Introduzione ai Numeri Complessi
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- Опубліковано 27 вер 2024
- So gia' che mi faro' odiare da tanti, ma non se ne puo' piu' delle spiegazioni dozzinali sui numeri complessi.
Non sono difficili, ma la maggior parte delle spiegazioni li rendono tali!
Il video e' un po' lungo, ma non e' pesante e vale la pena guardarlo se volete capire cosa cavolo e' veramente quel i^2=-1
NB Minuto 30 circa: Attenzione ad un piccolo refuso nei calcoli: il prodotto dà - 22 nella parte reale!!!
NB2: al minuto 7:21 Il passaggio rigoroso sarebbe: semplificazione della radice quadrata con l'elevamento al quadrato di entrambi i membri, da cui otteniamo |x| = 1, da cui x=1 o x=-1
Il commento che lo faceva notare non c'e' piu', ma e' comunque interessante far notare la precisazione (di solito si salta il passaggio |x|=1). Naturalmente lo stesso passaggio rigoroso e', volendo, da aggiungere anche alle due risoluzioni successive.
NB3 Se volete vedere un video divertente sulla preistoria dei numeri complessi andate qui
• UNA STORIA BRUTTA - RA...
E date un'occhiata in generale al canale / @malematica
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Ciao, sono il papà di un ragazzo ché frequenta il 3 anno di informatica, ti faccio i complimenti sei riuscito a farmi capire questi terribili numeri complessi a 52 anni con una spiegazione chiara e semplice grazie ancora
Grazie mille per le belle parole 😁
Complimenti per il video
Super interessante, non capisco chi si sia annoiato. Semplice super chiaro e finalmente ho capito cosa vuol dire veramente un numero immaginario
È legittimo anche annoiarsi, ci mancherebbe.
Certo i pareri assoluti e senza argomentazione non mi garbano perché non servono a niente 😅
Non mi stupisce ci sia qualcuno, forse più di qualcuno, che si sia annoiato. Il video dura 50 minuti. Tantissime persone, forse troppe, non vogliono più e non sanno più gestire l'attenzione per più di un minuto. La chiarezza e la semplicità, può sembrare un paradosso, vanno a cazzotti con la velocità. La nostra società è ossessionata dalla velocità e dall'immediatezza....ma così la comprensione va letteralmente a farsi benedire. Io ho avuto la fortuna di fare i numeri complessi solo all'università dove mi sono stati spiegati esattamente così, mettendoci anche il triplo del tempo. Alla fine della spiegazione il tempo era volato e tutto mi era sembrato ovvio.
Finalmente una completa ed esaustiva introduzione ai numeri complessi. Grazie prof.
Grazie mille per l'apprezzamento 🙂
Ho 67 anni, sono laureato in chimica pura e ho lavorato nei laboratori dell'industria farmaceutica per tutta la mia vita. Peccato che nessuno mi ha mai insegnato la matematica così...quanta fatica inutile ho dovuto fare. Viva UA-cam e quelli che lo sanno utilizzare per fare cultura.
Grazie davvero, e' un complimento bellissimo. 🥰
Wow pazzesco. Sei bravissimo. Veramente chiarissimo. Ad averne avuti di professori come te al liceo. Io non li feci neanche i numeri complessi, frequentando il classico credo sia normale (?). Noi in particolare non arrivammo a definire neanche gli integrali ed in fisica neanche me lo ricordo dove finimmo, eppure la tua spiegazione mi è apparsa cristallina - nonostante appunto la mancanza di formalismo, che io credo possa dare una spinta di aumento della comprensione; formalismo supportato chiaramente dal lavoro "sul campo" di approfondimento, che permetta di "seguirlo"; i punti del video in cui tu difatti per la fluidità e non-pesantezza del discorso hai detto di "crederci, che funzionano".
Grandissimo insomma. Non vedo l'ora di vedere altro. Auguri per il tuo canale!
Grazie mille davvero! 🥰
Si', e' normale non fare i numeri complessi al classico, non tanti anni fa si sono introdotti anche gli integrali, almeno nei ragazzi che ho avuto e che provenivano dal classico (non ricordo se ne facevano una sezione "sperimentale/potenziamento" pero').
La cosa "buffa" e' che in realta' il formalismo assolutamente rigoroso c'e', ed e' esattamente come si definiscono i numeri complessi in epoca moderna. Quando il formalismo e' adeguatamente introdotto, in questo caso con un bel "perche' si usano", a mio avviso aiuta ad assorbire meglio un argomento.
Bravissimo, a me avevano sempre detto alle superiori e all'università "prendeteli così"... e invece grazie a te ora c'è un senso ben preciso. Grazie.
Grazie per il commento 😊
Complimenti......bellissima spiegazione da utilizzare in tutte le superiori, per decreto 😊
Grazie mille 😊
Pazzesco! Ho 37 anni e mi ricordo chiaramente quando in seconda superiore la professoressa introdusse i numeri complessi (con la parabola). Da quel momento i numeri complessi mi hanno sempre perplesso. Che spiegazione! Grazie mille!
Grazie a te per l'apprezzamento 😊
Buongiorno, ieri sera mi sono gustato il tuo video. Insegno matematica in un istituto superiore in cui cerco, nei limiti del possibile, di rendere la materia più fruibile e divertente. Mi piace molto come hai introdotto l'argomento, perché, a volte, si dà per scontato che si conoscano perfettamente gli insiemi e le loro proprietà, ma già gettando le basi si dà un'idea di ciò che si sta per introdurre e raccontare.
Trovo molto bella la spiegazione che parte dagli insiemi, passando per il piano cartesiano/piano di GAUSS, operazioni coi complessi e, finalmente, la dimostrazione del perché i²=-1.
Se devo trovare un difetto, forse sta nel fatto che il video dura quasi un'ora (poco meno di 50 minuti), che può diventare davvero troppo. Ma, ripeto, è proprio dare la caccia al pelo nell'uovo.
Detto ciò, se ti va, anch'io ho un piccolissimo canale UA-cam a tema matematica in cui ho dedicato un video a Rafael Bombelli, ideatore dei numeri immaginari e complessi (biografia). Ho anche dato inizio, un anno fa, a una serie di video di matematica, salvo poi fermarmi (al momento, non ho molto tempo da dedicare ai video). Se ti va, mi farebbe piacere sapere cosa ne pensi (non scriverò qui il link per non fare spam. Se vuoi, posso dartelo in privato, così da non pubblicarlo qui in cui non dirò neppure il nome del canale).
Ciao e grazie ancora!
Grazie mille per il gentile riscontro, che provenendo da un docente non puo' che farmi piacere piu' del normale! Per quanto riguarda la durata: facciamo finta sia una lezione a scuola 😁
Mandami pure il link del tuo canale, lo metto in descrizione.
@@ingegnereqbquantobasta grazie! Mi diresti dove posso inviarti il link?
Ti avevo risposto stamattina, ma, evidentemente, il mio cellulare non deve aver inviato la risposta.
@@ananassomalvagio da qualche parte nelle info del canale dovrebbe esserci un bottone che mette in evidenza l'email
@@ingegnereqbquantobasta ti ho scritto ieri mattina prima di andare a scuola. Attendo una tua risposta :)
@@ananassomalvagio sto guardando proprio ora 😁
Mi è piaciuto molto l'esempio delle scatole :-) Complimenti. Una spiegazione ancora più affascinante è quella mediante l'Identità di Eulero. Se "i=(0,1)=1*exp(j*pi/2)" è il versore dell'asse immaginario, allora "i*i=exp(j*pi/2)^2=cos(pi)=-1" è il medesimo versore, ma ruotato di +90°, e che quindi ricade nell'asse reale nel punto (-1,0).
Grazie 😁
Si' ovviamente e' molto bella l'identita' di Eulero, soprattutto se scritta in forma esponenziale (che poi e' appunto la base teorica del calcolo coi fasori)
Bravissimo nella spiegazione professore! Però purtroppo volevo solo sapere da cosa derivasse quella maledetta moltiplicazione...è da mesi che cerco una spiegazione ma non trovo nulla, neanche un motivo dietro quella "definizione". Aspetto comunque un vostro parere! Grazie in anticipo!
Potrebbe anche solo essere un "perche' funziona" 😂
Non saprei, ho provato a cercare qualcosa qua e la' ma non ho trovato molto. Dovro' approfondire perche' e' interessante.
Direi che deriva dalla rappresentazione in forma algebrica dei numeri complessi.
Un numero complesso può essere scritto come: a+bi (forma algebrica), dove 'a' e 'b' sono numeri reali e 'i' è l'unitá immaginaria.
Ora avendo due numeri complessi:
a+bi, c+di, il prodotto è definito come segue:
1. (a + bi)*(c + di)
2. a*c + a*di + bi*c + bi * di [ prop. Distributiva ]
3. a*c + a*di + bi*c + (-1 * b*d) [ i*i = -1 ]
4. a*c + a*di + bi*c - b*d
5. a*c - b*d + a*di + bi*c [ prop. Commutativa ]
6. a*c - b*d + (a*d + b*c)i [ raccoglimento parziale ]
Riportando in coordinate cartesiane:
(a*c - b*d, a*d + b*c)
@@patrikcavina8994 perfetto,grazie! Quindi non è altro che un modo per far valere la prop distributiva e commutativa anche per i numeri complessi giusto?
Grandissima lezione! Grazie per aver inquadrato con straordinaria chiarezza il ruolo e le caratteristiche dei numeri immaginari. Dopo tanti tentativi frustranti, ora ho chiaro il concetto.
Grazie mille!!!!
Finalmente qualcuno che spiega le cose in modo semplice e intuitivo 🔝🔝🔝
Se continuate cosi' iniziero' a crederci di brutto 🤣
grande Ing! nessuno me l'aveva mai spiegato in questo modo...grazie :-D
E' stato un piacere! Non c'e' di che! 😊
- Riporto una discussione che lo stesso autore minacciava di cancellare. Siccome vengo accusato di volermi sentire solo dire "bravo" qui c'e' tutto il dialogo a dimostrare il contrario. Naturalmente l'atteggiamento minaccioso-tossico da social ne ha provocato il ban, ma ritengo comunque utile che rimanga il botta/risposta che lui stesso voleva autocensurarsi 🙄
rockessence
30:00 non capisco per quale astruso motivo, dopo aver parlato di vettori, dopo aver parlato di campi, tu non abbia introdotto la forma dei numeri complessi come semplice somma vettoriale di due coordinate complesso=reale+immaginario, introducendo qui il valore di i = (0;1). E andando così a definire il prodotto di due numeri complessi come semplice prodotto nella forma (real+imm)*(real+imm) per poterti così collegare tranquillamente a quella parte di matematica letterale che tutti conoscono, far comprendere così che i^2=-1 e quindi passare a spiegare (a+ib)*(c+id).
Cioè, parti dal presupposto che i ragazzi dovrebbero capire meglio la matematica e poi gli appioppi una formula che se non compresa del suo significato originario dimenticheranno dopo mezz'ora dalla tua spiegazione non hai davvero reso chiaro perché i^2 = -1 e te ne esci con "fidatevi che è così" come uno qualsiasi dei professori che hai criticato all'inizio.
Scusa ma mi sento preso in giro. Stavo cercando una spiegazione adatta per aiutare una persona in matematica, ma mi sa che faccio prima a spiegargliela io.
ingegnereqbquantobasta
13 ore fa (modificato)
Perché se li scrivi subito con la loro notazione algebrica ti rimane comunque un buco teorico e vai in loop: perché posso scrivere tutti i numeri come a+i*b?
Se ti lamenti del mio "fidatevi" qui caschi in un superfidatevi. 😌
Per definirli tramite il concetto di spazio vettoriale (cosa che per altro non ho mai visto in nessun testo, quindi non so nemmeno se sia corretto farlo), si dovrebbe tirar fuori la definizione di spazio vettoriale, di lineare indipendenza tra i vettori e di base. E questo sarebbe necessario per far capire come mai con soli due vettori, combinati linearmente, si ottengono tutti gli altri. Non mi pare proprio la strada più semplice 🙄
Se vuoi partire da "a+ib", devi usare la definizione assiomatica che parte da i^2=-1, anzi, dal fatto che "i" sia soluzione di x^2+1=0, ma richiede cose troppo avanzate. L'ho sentita da una lezione di un docente in una facoltà di ingegneria, e lui stesso ad un certo punto ha tralasciato alcuni approfondimenti teorici perché non inerenti al corso 🤷
Non mi pareva dunque la strada giusta.
Il "fidatevi che funziona" non ha certo pretese di rigorosità, semmai anticipa la parte rigorosa (la definizione vera e propria) che arriva dopo. In pratica è "aspettate un attimo e poi vedrete che funziona". 😌
Perché poi quella che do io è la definizione moderna, è rigorosa, ed è certamente quella più utilizzata.
Ma mica dico che sia l'unica strada per capirli, dico solo che coi ragazzi che istruisco funziona sempre 🤷
rockessence
le basi per apprendere il concetto ci sono eccome. Perché nei primi due anni di liceo scientifico che ho fatto (testo: corso di geometria e algebra, Lamberti Mereu Nanni) viene ampiamente introdotto il concetto di campo e in particolare di RxR, definendo proprio la composizione di un segmento come somma algebrica lineare di due componenti x e y, con anticipata spiegazione geometria e algebrica di somma pitagorica di due segmenti. Viene anche introdotto il teorema fondamentale dell'algebra, che oltretutto viene subito ripreso nel libro 1A (degli stessi autori) al terzo anno.
Fidati che li sto ristudiando da zero proprio per poter essere competente nel dare spiegazioni ai liceali.
L'errore che hai fatto è trattare l'argomento come completamente scollato dalla scuola superiore, come spesso vedo fare dai professori universitari.
E poi tu non sei a una lezione universitaria con i tempi stretti e tutto. Hai la possibilità di rimandare a certi argomenti quando ti pare e soprattutto, se tempo non ce n'era per spiegare, allora mi devi spiegare perché ce n'era così tanto per fare tutti quei giri di parole inutili.
ingegnereqbquantobasta
Prima di tutto una precisazione: come ho gia' scritto in un altro commento, che i giri di parole siano inutili va dimostrato. Non ammetto affermazioni assolutistiche non dimostrate (e' scritto nelle linee guida per la partecipazione ai commenti).
Poi, simpaticamente, "Fidati che", dopo che ti sei offeso per il mio "fidatevi" fa un po' ridere 😁
Poi c'e' un errore madornale: "viene ampiamente introdotto il concetto di campo e in particolare di RxR". R2 non e' un campo, e' "solo" uno spazio vettoriale. Gli manca la definizione di prodotto che lo faccia diventare tale, cosa che avviene appunto quando si definisce quel prodotto di cui ho parlato nel video, e che gli da' la struttura di campo, che poi viene chiamato C. Suggerisco di leggersi per bene il testo che hai citato...🙄
Inoltre il modo in cui ho trattato l'argomento non e' affatto scollato da cio' che si studia alle superiori (semmai rischia di esserlo il tuo, visto che di algebra lineare ai licei non ne ho mai vista la presenza, purtroppo): per capire la definizione proposta basta sapere cos'e' un numero reale e, per capire la rappresentazione dei complessi, basta avere un minimo di confidenza col piano cartesiano. Tutto qua. Niente algebra lineare, niente spazi vettoriali, niente combinazioni lineari, niente lineare indipendenza.🤷
A quel punto perche' non spiegare i polinomi partendo dallo spazio vettoriale degli stessi e definendoli come combinazione lineare della loro base canonica?
Quello che chiami "giro di parole inutile" e' il mio tentativo di far capire ai ragazzi che quel salto concettuale che si fa passando da "vecchi numeri" a "nuovi numeri" e' gia' stato fatto piu' volte nel loro percorso scolastico, e non devono temere il nuovo. Preferisco quel giro di parole vagamente divulgativo rispetto all'introduzione di concetti nuovi. Non lo reputi necessario? Legittimo. E' assolutamente inutile: dimostralo.
Tra l'altro non mi pare tu abbia ascoltato bene cio' che affermo: io detesto quando si parte da i^2=-1 e poi si parte subito a bomba con le operazioni, proprieta', rappresentazioni varie e cosi' via. Se altri adottano un altro percorso (completo e corretto) per spiegare quell'apparente assurdita' matematica, va benissimo!
Evviva l'approccio assiomatico, evviva l'approccio vettoriale (se esiste, mai sentito, ma non possiedo lo scibile umano). Purche' i ragazzi capiscano.
Col mio approccio capiscono, e se lo ritroveranno pure altrove, con altri approcci non lo so e non me la sento di rischiare. 😊
rockessence
32 minuti fa
facciamo così, visto che ti piace sentirti solo dire che sei bravo, cercherò di non usare troppe parole.
Fra 12 ore se non lo hai fatto tu, lo cancello io il messaggio.
Mo devo pure dimostrare perché ti impelagavi in lungaggini che non erano indispensabili. Se lo hanno detto anche altri, mi pare che basti.
Ma a quanto pare te vuoi l'analisi del testo con il conto delle parole mi sembra.
Facciamo prima che ti dò ragione e buona vita.
ingegnereqbquantobasta
Mi piace talmente tanto sentirmi solo dire che sono bravo, che i commenti (pochi per fortuna) che mi criticano sono ancora li'. 😂
Quello che non accetto e' l'assolutismo: e' troppo facile arrivare e affermare "il video e' troppo lungo". Se sei in grado di argomentare la cosa bene, potrebbe pure essere utile a qualcuno e anche a me, ma le sentenze non servono a nessuno.
Fermo restando che questa specie di ultimatum che hai dato non e' rispettoso ne' di me che ho pure impiegato tempo a risponderti, ne' di chi magari stava seguendo la discussione.
Questo tipo di atteggiamento qui e' vietato.
Ho capito perfettamente i numeri complessi solo e soltanto grazie a questo video. Contributo a dir poco eccellente. GRAZIE ! ❤
Grazie mille, e' davvero un bel feedback
Grazie, finalmente mi sono chiarito le idee su questo aspetto della matematica. Un plauso alla chiarezza della spiegazione adatta anche ai comuni mortali.
Grazie mille 🥰
Complimenti, davvero una bella spiegazione. Grazie!
Grazie della lezione, interessantissima...ma a cosa servono nella pratica ? Sapevo che per studiare alcuni fenomeni fisici si ricorre ai numeri complessi...ma perchè?...
Grazie per l'apprezzamento!
Nello studio dei fenomeni fisici appaiono in tutti i fenomeni ondulatori, perche' si riescono a rappresentare in maniera molto efficace e comoda, anche per farci i calcoli (ad esempio nelle grandezze elettriche).
Per questo appaiono anche in meccanica quantistica (che e' una teoria basata sulle onde, infatti a volte e' anche chiamata meccanica ondulatoria). Ma non e' questo il solo motivo: escono proprio fuori perche' in qualche modo sono necessari per "mettere in collegamento" proprieta' importanti della meccanica classica al mondo quantistico (per esempio le leggi di conservazione e il loro collegamento con alcune trasformazioni geometriche).
Le più importanti teorie della matematica attuale si fondano su teoremi molto generali che spesso si basano sui numeri complessi. Questi teoremi sono talmente profondi e generali che sono necessari alla larga parte delle teorie scientifiche attuali.
Benchè queste teorie matematiche possano apparire "complicate", senza i numeri complessi o non potrebbero proprio esistere o quantomeno sarebbero molto più complicate da scrivere.
Quindi i numeri complessi risultano o solo necessari alle teorie o anche fortemente semplificanti.
La teoria più "famosa" (almeno fra la maggior parte degli studenti universitari) in cui sono utili i numeri complessi sono le "trasformate di Fourier". Grazie a questa "macchinetta" molti problemi difficili da trattare in modo "classico" diventano molto più docili. Ma gli esempi sono molto più di questo.
Ciao sono un prof di diritto ed economia (quindi due materie umanistiche) che si è appassionato tanto tempo fa alla matematica pur non essendo portato per essa. La didattica delle discipline scientifiche andrebbe rivoltata come un calzino. Bravo e grazie della rigorosa semplificazione all'osso, utile per andare avanti
@@blenxcacopardo499 Buongiorno Prof! Ricevere complimenti da un docente "ufficiale" è sempre estremamente piacevole. Grazie davvero ❤️
Grazie per averci dedicato del tempo. Mi chiedo, ma se alla fine di calcoli complicati trovo come risultato un numero complesso, lo posso usare oppure so solo che esiste una soluzione, ma non la posso tramutare in una quantità "producibile" nella realtà? Mi spiego meglio... So che cosa è una mela, 2 mele, mezza mela ma 1 mela + 2 mele*i? Che ci faccio? Grazie mille.. saluti
Con un numero complesso di mele non ci si fa niente 😁
A volte le astrazioni matematiche non sono direttamente applicabili alle situazioni di tutti i giorni. Nemmeno pigreco mele, cioe' usare per contarle un numero irrazionale, avrebbe senso 😄
Pero' se deve calcolare la diagonale di una stanza potrebbero servire, anche se nessun geometra/architetto/ingegnereedilcivile presenterebbe mai un progetto con scritto "radicedidue metri".
Diciamo che nella maggior parte delle applicazioni quotidiane, o meglio, nelle applicazioni quotidiane della maggior parte delle persone (le due frasi sono profondamente diverse!) bastano e avanzano le frazioni, somma, differenza, moltiplicazioni e divisioni.
Ma se le sue occupazioni quotidiane prevedono l'elaborazione di nuove teorie per cercare la natura quantistica della gravita', le normali operazioni e i numeri che ci sono piu' familiari non bastano piu', perche' la realta' fisica che si tenta di descrivere e' talmente profonda che ci vuole ben altro.
Fai come con le scatole, sovrapponi le mele.
Ciao, scusami, ho aperto il video per vedere in che modo li spiegassi, ma essendo all'università, 50 minuti solo "per curiosità" sono decisamente troppi, ma vedendo i commenti sono sicuro li avrai spiegati in maniera egregia.
Solo una domanda, nei primi secondi dici che è stata rotta la differenza di quadrati, perchè?
Se sei gia' all'universita' forse non hai bisogno di un video di questo tipo ☺
Dico che hanno rotto la differenza di quadrati per non dire che hanno rotto qualcos'altro... 😌
Molto bello. Ricordo bene che toccò all'insegnante di elettro all'ITIS, introdurre con fatica questo argomento che forse lo fece sudare freddo. Ma credo che tutti, più o meno capimmo la necessità di usarne l'artificio teorico. Capire il concetto di ritardo, in un evento periodico, e scoprire che graficamente si può utilmente spiegare in tali termini, ha un fascino profondo, necessario a costruire un tipo di mentalità ad hoc, utilissima anche in tutti gli anni successivi a quel momento. Aggiungo che YT mi ha fatto conoscere solo oggi questo ottimo lavoro.
C'e' da dire che studiare e conoscere l'elettrotecnica puo' aiutare a dare un senso a questo nuovo oggetto, almeno se ne vede una delle tante applicazioni.
Grazie mille per l'apprezzamento 😁
Sono un collega molto, ma molto più avanti negli anni di te. Accetta i miei più sinceri e grandi complimenti per il modo, didatticamente superlativo, in cui in questo video tratti i NUMERI COMPLESSI. Tra l'altro, prima della pensione, sono stato, per anni, tra i banchi delle classi terminali di un Istituto Tecnico Industriale come docente di ELETTROTECNICA e i numeri complessi erano lo strumento (ed il mezzo matematico) per rappresentare (e trattare) le "grandezze elettriche ALTERNATE". Ricordo il supporto a cui ero costretto per integrare le conoscenze matematiche degli alunni nelle lezioni introduttive dei circuiti in c.a.. Scusami lo sfogo, ma ho sentito il bisogno di felicitarmi con te. Chissà se i prof di matematica incontreranno questo tuo "illuminante" video e si soffermeranno sulla tua trattazione?. Di nuovo COMPLIMENTI!!!!!!!!
Salve prof. Accetto i complimenti con vero piacere, soprattutto da un collega che dimostra di non vedere "concorrenza" negli altri, ma solo supporto ❤
Grazie veramente per le belle parole 😊
Buongiorno a lei,
le scrivo per un dubbio che mi è sorto:
ho notato che, graficamente, eseguire il prodotto (0;1) * (a;b) equivale a "ruotare nel piano, di 90° in senso antiorario", il numero complesso (a;b).
Infatti (0;1) * (a;b) = (-b;a)
[il numero complesso (a;b) ha "ruotato di 90° in senso antiorario]
ora, moltiplicando ancora (0,1) per il numero complesso appena ottenuto (-b;a) si ottiene: (0;1)*(-b;a) = (-a;-b)
[che è, ancora, graficamente, una ulteriore rotazione di 90° in senso antiorario, cioè una rotazione "totale" di 90°+90° = 180° antiorari],
moltiplicando una terza volta (0;1) per il numero complesso precedentemente ottenuto (-a;-b) si ottiene:(0;1)*(-a;-b) = (b;-a)
[che è, ancora una volta, graficamente, una rotazione di 90° antioraria: avendo fatto tre moltiplicazioni, ho ruotato, in totale (a;b) di 90°+90°+90°= 270° in senso antiorario]
una quarta moltiplicazione (0;1) per l'ultimo numero complesso ottenuto (b;-a) ci dà: (0;1)*(b;-a) = (a;b), che ci "riporta" al punto di partenza.
[d'altronde, avendo fatto quattro moltiplicazioni, ho ruotato (a;b), in totale, di 90°+90°+90°+90°= 360° in senso antiorario, cioè un angolo giro]
Ora: tutto ciò è semplicemente un giochetto matematico o ha un qualche significato più profondo che, però, mi sfugge?
E, se si, perché "ruota" in senso antiorario e non in senso orario?
Per quanto riguarda la seconda domanda, ho pensato ad una possibile risposta: l'asse Imm si potrebbe intendere come un asse Re ruotato di 90° antiorari.
Ho provato, allora, a far "puntare" l'asse Imm verso il basso, come se fosse l'asse Re ruotato di 90° orari ed, effettivamente, ora la moltiplicazione fa ruotare il numero complesso (a;b) in senso orario...
Mi spiace averla importunata con tutto questo sproloquio, ma la colpa è anche "sua": io ero rimasto con "immaginiamo un numero che elevato al quadrato dia -1..."
Grazie ancora e buone feste
Ci mancherebbe, nessun disturbo e buone feste anche da parte mia!
Prima questione, parte prima: se si tratta di un giochino matematico o di una proprieta' e' anche questione di...interpretazione!! 🤣
Mi spiego meglio (ci provo!): i calcoli che ha fatto sono giusti, perche' veramente premoltiplicare un numero complesso per l'unita' immaginaria, il famoso (0;1), fa ruotare un qualsiasi punto del piano di 90° in senso antiorario.
Si puo' far notare la cosa in due modi:
1) usare le equazioni delle trasformazioni in un piano, con le quali si vede che una rotazione di 90° in senso antiorario corrisponde alle equazioni x'=-y e y'=x, dove x e y sono le coordinate classiche di un punto (x;y), e dove x' e y' rappresentano le "coordinate trasformate". In pratica la "nuova x" diventa "la vecchia y del punto col segno opposto" e "la nuova y" diventa "la vecchia x del punto con lo stesso segno"; questo e' esattamente cio' che accade alle parti reali e immaginarie del numero complesso (a,b), che non sono altro che coordinate nel piano, se premoltiplicate appunto per (0;1). Come vede la nuova componente reale dal valore "a" diventa "-b" e la nuova componente immaginaria da "b" diventa "a", quindi il numero complesso (a,b) diventa, come anche dai calcoli che ha gia' fatto, (-b,a)
2) utilizzare la forma trigonometrica o la forma esponenziale di un numero complesso, moltiplicare i due numeri (0;1) e (a;b) utilizzando questa forma (tra l'altro e' molto piu' comodo...) e notare che una importantissima caratteristica dei numeri complessi, cioe' quello che si chiama Argomento, viene aumentata di 90 gradi. Cos'e' l'Argomento di un numero complesso? Nella definizione classicissima, e' l'angolo che il segmento che va dall'origine del piano al punto che rappresenta il numero complesso forma con l'asse Reale. Dopo questo calcolo si puo' notare che l'Argomento del numero che risulta dalla moltiplicazione, e' aumentato di 90° rispetto al "vecchio" numero (a,b). Cioe' il punto e' ruotato di 90° in senso orario.
Prima questione: parte seconda. Perche' allora parlo di interpretazione? Perche' spesso le grandezze matematiche, e i """pastrocchi""" che ci si fanno sopra, vengono utilizzate per rappresentare cose che, magari, non erano certo nelle intenzioni dello scopritore del nuovo-oggetto-matematico 🤭
Una su tutte, che mi e' particolarmente cara: la rappresentazione di correnti e tensioni che oscillano (per i precisetti: rappresentazione di grandezze elettriche in regime sinusoidale) viene fatta usando i numeri complessi e le loro operazioni (non sembra ma e' comodissimo!). Quando hanno iniziato a rovistare nei numeri complessi a momenti non sapevano neanche che c'erano gli atomi, figuriamoci le grandezze elettriche associate a spostamenti di elettroni... 😏
Eppure tornano utilissimi proprio grazie a quel collegamento tra le loro operazioni e cio' che succede proprio a livello geometrico. Quando parti della matematica apparentemente "separate" si incontrano, i matematici si commuovono (e hanno ragione!).
Seconda questione: perche' non in senso orario? La risposta sta nel punto 2 😁
Il tutto, come al solito, un pochettino romanzato e con nessuna pretesa di rigore "filologico".
viene un giro di 90 gradi solo perche i matematici anno deciso di prendere i²=-1, alcuni matematici per risolvere alcuni problemi matematici di numeri interi hanno usato il numero complesso n⁶=-1 in cui n=1/2+i•(√3/2), veniva n=30° e portava comunque
Ciao Flavio, hai colto dritto nel punto fondamentale per capire i numeri complessi. L'ingegnere ha fatto un gran lavoro ma si sarebbe semplificato di molto la vita se fosse partito dalle coordinate polari di un numero complesso P[r, alfa] dove r (coefficiente di dilatazione) è la lunghezza del segmento e alfa (argomento) è l'angolo che forma con la retta x del piano cartesiano. Tagliando corto: il prodotto tra due numeri complessi in forma polare vuol dire sommare gli argomenti e moltiplicare i coefficienti di dilatazione. Quindi: [1, 90°] * [1 ,90] = [1*1, 90+90] = [1,180°] che sarebbe il numero reale -1. Cioè i numeri reali sono i numeri che hanno argomento 0 o 180 gradi o un multiplo di 180 gradi
@@gianpaolozanconato5012 Mi sarei semplificato la vita ma l'avrei complicata a chi non sa che cosa siano i numeri complessi 😅
Interessante video. Mi viene una domanda: esiste una qualche situazione nella quale i numeri complessi non saranno più sufficienti e sarà necessario aggiungere anche la 3a dimensione? Inutile dire, lo si capisce dalla domanda, che non sono certo un matematico!
Bravissimo, grazie. Nessuno mi aveva mai spiegato questi meccanismi in modo così dettagliato.
Ora manca solo la spiegazione del perché il prodotto tra numeri complessi ha quella formula. 😅
Grazie per l'apprezzamento. 😁
E' probabile che quella definizione di moltiplicazione derivi dal fatto che la definizione moderna (quella che ho fornito) si basa comunque sull'impostazione "vecchia", nella quale comunque si utilizzava il prodotto (a+ib)*(c+id) nella consueta forma algebrica, e che viene eseguito con la classica regola che c'e' tra i polinomi.
Se non e' chiaro, approfondisco 😉
@@ingegnereqbquantobasta La definizione della moltiplicazione per numeri complessi è data come estensione di quella per i reali, e deve coincidere con quella già nota quando i due numeri complessi da moltiplicare siano reali
@@sergiodorsi6457 Si' questo e' necessario ma non sufficiente
Molto interessante, molto chiaro. Mi piacere solo approfondire il perchè le moltiplicazioni su numeri complessi si facciano proprio in quel modo... o come si sia arrivati a deciderlo.
Grazie mille!
Al momento non ho trovato fonti che lo confermino, ma potrebbe essere semplicemente perche', nella loro primissima definizione, si era gia' definita la moltiplicazione di (a+ib)(c+id) tramite le regole di moltiplicazione di polinomi, e nella nuova definizione si sono mantenute il risultato della parte reale e di quella immaginaria.
Complimenti! Finalmente una spiegazione chiara ad una notazione in se enigmatica che sottintende un bel po' di ragionamenti e deduzioni ... grazie davvero! (nel programma di liceo 50 aa fa non eravamo usciti dai reali , i complessi erano quelli musicali🙂 )
Grazie a te per i complimenti!
Pensi : non ho bisogno di spiegazioni io, 72enne, che al Liceo aveva sempre il 3/4 k in materia, con espresso di approfondimento universitario. Anche il tabù dei numeri complessi..l'ho risolto. A me Lei pare proprio un ottimo docente . Bravo
Grazie davvero per le bellissime parole 🥰
Grazie a Lei, la seguirò ancora. Complimenti
Bravo da un insegnante. Quelli che si annoiano non devono guardarti perché non hanno voglia di apprendere. Bravo
@@mauroisor1692 grazie mille. L'apprezzamento da parte di un docente è particolarmente gradito e importante ❤️
Perfetto, come hai detto 30 min di questa spiegazione prima di iniziare con il classico programma sui numeri complessi può aiutare molti studenti
Grazie mille!!!
Professore non gli avevo studiati, magari affrontati ma non studiati, me li ha delucidati. Sono un matematico amatoriale, cioè ho intrapreso studi personalmente e senza seguire la matematica ufficiale ma la geometria. Avevo la necessita di descrivere il Tutto, lo spazio-tempo, lei accenna durante il video ma tralascia poiché multidimensionale... Ecco per risolverlo ho pensato ad una matrice dove il tempo fosse spazio in divenire , metamorfosi della forma, ed adoperando grandezze cartesiane o coordinate ho raggiunto il risultato, almeno spero, la Fisica ancora deve approvare e per il momento i conti tornano solo a me, forse colpa di aver pubblicato tutto fra i commenti di video come il suo oltre descrizione su facebook, che non è certo mezzo della scienza ufficiale. Lo dico perché adesso mi ritrovo nei suoi calcoli, io non accettavo i numeri complessi o meglio la componente immaginaria poiché non esiste uno spazio negativo! Minkowsky parla di superfici ma io finivo in spazio con valore -1 e non trovavo ragione. La giustificazione è arrivata con la complementazione di Boltzmann, l entropia o secondo principio della termodinamica, non maggiore od uguale a zero ma 00. Assurdo ma arrivo alle medesime conclusioni raggiunte da Lei, in pratica una matrice dove non come Leibniz immaginò 1 0 dando vita al calcolo binario, ma 1-1 e lo zero non sul piano dei numeri, come se lasciando l.asse dei reali non avessimo accesso allo zero ma una tendenza, risultato presumo ottenuto da Niemann nella sua ipotesi, e filosoficamente descritto da me come ciclo completo dell essere che nel suo opposto comprende il non. Poi finalmente e dico cosi perché da anni ci riflettevo sono riuscito a scorgere nei numeri ordinali romani medesimo risultato, done addirittura il numero calca la Frattalità d insieme, rappresentando l'ordine ed i gradi angolari.... Uguale alla matrice tao dove le 3 linee rappresentano xyz e quindi segmenti di valore 2, e la loro combinazione risulta 2^3= 8. Da che compreso ci si accorge che tutta l'informazione pervenutaci con geroglifici bassorilievi assiri scacchi dama, Bibbia, Buddha Shiva, insomma tutto l ereditato e non ancora compreso gravita su questo concetto. Mi scuso per usare lettere e non numeri ma scrivere di matematica con un cellulare è difficilissimo e poi non ho mai fatto calcoli se non a mente, mi perdoni e spero averle fatto gradito suggerimento, Lei a me l ha fatto immenso, Grazie.
Non ci ho capito niente, ma sono felice di averle fatto cosa gradita!
@@ingegnereqbquantobasta è pure simpatico! Spero aver occasione spiegarle, avessi ragione diverrebbe sistema e onestamente non avrei fatto altro che copiare da cose scritte su pietra 10.000 anni fa, un abbraccio e grazie ancora.
Non hai studiato neanche l’italiano
@@kapazezza7287 sai di cosa sta parlando? Potresti spiegarmelo a parole che non ci ho capito quasi nulla! ;(
@@kapazezza7287 calma... 😡
Sei veramente bravo! Potresti fare un video o più di uno in cui spieghi con lo stesso approccio i requisiti per affrontare l’esame di analisi nella facoltà di ingegneria?
Aiuto! Non saprei proprio da dove cominciare. Sai perche'? O richia di venire un video da 2 minuti con consigli veri ma tendenzialmente "ovvi" (tipo: studia e fai tanti esercizi! 😂) oppure una specie di minicorso dalla durata di svariate ore...che, ora che lo finisco, l'esame l'hai gia' passato.
Non saprei, mi piacerebbe davvero aiutarti...forse potrebbe essere utile qualcosa che descriva i tipici esercizi che ti puoi aspettare in un compito di Analisi ad Ing.
Anche se poi dipende molto dal professore...
Fantastico! Perchè non ti ho avuto alle superiori? :)
Davvero, complimenti per queste spiegazioni, ho finalmente capito perchè i numeri complessi vengono usati poi nella fisica vettoriale, grazie!
Perche' sono troppo giovane per essere un prof! No scherzo, sara' colpa del destino 😂
Comunque grazie davvero per i complimenti e di essere stato utile😊
al minuto 30.45: 2 * 3 - 4 * 7 = 6 - 28 = -22, Da dove viene 6 - 11?
In descrizione:
"NB Minuto 30 circa: Attenzione ad un piccolo refuso nei calcoli: il prodotto dà - 22 nella parte reale!!!"
perdonami la mancanza della base necessaria a evitare questa richiesta di chiarimento,ma perché visto che la moltiplicazione in questo contesto segue regole differenti da quelle classiche ,il concetto di quadrato di i viene usato in maniera classica? cioe il quadrato di un numero è il numero moltiplicato " normalmente " per se stesso,ma qui non è inteso cosi per cui perché lo si chiama quadrato? e geometricamente si potrebbe spiegare? probabilmente per chi è padrone della materia la domanda non ha senso..
Non c'e' nulla da perdonare su una richiesta di chiarimento, perche' una richiesta di chiarimento e' sempre apprezzata! Ma ci mancherebbe! 😊
Il quadrato di un numero e' sempre quello: moltiplicare due volte per se' stesso il numero. E' solo la moltiplicazione che e' definita in maniera differente, ma il significato di potenza e' sempre quello. Questo non ti deve stranire, perche' dopotutto anche in altri tipi di numeri le moltiplicazioni hanno definizioni differenti, ma l'elevamento al quadrato significa sempre moltiplicare un numero per se' stesso (e in generale rimane invariato anche il significato di potenza ad esponente naturale, la classica potenza insomma).
Geometricamente, in sostanza, la moltiplicazione tra due complessi equivale a ruotare rispetto al centro del piano di Argand-Gauss (che e' sempre il piano cartesiano poi) i punti che rappresentano i numeri complessi.
E se servono altri chiarimenti, o dei chiarimenti sui chiarimenti, non fatevi scrupoli a chiedere!!!
Ancora ho visto la prima metà. Interessante e molto utile. Grazie e complimenti
Ma ci mancherebbe, grazie per l'apprezzamento!
Ok, anzitutto ti ringrazio per la risposta, ma vorrei chiederti ancora se c'è la possibilità di arrivare a sapere/capire quale è stato il ragionamento che ha portato i matematici a definire quel prodotto in quel modo apparentemente dogmatico. Io purtroppo ho difficoltà a prenderlo per buono solo perché mi dicono che funziona, non mi piace l'idea di doverlo imparare a memoria, domani lo avrei già dimenticato, ho una memoria pessima.
Non c'e' da soprendersi, in matematica ci sono le definizioni assiomatiche. Pensa agli assiomi della geometria euclidea: si prendono per buoni principi di base non dimostrati, ma non e' un'eresia, mi creda. Semplicemente si pongono "le regole del gioco" 😁
Pero' prometto che faro' una ricerca in merito, ve lo devo 😊
I numeri non esistono. La matematica è una astrazione assoluta che parte da alcuni assiomi e sviluppa una teoria coerente con gli assiomi iniziali. Il dogma pretende di essere verità mentre l'assioma non pretende di essere verità. L'unico obiettivo della matematica è la coerenza logica. I fisici poi utilizzano la matematica per approssimare i fenomeni naturali attraverso dei modelli (matematici appunto).
Complimenti! Argomento totalmente nuovo per me; ottima spiegazione
Grazie davvero!!! 😊
Sono ingegnere anch'io, sei troppo simpatico e bravissimo nello spiegare. Ah, quanti numeri complessi, nella mia vita!!!
Grazie mille anche per il simpatico, ci provo! 😆
trovo particolarmente interessante il ragionamento in base a cui giungiamo alla conclusione che la rappresentazione dei numeri complessi richiede una dimensione in più per la loro rappresentazione grafica, in quanto questa cosa può avere delle implicazioni in fisica. Se vivessimo in un universo monodimensionale in base a tale ragionamento i suoi abitanti capirebbero che esiste una seconda dimensione a loro non accessibile. Viene ovviamente da chiedersi se noi che viviamo in un universo tridimensionale possiamo, con ragionamenti analoghi, giungere alla conclusione che esiste una dimensione aggiuntiva per noi non accessibile.... da questa prospettiva i numeri immaginari, più che immaginari andrebbero considerati come numeri extradimensionali
Attenzione che sul discorso "mondo a 1,2,3 dimensioni" si rischia di fare un po' di confusione su quello che si intende in maniera colloquiale e cio' che si intende a livello matematico. Ci sono delle analogie ma non sono la stessa cosa.
I numeri complessi sono oggetti a due dimensioni, ma non sono direttamente collegati alle dimensioni geometriche per come le intendiamo nel quotidiano 🤗
Per altro noi viviamo in un mondo tridimensionale (trascuriamo il fatto che ci sarebbe anche il tempo, e trascuriamo pure le dimensioni previste da alcune teorie fisiche che arrivano tranquillamente a 26), ma non c'e' nessuna difficolta' a teorizzare spazi a piu' di tre dimensioni e pure a farci delle misure, solo che non sono percettibili dai nostri sensi, almeno, non nel senso comune (di nuovo) del termine
@@ingegnereqbquantobasta Talvolta è una equazione matematica, che correttamente interpretata e trasposta nel mondo reale ci dice cosa va a descrivere. L'universo parla il linguaggio della matematica, non sappiamo perchè è così ma è così
Ma che bel regalo di natale che mi sto facendo guardando questo video. Commento positivo ancora prima di concluderlo. Veramente un approccio interessante!!! Grazie
Ora che ho finito il video, rinnovo gli apprezzamenti per l'approccio, veramente notevole e intuitivo. Approfitto però per una domanda: sembra che nella formula del prodotto di due numeri complessi si dia per scontata la definizione "i al quadrato" = -1. Il segno "meno" davanti a "bd" ho l'impressione che arrivi proprio da questo "-1". La stessa formula viene poi usata per dimostrare la definizione di partenza. Come se ne esce? Grazie ancora e buon lavoro
Che dire...grazie mille e...auguri quanto basta! 😂😆
Complimenti professore .
Grazie 😊
La lunghezza della spiegazione e stata necessaria per cancellare i pre concetti sui numeri complessi .
Ancora Grazie .....
@@claudiofrenner8807 Ma ci mancherebbe, grazie a te per l'attenzione!
Straordinario! Mi complimento col Professore (del quale non è purtroppo indicato il nome). Naturalmente, immagino che esista la dimostrazione della formula della moltiplicazione tra complessi. Perché, ancora una volta, lo "scettico" potrebbe ribattere: 《Perché quella roba lì è detta moltiplicazione?》. Attendo risposta. La ringrazio di cuore.
Grazie mille, ma non sono un professore (nel senso tecnico del termine)!
Lo scettico lo sistemiamo subito: somma e moltiplicazione tra complessi sono definizioni, quindi se arriva la domanda "perche' quella roba li' e' detta moltiplicazione?", la risposta e' facile: perche' l'hanno costruita e chiamata cosi' 😁
In pratica si potrebbe pure rispondere "perche' si'" 😆
@@ingegnereqbquantobasta In sostanza la definizione di moltiplicazione è costruita ad hoc allo scopo di ricavare poi la coincidenza tra il concetto di punto di coordinate (0, 1) e l'unità dell'asse immaginario. E se i due distinti concetti coincidono, allora deve essere necessariamente vera quella affermazione secondo cui moltiplicando tra loro quelle due cose del piano cartesiano si ottiene un numero (complesso) e nella fattispecie quel particolare numero complesso (il cui quadrato ci restituisce il valore algebrico -1 di una banale retta reale).
@@ingegnereqbquantobasta 👍 Grazie!
@@francescomariggio1353 ehmm...no. Semmai (ma e' solo una mia ipotesi) e' stata costruita ad hoc per dare una formalizzazione teorica consistente.
Ricordo la docente di Analisi 3 dire che la "ripulitura" della teoria era ancora in divenire, visto che era una formalizzazione piuttosto recente. Aggiungo: disse proprio "essendo una teoria recente, non e' stata ancora ripulita da certi appesantimenti teorici".
Ma parliamo del 1999, magari hanno finito 😁
@@ingegnereqbquantobasta Grazie! 👍
Complimenti per la spiegazione... Dovrebbe essere introdotta pari pari al corso di analisi III in ingegneria elettronica. Grazie ancora
Forse e' un po' troppo divulgativa per un corso all'universita', ma qualche cenno al motivo per il quale sono stati introdotti e una piccola interpretazione non guasterebbe 😅
Dimenticavo: ovviamente grazie per i complimenti 😊
Il riassunto del video è: i numeri complessi possono nascere come estensione algebrica di R. Questa estensione si chiama C, è un campo e contiene R (per costruzione).
PS: non tutti gli insiemi costruiti a partire da numeri reali tali che ci sia almeno un elemento i con la relazione i^2=-1 sono C (vedi i quaternioni o più banalmente gli interi di Gauss).
Aggiungo per chi se lo stesse chiedendo che di solito non è possibile dare una spiegazione più "intuitiva" di quella data nel video perchè le esigenze "pratiche" (si fa per dire) da cui nascono questi numeri sono esse stesse teoriche e astratte. Per cui, benchè la spiegazione non sia tanto originale, trovo che sia ben fatta e la più "didattica" possibile per non matematici. I calcoli si imparano meccanicamente a scuola perchè i "numeri" complessi si prestano bene ad essere considerati appunto dei numeri e godono di proprietà di campo che estendono bene quelle di R al prezzo di una piccola regoletta da memorizzare i^2=-1. Si può fare di peggio (quaternioni) ma grosso modo siamo lì. Perchè si studiano solo i numeri complessi (dopo R) allora? Perchè si prestano bene per farci cose "utili" nelle applicazioni (vedi analisi di Fourier).
Io credo che qualsiasi intuizione si possa avere dei numeri complessi non possa essere concreta o essere nella vita di tutti i giorni. Eventuali analogie con la vita di tutti i giorni sarebbero più complicate di quello che si prefiggono di semplificare.
Grazie per il commento!
Non so se la mia spiegazione sia la piu' intuitiva possibile. Sicuramente la cosa buffa e' che, pur non essendo particolarmente originale, risulta tale a molti per via del fatto che non si parte dal solito i^2=-1...
@@ingegnereqbquantobasta il mio "non è originale" era da intendersi che non solo io non avrei saputo fare meglio, ma secondo me non sarebbe possibile proprio farlo. Quindi non come una mancanza. L'originalità spesso è considerata qualcosa di indispensabile ma questo è uno degli esempi (secondo me) dove la chiarezza è più che sufficiente e il suo video l'ho trovato molto chiaro. Come secondo me dovrebbe essere. Francamente non so come si potrebbe essere originali nello spiegare i numeri complessi e nemmeno me l'immagino.
@@awakedreamer1859 Avevo capito 😅
Intendevo dire che il mio modo poco originale in realta' lo diventa in confronto alle maniere astruse che spesso si adottano per introdurli ☺
@@ingegnereqbquantobasta immagino. Spesso si tende a considerare troppo poco perspicaci gli studenti e si evita di farli ragionare per non metterli alla prova. Però il tuo approccio obbliga lo studente a capire e può risultare "noioso" a qualcuno. Ma io credo nel tuo approccio ed è quello che faccio anche io. Per chi sa accoglierlo credo sia quello che dà più soddisfazioni intellettuali.
@@awakedreamer1859 Concordo in toto, e aggiungo che spesso mi pare che si eviti di farli ragionare anche per "pigrizia lavorativa". E' piu' facile e decisamente meno faticoso fare la lezioncina formalmente corretta: ce la si sbriga in pochi minuti e tecnicamente si e' inattaccabili...
Per me c'è un errore dentro il diagrama che hai fatto, perche i numeri irrazionali non possono restare dentro ad un cerchio con i numeri razionali e devono esere da un altra parte del diagrama soli soleti!
Non ci stanno infatti 😊
Nella rappresentazione coi diagrammi i numeri R contengono Q, e nella zona del diagramma fuori da Q e dentro R ci sono tutti gli irrazionali 😁
Ora che ci penso forse hai interpretato male il disegno, le lettere non indicano la presenza dei numeri nella zona "sopra" alla quale sono scritte, ma indicano il nome del "cerchio" di fianco
Ti ringrazio. Non sono un cultore, ma mi è piaciuto e mi è servito.
Grazie a te 😊
14.48 circa a parte confondere terza dimensione con seconda, effettivamente se con i aggiungiamo una seconda dimensione ai numeri R nula vieta di immaginare di aggiungere una terza e poi si anche una quarta dimensione e poi ancora. un bellissimo spunto grazie
No non e' che io abbia confuso 2 o 3 dimensioni, e' che stavo veramente per partire per la tangente con discorsi di tipo relativistico e mi sono frenato appena in tempo, sbandando un po' 🤭
Naturalmente matematicamente non c'e' nessun problema a trattare con n dimensioni, pero' nella realta' fisica (classica) di tutti i giorni ci si muove in 3D, e se finiamo lo spazio in una stanza bisogna iniziare a riempirne un'altra (che non vuol dire andare nella quarta dimensione come qualcuno ha sostenuto 😁)
Mi è piaciuta l'esposizione. Avrei inserito al momento della notazione di (0,1) come unità immaginaria la corrispettiva unità reale (1,0) rendendo la notazione più "logica" (e del perché si usa definire l'unità).
Rimangono nella mia testa due quesiti esistenziali:
- perché non si usi la notazione complessa direttamente alle elementari, definendo gli altri insiemi come derivati (si usa troppo la versione "cronologica" delle scoperte, in luogo di quella pratica)
- l'aspetto di "invenzione" dei numeri come strumento pratico è poco "spinto" nelle spiegazioni; le definizioni formali sono "noiose" (anche se quelle giuste)
- probabilmente si potrebbe considerare questo video come traccia per il terzo anno delle elementari in cui si dedica alla matematica metà del tempo scolastico (senza dare i compiti a casa dove i genitori aumentano inconsapevolmente i dubbi invece che dirardarli); a fine anno tutti saprebbero usare il piano immaginario, con ricadute notevoli nel futuro. Uno dei difetti dello studio della matematica scolastica è che spezzando si perde invece la conseguenza logica ben spiegata in questo video
A parte che, definendo una notazione per l'unita' reale, si sarebbe andati contro qualunque cosa scritta in qualunque libro, (rendendo quindi incomprensibile e inutile la spiegazione) in realta' non serve.
Perche' non si introducono i numeri complessi alle elementari? Perche' per introdurli, e poi per usarli, servono costruzioni matematiche che si fanno ben piu' avanti. Ricordo che il mio e' un'introduzione ai complessi, ma poi segue molto altro: non basta introdurli, poi bisogna anche usarli, e per usarli occorrono altre definizioni e strutture (notazione algebrica, esponenziale e trigonometrica) che si fanno ben piu' avanti! Senza contare che servono per problemi concreti, tipo risolvere equazioni. Che ci mettiamo a fare anche le equazioni alle elementari? 😉
Anche ammesso che sia possibile farlo (e non lo e'), in terza elementare si troverebbero tutti a usare il piano complesso, ma non saprebbero perche' usarlo, sarebbe solo un'astrazione teorica senza senso pratico, cioe' lo stesso problema che hai denunciato 😆
non e' un numero al quadrato ma un operatore immaginario al quadrato
Mai sentito chiamare i "operatore immaginario"
dai tempi di Bombelli.....ingegneria elettrotecnica
Ho sempre trovato che il modo di spiegare la matematica fosse fallace perché parte dal presupposto che l'alunno faccia un atto di fede e si impari delle cose astratte perché gli si dice di farlo. Io me la sono sempre cavicchiata a scuola. Adesso che ne sono uscito ho iniziato ad imparare molte più cose sulla matematica semplicemente andando a ricercare il perché delle cose. es: Perché i numeri interi possono essere negativi = perché l'essere umano ha iniziato a indebitarsi. Perché studio le funzioni? perché descrivono fenomeni reali etc.
Ecco il Suo modo di spiegare non dà nulla per scontato e soprattutto non dà per scontato che uno debba capire qualcosa perché sì.
Spero di vedere altri video come questo! Complimenti!
Grazie mille, e' proprio questo (il cercare di non spiegare usando il "perche' si'") la linea guida che cerco di immettere nelle spiegazioni ☺
Arriveranno altri video e spero di non deludere!
Da quel poco che ho letto senza approfondire, penso che un'area "unitaria" negativa, che poi è stata chiamata i^2, è venuta come esigenza prima della caratterizzazione formale dei numeri complessi in senso più generale. Quindi, secondo me i^2=-1 viene prima come concetto. Cioè il lato immaginario di un quadrato con area negativa può, poteva essere utile per effettuare dei calcoli intermedi. Cioè secondo me è la "struttura" dei complessi che si è adattata a i^2=-1, anche defindendo ad hoc la moltiplicazione, e non viceversa. Alla fine ho apprezzato moltissimo la spiegazione ma non mi ha fatto cambiare idea su questo punto. A me piace capire le cose più partendo da come l'umanità le ha scoperte, costruite e capite che partire da come l'umanità le ha formalmente caratterizzate.
Beh ma questo e' normale, anche i numeri naturali son partiti da esigenze pratiche: contare! Pero' poi la cosa e' necessario formalizzarla. Comunque la primissima definizione di C e' quella assiomatica, quella che racconto io e' quella piu' recente.
Non ho nulla contro la definizione assiomatica in se' (e' comunque difficilmente digeribile per gli studenti delle superiori), piuttosto ho parecchio contro quelli che la espongono "a meta'" e senza i giusti formalismi (che rendono ancora meno digeribile l'argomento nella situazione di cui sopra).
Dimenticavo: il concetto di "area negativa" va maneggiato con estrema prudenza...
Arrivare a quasi 40anni per dare finalmente un senso alla i. Per come è stata spiegata a me, la si prendeva per buona e avanti col prossimo argomento. Grazie.
Ma a questo punto sono curioso riguardo quei numeri che si estendono su altre dimensioni (come é stato accennato alla fine del video)
Purtroppo non ritengo al momento di avere la giusta competenza per raccontarveli, magari in futuro 😁
Grazie Professore, chiarissimo
Grazie mille per l'apprezzamento 😊
Mi permetta un suggerimento, senza offesa: troppo prolisso! Quasi 50 minuti per un video che poteva durarne 10 senza togliere nulla di sostanziale. Non serve ribadire più e più volte uno stesso concetto, allungando il brodo con il risultato di far perdere per strada la maggior parte di coloro che si erano messi a seguirla animati dalle migliori intenzioni. Mi permetto umilmente di consigliarle di riguardare il suo video e provare a condensarlo in 10 minuti. Le garantisco che in questo modo riuscirà a mantenere l'attenzione di molte più persone fino alla fine del video
Repetita iuvant!
Come ho gia' spiegato in un altro paio di commenti che riportano considerazioni simili, ci sono centinaia di video brevi che introducono i numeri complessi, non ne serviva un altro.
10 minuti per raccontare quello che racconto io non bastano, sintetizzando un po' si potrebbe arrivare a...35? Sarebbe comunque troppo lungo secondo lo standard dei "video brevi".
E' una spiegazione fatta a braccio e che contiene una "storia" extradefinizione (ed e' la parte piu' importante). Prendetela come una specie di chiacchierata di un chiacchierone (nel senso positivo del termine: a me piace parlare, e chi mi conosce lo sa! 😂)
Una versione breve sarebbe un'altra cosa 😬
@@ingegnereqbquantobasta la "storia" mi è piaciuta e non intendevo affatto che dovesse tagliare su quella. È la narrazione che tende ad essere prolissa, con ripetizioni nin necessarie e pause che appesantiscono il tutto inducendo la gran parte di chi inizia a seguire il suo video ad abbandonarne l'ascolto per sfinimento ben Prima di arrivare al nocciolo della questione. Se segue il mio consiglio e si rivede il video sono convinto che si accorgerà che uno stesso concetto lo ha ripetuto più volte anche in momenti successivi. Come si dice a Roma "non so de coccio" 😀, una seconda volta può anche andar bene ma quattro volte è veramente troppo. Sono convinto che gli stessi contenuti si potrebbero benissimo sintetizzare in un video di.. facciamo 20 minuti? 😉 Senza togliere nulla alla sostanza. Le garantisco che chi mi conosce sa che non possiedo affatto il dono della sintesi, ciononostante ho faticato parecchio ad arrivare alla fine... Ripeto non lo prenda come un'offesa ma come consiglio non petito
@@alessandrosoderini2013
Assolutamente nessuna offesa, ci stiamo confrontando, e, da buon sofista (come mi dissero tempo addietro) difendo la mia posizione :)
Per altro capisco perfettamente il punto di vista, ma il problema non e' di cosi' "facile" soluzione.
Non e' neanche questione di pensare che qualcuno "sia de coccio", ma non possiamo stabilire a priori che le ripetizioni siano sufficienti in numero n < 3. Diciamo che ho voluto stare dalla parte del sicuro, perche' spesso, mentre si ascoltano le cose successive, qualcosa di importante delle affermazioni precedenti e' sfuggito, soprattutto se si parla di un argomento nuovo e quindi, tendenzialmente, ostico.
Banalmente, quello che puo' essere subito chiaro a qualcuno potrebbe non essero per qualcun'altro, e la scelta di ripetere molte volte alcuni concetti e' frutto della mia percezione (dovuta a un po' di esperienza) di essere in un punto che ha bisogno di essere ripetuto.
Ma addirittura magari qualcun'altro avrebbe bisogno di sentirsi ripetere piu' volte altre cose che non ho ripetuto! Vai a sapere!
Rimane pero' una considerazione: e' difficile leggere un libro di matematica (o di altra disciplina "tecnica") senza che capiti di dover tornare piu' volte a leggere la stessa frase.
E questo, a pensarci, equivale un po' a sentirsi ripetere piu' volte la stessa cosa 🙂
@@alessandrosoderini2013Sono d'accordissimo con te.
@@candidobertetti27 Infatti, presa come lezione scolastica, dedicare il tempo a questo tipo di approfondimento è solo utile. E' risaputo che non tutti gli studenti sono sincronizzati sul "questo è ok, vediamo il resto", alcuni si incastrano su una definizione, altri sulla dimostrazione, altri ancora distratti da guai sentimentali... insomma, come diceva la nonna "più agiti il setaccio, più ne esce".
Lezione eccellente, ti ringrazio sinceramente.
Vorrei solo capire come si arriva alla formula del prodotto tra numeri complessi
Ringrazio io per l'apprezzamento!
Per la definizione di prodotto ho un'ipotesi, da verificare, quindi da prendere con le molle: i complessi sono comunque (storicamente) nati partendo da i^2=-1 e costruendoci sopra un'algebra, quindi la somma tra reale e immaginario a + ib gia' c'era prima della definizione moderna. Se quindi moltiplichi due numeri (a+ib)(c+id), con la regola usuale di prodotto tra polinomi, il numero che si ottiene e' (ac-bd) + i(ad+bc), dove le parti reali e immaginarie che si ottengono sono proprio quelle definite nel prodotto.
Insomma potremmo dire che e' nata per non buttare via quello che gia' funzionava 😆
Ciao, ti ho scoperto solo ora, bello il video che sto ancora guardando.
Ti lancio una provocazione (premessa sono uno psicologo)
Tre assi uno piano fisico piano mentale e piano spirituale
Tre dimensioni, le tre del mondo in cui viviamo ( ignoriamo sebbene prevedibili altre dimensioni)
Come la vedi?
Molto filosofico con spunti di Platone 😁
Mi permetto di fare un’integrazione alla spiegazione che viene data del prodotto tra numeri complessi attorno al minuto 27:00.
Sappiamo che moltiplicare un numero per un numero reale significa “ripetere” il primo tante volte quanto vale il secondo; utilizzando la definizione che si è data di somma tra numeri complessi ne segue che (a,b)(c,0)=(ac,bc). Venendo all’interpretazione grafica che se ne dà nel video, significa partire dall’origine e muoversi c volte di (a,b) usando come riferimento l'asse reale. Siccome abbiamo detto che i numeri complessi sono un’estensione dei numeri reali al di fuori della retta reale, viene naturale interpretare la moltiplicazione (a,b)(0,d) come movimento dall’origine di d volte (a,b) prendendo questa volta come riferimento l'asse immaginario (significa ruotare il foglio di 90° in senso orario). Ne segue che (a,b)(0,d)=(-bd,ad). Tutto è più chiaro facendo qualche disegno ;)
Sfruttando il fatto che come diretta conseguenza della proprietà distributiva (a,b)(c,0)+(a,b)(0,d)=(a,b)[(c,0)+(0,d)]=(a,b)(c,d), combinando i due risultati ottenuti è immediato definire (a,b)(c,d)=(ac-bd,bc+ad).
Mi devo prendere un attimo per valutare il calcolo :)
L'approccio e' interessante, ma non sono sicuro che si possa partire dal concetto di "ripetere" il primo tante volte quanto vale il secondo per i numeri reali, dove le definizioni di moltiplicazioni tra essi sono piu' complicate.
Ci mancherebbe, il mio voleva semplicemente essere uno spunto per visualizzare graficamente il perché di quella formula: è sicuramente una spiegazione molto poco rigorosa. Ahimè il piano cartesiano è nato dopo i numeri complessi e credo che anche storicamente la formula del prodotto derivi proprio da i^2=-1.
Sulla questione "ripetere", siccome per i numeri naturali il prodotto è davvero così definito, volendo essere un po' più rigorosi si potrebbe partire da numeri complessi (a,b) con a e b naturali e poi estendere il discorso ammettendo che possano essere reali.
E non ha neppure accennato sulla parità dello "0". Bella gente entrate nella mentalità che la matematica è un linguaggio e come tale cerca di descrivere la realtà. Magari un domani si inventeranno nuove notazioni per descriverla.
Complimenti per l'opera realizzata.
La matematica e' pure in largo anticipo sulla realta', sulla definizione della quale ci sara' da scannarsi per parecchio tempo visti i recenti risultati in gravita' quantistica 😦
Ciao cosa usi per scrivere?
Il Remarkable versione 1
Prof,
✍prima che finisca il video devo segnalarle un passaggio che andrebbe spiegato o sviluppato meglio.
Si è affermato che dati due numeri ( si faceva l'es. di( 4 e -4) e il loro prodotto =(-16);poi si affermava che non esiste la radice di un numero negativo(-16) .In effetti la macchinetta calc.segnala (Error).
C'è tuttavia il caso di (-4) e (+4) che nel piano cartesiano; xy = (-16) che non è solo un numero complesso ma anche una superficie dove x=(-4) e y= (+4) ⇒ P=( - 16) le cui radici possono scriversi ;
± √ [16*(-1)^2]= ± 4(-1) che genera le condizioni di partenza [(-4) e (+4)] che devono essere moltiplicate per (-1) ,ovvero per (cos 𝝿)=(-1) e per ( sen 𝝿/2)=(+1).
in buona sostanza abbiamo x = (+4)(-1)= (-4) ed y= (-4)(-1)= (4)
ed ecco che abbiamo un significato geometrico a quello algebrico , considerando la situazione da cui eravamo partiti:una superficie nel II^ quadrante che è negativa.
A me pare plausibile questa considerazione e confido che Lei possa e voglia esaminarla.
li 01/01/2024
Torin0(Joseph)
C'e' un errore di fondo: se consideri il caso (-4)*(+4) non stai facendo il quadrato di un numero, che e' la moltiplicazione del numero per se' stesso, e quindi non puoi fare "il ragionamento contrario" e dire che la radice quadrata e' -16 🥲
il punto (-4,4) non fa ancora parte dei numeri complessi, se sopra non gli definisci la loro particolare moltiplicazione. E' ancora "solamente" una coppia di numeri reali.
Il luogo geometrico (siamo precisi!) xy=-16 non e' una superficie ma una linea, in particolare un'iperbole, della quale fanno parte tutti i punti del piano le cui coordinate, se moltiplicate fra di loro, danno -16. Prova a cercare un po' di coppie numeri che diano come prodotto -16, metti le coppie come punti in un piano cartesiano e vedrai che figura ti viene fuori😉
@@ingegnereqbquantobasta Grazie🧐
Sono ai primi minuti del video e dico:
Con le spiegazioni veloci si rimane coi dubbi
Lo scopo del video infatti non e' nemmeno lontanamente divulgativo.
Grazie, sono sempre più convinto che i cicli della scuola dell'obbligo debbano essere più estesi e ripresi in momenti diversi della maturità di una persona (che siano laureati o meno). Un po' deluso dall'assenza di una logica nella moltiplicazione tra numeri complessi, che, di fatto serve a dimostrare la premessa.
Grazie. Chiaramente nei primi cicli non si puo' definire tutto rigorosamente (basta pensare anche solo alle varie definizioni di R), ma qualche cenno lo si puo' dare.
Non deve spaventare la definizione "buttata li'", anche perche' non e' certo la prima volta che si incontra una definizione senza parlare dei precedenti: e' probabilmente una sistemazione teorica-formale che deriva dalla definizione assiomatica, con la quale comunque si possono definire e che fa nascere comunque la notazione algebrica; le parti reali e immaginarie che si ottengono eseguendo la moltiplicazione in forma algebrica sono proprio le stesse della moltiplicazione definita "a priori".
Insomma sicuramente una logica ce l'ha, probabilmente e' quella che ho qui descritto, ma non posso giurarlo perche' non ho (ancora) trovato fonti che lo confermino.
Grazie Prof. Bravissimo, forse un po' ripetitivo, ma nel complesso :-) molto bravo. Ancora grazie. Ora non mi resta che approfondire
Repetita iuvant! 😅
Grazie dell'apprezzamento!
Video eccellente e utilissimo, grazie, ne trarrò spunto quando spiego questo argomento. Un piccolo commento su quando dici che [19:35 circa] che hanno deciso di chiamare così la componente immaginaria "con un po' di fantasia". Penso che la ragione sia molto semplice: la componente reale rappresenta tutto quello che serve per descrivere una grandezza fisica concreta, misurabile in senso tradizionale, cioè quel che serve per rappresentare la "realtà", l'estensione immaginaria invece è un artificio meramente matematico. In fondo la matematica è un formalismo per rappresentare quello che esiste, e quello che esiste ha bisogno di solo quattro grandezze fondamentali per essere rappresentato: tutte e quattro sono grandezze "reali"; per contrasto quello che è fuori dalla retta "reale" è... "immaginario" (ho sentito usare anche "irreale").
Che i miei contenuti possano essere di ispirazione per altri docenti e' una notizia davvero meravigliosa, grazie! 🥰
Per quanto riguarda la nomenclatura "immaginaria": sono stati pessimisti, perche' in realta' anche gli immaginari sono rappresentativi della realta' fisica (stando attentissimi a cio' che si intende per realta' fisica, anche perche' ancora non e' chiaro...) 😅
Complimenti!
Sono stato attratto dalla presentazione del video. Mi perdoni Professore ma temo di non aver capito. È stata usata una regola ("Fidatevi"...) ricavata ponendo i^2=-1 per "dimostrare" che è i^2=-1, perciò più che una dimostrazione sembra una magia. Infatti, non c'è nulla da dimostrare trattandosi di una definizione. Qualcuno ha chiesto da dove arriva quella regola: (a + b*i)*(c + d*i) = a*c + a*d*i + b*c*i + b*d*i^2 = (a*c - b*d) + (a*d + b*c)*i. Nell'ultimo passaggio è stato imposto i^2 = -1. Io avevo capito questo.
No, e' stato chiamato "i" il numero complesso (0;1), e con la regola di moltiplicazione tra i complessi cosi' definita (a,b)*(c,d)=(a*c-b*d,a*d+b*c) succede che (0,1)*(0,1)=-1 cioe' i^2=-1.
Spero di aver chiarito 😉
@@ingegnereqbquantobasta È proprio questo il punto oscuro. Provo a dirlo in un altro modo: vale esattamente il contrario: se definiamo i^2=-1, succede che (0,1)*(0,1)=-1 che è come dire: i^2=-1 equivale a i^2=-1 (bella scoperta :))
@@jjjoannes non facciamo pasticci ricorsivi con le definizioni 😁
i^2=-1 "esisteva" da prima della definizione che ho riportato, che e' la formalizzazione piu' moderna dei numeri complessi.
@@ingegnereqbquantobasta dov'è il pasticcio ricorsivo? A me sembra un tentativo di salvataggio in corner.
@@jjjoannes il pasticcio ricorsivo accade mentre dici che se definisci i^2=-1 e poi usi (0,1) per farne il quadrato, che si definisce come "i" nella definizione moderna, per forza ti ritrovi che i^2=-1 equivale a i^2=-1.
Insomma sei partito da due definizioni "indipendenti" di "i" per arrivare a dire che un'affermazione e' uguale a se' stessa.
Preferisco l'approccio classico con l'introduzione dei numeri complessi da subito nel formato a+ib e definire "i" come la radice di -1. Questo semplifica a mio avviso la definizione di prodotto tra due numeri complessi che nel video (min. 28 del video) diventa una cosa ancora più strana. In questo modo moltiplicare due numeri complessi (a+ib)(c+id) è la classica moltiplicazione in cui è sufficiente ricordare la definizione che "i" al quadrato è -1. Eccellente comunque nel video la rappresentazione grafica dei numeri come coppia ordinata di due numeri reali. Sono comunque punti di vista.
In realta' non si puo' definire "i" come "radice di -1" se prima non si e' definita "i" come soluzione dell'equazione x^2+1=0...
Poi, come ho gia' detto, ci va costruita sopra un'algebra, ed e' quello che tipicamente non si fa, ecco perche' sembra piu' semplice l'approccio "vecchio".
Faccio presente che la rappresentazione sul piano non l'ho certo inventata io 😁
Anche se non è importante ai fini della spiegazione al minuto 30:30 il valore non è -5 ma -22
Segnalato tempo fa nei commenti e in descrizione, ma bravi che siete attenti! 😊
Bene. Dopo analisi 1, analisi 2, geometria, una laurea in ingegneria e 30 anni di professione incappo in questo video e scopro perché i^2=-1. Forse il giorno che l'hanno spiegato ero assente; come attenuante il fatto che nella professione ordinaria i num. complessi non si usano. Mi resta una curiosità: per quale scopo pratico (sono ingegnere in fondo) si e sentita la necessità di teorizzare i num. complessi? Mi è sempre sembrato che i reali fossero più che sufficienti. Comunque grazie e al prossimo video.
Grazie per i complimenti!
Tutto e' ovviamente partito dal "solito" problema del dare soluzioni a equazioni che nei reali non ne hanno, poi hanno trovato applicazione nella rappresentazione di grandezze elettriche variabili (non necessario ma talmente comodo da renderlo necessario 😂) e anche per rappresentare oggetti della meccanica quantistica (e qui invece diventano proprio necessari perche' sono profondamente collegati a delle proprieta' dei sistemi quantistici, sia perche' sono anche fenomeni ondulatori, sia perche' senza quelli non si trasporterebbero proprieta' della fisica classica alla quantistica).
Un ingegnere che chiede la mia stessa domanda! Lo scopo pratico?
@@morenoviviani8465 Basta leggere la risposta che ho gia' dato 😁
Se ho capito.... Quando parlo di un numero complesso, parlo di un numero espresso da una parte immaginaria e una parte reale! Quindi devo sempre associare ad un reale un numero che esprime una variazione ad esso associato, magari negativo!
Piu' semplicemente, i numeri complessi, se vogliono essere un'estensione dei reali, devono estendersi nella seconda dimensione, perche' nella prima "il posto e' finito"
al minuto 30:32 c'è un errore: la parte reale del prodotto viene -22 (2*3 - 4*7) e non -5. Per il resto tutto chiaro, grazie
Segnalato in descrizione 😉
Bravi a coloro che hanno trovato l'errore 🤗
Sei un grande
PS non per far prima ma semplicemente perché lo ignorano!
Grazie mille davvero
-22 è la parte reale del prodotto!
Non so più fare i calcoli coi numeri normali 🤫🥹
Scusa ma te lo devo dire. Hai fatto un gigantesco pippone per partire dall'aritmetica complessa come se fosse un'invenzione o una convenzione per poi associarla a i quando l'origine dei fatti è proprio quella che neghi all'inizio e probabilmente di più immediata comprensione. L'aritmetica deriva dalle operazioni algebriche standard come il prodotto di due numeri complessi nel momento in cui hai definito la quantità i e lo spazio dei numeri a+ib. Lo trovo controintuitivo e inutilmente "complesso".
Scusa ma te lo devo dire: il contenuto va ascoltato con cura prima di commentare.
Gradirei che tu mi trovassi il punto in cui "nego che i^2=-1".
Che sia di piu' immediata comprensione che un quadrato puo' avere un valore negativo, e partire da li', e' tutto da dimostrare, e l'esperienza dice esattamente il contrario.
La definizione assiomatica che parte dalla soluzione di x^2+1=0 non l'ho trovata in nessun libro di mia recente consultazione, anche un libro vecchiotto (un testo di analisi del 1973) riporta la definizione moderna. L'unico da cui l'ho sentita e' un docente di analisi di un corso di ingegneria.
E la definizione assiomatica non funziona solamente dicendo i^2=-1 e poi via andare con a+ib, ci va costruita sopra tutta l'algebra, cosa che regolarmente non viene fatta nelle spiegazioni alle scuole superiori.
@@ingegnereqbquantobasta lungi da me voler fare polemiche o il saputello. Siamo ingegneri entrambi e forse da lì nasce il mio scetticismo. Tuttavia
Wikipedia: In matematica l'unità immaginaria i (a volte rappresentata dalla lettera greca iota) permette di estendere il campo dei numeri reali R al campo dei numeri complessi C. L'unità immaginaria è caratterizzata dall'essere un numero il cui quadrato è uguale a −1.
Secondo me l'estensione dell'algebra è più intuitiva dopo aver introdotto a+ib. Tu fai il contrario. Nient'altro.
@@RobertoFuscoNet Nessuna polemica, e' un confronto, il registro del quale si regola in funzione del linguaggio usato.
Attenzione a wikipedia, va presa con le molle: la voce che parla dei numeri complessi e' semi-divulgativa, soprattutto appunto nella loro definizione assiomatica.
A questo punto direi che piu' avanti vi proporro' il giusto formalismo della definizione assiomatica, in modo da farvi vedere cosa bisogna fare se si parte da i^2=-1
E' un concetto sbagliato che su una retta possono esserci infiniti punti, questo è un concetto puramente teorico, ma bensi possono esserci al massimo 10 alla 35 punti, ovvero la lunghezza di Plank 1,616252×10−35 m
Attenzione a non fare mischioni sbagliati tra fisica e matematica, soprattutto quando ancora un concetto della fisica non e' ancora chiaro cosa voglia dire (la lunghezza di Planck).
1) Su una retta ci sono infiniti punti e sono in corrispondenza biunivoca coi numeri reali, quindi sarebbe come dire che non possono esserci infiniti numeri reali.🤨
2) Anche se la lunghezza di Planck avesse un senso fisico, questo non avrebbe alcuna conseguenza su quanti punti ci stanno su una retta. Una (una) delle possibili interpretazioni della lunghezza di Planck e' che questa sia la misura sotto alla quale qualunque lunghezza non ha significato fisico (fisico, appunto). Questo potrebbe rendere insensato mettere infiniti punti (che rappresenterebbero posizioni) tra due punti che si trovano distanti una lunghezza di Planck, ma non impedirebbe affatto di metterne in fila un'infinita': salterebbe solamente fuori una retta con dei punti mappati sui numeri Q, con altri numeri R nel mezzo, e sempre infiniti sarebbero...😬
Grandissima spiegazione continua a fare video💪💪💪
Grazie mille! Certo che non smettero'! ☺
molto interessante grazie del video, un piccolo appunto toglierei la musica di sottofondo
Grazie per il feedback! Sono indeciso sulla musica in sottofondo: senza nulla risulta un po' asettico. Magari ne scelgo una piu' chilly 😅
E sarei stato tremendamente meno ridondante perché non ci si trova in aula ma online dove tutti possono all'occorrenza tornare indietro per riascoltare. Ad ogni modo, se si hanno pazienza e concentrazione per 50 minuti è possibile dipanare dubbi sui numeri complessi.
@@longflyer63 non saprei. Il video e' anche una chiacchierata, non una mera lezione sulla definizione moderna dei numeri complessi. Per quella bastano 5 minuti, ma poi saremmo da capo 😁
Mi associo a tutti i commenti positivi ma…al minuto 24 ho dovuto smettere mi stava venendo un attacco epilettico per la musica! In una bella lezione di matematica,come questa, la musica è il modo di esporre, la chiarezza delle argomentazioni e in tutto questo non c’è nulla di asettico!!
@@robbiepardo5791 grazie per il bel commento! Sicuramente quella traccia non la metto piu'. 😅Negli altri video che ho realizzato l'ho cambiata e certamente e' meno invasiva. Pero' un feedback anche su quella non mi dispiacerebbe!
Ottima introduzione ai numeri complessi, ti si ascolta con scioltezza ma l'attenzione è sempre desta (piccolissimo errore di calcolo ininfluente, che non toglie nulla). Mi gusta e la farei ascoltare. 👍 P.S. come ultimo esempio avrei fatto la risoluzione di una equazione (secondo o terzo grado per i più impossibili 🤭🤭🤭)
Grazie mille. Piu' avanti qualche applicazione sulle equazioni coi numeri complessi la mettero' di sicuro, garantito! Spero senza errori di calcolo: prometto di dormire 8 ore la sera prima 😁
Fantastico!
Grazie mille 🥰
In effetti avevo le idee confuse. A un certo punto ho iniziato a fare problemi in cui i numeri complessi erano rappresentati sull'asse cartesiano. Pensavo che fosse solo un modo comodo per fare i calcoli quando si ha a che fare con i numeri complessi.
Secondo me almeno all'inizio la cosa che più confonde le idee è insita nel simbolo "i" ossia nella definizione di immaginario: probabilmente la ragione di chiamarlo in questo modo arriva più avanti di tutto quanto discorso in questa spiegazione, ma fino a questo punto di immaginario c'è di fatti ben poco, mi sembra.
Si potrebbe dire che un numero complesso è formato da una parte reale o monodimensionale, e da una parte estesa o bidimensionale - dal momento che qualsiasi parte immaginaria lo è per definizione: convenzionalmente l'unità immaginaria è impostata sull'asse delle ordinate e quindi (0,1) ma anche (x,1) è di fatto un'unità immaginaria e bidimensionale, se fosse monodimensionale si tratterebbe di un mero numero reale, sempre per definizione.
Anche i calcoli che ne conseguono lasciano ben poco all'immaginario e al conseguente complottismo che si instaura - la stranezza è tutto nell'introdurre come immaginario qualcosa che invece ha a che fare con il calcolo a più dimensioni e che effettivamente può avere sin da subito una logica chiarissima.
Si', e' chiaramente stato assegnato un nome infelice.
Ho visto che in un altro commento (che pero' non trovo) avevi segnalato un errore: purtroppo confermo e l'ho segnalato nella descrizione del video.
@@ingegnereqbquantobastase posso aggiungere, il nome non è infelice: è proprio una parte immaginaria di un numero che uno non vedeva prima che risolve il problema delle soluzioni dei polinomi di grado x. Tipo la materia oscura per risolvere la mancanza di massa nell'universo
@@giusepperibezzo7332 E' abbastanza infelice anche averla chiamata oscura 😆 Ma spesso gli scienziati non sono bravissimi a dare nomi alle cose...
Ottimo l’approccio storico legato alla soluzione di un problema! E l’unico modo di far scendere la matematica sulla terra 😉
Grazie, bella metafora! 😁
A me l’hanno spiegato alle superiori la definizione formale. E comunque prima si parte dalla spiegazione intuitiva e poi si arriva a quella formale, non solo con i numeri complessi
Beh si parte un po' dove si vuole, non c'e' una regola. Sicuramente io preferisco un approccio intuitivo all'inizio, ma in corsi di livello superiore puo' non essere necessario un approccio intuitivo che preceda una definizione formale.
Io ho studiato meccatronica, non ci siamo mai arrivati a questi numeri... Come mai?
Banalmente penso che il motivo sia solamente: perche' non servono 😉
Io l'ho trovato chiaro ed esauriente e neppure prolisso. Mi aspettavo però qualche applicazione pratica finale.
Anche un solo esempio concreto
Se ci avessi aggiunto qualche esempio finale sarebbe venuto un video da 2 ore e quelli che mi hanno dato del prolisso sarebbero venuti a menarmi, quindi non l'ho fatto per salvaguardare la mia incolumita'! 🤣
Scherzi a parte, piu' avanti faro' sicuramente un video di approfondimento, magari piu' di stampo divulgativo.
A suo tempo avevo capito bene tali numeri, presentati da subito nel piano complesso nei miei studi di ingegneria (e provenivo dal liceo classico...). Ora insegno matematica e non concordo con una spiegazione così lunga ed infarcita di osservazioni personali, piccole retromarce, deviazioni da quella linearità che ritengo indispensabile che ci sia, la prima volta che si presenta un argomento. Spero non te la prenda per la mia sincerità
A ognuno i suoi gusti. Si puo' aprire qualunque libro e leggersi la definizione in 3 minuti, e proprio se si legge lenti. Ma poi? Al terzo anno di ingegneria si dovrebbe avere gia' una confidenza tale con definizioni e strutture matematiche da non rendere necessaria un'introduzione cosi' lunga, ma alle superiori?
A me piace raccontarli cosi' all'inizio perche' vedo che i ragazzi vengono coinvolti. Il video non e' sicuramente dedicato a chi li conosce gia'.
In ogni caso l'importante e' che li capiscano, e se li capiscono anche in altri modi, benissimo!
il mio prof di Elettrotecnica, utilizzava "j" anzichè "i".
Grazie! Ottima spiegazione, utilissima soprattutto per ragazzi del liceo/ITIS.
Si', tra elettrici/elettronici/elettrotecnici si e' blasfemi, e l'unita' immaginaria si indica con "j" per non portare via la "i" all'intensita' di corrente 😉
Grazie per l'apprezzamento!
mi permetto un commento non entusiastico: buona la spiegazione ed apprezzabile il tentativo di giustificazione Tuttavia un po' troppo verbosa.. il tono e' eccessivamente pedissequo - proverei a tirare un po' dritto ed indugiare meno in parole / considerazioni / ripetizioni non strettamente necessarie a volte con il tentativo a mio parere superfluo di giustificare e documentare tutto ..
Permesso concesso, ci mancherebbe 😉
Come ho gia' detto in altri commenti, un video breve e coinciso sulla definizione di numero complesso non era necessario: ce ne sono gia' davvero tanti e fatti bene e non ne serviva un altro 😁
Grazie, molto interessante e ben fatto.
Mille grazie 😊
Complimenti. Spiegazione molto chiara
Grazie mille!!! 🤗
grazie, molto chiaro. Forse un po' lungo il video.
Forse 😉
Wooow, finalmente mi è tutto più chiaro!!!
Ottimo!!!!! 😁
Sarebbe interessante anche spiegare ai ragazzi la genesi storica. Adesso i numeri complessi si introducono come coppie di numeri reali (a,b) e da lì si passa alla notazione algebrica a+ib che è più comoda per fare le operazioni. Ma in origine l'unità immaginaria fu introdotta per risolvere le equazioni di terzo grado. La formula risolutiva delle equazioni di terzo grado non riproduceva delle soluzioni reali, se nei passaggi non si introduceva il famoso i^2 = -1 che poi si elideva e veniva fuori una soluzione reale. Vista così la invenzione di i il cui quadrato fa -1 non sembrerebbe strana ai ragazzi.
Ovviamente i matematici non potevano giustamente accontentarsi dicendo che l'unità i veniva dalla soluzione di un problema algebrico. Giustamente si è arrivati alla esposizione rigorosa che lei ha ben presentato e che è quella che gli studenti universitari di matematica o fisica apprendono al primo anno.
9:53
Non scendo nel dettaglio delle equazioni di terzo grado, ma la necessita' di avere nuovi numeri per risolvere soluzioni di equazioni impossibili in R e' ben specificato.
Grazie mille
Ben lieto
Sarebbe bello, dopo aver cercato di spiegare la natura della i, sarebbe bello capire perchè il prodotto è così
Mi sono ripromesso di verificare l'ipotesi fatta rispondendo al altri commenti, cioe' che l'algebra cosi' definita comunque si basi su quella gia' usata nella definizione assiomatica (cioe' quella in cui si parte da i^2=-1 come soluzione dell'equazione x^2+1=0).
Appena avro' notizie le comunichero' 😉
Illustrazione dei Numeri Immaginari IMPECCABILE.
Bel video davvero
Opportuni i rimandi, qua e là, alla algebra astratta (strutture algebriche, campo .).
Quindi perché non progettare un percorso di lezioni anche di algebra astratta (del resto anche questo - forse anche più dei complessi - è un argomento poco battuto).
Che dice...
Grazie! L'idea e' bella, la metto in cantiere e vediamo.
ottima spiegazione, finalmente, grazie
Grazie per l'apprezzamento 😁