Красный отрезок от большой окружности до нижнего угла b√2+b, а от малой b√2-b. Отношение этих отрезков (b√2+b)/(b√2-b)=(√2+1)/(√2-1), коэффициент подобия. Дальше всё как в видео. Спасибо за подробное решение.
Валерий, добрый вечер. Расскажите пожалуйста, как происходит процесс съёмки ваших видеороликов, какой программой пользуетесь, каким графическим планшетом или может быть мышкой?
Соединим центры окружностей отрезком, длина которого будет R+r. Из центра большой окружности опустим перпендикуляр на одну из сторон угла, а из центра маленькой - перпендикуляр на только что проведённый отрезок. Получаем равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами R-r и гипотенузой R+r. Отношение (R-r)/(R+r) как синус или косинус острого угла в этом треугольнике будет равно корню из 2. Далее дело за алгеброй выразить R через r: R*2^0.5-r*2^0.5=R+r R(2^0.5-1)=r(2^0.5+1). Площадь маленького круга известна: пи*r^2 = 1. Площадь большого круга пи*R^2 = пи*r^2 * (2^0.5+1)^2/(2^0.5-1)^2= (2+2*2^0.5+1)/(2-2*2^0.5+1)=(3+2*2^0.5)/(3-2*2^0.5)=(3+2*2^0.5)*(3+2*2^0.5)/[(3-2*2^0.5)*(3+2*2^0.5)]=(3+2*2^0.5)^2/(9-8)= =(9+8+12*2^0.5)=17+12*2^0.5. Может, не оптимально, зато сам!
Нормальные герои всегда идут в обход! Я решал в общем виде через радиус большого круга, получил квадратное уравнение с одним действительным корнем. Включил видео в ожидании как уложилось решение в три минуты. Очень изящно.
Задача легко свелась к решению прямоугольного равнобедренного треугольника с катетом R - r и гипотенузой R + r, где r и R - радиусы малого и большого кругов. Получилось квадратное уравнение относительно x = R/r, имеющее два положительных корня. Меньший отброшен, как не соответствующий условию задачи. Полагаю, его смысл относится к ещё меньшему кругу, втиснутому между малым кругом и стойкой. Посмотрел решение - ответ совпал.
@@ds9633всё верно, уравнение симметрично относительно радиусов малого и большого кругов, поэтому если нам известно про большой круг, а про малый - нет, мы получим точно такое же уравнение.
Делаем проекцию радиусов на ось x - горизонтальную линию a. a=(a+b)(√2)/2+b, Решаем это уравнение относительно a. a(1-(√2)/2)=b(1+(√2)/2)) a=b*(1+(√2)/2))/(1-(√2)/2) a=b*(2+(√2))/(2-(√2)) Домножаем числитель и знаменатель справа на (2+(√2))) a=b*(2+(√2))^2/(4-2)=b*(3+2√2) pi*a^2=pi*b^2*(3+2√2)^2 S1=1*(3+2√2)^2=17+12√2~34
Чёт вспомнилась миниатюра Райкина про 22 кв литра😂когда он кухню с ванной мерил длинной бутылки водки 0.5😂а почему длинной?так он бутылку боком к стенке прикладывал😂
Задача решается не сложно, только ответ некрасивый. Нужно рассмотреть 2 сечения - диагональное и параллельное основанию, такое чтобы окружности касались друг друга и сторон квадрата. В диагональном окружности не касаются коротких сторон прямоугольника, а только попарно друг друга и маленького шара.
@@ds9633 Да, с секущими плоскостями решить можно, только ответ, действительно, получается некрасивый. Полусферы в угле arccos(√2/√3) = 35,264°. Соотношение радиусов будет приблизительно 0,267 (на самом деле бесконечная непериодическая дробь), и не видно, что на самом деле это красивое число: (-√3+2)
Некрасиво получиться не может. Аналогичные рассуждения, как для плоского случая. Отношение радиусов шаров получается (корень(3)+1)/(корень(3)-1) = 2+корень(3). Соответственно отношение объёмов = 26+15*корень(3).
попробую сначала решить, никуда не глядя. Дополним рисуонк, заключив малый круг в квадрат, дорисовав вертикальный и горизонтальный отрезки, изцентра большого круга проведём горизонтальный и вертикальный радиусы, а также lдиагональ большого квадрата из центра большого круга правыйнижний угол. Из симметрии диагональ будеттакже диагональю квадрата, описанноо вокруг малого круга, и пройдёт через центр малого круга. Обозначим радиусы кругов R и r. Вычислим ддлину диагонали двумя способами, и приравняем. Как диагональ квадрата со сторной R, её длина равна R*корень из двух. Эту длину можно также составить, просуммировав рдиус большлшл и малого кругов и половину диагонали малого квадрата. Половина диагонали малого квадрата равна r*половина от корня из двух. Обозначив корень из двух символом Sr2, получим: (тут я ошибся! НА самом деле половина диагонали малого квадрата равна R*Sr2 ,без пополам!!!) R*(Sr2)= R+r+r*(Sr2/2) R*(Sr2-1)=r*(1+ Sr2/2) Возведём обе части в квадрат: R*R*(2-2*Sr2+1)=r*r*(1+Sr2+1/2) R*R*(3-2*Sr2)=r*r*(3/2+Sr2) (R*R)/(r*r)=(3/2+Sr2)/(3-2*Sr2) Площади кругов относятся как квадраты радиусов, поэтому: S/1=(3/2+Sr2)/(3-2*Sr2) Если ничего ненапутал ввычислениях,то S=8+1\2+6*корень из двух. А теперь смотрим ролик:... увы, напутал, но подход такой же как у автора.
Типичная жизненная ситуация. Хотя бы на боксёрском ринге. А число получилось у меня 17+12*корень(2). Отношение радиусов (1+корень(2))^2. Площадей - 4-я степень. А результат можно получить практически мгновенно, если рассмотреть бесконечную последовательность таких касающихся кругов. Расстояние от каждой точки касания до угла как раз и есть меньший для неё радиус * (1+корень(2)) и больший радиус * (корень(2)-1). Отношение (корень(2)+1)/(корень(2)-1) = (1+корень(2))^2.
Не верное решение хоть и дает приблизительно верный результат. А кому интересно, то площадь круга априори не может быть рациональной, она всегда иррациональна, а следовательно задав рациональность площади круга, вы задаете иррациональность радиуса, а следовательно для грамотного решения этой задачи, а не поиск подгонки решения по приблизительным параметрам, необходимо учитывать иррациональность радиуса (по заданным параметрам), а следовательно и иррациональность отрезка от вершины угла до окружности, что приводит к обязательному нахождению соотношения этих двух отрезков, что бы перейти от иррациональности к рациональности. Вот и получается, что автор из интересной задачи с исследовательским уклоном при применении, а вернее подгонки, решения, превратил ее в обыкновенную банальщину.
Соотношение радиусов кругов: большого к малому (2√2+3) = 5,828, малого к большому (-2√2+3) = 0,171. Тут интересно, что 2√2+3 = 1/(-2√2+3) Для меня, не математика, это как-то загадочно
Помнится, вроде, в позапрошлом году, может раньше, учительница с помощью линейки и циркуля разделила угол пополам. Какая сенсация была! Вот почему такие задачи появляются? Как для первоклассника. Берем тетрадь в клетку рисуем здесь по клеточкам кружок, а вот здесь еще один кружочек. Ну вы же видите, что тут кружок как раз помещается. С чего вдруг решили, что там будет этот кружок?
там можно увидеть прямоугольный равнобедренный треугольник, если дорисовать касательную двух окружностей. и маленький круг будет вписан в этот треугольник.
а когда автор умножал и числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю, он заранее знал, что в результате получится единица? в любом другом случае знаменатель бы остался (ну не совсем в любом)
Задача понравилась...) Спасибо. 🖐🌞
Красный отрезок от большой окружности до нижнего угла b√2+b, а от малой b√2-b. Отношение этих отрезков (b√2+b)/(b√2-b)=(√2+1)/(√2-1), коэффициент подобия. Дальше всё как в видео. Спасибо за подробное решение.
Валерий, добрый вечер. Расскажите пожалуйста, как происходит процесс съёмки ваших видеороликов, какой программой пользуетесь, каким графическим планшетом или может быть мышкой?
Соединим центры окружностей отрезком, длина которого будет R+r. Из центра большой окружности опустим перпендикуляр на одну из сторон угла, а из центра маленькой - перпендикуляр на только что проведённый отрезок. Получаем равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами R-r и гипотенузой R+r. Отношение (R-r)/(R+r) как синус или косинус острого угла в этом треугольнике будет равно корню из 2. Далее дело за алгеброй выразить R через r: R*2^0.5-r*2^0.5=R+r R(2^0.5-1)=r(2^0.5+1). Площадь маленького круга известна: пи*r^2 = 1. Площадь большого круга пи*R^2 = пи*r^2 * (2^0.5+1)^2/(2^0.5-1)^2= (2+2*2^0.5+1)/(2-2*2^0.5+1)=(3+2*2^0.5)/(3-2*2^0.5)=(3+2*2^0.5)*(3+2*2^0.5)/[(3-2*2^0.5)*(3+2*2^0.5)]=(3+2*2^0.5)^2/(9-8)=
=(9+8+12*2^0.5)=17+12*2^0.5. Может, не оптимально, зато сам!
Решал так же, ответ такой же.
Нормальные герои всегда идут в обход! Я решал в общем виде через радиус большого круга, получил квадратное уравнение с одним действительным корнем. Включил видео в ожидании как уложилось решение в три минуты. Очень изящно.
Задача легко свелась к решению прямоугольного равнобедренного треугольника с катетом R - r и гипотенузой R + r, где r и R - радиусы малого и большого кругов.
Получилось квадратное уравнение относительно x = R/r, имеющее два положительных корня. Меньший отброшен, как не соответствующий условию задачи. Полагаю, его смысл относится к ещё меньшему кругу, втиснутому между малым кругом и стойкой.
Посмотрел решение - ответ совпал.
Сначала также решал и засомневался что 2 корня получилось...
@@ds9633всё верно, уравнение симметрично относительно радиусов малого и большого кругов, поэтому если нам известно про большой круг, а про малый - нет, мы получим точно такое же уравнение.
Здравствуйте! Вот идея может быть для Вашего видео:
x + [x] = 1/3 x^2, где [x] - целая часть числа x
Делаем проекцию радиусов на ось x - горизонтальную линию a.
a=(a+b)(√2)/2+b, Решаем это уравнение относительно a.
a(1-(√2)/2)=b(1+(√2)/2))
a=b*(1+(√2)/2))/(1-(√2)/2)
a=b*(2+(√2))/(2-(√2))
Домножаем числитель и знаменатель справа на (2+(√2)))
a=b*(2+(√2))^2/(4-2)=b*(3+2√2)
pi*a^2=pi*b^2*(3+2√2)^2
S1=1*(3+2√2)^2=17+12√2~34
Как всегда в подобных задачах побеждает умение решать треугольники
Чёт вспомнилась миниатюра Райкина про 22 кв литра😂когда он кухню с ванной мерил длинной бутылки водки 0.5😂а почему длинной?так он бутылку боком к стенке прикладывал😂
Понятно!
Здравствуйте, вы проводите уроки онлайн по подготовке к ЕГЭ?
Теперь, пожалуйста, решите задачку про шарики в вершине куба. Каково соотношение их радиусов?
Задача решается не сложно, только ответ некрасивый. Нужно рассмотреть 2 сечения - диагональное и параллельное основанию, такое чтобы окружности касались друг друга и сторон квадрата. В диагональном окружности не касаются коротких сторон прямоугольника, а только попарно друг друга и маленького шара.
@@ds9633
Да, с секущими плоскостями решить можно, только ответ, действительно, получается некрасивый. Полусферы в угле arccos(√2/√3) = 35,264°. Соотношение радиусов будет приблизительно 0,267 (на самом деле бесконечная непериодическая дробь), и не видно, что на самом деле это красивое число: (-√3+2)
Как доказать, что
(1-sin(arccos(√2/√3))) /(1+sin(arccos(√2/√3))) = 2 - √3
Некрасиво получиться не может. Аналогичные рассуждения, как для плоского случая. Отношение радиусов шаров получается (корень(3)+1)/(корень(3)-1) = 2+корень(3). Соответственно отношение объёмов = 26+15*корень(3).
Chotkiy
++++ Просто, понятно
попробую сначала решить, никуда не глядя. Дополним рисуонк, заключив малый круг в квадрат, дорисовав вертикальный и горизонтальный отрезки, изцентра большого круга проведём горизонтальный и вертикальный радиусы, а также lдиагональ большого квадрата из центра большого круга правыйнижний угол. Из симметрии диагональ будеттакже диагональю квадрата, описанноо вокруг малого круга, и пройдёт через центр малого круга. Обозначим радиусы кругов R и r.
Вычислим ддлину диагонали двумя способами, и приравняем.
Как диагональ квадрата со сторной R, её длина равна R*корень из двух.
Эту длину можно также составить, просуммировав рдиус большлшл и малого кругов и половину диагонали малого квадрата. Половина диагонали малого квадрата равна r*половина от корня из двух. Обозначив корень из двух символом Sr2, получим:
(тут я ошибся! НА самом деле половина диагонали малого квадрата равна R*Sr2 ,без пополам!!!)
R*(Sr2)= R+r+r*(Sr2/2)
R*(Sr2-1)=r*(1+ Sr2/2)
Возведём обе части в квадрат:
R*R*(2-2*Sr2+1)=r*r*(1+Sr2+1/2)
R*R*(3-2*Sr2)=r*r*(3/2+Sr2)
(R*R)/(r*r)=(3/2+Sr2)/(3-2*Sr2)
Площади кругов относятся как квадраты радиусов, поэтому:
S/1=(3/2+Sr2)/(3-2*Sr2)
Если ничего ненапутал ввычислениях,то
S=8+1\2+6*корень из двух.
А теперь смотрим ролик:... увы, напутал, но подход такой же как у автора.
У нас в школе когдато наоборот решали. Площадь большого круга известна
2/✓π=R(√2-1), поскольку центры окружностей лежат на биссектрисе прямого угла, пардон возраст видимо, всё-таки...правильно R√2=R+1/√π +√2/√π
Типичная жизненная ситуация. Хотя бы на боксёрском ринге. А число получилось у меня 17+12*корень(2). Отношение радиусов (1+корень(2))^2. Площадей - 4-я степень.
А результат можно получить практически мгновенно, если рассмотреть бесконечную последовательность таких касающихся кругов. Расстояние от каждой точки касания до угла как раз и есть меньший для неё радиус * (1+корень(2)) и больший радиус * (корень(2)-1). Отношение (корень(2)+1)/(корень(2)-1) = (1+корень(2))^2.
R+2r=R√2 ,ну а дальше просто, если знаешь чему равна площадь круга.
Нет. R+r+r√2=R√2, я именно через это и решал
Как красиво он пишет мышкой
Думаю, это электронное перо. Есть такие удобные инструменты для письма) почерк понятный и ровный😊
Не верное решение хоть и дает приблизительно верный результат.
А кому интересно, то площадь круга априори не может быть рациональной, она всегда иррациональна, а следовательно задав рациональность площади круга, вы задаете иррациональность радиуса, а следовательно для грамотного решения этой задачи, а не поиск подгонки решения по приблизительным параметрам, необходимо учитывать иррациональность радиуса (по заданным параметрам), а следовательно и иррациональность отрезка от вершины угла до окружности, что приводит к обязательному нахождению соотношения этих двух отрезков, что бы перейти от иррациональности к рациональности.
Вот и получается, что автор из интересной задачи с исследовательским уклоном при применении, а вернее подгонки, решения, превратил ее в обыкновенную банальщину.
Соотношение радиусов кругов: большого к малому (2√2+3) = 5,828,
малого к большому (-2√2+3) = 0,171.
Тут интересно, что 2√2+3 = 1/(-2√2+3)
Для меня, не математика, это как-то загадочно
Сопряжённые обратны (с точностью до знака и модуля). Так и здесь: a²−b = ±1 ⇔ a+√b = ±1/(a−√b).
Валерий, я вам скинул несколько олимпиад ВК
Помнится, вроде, в позапрошлом году, может раньше, учительница с помощью линейки и циркуля разделила угол пополам. Какая сенсация была! Вот почему такие задачи появляются? Как для первоклассника. Берем тетрадь в клетку рисуем здесь по клеточкам кружок, а вот здесь еще один кружочек. Ну вы же видите, что тут кружок как раз помещается. С чего вдруг решили, что там будет этот кружок?
Извинюсь, учительница разделила на три части угол.
там можно увидеть прямоугольный равнобедренный треугольник, если дорисовать касательную двух окружностей. и маленький круг будет вписан в этот треугольник.
Докажите що точка касания двух окружностей лежит на углополовящей !!! ....
cos(45) = a/(a+b) π•b^2=1
а когда автор умножал и числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю, он заранее знал, что в результате получится единица? в любом другом случае знаменатель бы остался (ну не совсем в любом)
Ну и что с того, что он остался бы? Это бы как-то повлияло на решение?)
@@user-hj3tk9fm4n все верно, я еще раз переслушал. Валерий хотел избавиться не от знаменателя, а от иррациональности. Тогда все нормально)
Я решал с помощью логарифмических интегралов, то этот метод тоже ничего.
33,964 мой ответ после часа головоломания с элементами тригонометрии. Фууух.
Ну и в чём тут проблема? Теорема Пифагора и всё.
р=1/√п
√2Р=Р+(√2+1)/√п
Р=(√2+1)/(√п*(√2-1))
Р=(3+2√2)/√п
S=пР²
S=17+12√2
Зачем избавляться от иррациональности в знаменателе? Ответ от этого стал менее иррациональным?
Я нашёл только радиус маленького круга: π•r²=1; r²=1/π; r=1/√ π. На троечку нарешал короч)