#86. Divisibility and Diophantine equations! HARD PROBLEM!
Вставка
- Опубліковано 15 чер 2024
- TASK TO ALL VIDEOS: wall-135395111_8104
SPEED UP THE PROCESS OF CREATING A NEW VIDEO: www.donationalerts.ru/r/wildma...
VK: wildmathing
Diophantine equations - this is what the doctor prescribed: increase mood, improve appetite. The task was on a real exam in 2015.
Condition.
a) Is there a four-digit number whose product of digits is 15 times the sum?
b) Is there a four-digit number whose product of digits is 200 times the sum?
c) Find all four-digit numbers whose product of digits is 12.5 times the sum.
MORE STEPS ON THE THEORY OF NUMBERS
1. The most difficult task on UA-cam: • #141. СОЧНАЯ ЗАДАЧА ПО...
2. A beautiful task from the exam: • #151. КРАСИВАЯ ЗАДАЧА ...
3. The problem of sets and subsets: • #77. КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧИ...
Пункт б можно ещё через одно из неравенств о средних доказать. Пишем систему (abcd = 200(a + b + c + d) && (a + b + c + d)/4 >= sqrt(sqrt(abcd))). Уравнение подставляем в неравенство - (a + b + c + d)/4 >= sqrt(sqrt(200*(a + b + c + d)). Обозначим a + b + c + d = x (x > 0 && x = 0 или x(x^3 - 51200) >= 0. 51200^(1/3) > 37 (легко проверить). Прлучается, на ограничениях для x нет решений. Это решение с одной стороны лучше, с другой хуже. Лучше, т.к. думать почти не надо и неравенство хорошее за тебя давно вывели. А плохо тем, что для решения пункта в никак не поможет.
Как тебе такое решение, Илон Маск? Ой то есть Wild Mathig :D
Это красивое решение, одобряю! (без шуток)
@@WildMathing, прошу прощения за беспокойство! Я думаю, что пункт б можно обосновать гораздо проще. Ввиду того, что abcd делится на 200, то оно должно делится на 100 и 2. Следовательно 2 последних числа являются нулями. А это значит, что произведение цифр числа abcd = 0. Следовательно такого числа не существует. ( 0 = 200(a + b + c + d)
@@r-cooh_ki7063, это хорошая идея! Но ведь если произведение цифр делится на 200, то это еще не значит, что само число делится на 200, верно? Например, произведение цифра числа 5452 делится на 200, но само число - нет
@@WildMathing, спасибо за разъяснения. Я понимаю, что рассматриваю частный случай. У меня ещё математика слабая.
в конце видео показалось, будто инет залагал)
ооо так это не только у меня
В пункте б) после получения равенства cd=8(10+c+d) можно было сказать, что левая часть не более 9*9=81, а правая не менее 8(10+1+1)=96, значит равенство невозможно
Слишком качественный контент для моих глаз!
Спасибо за решение интересных задач и методы решения диофантовых уравнений.
Задачи были не сложными. Вам спасибо, понял принцип подобных задач и теперь сам их решу запросто!
- *глубокий вдох*
- АААААААААААААААААААААА
У каждого своя система принятия!
вообще красавчик, всё просто и понятно, а главное лаконично
Рад, что понравилось!
@@WildMathing мужик ты крут, я не могу понять почему у тебя такая маленькая аудитория. Твои видео качества канала в котором минимум 10^6 подписчиков. Думаю ты по физике тоже способен снимать такие видео.
@@ilkinnabiev89 хехе, не надо подлизываться со своей физикой
Это я тпой или вы умные?
большое спасибо за видеоролик!
4:58
Ответ на Основной Вопрос Жизни, Вселенной и Всего Остального)
очень красиво!
теория чисел - одна из самых любимых наук :)
Класс!
Держи лукас😄😉
топ контент
Привет Вайлд, а можно решить пункт b так :
Докажем, что (abcd)/(a+b+c+d)=S
Привет! Супер! Да, так можно поступить, единственное, нужно подробно объяснить, почему максимум достигается при равных цифрах. Например, используя неравенство о средних
Здравствуйте! Ваши видео действительно хороши. Мне они очень нравятся. Я вот о чём, как грамотно написать в решении на ЕГЭ, что у нас получилось d=4? (1:54)
Добрый вечер! Спасибо! На самом деле, в решении пункта а) вообще этого писать не нужно, это я для вас старался. Достаточно свой ответ оформить так: "Да, существует. Например, 5344. 5*3*4*4=15(5+3+4+4)." - все, ни слова больше. Если хочется оформить подробнее, то хватит того, что написано в этот самый момент 1:54. Если хочется совсем подробно, то можно аккуратно выписать полный перебор. Если хочется показать свои таланты, то можно написать так: c=(8+d)/(d-1)=1+9/(d-1). Поскольку 9 делится только на 1, 3 и 9, то d=2 (не годится, т.к. c=10), d=4 (годится) и d=10 (не годится) => d=4.
Спасибо большое!
На здоровье!
В пункте а) можно тоже выделить целую часть:(8+d)/(d-1)→(d-1+9)/(d-1)→(d+1)/(d+1)+(9/(d-1))→1+9/(d-1) откуда d-1=1.3.9 и d=2.4.10
10 не годится откуда d=2.4
d=2→c=1+9/(2-1)=1+9/1=1+9=10 (не годится)
d=4→c=1+9/(4-1)=1+9/3=1+3=4
При решении данной задачи тоже пил чай с лимоном)))
Я как понял вы учитель. У вас все ученики математику наверняка легко решают ) Ух хотел бы я с вами 45 минут поботать ) Кстати можете заниматься репетиторством по Скайпу
Прямо скажем: хорошего учителя в школе сейчас может удержать только энтузиазм. Работаю преимущественно очно с мини-группами.
В пункте б) получения c=(8d+80)/(d-8) вынес бы 8 за скобку, получилось бы c=8•(d+1)/(d-8).
c делится на 8 и цифра, тогда с=8. Но тогда (d+1)/(d-8)=1, что невозможно
Ещё не досмотрел, возможно не поможет в пункте в)
можно пункт в) решить так:
abcd = 50 * (1/4) * (a + b + c + d)
2*5*5*d = 50 * (1/4) * (2 + 5 + 5 + d)
d = (1/4) * (12 + d)
откуда d = 4, следовательно набор: 2, 5, 5, 4
количество вариантов: (4!)/2 = 12
Идея верна! Но очень важно формально объяснить, почему ты одну из цифр при переходе к уравнению на d принимаешь равной двум.
Перехожу в 7 класс, решил задачу минут за 20. Только перебора много было у меня.
5:24 у меня у одного подвисло?
Только сейчас понял, про какой тут подвисший интернет писали в комментариях. Видимо, какая-то ошибка при загрузке или рендеринге.
на 5:25 видео обрывается, что за формула интересная с факториалами, можно подробнее пожалуйста
Да, есть такое дело, формула 4!/2! дает молниеносный ответ на то, сколько всего будет различных чисел. Это комбинаторный результат: 4 - это количество цифр в числе, 2 - это количество повторяющихся цифр.
@@WildMathing а что если число будет например 5544 тогда будет 4!/4! ? Получается 1, но мы же можем поставить числа и 5454 4455.. вот не много не пойму.
@@boss1k51, при наличии цифр 5, 5, 4, 4 подсчет ведется так: 4!/(2!∙2!)=6. Эти формулы напрямую следуют из понятия факториала как количества перестановок.
Теория чисел изи
Доброго времени суток! Как всегда всё чётко и понятно, большое спасибо)) Очень удобно!
Однако возник вопрос с последним действием (пункт в): какую формулы комбинаторики Вы использовали? Не очень хорошо поняла, почему мы делим на факториал двух. Точнее, знаю, что это связанно с 5, поскольку она встречается 2 раза, но не могу вникнуть в сам процесс. Ведь по формуле перестановке просто 4! или 3! (2,4,5) нам не подходят. Помогите, пожалуйста.
Приветствую! Прошу прощения, что долго: уезжал на выходных. Здесь фигурируют не просто перестановки, а перестановки с повторениями. Саму формулу легко найдешь, а ее понимание придет, если ты рассмотришь несколько частных случаев. Представь, что у нас есть три различных элемента: a, b, c. Количество всех перестановок равно 3!=6, конкретно: abc, acb, bac, bca, cab, cba. Что будет, если элементы a и b совпадут? Комбинации abc и baс, acb и bca, cab и cba будут записаны одинаково, и стоит заметить, как именно здесь сработал факториал двух. Далее можешь для четырех элементов рассмотреть три совпадающих, ну а общий вывод таков: pp.userapi.com/c824701/v824701370/1520d/2PwzDp_Xl4k.jpg
Большое спасибо за ответ! Теперь всё стало понятно, очень сильно помогаете в подготовке. Успехов в дальнейшем и побольше новых видео :3
На здоровье! Ты молодчина, что серьезно готовишься, буду ждать новых вопросов!
Посмотрела все Ваши видео по 19 задачам, почти закончила 18, также ДВИ. Моя тетрадь стремительно заполняется решениями, теорией и это радует! Очень сильно помогаете, а экономия времени - огромная! Правда, не хватает слов, чтобы передать всю признательность за такой труд. А то чувство, когда уже сама решаешь схожие задачи, да ещё и верно - предел эйфории. Ах, да, и за сборники спасибо, о которых Вы рассказывали в одном из видео: всё найдено и скачено. По-моему, я полюбила математику с Вами ещё больше XDD
Круто!
Спасибо за добрые слова!
А как насчёт такого решения пункта б) abcd = 200(a+b+c+d).
1) Пусть такие цифры a, b, c, d есть.
2) Тогда abcd нацело делится на 200 (= 5*5*8). А значит, это как минимум цифры 1,5,5 и цифра, кратная 2 (причём имеем фиксированные две цифры, равные 5).
3) a+b+c+d >= 1+2+5+5 = 13. (если мы напишем, что сумма цифр >= 1+5+5+8, то это будет неправда). Так или иначе минимальная сумма цифр 13.
4) Тогда abcd >= 200*13 = 5*5*8*13. А это, на секундочку, произведение минимум 5 цифр (то есть от 1 до 9). Противоречие.
Qoud erat demonstrandum.
Идея хорошая! Но подать ее нужно чуть-чуть построже. Ведь если для суммы цифр в 13 необходимо произведение 200∙13, то еще не значит, что для больших сумм, произведение будет еще большим. Контрпример: у числа 2455 сумма цифр 16 (>13), а произведение равно 200
@@WildMathing, да.
Неравенство 4) abcd>= 200*S (S - минимальная сумма цифр) следует из того, что мы предполагаем, что такие abcd есть. Раз минимальная их сумма равна какой-то S, то и произведение будет минимально в точке 200*S.
Так как минимальное возможное число правого исходного неравенства 200*13 > ab*5*5 при любых натуральных ab, меньших 10, то не существует таких abcd, удовлетворяющих условию.
=> abcd < 200*(a+b+c+d) при любых целых (от 0 до 9) abcd (при обязательных двух цифр =5).
Поэтому и 2455 < 200*(2+4+5+5).
С Б как-то замудрено, можно куда проще. Если "произведение цифр в 200 раз больше суммы цифр". Пусть Сумма цифр S, Произведение цифр P, тогда P = 200 * S = (2^3*5^2) * S. А из этого следует что среди цифр должны присутствовать 3-и двойки и 2-е пятёрки. Но т.к позиций 4, такого быть не может. Более того, не может быть такого("произведение цифр в 200 раз больше суммы цифр") даже если цифр всего 5, т.к теперь множитель 200(2^3*5^2) занимает все позиции, но про S не стоит забывать, т.к S это тоже множитель, то выходит 200 != 200 * S -> 200 != 200*16
Хороший подход, молодчина! Только нужно поправить один момент: если P=2³∙5², то необязательно цифр будет ровно пять. Например, в числе 8155 произведение цифр ровно 200
@@WildMathing А ведь действительно, спасибо! Тогда всего 2 варианта: 8155 и 2455
а почему для первой задачи, мы не привели ответ перестановок, а только первый вариант ?
Там спрашивали,есть ли такое число,на ролике доказано,что такое число есть
Можно легче. Берем число 9999, сума чисел 36, произведение 6 561, итого 6 561/36=182, 15 в 182 попадает, 200 - нет.
Это хорошая идея, но ее нужно очень аккуратно реализовывать: отношение произведения цифр к их сумме не дает монотонно возрастающую функцию: (9∙9∙9∙0)/27=0
Здравствуйте)
Почему в пункте в не вычеркнули 1?
То есть вычеркнули)
Добрый день!
В момент 4:51 единичка вычеркивается легким движением руки. Ты про другую?
Только сейчас увидел, что не понятно как раз, почему вычеркнули. Потому что (4:51) "c" - это цифра, она не может равняться одиннадцати.
Я не понял в чём суть задачи, что надо искать, что надо делать, что надо вычислить
В б замудрил) если хотя бы одна из цифр меньше 9, то максимум сd=72, а справа хотя бы 80. Проверим 9 и 9, не получается)
Да, согласен: так проще!
Возник вопрос. У меня во 2 вопросе получалось cd=10(9+c+d) и cd=5(13+c+d), решений не было. У вас только один вариант cd=8(10+c+d) и ответ нет. Но если бы другие варианты подошли. Почему мы не должны другие варианты проверять? Надеюсь я понятно объяснил свой вопрос
Гриш, в пункте б) обе части делятся на 25, что железно задает две цифры: 5 и 5 - это строго единственный вариант. Ты же такую делимость не использовал, поэтому пришлось экспериментировать. Главное, в твоих рассуждениях объяснить, почему кроме 5 и 4, 5 и 8 ничего невозможно (5 и 2, 5 и 6, например).
Спасибо
есть книги по 19 номеру?
yadi.sk/i/H2JphmQN3Ffvrr
Не прошло и полгода: ua-cam.com/video/ghXIDJVaS-s/v-deo.html
момент с 3:20 по 3:29 мне не понятен. В верхнем знаменателе было 8d -64+64+80, а стало целое число 8 + дробь 144/d-8. Как это ты так вывел? Объяснил бы...
Здесь выделяется целая часть числа. Рассмотрим для начала простой пример: (a+b)/a=a/a+b/a=1+b/a. Все ли в нем понятно? Слагаемые числителя делятся по отдельности на знаменатель. Теперь то, что было в ролике: ((8d-64)+(64+80))/(d-8)=(8d-64)/(d-8)=144/(d-8)=8+144/(d-8). Не разберешься - дай знать!
@@WildMathing , я понял. Простой пример приведённый в начале помог мне разобраться. C=8(d-8)/(d-8) +144/(d-8)
Спасибо.
Не за что!
а если рассмотреть функции 4 переменных
φ(x_1,x_2,x_3,x_4) = x_1 + x_2 + x_3 + x_4
ℱ(x_1,x_2,x_3,x_4) = x_1 * x_2 * x_3 * x_4
ℱ(x_1...x_4)= 15 * φ(x_1,x_2,x_3,x_4)
И найти ℱ пересечение φ на области для x_n [1 ; 9], Z
Только как..
Желательно, конечно, при решении задачи переформулировать условие так, чтобы оно стало проще, а задача сводилось к уже известной. Не наоборот. Но твоя формулировка тоже корректна, если предварительно объяснить, что нулевые цифры решением не являются.
Тетраграмматон
Почему факториал 4 делите факториал 2?
В этом ролике разобрали нужную комбинаторику: ua-cam.com/video/VDW_E_zyd8M/v-deo.html
почему если d=2 c=отрицательное число?
Потому что c=8+144/(d-8)=8+144/(--6)=8-24=-16
См. 3:40
Можешь немного по- медленнее говорить?
_Спасибо_
Могу, конечно, но незачем: более 2000 крутых и размеренных разборов уже есть у моего коллеги Валерия Волкова: ua-cam.com/channels/LDpIKDTFBSwIYtAG0Wpibg.html - всячески рекомендую!
? ... ))) ... Я удивлен. ... Абсолютно бесполезных вещей вроде бы не бывает ... )))
"Два заблудившихся воздухоплавателя решили снизиться к земле и уточнить своё местонахождение у случайного прохожего: "Уважаемый! Скажите пожалуйста, где мы находимся?" Пешеход долго и внимательно рассматривал обратившихся к нему людей, а затем очень серьёзно ответил: "Вы находитесь на воздушном шаре", и невозмутимо продолжил свой путь... После минутного замешательства один из ошарашенных путешественников обратился к своему напарнику: "Чёрт побери, могу поспорить, что мы нарвались на математика!" - "Почему ты так думаешь?" - "На лицо три верных признака: во-первых, он долго думал, прежде чем ответить; во-вторых, его ответ был безупречно точным; ну и, в-третьих, для нормального человека его ответ абсолютно бесполезен!""
Если b=6
30cd=15(11+c+d)
2cd=11+c+d
2cd-c=11+d
C(2d-1)=11+d
C=(11+d)/(2d-1)
D=1→c=12
D=2→c=13/3
D=3→c=14/5
D=4→c=5/2
D=5→c=16/9
D=6→c=17/11
D=7→c=18/13
D=8→c=19/15
D=9→c=20/17
Ecли b=9
45cd=15(14+c+d)
3cd=14+c+d
3cd-c=14+d
C(3d-1)=14+d
C=(14+d)/(3d-1)
D=1→c=15/2
D=2→c=16/5
D=3→c=17/8
D=4→c=18/11
D=5→c=19/14
D=6→c=20/17
D=7→c=21/20
D=8→c=22/23
D=9→c=23/26
фэнкс
Там же ошибка -64+64+80= 80 , а не 144
c=(8d+80)/(d-8) ⇔ с=(8d-64+64+80)/(d-8) ⇔ c=(8d-64)/(d-8)+144/(d-8) ⇔ c=8+144/(d-8). Ошибки нет. Не разберешься - дай знать!
@@WildMathing пордон , my mistake .
@@rauanerkinbek7327, все в порядке, бывает!
Обсалютно ничего не понял, надо пару видосов посмотреть по этой теме или ведро водки выпить чтоб разобраться
так как же их наботать?
n≤9^(m-1)m^(-1)