантово уравнение - уравнение в целых числах
@@user-er2um9sg8w но сами числа могут быть огромны
Так что подбор всегда туфта ;(
8 и 12, просто подбор)
Решил так:
x^2+y^2+2xy=400
x^2+y^2+192=208+192 => xy=96
x^2+y^2-2xy=208-192
(x-y)^2=16 => x-y=4
4+y=20-y
y=8 => x=12
Жаль автор не напомнил, что отрицательные числа в то время рассматривались ка невозможные, а решения исключались. Диафант же рассматривал их как не существующие числа нужные для нахождения правильного результата в положительных числах. И данным примером он демонстрировал предназначение отрицательных чисел.
Слушайте крутое решение, а можно его применять в других подобных системах?
Деофант Александрийский ты гений!
Диофант*.
@@user-hr8wb8yz9u да ёлки палки!
Гораздо быстрее, легче и лучше будет использовать более современные методы решения. Формула от Диофанта подходит для симметричных уравнении без отрицательных чисел. За полторы тысячи лет, человечество придумало не менее прекрасные способы решения.
А данное видео я расцениваю как дань памяти великому греческому математику
@@sirocbit8041 спасибо за пояснения. Да и в принципе и не собирался отказываться от наших чудесных методов.
Творимiр Россомонов.
Браво! Прекрасные межпредметные связи!
Красиво
Есть ещё один способ: Представить x^2+y^2 как (x+y)^2-2xy=208, соответственно 400-2ху=208. То есть ху=96 и далее по теореме Виета подобрать корни 12 и 8
Это очень многим людям непонятно. Не для Средних Умов, сказать Честно.
@@user-of8kv5jx9t понятно же все
@@kokorskij не могли бы обяснить момент с виета?Все прекрасно понял,но с виета не доперло((как дальшн идти
Случайно подставил за x 12 и за y 8 и получилось правильно🙂
то же самое. х ведь неравно у, значит отличаются, сумма =20. Первый же варик - 8 и 12, совпало. 9 и 11 не канают, на конце 8-ки не будет
Удивительно, но я сразу решил эту систему.
Решение: из графических соображений 2 корня, один или ноль. Подбором пара (12;8) - решение. Т.к. система симметрична относительно x и y, то второй корень (8;12). Ответ.
При Диофанте такое при выходе из матери решали
Решил за 5 секунд при превью.))
Но решение Диофанта более лаконичное.)
Я решила уравнение более легким способом.Нужно раскрыть x^2+y^2 по формуле.И подставить вместо значения x+y число 20.Таким образом мы узнаем,что xy=96,а x+y=20.Методом подбора чисел,сюда идеально подошли числа 8 и 12.
Теорема Виета , топовая вещь , но мне дискриминант больше по душе.
Перед нами система Диофантовых уравнений, т.е. её корни - целые числа; также система симметричная. Значит, второе уравнение можно представить как формулу теоремы Пифагора. x и y, представляющие собой катеты, - целые числа, но гипотенуза представлена иррациональным числом sqrt(208)=sqrt(16*13)=4sqrt(13). Значит, оба корня чётные: x=2k, y=2n, где k, n - целые числа. Получаем уравнение 4k^2+4n^2=(4sqrt(13))^2; k^2+n^2=(2sqrt(13))^2. k, n - также чётные числа: k=2s, n=2p, где s, p - также целые числа. 4s^2+4p^2=4*13; s^2+p^2=13. Получается, сумма квадратов двух целых чисел равна 13. Есть только один такой случай: 3^2+2^2=9+4=13. Т.к. система симметричная, то имеем совокупность двух систем: s=3, p=2; s=2, p=3. x=2k=4s, y=2n=4p. x=12, y=8; x=8, y=12.
Проверка: 8+12=20; 8^2+12^2=64+144=208. Т.о., система имеет два решения: (12;8), (8;12)
Те, кто говорят, что а не проще ли в верхней части одну переменную перекинуть на правую часть, таким образом выразить одну переменную через другую, подставить в нижнюю и решить сначала для одной переменной, а потом подставить ответы из квадратного уравнения в верхнюю часть и увидеть значения для другой переменной.
Да, проще. Но вот только квадратные уравнения научились по-нормальному решать в середине 19 века, а данный мужчина проживал где-то в начале 3 века. К тому же тогда квадратные уравнения... ну они называются квадратами не просто так) все воспринималось, как геометрия.
Не знаю как многие комментаторы тут, где и как они учились, но я до первого курса универа ни сном ни духом про существование мнимой единицы.
Так что какого было мое удивление, что уравнения с отрицательным дискриминантом таки нужно решать.
И ведь это блин используется! Точно помню, что в электорсхемах, если есть мнимая единица, то это означает, что ты нашел значения для конденсатора с параллельным подключением. Ну или что-то в этом духе, матана в моей жизни уже лет 6 нет - слабо помню)
Красивое решение!
Дааа ! Гениальное! Математика, все-таки полна сюрпризов!
Это новый уровень решения систем уравнений (для меня)
класс
А не проще ли решать систему уравнений путем выражения одной неизвестной через другую. Из первого уравнения получить: х=20-у. Подставляем во второе уравнение вместо Х -> (20-у). И далее просто решаем квадратное уравнение. Ответы будут такие же)
нормальные люди через сим. уравнения решают
Нормальные люди решают так,как им удобно.Есть множество других вариантов,дающих такие же ответы.
мастерски решение
интересует достоверность портрета
Первое уровнение в квадрат.в него подставляем значение второго.и получаем произведение x и y равно 96,а сумма 20.подбираем 8 и 12.так решить легче чем он придумал
А распишите как получили 96
@@ALARMusII интересно??
@@user-yp5sz1bx9g нет, а что ?
@@ALARMusII (x + y)² = x² + y² +2xy = 208 + 2xy = 20² ⇒ xy = (400 - 208)/2 = 96.
0:42 объясните пожалуйста, почему мы можешь просто взять и сложить правые части уравнения и вычесть??
Потому что там равенства
@@Tezla0 ладно
Можно решить систему геометрическим способом: функцией уравнения x²+y²=208 является окружность с радиусом r=√208; функцией уравнения x+y=20 является прямая; а точки пересечения этих двух функций на координатной плоскости будут корнями данной системы.
вот только сперва надо начертить окружность с таким радиусом, и не факт, что получится точно определить корни
@@a25st Метод рабочий, возможно Диофант им пользовался
Доуольно интересно
Но спец прог не получится
В том плане, что визуально корни ты никак не определишь
Решил подбором, при первой же подстановке получил верное решение
Понятно, что стандартное решение - достроить полный квадрат во втором уравнении и в итоге получить xy = 96. Тогда можно выразить X через Y из первого, и соорудить еще одно квадратное уравнение с одной переменной.
Но Диофант, конечно, намного изящнее решил, сразу нашёл, как свести к одному неизвестному и не париться с дискриминантами)
Из второго ур-ния выделил квадрат суммы и подставил в него первое. Получилось квадратное уравнение с двумя корнями.
Прямая и окружность - не более двух общих точек
Подбором 8;12 и 12;8)
эти древние,оказывается, были совсем и не глупыми
Вообще то Диофант Александрийский не признавал отрицательные числа.
Да, продвинутый мужик не призвал, то что откроют через 1500 лет.
@@user-fo5wb5xt4f Ошибаетесь. Впервые отрицательные числа появились в Древнем Китае уже примерно 2100 лет тому назад. Там умели также складывать и вычитать положительные и отрицательные числа, правила умножения и деления не применялись.
я помню я в пятом классе так решал при задачей тетради и ручки и нужно было находить их обоих зная сколько их всего и зная сколько нужно денег отдать за это
Интересно, диафантовы уравнения сводятся к теореме Виетта:
x + y = 20;
x^2 + y^2 = 208 - да это ж почти разложение квадрата суммы!
x^2 + 2xy + y^2 = 208 + 2xy = 400
(x + y)^2 = 208 + 2xy, а x + y - уже известно.
400 = 208 + 2xy
xy = 96
x + y = 20
xy = 96
Пересечение окружности и прямой
Я б и 10 000 лайков поставил! Спасибо!
Возводим в квадрат первое уравнение, отнимаем от него второе и делим на 2. Получаем: х * y = 96. В качестве второго уравнения оставляем х + y = 10.
После этого корни находятся простым угадыванием, как и при решении квадратного уравнения по теореме Виета: раскладываем 96 на такие множители, которые в сумме давали бы 10. Первая попытка: 48 и 2. Не подходит. Вторая: 24 и 4. Уже лучше, но нет. А вот 12 и 8 подошло. В силу симметрии уравнений второе решение очевидно. P.S. И зачем я это смотрел? :)
Первое уравнение возводим в квадрат .вместо х^2+y^2 во втором ставим 400 - 2ху. Откуда xy= 96. x+ y = 20
Офигеть
Впервые реально подумал над решением до просмотра самого видео. Решил за 5 минут в заметках.
{x+y=20
{x²+y²=208
y=20-x
x²+(20-x)²=208
x²+400-40x+x²=208
2x²-40x+192=0
x(1;2)=(40±√(40²-4*2*192))/4
x(1)=12 y(1)=20-12=8
x(2)=8 y(2)=20-9=12
так суть в том, чтобы не решать квадратное уравнение как раз. по крайней мере с ненулевыми коэффициентами b и с
Валерий, скажите жене записать видосик, где она сделает новогодюю вкусняшку)))))
Да! Диофант голова! Если он умудрился не просто решить, а хотя бы записать десятичными цифры данные уравнения, если их стали употреблять в мире не ранее 17 века!
Сделать замену первого выражения через одну переменную
Прямая и окружность имеют не более двух общих точек; система симметрична. x=y не подходит. Подбираем 8 и 12. Значит, и (12; 8) автоматом. Умный подбор рулит
есть идея, если сумма квадратов кончается на 8, то чтобы получить его нужно чтобы квадраты обоих чисел кончались на 4 (потому что остальные варианты невозможны) и числа в сумме давали 20, причем каждое из них меньше 15 (15*15 = 225 > 208)
тогда единственный вариант 12 и 8 (или 8 и 12) и подстановкой проверяем
и я абсолютно о том же! всё гораздо проще! зачем для простой задачи искусственно выдумывать сложное решение?
@@Olka.Nikitina автор же сказал в начале ролика - есть много разных вариантов решения этой системы уравнений, но мы рассмотрим решение Диофанта..
это называется подбор, а не решение. а подбором мы не можем гарантировать единственность решения. это детский садик
"нужно чтобы квадраты обоих чисел кончались на 4 (потому что остальные варианты невозможны)"
Попробуйте решить уравнение x^2+y^2=18
@@user-nx1bo5bj9r урыл но он все равно не подходит
Решил методом подбора чисел. Со второго раза получил 8 и 12)))
8 и 12 решается подбором))
Очень плохо. Уж если вы так подробно объясняете как писать, складывать и перемножать числа (что и так все умеют делать), то объяснить основание использования полусуммы и полуразности вы были просто обязаны. Это здесь самое ценное, и для многих подписчиков совсем неочевидно.
Написал с досады, канал ваш очень нравится.
Согл я про полусуммы не понял, зачем почему и как он пришёл к такому
Станислав Паташин
Скорее всего методом проб и ошибок (попробовал, и получилось!). Вряд ли здесь использовано какое-то правило. Это называется "искусственный прием".
Основание такое: можно заметить, что квадрат суммы и квадрат разности чисел x и y отличаются на 4xy. Следовательно, квадраты их полусуммы и полуразности отличаются просто на xy. Полусумму мы знаем. Отсюда, зная ещё и произведение (ищется любым удобным способом), находим квадрат полуразности и саму полуразность. По ним уже легко найти и сами числа.
Насколько помню, больше всего вот такие "объяснения" отвращали от математики в старших классах... "А давайте возьмём и всё заменим/поменяем в этих уравнениях. Смотрите, как славно потом получится! " Да с чего вдруг эта замена должна прийти школьнику в голову?
Who invented this system? No doubt a math genius.
Спасибо за экскурс в историю. Я так понимаю что этот способ подходит только для симметричных систем? Иначе получим обычное квадратное уравнение с переменной d.
Получается, что да
Но может быть есть и общий способ
Графически решить можно намного легче за 15 секунд просто нужно изобразить прямую и окружность их пересечение будет ответом
x+y=20
(x+y)^2-2xy=208
2xy=192
xy=96
Подставляем и получаем корни (8;12) и (12;8)
Я просто подобрал значения
Отрицательные числа во времена Диофанта Александрийского ???
Решила подбором на 3 секунды :))))
Не легче ли подстановкой + Дискриминант?
Или например угадать одну пару (вряд ли в те времена были вещественные числа) и заметить что система симметрична
Математика 80лвл xD
Не легче, ибо в общем виде это не поможет
@@user-ig8de5jf6h как Диофант решал ЭТУ систему...
@@user-sx3mp5sv2y я понимаю, но смысл тогда искать решения если всегда множно подставить?
Он именно искал решение, пожтому вопрос " а не легче ли подставиьь?" Бессмысленный
@@user-ig8de5jf6h всегда когда решение в целых числах легче угадать ответ. Ну и про формулу корней квадратного уравнения не забываем. Она работает всегда
Классное решение, хотелось бы увидеть его в действии с более сложными системами, как заметили многие. Если честно, первая мысль о решении, это квадрат от 12 до 14 плюс квадраты оставшихся 8 и 6 соответственно.
Есть ли другие уравнения с подобным способом решения, наверное. Представляю, что Диафант хотел разработать систему решения сумм x+y+z... n=F и суммы квадратов тех же чисел равных H, и планировал постепенно сужать количество неизвестных группируя их. Но остановился на квадратах.
@@olegkletskiy5596 понял Вас, надеюсь будут ещё на этом канале, с наступающим)
Возможно моё решение не строго доказательно, но оно значительно проще. Я возвел в квадрат правую и левую часть уравнения x+y =20. X²+2XY+Y²=400; Откуда XY=96. Дальше очевидно: в целых числах 96 это 12×8. Элементарно!
Из второго: |х|=√(208-у²)
Из первого:х=20-у
Поставляем
|20-у|=√(208-у²)
Возводим в квадрат
400-40у+у²=207-у²
2у²-40у+196=0
Делим на 2
у²-20у+196=0
Решаем через Виета:
у=12 либо х=8
В Область допустимых значений 208-у² больше или равно 0 оба подходят.
Ответ:
(8;12). (12;8)
Из первого х=20-y,из второго х=корень из 208-y2,приравнять 20-y=¥208-y2 ,избавиться от корня
/20-y)2=208-y2, 400-40y+ y2-208+y2 =0 2y2-40 -192 =0 :2 y2-20y-96=0
@@user-bl6qb7ip7l это не тоже самое?
А зачем? После подстановки y=20-x получаем квадратное уравнение
x^2-20x+200=104
И тут легко заметить что это
x^2-20x+100=4
(x-10)^2=4
x-10=+-2
x1=8
x2=12
А просто из первого уравнения нельзя написать у=20-х и подставить во второе уравнение?
Если бы этот диафант ещё существовал в реальности...
Красивейшее решение!! 👍