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Paradosso coi numeri complessi
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- Опубліковано 29 бер 2023
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Valerio Pattaro non è mai banale. Ci offre sempre nuovi temi abbastanza nuovi e quasi sconosciuti ai profani o ai "semiprofani". E devo ammettere che mantenere questo ritmo di novità continue per così tanti anni è formidabile. Raramente mi complimento con qualcuno (perché sono molto esigente), ma con Valerio devo farlo. Non è mai tempo perso aprire, anche a caso, un qualsiasi suo video: se ne esce sempre edificati. Grazie di cuore, Valerio.
Grazie a te
Ti faccio i miei complimenti sei un ottimo docente , i tuoi studenti dovrebbero esserne fieri .
Grande, video utile e interessante come sempre! Avanti così!
Le proprietà dei radicali si applicano soltanto ai numeri reali e non si possono applicare ai complessi, da ciò il paradosso
@@dashkappei9082 Si potrebbe anche pensare (con buona pace di tutti) che un insieme di proprietà (dei radicali) si applichino ai numeri reali e un diverso insieme di proprietà per i numeri complessi.... o no? Domando!
P.s. mi sembra strano comunque perché se riteniamo un insieme di proprietà come "definitorio" per un certo ente matematico, la considerazione del medesimo ad ambiti di validità più ampi dovrebbe solo portare ad allargamenti di quanto definito senza mai togliere nulla.
@@dashkappei9082 Da questo video io avevo capito che l'estrazione di radici varrebbe SOLTANTO nel campo o o dominio dei numeri complessi! e che l'applicazione ai numeri reali sarebbe soltanto un'approssimazione, giustificata dalla Storia della Matematica e dalla presunzione che i docenti di liceo e delle scuole primarie sarebbero incapaci di spiegare compiutamente. Ma insufficientemente capaci restano coloro che trasmettono semplicisticamente cioè indicono a memorizzare e a operare senza capire, e coloro che non sanno spiegare... Cioè quasi tutti? Comunquesia, io reputo sacrosanto almeno rammentare che le cose sono più COMPLESSE di come le abbiamo capite, o di come abbiamo capito che gl'interlocutori (ad esempi i discenti) potrebbero capire!
Numeri Complessi.
Dimostrazione del fatto che √-1= +/- i
Premesso che la definizione data dell'unità immaginaria è: i = (0 , 1)
Ossia quella coppia cartesiana che fa ruotare in senso antiorario di π/2 un vettore nel piano.
Per cui è errato scrivere come i = √-1
L'unità immaginaria i è definita come:
i = (0 , 1)
Quindi i^2 = (0 , 1) • (0 , 1)
Applicando poi la regola di moltiplicazione tra complessi si ha
(0*0 - 1*1 , 0*1 + 1*0) = (-1 , 0) = -1.
Con la stessa regola si dimostra che pure (-i)^2 = -1
Infatti si ha: -i = (0 , -1)
(-i)^2 = (0 , -1) * (0 , -1) =
(0*0 - (-1*-1) , (0*(-1) + (-1)*0) =
(-1 , 0) = -1
E quindi ne consegue che √-1 ha due valori sia +i che -i .
@@certosino2267 solo che tra vettori non è definita l'operazione di prodotto complesso per cui un numero complesso non è un vettore. Le operazioni di prodotto vettoriale e scalare non sono infatti applicabili ai numeri complessi. Il tutto risulta più chiaro se si utilizza la notazione esponenziale (o euleriana) per la rappresentazione dei numeri complessi
@@stefano.a e dove avrei scritto che i numeri complessi sono dei vettori?
I numeri complessi sono i punti del piano cartesiano.
I vettori sono un'altra minestra.
Bellissima Playlist Prof. Pattaro! Ci ho fatto un bel “ripassone”. Grazie ancora!
Non si possono usare le solite regole dei radicali quando si lavora con i numeri negativi, perciò non si può mettere sqrt-1 e sqrt-1 sotto la stessa parentesi ma si dovrebbe eseguire l'espressione nel seguente modo: sqrt-1 * sqrt-1 = i1 * i1 = i^2*1 = -1
Complimenti per il video Valerio!! spiegato in modo chiaro , impossibile non capire
Bellissimo video Valerio, grazie come sempre ! Pasquale
Complimenti, spiegazione perfetta!
Tu non puoi capire da quanti anni cercavo la risposta a questa domanda. All'università non avevo risolto questo dubbio che me lo sono portato dietro "tralasciandolo". Grazie mille 🔝
Grandissimo e fantastico video.
Grande prof!
È sempre un piacere ascoltare le sue analisi.
Salve prof, video veramente utile e interessante! Alle superiori i numeri complessi erano uno degli argomenti che preferivo di più, e infatti ho individuato subito l’errore. Spiegazione veramente impeccabile come sempre!
Bellissimo video, complimenti.
Molto interessante e ben spiegato. Grazie.
Molto interessante bellissimo video e grazie
Interessantissimo, non l'avevo mai sentito!
Ti faccio i complimenti per la tua preparazione!! I miei problemi in matematica sono gravi facevo fatica a fare le divisioni alle medie, espressioni mai imparate, nei problemi di matematica alle medie facevo davvero fatica a capire se era una moltiplicazione o divisione sono problemi di logica anche ora a 24 anni ne capisco davvero poco. Comunque faccio le scarpe in fabbrica tempo indeterminato devo imparare a memoria altrimenti con il ragionamento non riesco la fabbrica è molto ripetitiva e mi trovo bene
Ognuno ha i propri punti di forza e di debolezza
Ottima spiegazione Valerio
Grazie per il video . Esso ha esteso la sua spiegazione in merito al quesito a suo tempo proposto. È inutile dirle ora che sono in attesa del suo intervento su Taylor grazie al quale l' equazione di Eulero apparirà ancora più comprensibile
Ottimo. In effetti questa spiegazione dettagliata del numero complesso i non c'è nei libri di scuola.
Bellissimo video, Valerio ha spiegato un argomento difficilie in modo molto chiaro.
Bellissimi i numeri complessi!!
Li adoro!
Spero siano in programma altre curiosità ed esercizi
Sono già inventati numeri rappresentabili in 3 dimensioni?
Carino e preciso. I numeri complessi sono un argomento complesso!😉
Grazie Silvia
buona questa 😄
Sempre così chiaro! Ormai dirle grazie è banale ma lo sento doveroso.
😊
@@ValerioPattaro ci pensa Professore che se facessimo una immagine topografica del melo di Newton verrebbe fuori una spirale con delle particelle puntiformi lontane dal nucleo e distanziate da qualcosa definito campo o chioma ma non descrivibile il tutto con l prevedibilità che qualcuno passi mangi una mela e sparisca un elettrone come in meccanica quantistica, tutta colpa di Eva insomma!
Bellissimo. Anche io avevo in mente di fare un video sull'argomento, ma direi che non potrei fare di meglio. Veramente spiegato benissimo. 👏
Grazie Gae
Bravi entrambi i nostri prof
😍 dopo la spiegazione
😵😭 dopo aver ripensato a come te la ricordavi e forse a come te l'avevano spacciata.
Francesco Mariggio condivido ciò che dici.
Sei mitico professor Valerio 😁
Grazie anche a te Manuel
Buongiorno . Esposizione molto chiara come sempre . Complimenti . Quindi la formula risolutiva dell'equazione di secondo grado
deve considerarsi in campo complesso anche quando dà risultati reali ?
No, perché nella formula c'è il +/- fuori dalla radice.
Si potrebbe anche fare, ma visto che le 2 radici quadrate sono sempre di segno opposto, sia in campo reale che complesso, non è necessario, perché come dice Valerio nella formula risolutiva è presente il +- prima della radice (di cui allora è sufficiente prendere un solo valore)
Tutto sta nel convenire che cosa significhi il simbolo sqrt(•). Questo simbolo è un qualcosa di ben definito sull’insieme dei reali positivi, ed è una funzione a valori positivi (sqrt(9)=3 e non “più o meno” 3, altrimenti contraddirebbe la definizione stessa di funzione). Sull’insieme dei complessi, sqrt semplicemente non è una funzione, ma la metterei in questo modo: sqrt(a) denota l’insieme di tutte le soluzioni nel campo complesso dell’equazione z^2 = a. Si vede chiaramente allora che i due concetti di radice quadrata nel campo reale e in quello complesso sono completamente diversi
Primo errore che noto dalla copertina (prima di vedere il video): sqrt(x^2)=+-x, quindi già si sta omettendo una soluzione tenendo conto del solo valore positivo.
Poi ora non ricordo benissimo il caso particolare di i^2 però in generale con i numeri complessi si deve tenere conto di modulo e argomento, in questo caso il modulo è uguale |-1|=|1| e l’argomento è sfasato di 180
Ho delle perplessità di natura formale su quanto detto in questo video: lei parla di funzioni a più valori, quando si potrebbe più semplicemente lasciare inalterata la definizione di funzione, e vedere la radice come funzione da C in P(C) (C=insieme dei numeri complessi, P(C)=insieme delle parti di C). In questo modo a -1 si associa l'INSIEME costituito dagli elementi -i e i.
Scrivere radice di -1 = +- i lo trovo fuorviante perché se è una scrittura agevole per quanto detto sopra "ci capiamo" (come ad esempio quando scriviamo x=+-2 per risolvere l'equazione x^2 -4=0 intendendo che l'INSIEME delle soluzioni dell'equazione è dato dagli elementi +-2) tuttavia personalmente mi sembra crei più confusione per due motivi: nell'ottica che ho riportato sarebbe un uguaglianza tra elementi di C e elementi di P(C) cosa ovviamente insensata e da un'altro lato perché mantenendo un qualche senso l' uguale è una relazione di equivalenza e usato così, tecnicamente parlando, dalla transitività si ha l'assurdo i=-i.
In ogni caso le faccio i complimenti per il canale!
Ciao Valerio! Prima di tutto grazie infinite per i tuoi video, sono incredibili e super interessanti. Ho sempre usato e fatto matematica ma da quanto ti seguo sta diventando una passione e sto migliorando. Ti scrivo questo commento perchè nel video alla fine viene fuori un risultato contraddittorio cioè che i^2=√1=+-1 quando abbiamo definito sopra che i^2=-1. Come mai? C'è un errore o io non ho capito qualcosa? Potresti spiegarmelo? Grazie infinite e ancora complimenti!
Anche se la domanda è rivolta a Valerio, mi permetto di risponderti io: la scrittura a=+-b è in realtà un'abbreviazione di a=b v a=-b (dove "v" significa "oppure"), quindi non è una contraddizione logica poiché è vera una delle due. Sarebbe corretto, ad esempio, scrivere 3=+-3 poiché ciò equivale a 3=3 v 3=-3, che è vera ( A v B è vera se almeno una tra A e B è vera)
@@max031066 ti ringrazio moltissimo, non conoscevo questo significato. Ora ha tutto senso. Grazie ancora!
L'errore è stato sostituire "i" con la radice quadrata di -1
@@ValerioPattaro esatto, perché sqrt(-1) = ±i, non semplicemente "i", la definizione essendo infatti i² = -1
@@max031066 Dunque tu hai usato il segno 《=》 non per significare 《è》o 《è uguale a》 o 《equivale a》 o 《: l'essenza di ciò coincide con》, bensì per significare 《equivale ad almeno una delle proposizioni seguenti》! Ho capito bene il linguaggio che hai usato?
Nei Complessi è data la definizione :
i = (0 , 1)
Ossia l'Unità immaginaria è definita come quella coppia cartesiana che fa ruotare in senso antiorario di π/2 un vettore nel piano.
L'unità immaginaria i è definita come:
i = (0 , 1)
Quindi i^2 = (0 , 1) • (0 , 1)
Applicando poi la regola di moltiplicazione tra complessi
(a , b) * (c , d) = ((a*c - b*d) , (a*d + b * c))
si ha
(0,1)*(0,1)=
(0*0 - 1*1 , 0*1 + 1*0) = (-1 , 0) = -1.
Con la stessa regola si dimostra che pure (-i)^2 = -1
Infatti si ha: -i = (0 , -1)
(-i)^2 = (0 , -1) * (0 , -1) =
(0*0 - (-1*-1) , (0*(-1) + (-1)*0) =
(-1 , 0) = -1
E quindi ne consegue che √-1 ha due valori sia +i che -i .
Ora dato il vettore (1,0) si ha che :
(1,0) * i = (1,0) * (0,1) = (1*0 - 0*1) , (1*1 + 0*0) = (0 , 1)
Praticamente moltiplicando il vettore (1,0) (che si trova sull'asse delle ascisse) per l'unità immaginaria i, otteniamo come risultato il vettore (0 , 1) (che giace sull'asse delle ordinate) ossia il vettore dato se moltiplicato per l'unità immaginaria ruota di π/2.
👏👏👏
Mi è stata utilissima la tua precisazione e richiamo alla definizione sulle radici in campo reale.
Molti insegnano la regola ma omettono di dare la definizione per cui uno non capisce perché la radice quadrata di 4 non possa essere anche -2 dal momento che l'estrazione di radice è l'operazione inversa dell'elevamento a potenza e -2 al quadrato da 4.
👏👏👏👏👍
Serve passare in forma cartesiana se dobbiamo fare una traslazione per esempio (x-2)¹⁰+1
E' passata qualche decina di anni ma sono sicuro che questi argomenti non sono mai stati trattati al liceo scientifico né nel corso di Analisi 1 o Analisi 2 di ingegneria. Ovviamente i numeri complessi li abbiamo studiati eccome, ma spesso si passava dall'insieme dei numeri reali all'insieme dei numeri complessi come se nulla fosse.
E infatti non di rado mi trovo in confusione.
Mancava in effetti un approfondimento serio sugli insiemi numerici. Oggi mi sembra che qualcosa in più si faccia ma non è facile proporlo agli studenti in una forma ricevibile. La presenza di molte simbologie (appartenente, contenuto, intersezione insiemi aperti chiusi ecc) rendono le spiegazioni ostiche. Comunque grazie per il tassello che mi mancava e grazie per tutti i tasselli che ci fornisci
fatto ad analisi 1, dimostrato anche che i numeri complessi non sono ordinabili. Chi conosce come funzionano le definizioni e le conseguenze, riesce a capire perché i² = -1 è una definizione importante
@@alessiodaini7907 io ti parlo del 1989.... Ma l'insiemistica venne trattata veramente alla velocità della luce. E i numeri complessi li compresi molto meglio in seguito ad elettrotecnica. Oggi seguo seguo con piacere queste lezioni di matematica per puro diletto dal momento che mi occupo di tutt'altro 🤷
Ad ingegneria la matematica e la fisica sono degli strumenti, non oggetto di studio. In ogni caso che la radice quadrata di un numero a≥0 sia definita come quel numero b≥0 tale che b^2 = a, viene insegnata anche al liceo scientifico e non manca mai chi ha il coraggio di chiedere "ma anche -b al quadrato mi da' di nuovo il radicando". Da qui s'intavola poi una piccola discussione sulle funzione e si cerca di chiarire, per quel che si può, la motivazione.
Ma a prescindere, la definizione di radice ennesima è data come quel numero che elevato all'indice del radicale riconsegna di nuovo il radicando. La definizione poggia dunque sull'operazione di potenza di un numero (del resto se devo definire qualcosa di nuovo non posso usare concetti nuovi, bensì quelli già noti). Il seme per una conoscenza più approfondita quindi c'è già.
La ragione per cui negli studi avanzati non te ne hanno mai parlato è dovuta proprio a quanto ho scritto più sopra: la matematica non è l'oggetto di studio nei corsi di ingegneria.
Per divertirci un po', perché 1 non è considerato un numero primo? Eppure, chi più di lui ha tutte le carte in regola?
@@superfab70 ti posso dire che l'insiemistica ad ingegneria informatica è importante, perché viene applicato in tante materie. Non parliamo poi dell'informatica che basa fortemente l'insiemistica in materie come fondamenti di informatica e un altro corso dedicato agli algoritmi, dove è tutto basato sull'insiemistica. Dalle elementari alle superiori ho sentito costantemente parlare di insiemi, ma sono d'accordo che non li vengono poste la giusta importanza, in quei momenti. Per me quelli del video sono cose che gran parte delle volte mi sono già state insegnate a mio tempo. Per quanto la matematica e la fisica siano alla base degli studi di settore, concetti tanto elementari vengono teoricamente esposte dai professori, ma magari dimenticati dagli ingegneri. Di fatto, dipende molto dal professore se fa distinzioni, oppure no. Studiando varie materie, fra matematica teorica e matematica applicata, in attesa di fisica, elettrotecnica ed elettronica, posso affermare con certezza che è il professore che stabilisce cosa può essere utile per l'ingegnere o no. Esempio: algebra lineare 70 teoremi in un corso da 6 crediti, di cui solo 10 direttamente applicati negli esercizi. Professore dopo, ne ha esposti una trentina.
Poi va bene, quando dici che i numeri complessi non sono approfonditi come si farebbe ad un corso di matematica, tuttavia quello illustrato nel video è veramente la base della base.
Dipendeva dai Prof certi facevano i complessi sia in analisi 1 che in algebra e geometria, altri solo in una delle due.
Ma una cosa era certa li dovevi conoscere e pure bene altrimenti Fisica 2 non lo passavi nemmeno a spinte, il tizio come si accorgeva che avevi problemi con i numeri complessi ti cacciava come un cane e prima di sei mesi non ti permetteva di ritentare.
ottimo video, mi rimane però un dubbio: √a * √b = √(ab) non è valida solo per "a" e "b" >0? nel nostro caso -1 è
è valida anche per numeri negativi però tenendo conto quanto detto sulle funzioni polidrome
Grazie mille per l'interessantissimo video. Ho una domanda: a 7:58 si dice che i è il "valore principale" di sqrt(-1). Cosa si intende con "valore principale" in questo caso?
Ogni funzione a più valori ha un valore principale che, in parole povere, è quello più semplice da scrivere.
@@ValerioPattaro volendo essere più precisi in che senso "più semplice da scrivere"? (per esempio in questo caso come mai decidiamo che j è più semplice da associare a sqrt(-1) rispetto a - j? (mi scuso per la pignoleria ma ho fatto analisi complessa e sono curioso, se il discorso è troppo lungo e articolato da spiegare come non detto, grazie lo stesso)
È quello con k=0 quando scrivi le radici in forma trigonometrica o esponenziale.
@@ValerioPattaro Mi scusi quest'ultima domanda; stavo riscrivendo il ragionamento corretto sul mio quaderno ma ho notato un passaggio che non mi torna. Il ragionamento corretto quindi dovrebbe essere:
i^2 = i * i = (+-sqrt(-1)) * (+-sqrt(-1)) = +- sqrt(1) = +- 1.
Ma la funzione quadrato è monodroma, quindi i^2 non può dare i due valori +1 e -1. Dove sto sbagliando?
i vale solo -1. Il segno va raccordato in modo che venga quel numero.
Se conveniamo, come è per definizione, che il simbolo di radice quadrata V denota il valore principale, allora l'errore sta nel passaggio (V-1)^2=V((-1)^2), poiché, per x>0, (V-x)^2=-x, mentre V((-x)^2)=x.
rimarrebbe da spiegare la questione in geometria analitica la √a ha sempre due valori + e - , e ne caso di 1 anche perché indica sia la tg di π/4 sia di (π/2+π\4).così pure nel caso del cos 0 e cos π.
In geometria analitica le funzioni radice, tangente e coseno hanno un solo valore.
Infatti supponiamo che lo scopo è scomporre x¹⁰+1 in fattori di grado minore o uguale di due a coefficienti reali l'unico modo è passare per i complessi, se provassimo ad aggiungere e togliere 2x⁵ ci troviamo un polinomio di grado 5 il che è un grave problema, siamo costretti a passare per i complessi, dato che passare per i complessi possiamo applicare la formula dopo aver trovato le radici complesse.
(x-(a+ib))(x-(a-ib))=x²-2ax+a²+b²
(x-ρ∠θ)(x-ρ∠(-θ))=x²-2ρ∙cos(θ)x+ρ²
E per trovare le radici complesse di -1 abbiamo comunque una formula
ρ=1 θ=π
x=¹⁰√1∠(π/10+2kπ/10)
Limitandoci a solo 5 radici radici le altre 5 sono coniugate non serve passare alla forma cartesiana, poiché sia per la cartesiana che la polare abbiamo la formula
(x-(a+ib))(x-(a-ib))=x²-2ax+a²+b²
(x-ρ∠θ)(x-ρ∠(-θ))=x²-2ρ∙cos(θ)x+ρ²
Dato che la forma che troviamo è la polare usiamo la seconda relazione.
Salve professore, visto che i⁴ è uguale a 1, è allora corretto dire che sqrt(i⁴)=±1? Grazie
Si
@@ValerioPattaro grazie. Il dubbio sorgeva perché da sqrt(i⁴), semplificando la radice con l'esponente, si otteneva i², che è uguale invece soltanto a -1
Non puoi semplificare perché la radice ha due valori.
Parlando di funzioni polidrome ritengo sia più corretto specificare sempre il branch di definizione. L'errore nella fattispecie dei conti esibiti è che Sqrt[w]*Sqrt[z] non è in generale uguale a Sqrt[w*z] per w e z complessi proprio perché bisogna definire in maniera opportuna il branch di definizione della funzione Sqrt[ . ]
Giusto. Però l'uguaglianza sqrt(u)sqrt(v)=sqrt(uv) diventa vera che consideri sqrt(x) come l'insieme di due valori opposti tra loro (es: sqrt(-1)= | i, -i |, dove | ... | significa "insieme dei valori ... ): in questo caso è un'uguaglianza tra due insiemi (non tra due funzioni) in cui il prodotto a sinistra si esegue esattamente come nella teoria dei gruppi (cioè motiplicando ogni elemento del primo insieme per ogni elemento del secondo). In questo modo si può evitare di parlare di funzioni polidrome e di branch, trattanto la questione in modo più elementare.
Esatto la risposta più corretta è la tua e l'avevo notato anch'io che il passaggio fosse problematico in questo caso, visto che gli viene i^2 = +- 1.
Interessante!!! La radice quadrata del prodotto infatti è uguale al prodotto delle radici solo quando il radicando è non negativo.
user -- Perché ?
@@Livius4 Su un'enciclopedia Treccani datata lessi così quando parlava delle proprietà dei radicali e credo che lo intendesse per definizione. Poi non so: col tempo anche le idee matematiche si possono rivedere.
@@user-lb8rz5wr3x Ok
@@user-lb8rz5wr3x Forse solo per alcune
@@user-lb8rz5wr3x Comunque ok
Belli i numeri complessi.
I complessi sono un'estensione quadratica dei numeri reali, cioè tutti gli elementi della forma a+bi dove a,b sono reali e i è un simbolo tale che il suo quadrato è -1.
Buongiorno Valerio, mi sfugge il passaggio: in campo reale la radice ha sempre un solo valore.
Vuol dire che la radice di x ha uno e un solo risultato (purché x sia un elemento del dominio della funzione).
È normale che sfugga, perché non l'ha spiegato bene. Sta parlando di funzioni e non di equazioni, e a primo sguardo uno pensa più a un'equazione perché scrive sqrt(4)=2. Però l'equazione x^2=4 ha due soluzioni anche in campo reale, che sono -2 e 2. Il problema è che, quando si parla di radici, i numeri reali soffrono del fatto che non sono un "campo chiuso" per questa operazione (si dice così). Quindi un'equazione di secondo grado può avere una, nessuna o due soluzioni. Invece essendo C chiuso per tale operazione, un'equazione di secondo grado avrà sempre due soluzioni, com'è logico che sia (3 soluzioni per il terzo grado e via dicendo).
Quando parliamo di funzioni invece, e non di equazioni, per definizione una funzione su campo reale deve prendere elementi di un dominio e mandarli in un'immagine e a ogni elemento del dominio corrisponde sempre un elemento nell'immagine (e mai due elementi dell'immagine). Questo tradotto in parole povere significa che anche se l'operazione di radice può avere due soluzioni, la funzione radice non può. Questo perché la funzione è y=sqrt(x). Quindi se y=x^2 quando la disegni sembra una U, allo stesso modo y=sqrt(x) sarebbe una U ruotata di 90°, non fosse che così facendo un valore del dominio (in questo caso R+) avrebbe due valori nell'immagine (uno positivo e uno negativo). Ciò non è possibile e quindi si sceglie di mantenere la parte positiva e la funzione f(x)=sqrt(x) è una funzione da R+ in R+. Con un foglio sarebbe molto più facile da spiegare, così sembra molto complicato.
Le funzioni su campo complesso, invece, come ben dice, possono essere polidrome, cioè mandare un valore in più valori.
Comunque non sono convinto della risposta finale a questo video. Sta mostrando equivalenze e parlando di funzioni, già di per sé questo ha poco senso. L'errore nella prima immagine, secondo me, sta nel sqrt(-1) * sqrt(-1) = sqrt(-1 * - 1). Con i numeri complessi non si possono spostare i fattori così. Bisogna sempre prima tirare fuori il meno trasformandolo in i. È come se mancasse la proprietà distributiva tra radice (o quadrato) e prodotto. Dovrei provare con un foglio ma questa spiegazione mi sembra molto più logica, anche se non ci avevo mai pensato prima.
È assolutamente giusto dire che sqrt(-1)=+-i, ma non credo questo che possa risolvere il problema. Altrimenti se facessimo come dice lui, otterremmo comunque sia + che - 1 alla fine dell'equivalenza in verde, a seconda di quale segno "scegliamo"
@@simonebattaglin7595 Grazie Simone, adesso è chiaro, comunque grazie anche a Valerio che sta spiegando tante cose che prendevo per vere senza saperne il motivo
@Simone Battaglin «Quindi se y=x^2 quando la disegni sembra una U, allo stesso modo y=sqrt(x) sarebbe una U ruotata di 90°, non fosse che così facendo un valore del dominio (in questo caso R+) avrebbe due valori nell'immagine (uno positivo e uno negativo).»
Non è logicamente corretto dire che "y=sqrt(x) sarebbe una U ruotata di 90°" In realtà il grafico della funzione inversa (quale che sia la funzione f:R->R) si ottiene ruotando il piano di 180° attorno alla bisettrice di 1° e 3° quadrante e rinominando gli assi. Naturalmente se non è biunivoca occorrerà "sagomare" cioè restringere il dominio in modo opportuno.
«È assolutamente giusto dire che sqrt(-1)=+-i, ma non credo questo che possa risolvere il problema. Altrimenti se facessimo come dice lui, otterremmo comunque sia + che - 1 alla fine dell'equivalenza in verde, a seconda di quale segno "scegliamo"»
È più corretto dire che i^2=-1, se dobbiamo estendere l'operazione di radice quadrata definita nell'insieme R, quindi sulla falsariga definiamo √-1 come quel numero che elevato al quadrato mi riconsegna -1;
però siccome non esiste nell'insieme dei reali un tale numero, ce lo dobbiamo immaginare (perciò si chiamano numeri immaginari) e tale numero lo chiamiamo i (che è appunto l'unità immaginaria)
Ma che cos'è in realtà l'unità immaginaria i? È la soluzione "immaginata" dell'equazione x^2+1=0.
Dire che i=±√-1, non è quindi corretto. i è a tutti gli effetti un "numero" (ovvero un solo ente) il cui quadrato da' -1;
l'opposto di i è -i ed anche per lui si ha (-i)^2=i^2=-1; quel che voglio dire è che i è un ente ben preciso (l'unità immaginaria), mentre -i è il suo opposto. Scrivere i=±√-1 significa asserire che i è due cose insieme (sia √-1, che -√-1) Qui sta il primo errore.
Il secondo errore sta nell'aver azzardato l'estensione di una proprietà che è vera per i numeri reali positivi ad i numeri negativi e cioè che "la radice di un prodotto è uguale al prodotto delle radici".
La √-1 è l'ente i (ovvero l'unità immaginaria) ed è tutto un pezzo! Un unico simbolo che per praticità indichiamo con la lettera i. Ragion per cui non è possibile scindere il simbolo di radice quadrata dal suo radicando -1.
√-1 • √-1 vuol dire che io sto moltiplicando due insensatezze se applico la proprietà dei radicali su descritta ovvero se scrivo √-1 • √-1=√(-1)•(-1) perché non sto più trattando la √-1 come unità immaginaria (non la tratto come unità, ma come due pezzi).
@@ec7092 credo che sia più o meno quello che ho detto. Io l'ho chiamata proprietà distributiva ma intendevo proprio quello. E riguardo alla funzione inversa, si fa una riflessione rispetto all'asse che hai detto, non una rotazione. Ma sono sicuro che lo sai anche tu e hai solo scritto una cosa per l'altra. Ma per il resto credo siamo d'accordo no?
Se dobbiamo considerare tutte le possibili moltiplicazioni fra i numeri dati da (-1)^1/2, allora lo stesso dovremmo fare considerando tutti i tre numeri complessi dati dalla radice terza (8)^1/3? Dunque (8)^1/3 * (8)^1/3 * (8)^1/3 avremmo tante possibilità?
La radice cubica di 8 ha tre valori
Che sono 2; -1+radq(3)i; -1-radq(3)i
@@ValerioPattaro Si ho presente che la radice cubica ci restituisce 3 quei tre valori. Ciò che mi chiedo è come si effettua la moltiplicazione: così come (-1)^1/2 * (-1)^1/2 restituisce i valori dati da tutte le combinazioni possibili, allora (8)^1/3 * (8)^1/3 * (8)^1/3 è uguale a:
2 * 2 * 2;
( -1+radq(3)i) * ( -1+radq(3)i) * ( -1+radq(3)i);
(-1-radq(3)i) * (-1-radq(3)i) * (-1-radq(3)i);
2 * 2 * ( -1+radq(3)i);
2 * 2 * (-1-radq(3)i);
2 * ( -1+radq(3)i) * ( -1+radq(3)i);
2 * (-1-radq(3)i) * (-1-radq(3)i);
( -1+radq(3)i) * ( -1+radq(3)i) * ( -1-radq(3)i);
(-1+radq(3)i) * (-1-radq(3)i) * ( -1-radq(3)i) ?
Non so se è chiaro il mio dubbio. 😇
@@ValerioPattaro Non mi sono spiegato molto bene. 😇 Allora, la moltiplicazione tra numeri complessi è una operazione definita in modo tale da prendere esattamente due valori in ingresso. Qui si dice che una data espressione, ovvero sqrt(-1), rappresenta in realtà due valori. Quindi, scrivendo:
sqrt(-1) * sqrt(-1), sto scrivendo una espressione non definita, dal momento che non so come moltiplicare sqrt(-1) con sqrt(-1) dal momento che ho in ingresso esattamente quattro valori e non due. Quindi non mi torna quando dici che la parte sottolineata è corretta, quando ti riferisci appunto al calcolo sqrt(-1) * sqrt(-1). Cioè chi mi dice che devo usare la moltiplicazione in quel modo? Se ho (± 𝑖 )(± 𝑖 ) perché devo prendere tutte le combinazioni possibili? Grazie 😇
Si, se moltiplichi la radice cubica per se stessa tre volte ottieni tutte le combinazioni possibili.
Talvolta invece si considera solo il cosiddetto “valore principale” che è 2
Buongiorno ma allora x^2=1 ha un solo risultato? Ma no perché effettivamente la parabola interseca l'asse delle x in due punti...mi sa che ho delle lacune....!?
x^2=1 ha due soluzioni,
che sono +\-radq(1)
Riposto qui le mie perplessità.
È più corretto dire che i^2=-1, se dobbiamo estendere l'operazione di radice quadrata definita nell'insieme R, quindi sulla falsariga definiamo √-1 come quel numero che elevato al quadrato mi riconsegna -1;
però siccome non esiste nell'insieme dei reali un tale numero, ce lo dobbiamo immaginare (perciò si chiamano numeri immaginari) e tale numero lo chiamiamo i (che è appunto l'unità immaginaria)
Ma che cos'è in realtà l'unità immaginaria i? È la soluzione "immaginata" dell'equazione x^2+1=0.
Dire che i=±√-1, non è quindi corretto. i è a tutti gli effetti un "numero" (ovvero un solo ente) il cui quadrato da' -1;
l'opposto di i è -i ed anche per lui si ha (-i)^2=i^2=-1; quel che voglio dire è che i è un ente ben preciso (l'unità immaginaria), mentre -i è il suo opposto. Scrivere i=±√-1 significa asserire che i è due cose insieme (sia √-1, che -√-1) Qui sta il primo errore.
Il secondo errore sta nell'aver azzardato l'estensione di una proprietà che è vera per i numeri reali positivi ad i numeri negativi e cioè che "la radice di un prodotto è uguale al prodotto delle radici".
La √-1 è l'ente i (ovvero l'unità immaginaria) ed è tutto un pezzo! Un unico simbolo che per praticità indichiamo con la lettera i. Ragion per cui non è possibile scindere il simbolo di radice quadrata dal suo radicando -1.
√-1 • √-1 vuol dire che io sto moltiplicando due insensatezze, se applico la proprietà dei radicali su descritta, ovvero se scrivo √-1 • √-1=√(-1)•(-1) (passando tutto sotto il segno di radice) Perché ciò vuol dire che non sto più trattando la √-1 come unità immaginaria ( ovvero non la tratto più come unità, ma come se fossero due pezzi).
Ciao, cercherò di chiarire le questioni che determinano le tue perplessità. 1) Diciamo subito che, per definizione, se w è un numero complesso, sqrt(w) è un INSIEME costituito dalle (due) soluzioni in C dell'equazione z^2=w, soluzioni che sono sempre opposte tra loro: sqrt(w)=z1, z2. 2) Dati due sottoinsiemi di C, A e B, il prodotto AB è per definizione (come nella teoria dei gruppi) l'insieme di tutti i prodotti ab con a appartenente ad A e b appartenente a B. In quest'ottica, l'uguaglianza sqrt(u)sqrt(v)=sqrt(uv) è un 'uguaglianza tra due insiemi che può essere dimostrata. 3) La scrittura a=+-b è un'abbreviazione di a=b V a=-b (dove "V" significa "oppure") e non vuol dire che "a" sia contemporaneamente uguale a "b" ed a "-b". Ad esempio, l'uguaglianza 2=+-2 è vera perché equivale a 2=2 V 2=-2, che è vera perché 2=2 lo è (P V Q è vera se almeno una delle due affermazioni P e Q è vera).
@@max031066 i è un numero (complesso) e non può essere √-1 oppure -√-1, bensì aut... aut... ovvero o l'uno o l'altro. Per definizione i=√-1 (così fu deciso)
Ma il punto non è questo. Il nocciolo della questione è che non si può estendere la proprietà del prodotto di due radici nel modo in cui è stato fatto e ciò semplicemente perché √-1 è un ente unico, un solo pezzo, ovvero l'unità immaginaria i, la quale si trova al di fuori dei numeri reali e l'unico modo che ha per rendersi "visibile" in R (e quindi gestibile con le operazioni ivi definite) è attraverso la condizione i^2=-1
Per i numeri reali vale la regola √a•√b = √(ab) infatti posto u=√a e v=√b si ha che: uv=√a√b e √(ab)=√(u^2 v^2)=√(uv)^2= uv
Similmente √-1 √-1 = i•i =i^2=-1; ma non posso scrivere √-1•√-1 =√(-1)(-1) perché i=(√-1), si tratta del prodotto dell'unità immaginaria i per se stessa.
Non si può scindere la radice quadrata dal -1 perché si uscirebbe al di fuori della definizione di unità immaginaria, la quale è soluzione della equazione x^2+1=0: i^2+1=0 da cui i^2=-1 (ed è solo in questa forma al quadrato che può interagire con gli altri numeri reali, mentre come √-1 ne sta al di fuori)
Allora dalla condizione i^2=-1, posso scrivere: √-1•√-1 =√i^2•√i^2 = (ora si può passare sotto lo stesso segno di radice) √[(i^2)•(i^2)] = √(i•i)^2= i•i = i^2=-1 (ovvero: √{[(√-1)^2]•[(√-1)^2]} = √(√-1•√-1)^2= (√-1•√-1) = (√-1)^2 = -1, √-1 va considerato un unico simbolo, inscindibile.
Il termine perplessità l'ho usato come eufemismo.
Un'analogia rapida si ha con i numeri negativi dove posso scindere il meno dalla cifra numerica grazie all'operazione di moltiplicazione. Ad esempio: -3 = -1 • 3; ma -3 non è né -1 e neppure 3.
Il segno meno davanti alle cifre numeriche per denotare i numeri negativi ne sono parte integrante. Il segno meno e la cifra numerica positiva non possono essere scissi se non in virtù dell'operazione di moltiplicazione, i cui singoli operandi (fattori) non rappresentano però più lo stesso numero negativo.
Nel nostro caso in forza di quale assioma o proposizione stacco la radice dal -1 per mettere tutto sotto lo stesso segno di radice?
Non so' se è più chiaro così quello che intendevo dire.
@@ec7092 Purtroppo non è vero che i è definito come radice di -1, non si può definire un numero con un'operazione a cui si deve ancora dare un senso. Se vuoi una definizione di "i", la più semplice è i=(0,1) (la coppia (0,1)), dove C è definito come l'insieme di tutte le coppie ordinate (x,y) di numeri reali (cioè R^2) con le operazioni di somma e di prodotto così definite: (x,y)+(a,b)=(x+a,y+b) la somma, (x,y)(a,b)=(xa-yb, xb+ya) il prodotto. Quello che ti ho scritto nel messaggio precedente sono definizioni corrette e un teorema esistente. In questo ambito, le interpretazioni "filosofiche" del tipo "radice di -1 è un unico simbolo, inscindibile" purtroppo non hanno molto valore. Del resto, se non ti convincono definizioni e teoremi dimostrati, non saprei che altro dire.
@@max031066 A parte che non hai dimostrato alcun teorema, ma mi stai dicendo cose che già conosco e che poco c'entrano con l'impostazione data.
Stai solo sviando.
Quella proprietà che vale per i numeri reali non è estendibile ai numeri complessi.
@@ec7092 Non ti ho dimostrato la proprietà generale sqrt(u)sqrt(v)=sqrt(uv), posso farlo ora. SIa sqrt(u)=|a, -a|, sqrt(v)=|b, -b| in cui a^2=u e b^2=v (ho usato le sbarrette | ... | per indicare l'insieme costituito da ... ). L'insieme sqrt(u)sqrt(v) è costituito dai prodotti ab e -ab (i prodotti sono quattro ma solo due sono distinti tra loro. Ora, (ab)^2=(a^2)(b^2)=uv, quindi l'insieme ottenuto è esattamente sqrt(uv). Spero che questo possa convincerti, in caso contrario dovrai dirmi quale errore trovi in questa dimostrazione... Non ho sviato, ho fatto affermazioni precise... Sono un matematico, con queste cose ci lavoro.
Secondo me questo è più un problema di notazione. Tutto deriva da come si utilizza il simbolo di radice quadrata. La proprietà sqrt(a * b)=sqrt(a)*sqrt(b) non è valida (non è nemmeno definita) se "a" e "b" sono entrambi reali negativi. Non è un caso se si impiega sempre la notazione esponenziale (o euleriana) quando si lavora con le radici ennesime dei numeri complessi. Quindi senza usare in modo sbagliato quella proprietà (che non vale per reali negativi sotto radice) va bene anche la definizione i=+sqrt(-1)
Sono arrivato a metà video ma già ho il latte alle ginocchia.
La questione è molto semplice ma non capisco perché venga sempre spiegata in modo così complessa che nessuno riesca a capirla:
L'operatore radicale ad esponente pari è una funzione con dominio [0;+inf[. Questo significa che calcolare la radice di 2n per ogni n=/=0 (numero pari, quindi ad esempio, la radice quadrata) avente un numero negativo, porterà a degli errori di calcolo al pari della divisione per 0.
Ciò implica che i^2=: -1 per definizione, ma non potendo calcolare sqrt(-1), sqrt(-1)=/=i ma invece, sqrt(-1)=NaN (Not a Number).
Iniziamo a far spiegare e insegnare la matematica agli informatici che sono gli unici che sembrano averci capito qualcosa di matematica, addirittura più dei matematici stessi.
Ho il massimo rispetto per gli informatici e posso essere d'accordo che, nell'insegnamento della matematica, un informatico possa essere capace quanto un matematico o più. Detto ciò, però, non mi allargherei troppo facendo affermazioni come la tua ultima.
Quindi... l'ellisse e l'iperbole sono funzioni a variabile complessa?
L'ellisse non è una funzione mentre l'iperbole lo è solo in casi particolari.
Sono equazioni di secondo grado in due incognite (reali).
Si devono sommare gli esponenti, è un prodotto con stessa base
Ho individuato l'errore, è una delle cose su cui litigo più spesso in ambito matematico.
All'università il professore ci ha introdotto i numeri complessi utilizzando proprio questa formula sbagliata, poi ci ha ripensato e si è corretto utilizzando una diversa catena di equazioni per raggiungere il valore che gli interessava, ossia che i²=-1. Ma non ci ha spiegato perché la prima catena di equazioni fosse sbagliata, è semplicemente tornato sui suoi passi perché dava un risultato che non voleva. Quindi sono rimasta così, con una catena di uguaglianze apparentemente corretta e un risultato sbagliato, come se la validità di una catena di equazioni derivi a posteriori dal risultato. Certo, si intuiva che il problema fosse nel diverso significato dell'operazione √ nei numeri complessi, ma per chi - come me - se ne andava ancora con il suo significato nel campo dei numeri reali non si sapeva che pesci pigliare.
E quindi niente, sei un grande, menomale che sono andata a spulciare sul tuo canale perché ho trovato esattamente la risposta alla mia domanda
Ricordavo che in campo complesso la radice n-esima ha sempre n soluzioni, ma rivedere il tutto ha aiutato.
C’è qualcosa che non mi torna in quello che hai detto: tu hai affermato che in campo reale la radice ha solo il valore positivo ma in realtà anche in campo reale è corretto affermare che la radice di 4 è più o meno due tant’è che la formula che fornisce le radici di una equazione di secondo grado in campo reale, ovvero a determinante Δ positivo, è (-b ± √Δ)/2a.
Infatti si mette il +/- fuori dalla radice proprio perché la radice quadrata è positiva. Se avesse due valori quel +/- sarebbe implicito.
Al esempio anche il valore assoluto è sempre positivo, ma se scrivo
+/-|2| ho due valori.
Curiosità, come fai a scrivere i simboli matematici nella messaggistica di youtube?
@@ValerioPattarobasta tenere pigiato alcuno tasti. Per esempio per scrivere ±, nella mia tastiera, basta tenere pigiato il +
@@ValerioPattaroI simboli matematici sono definiti nel set di caratteri Unicode (assieme alle lettere greche, ai caratteri nelle varie lingue, agli ideogrammi, alle emoji, etc...). In generale se un software supporta il set di caratteri Unicode (i browser lo fanno praticamente tutti), per inserire un carattere non direttamente disponibile sulla tastiera, su Windows si può ricorrere alla utility di sistema Mappa Caratteri. Essa tuttavia è poco pratica, ma da Windows 10 in poi è possibile accedere ad alcuni simboli matematici di uso frequente, in modo molto più immediato ricorrendo alla combinazione di tasti usata per inserire le Emoji (premere contemporaneamente i tasti "Windows" e "punto") e selezionando la terza scheda.
∀∃∄∉∑√∛∜∞∫≥≤⊗
e^(iπ)=-1
@@LelioS grazie
Detto con altre parola se la funzione è dai reali ai reali io posso o forse debbo introdurre la definizione di radice quadrata principale di un reale che è per definizione un reale positivo -2 è la radice quadrata di +4 ma non ne è la radice quadrata principale. Questa correzione della definizione di radice quadrata non si può fare nel campo dei numeri complessi perchè un numero complesso non può essere positivo o o negativo perche l insieme dei numeri complessi non ammette relazione di maggiore-minore
In R la radice non ha un valore principale, ne ha uno e basta.
La radice quadrata è una operazione col segno indeterminato, quindi non c'è alcun paradosso.
La radice quadrata di 1 è +/ - 1 quindi non vedo il paradosso... Tra l'altro, come sarebbe a dire che la radice quadrata non ha due soluzioni in R? Casomai non ce l'ha in R+ , altrimenti dovremmo dire che R non comprende i numeri reali negativi... il che è proprio sbagliato.
Non mi pare che la formula risolutiva delle equazioni reali di secondo grado richieda di essere definita in C...
bruh-
nonononnoono, sqr(-1)*sqr(-1) non è eguale alla sqr(-1*-1).........in generale a^n*a^m è uguale ad a^(n+m). in questo caso si ha che -1 alla 1/2 per -1 alla 1/2 è uguale a -1 alla 1/2 più 1/2 quindi -1 alla 1 che fa -1.
Ma c'è un'altra proprietà:
a^(1/2)*b^(1/2)=(ab)^(1/2)
@@ValerioPattaro rimane il fatto che in questo caso a e b hanno lo stesso valore cioè -1, quindi non è corretto usare la "tua" proprietà in questo caso.
o meglio, tagliamo la testa al toro, senza voler far polemica per carità.......sono sbagliate sia la "mia" che la "tua" proprietà, questo perchè sono proprietà applicabili ai numeri reali, qui stiamo usando proprietà dei numeri reali su numeri complessi; è chiaro che ne viene fuori un bel pastrocchio...in generale la funzione √i definita in C ha valori in C^2, in generale √ennesima di i:C→C^n
Ma allora, anzi sicuramente un paradosso tipo vale anche in R (= insieme dei numeri reali); ad esempio [va ricordato che in R, rad(x^2) = |x|, x elemento di R e rad(.) denota la radice quadrata di (.) ] consideriamo infatti :
-1 = (-1)^1 = (-1) ^ (2*1/2) = ( (-1)^2)^(1/2) = rad ((-1)^2) = 1 , ecco dunque che il paradosso sta pure nei reali perché in effetti la radice quadrata è "naturalmente" polidroma anche in R.
Se consulti un libro di algebra sulle potenze con base reale ed esponente razionale scoprirai che le proprietà delle potenze che hai usato sono valide solo per basi positive.
@@ValerioPattaro Aa ok grazie, e io che mi lamentavo perché quella proprietà delle potenze non valeva in ambito complesso, ma in realtà già prima !
Riesco a seguirti per 10 parole poi non capisco più niente 😂😂
Scusate......non avevo visto che era un prodotto e non una somma !!!!
Innanzitutto come al solito complimenti perché il tuo modo di mettere a fuoco un argomento mi risulta veramente utile, anche solo per capire cosa non capivo. Però, in qualche caso, come in questo, c'è qualcosa che ancora non mi convince e che potrei sintetizzare così: pensi che quello che dici tu sia in armonia con quanto si dice qui it.wikipedia.org/wiki/Unit%C3%A0_immaginaria ?
Grazie.
Penso di si ma se mi indichi quali discrepanze hai trovato possiamo ragionarci.
il problema è alla base: non è definito che sqrt(-1)=i bensí è solo definito i^2=2 quindi i potrebbe valere +sqrt(-1) oppure -sqrt(-1). ora guardo il video
Quindi l'elevamento a potenza in C è una funzione monodroma solo se l'esponente è intero..
Esatto
Ma i numeri reali sono numeri complessi e il viceversa che non vale, infatti l'insieme dei numeri reali è un sottoinsieme dell'insieme dei numeri complessi, il fatto che ⁴√(-1) in campo reale è priva di significato è perché tra tutti i numeri complessi che elevato alla quarta da -1 nessuno è reale, no perché non ha soluzioni. Infatti in R non ha soluzioni ma in C sì però restringendo l'insieme si perdono le soluzioni. Infatti R è un insieme ristretto di C. Cioè restringendo C si può ottenere R. Viceversa allargando R si può ottenere C.
Prima di iniziare il video... dai passaggi nell'immagine si vede un problema nel calcolo delle radici quadrate in C...
Ovvero... i conti con le radici son fatti come in R...
Bell'esempio da fare in classe
Ma non solo anche x¹⁰-1 dobbiamo per forza passare per i complessi anche se ha due soluzioni reali per la stessa ragione.
A me questa spiegazione non sembra corretta.
Il passaggio errato è √(-1)√(-1) =1.
i^2=-1 è una definizione, pertanto non si può al contempo definire i^2=1 altrimenti rendiamo insensata la definizione e da definizioni senza senso derivano conseguenze senza senso.
Ne deriva che le proprietà dei radicali non si applicano ai numeri negativi.
In pratica sqrt(x)*sqrt(x) = sqrt(x²) vale solo se x>=0
Il mio libro dice che in generale un numero complesso del tipo ( 0; b)² = (-b²;0)= - b²
Ma non spiega perché .
(0,b) è come dire 0+ ib = ib , quindi (ib)²= i²b²=-b²
Il tuo libro "vede" un numero complesso come una coppia ordinata di numeri reali (corrispondenza biunivoca tra il campo complesso C ed il piano cartesiano R^2) e definisce l'operazione di moltiplicazione tra due coppie ordinate. Tutto questo senza introdurre l'unità immaginaria i .
@@federicodelrosso7243 In realtà introducendola definendo i=(0,1)
Secondo me ce una insensatezza.. √-1 è una espressione che è priva di significato sia nel campo complesso che in quello reale, anche nel campo complesso scrivere che √-1 = i è un errore... semplicemente perché il primo membro esprime una operazione nel campo reale che non esiste, quindi un numero inesistente, mentre al secondo membro ce una entità complessa la cui proprietà e quella di essere i² = -1, punto non ci sono altre definizione di questa entità, le spiego perché:
Lei hai scritto √-1 = ±i → √-1 · √-1 = (±i)·(±i) = i² = -1, quindi non può essere uguale anche a (1); oppure sarebbe uguale a (-1) e non anche a (1); e questo dipende da quale prodotto si vuole operare, ma per come lo ha espresso occorre moltiplicare segni analoghi e non incrociati cioè: (+)·(+) e (-)·(-) che come sappiamo da sempre un risultato positivo; inoltre se lei riporta come corretto l'espressione i = ±√-1, ritornerebbe di nuovo alla relazione errata iniziale e cioè: i · i = (±√-1)·(±√-1) = 1
Ergo l'unità immaginaria è un'entità che ritroviamo soltanto nei numeri complessi, che li definisce, mentre l'espressione ±√-1 non ha nessun significato sia nel campo complesso che in quello reale: anche perché la radice quadrata di un numero negativo potrebbe avere questa espressione: √-a = ±√-1·√a: che a mio avviso non ha nessun significato!!
prova a risolvere l'equazione: x^2+x+1=0 . Quando stai creando sistemi di equazioni per sistemi reali lavori su equazioni le cui soluzioni non sai a priori se sono nel campo dei numeri reali. Sostanzialmente quando ti accorgi che il radicando è minore di zero trasformi la radice di meno uno nell'unità immaginaria e lavori con l'argomento principale. Nel caso dovesse essere necessario operare potenze frazionarie allora devi considerare la periodicità del numero complesso operando con la sua rappresentazione esponenziale (o euleriana)
@@stefano.a ma ha qualche significato il suo commento? forse lei non ha compreso quello che ho scritto.. non, ripeto NON, bisogna dare significato matematico all'operazione √-1, perché non ha alcun senso.. mettiamola cosi, esso è un'entità astratta che il mondo matematico gli ha dato il significato di "i" questa entità quando la si eleva al quadrato diventa "-1".. quindi se eleva al quadrato (√-1)² = i² = -1,
Non è consentito fare alcuna operazione su quel simbolo... spero di essere stato chiaro!!!
@@latergia Intendevo dire che l'unità immaginaria nasce dalla necessità di dare un significato alle soluzioni dell'equazione x^2-1=0. Per lavorare anche con il simbolo di radice ( sqrt() ) con numeri negativi (sostituiti poi opportunamente con i numeri complessi corrispondenti), basta semplicemente tenere conto del fatto che la proprietà sqrt(a * b)=sqrt(a) * sqrt(b) non vale se "a" e "b" sono contemporaneamente reali negativi.
@@stefano.a lei a fatto una affermazione più o meno vera ed una fondamentalmente sbagliata: la nascita dei numeri, o meglio dell'unità immaginaria è nata per risolvere una equazione di terzo grado e non l'equazione che dice lei.. ma diciamo che è un errore marginale: quella errata è basata sul fatto che se sotto radice di ordine pari, ce un numero negativo, questo indica un numero e non una operazione! mi sembra che fu Gaus ad affermare che se si trovava un numero negativo sotto un segno operativo di radice positiva.. questa operazione era fattibile se e soltanto se essa venisse rotata di un determinato angolo, in seguito fu proposto di calcolare questo angolo tramite le proprietà dei numeri complessi!!!
@@latergia sulla nascita dei numeri immaginari c’è un bel libro di 297 pagine che le consiglio di leggere(spoiler: non sono così “recenti”):
“An imaginary tale, the story of sqrt(-1)”
Di Paul J. Nahin
Iniltre: non ho mai parlato di radice di ordine pari ma di simbolo usato sqrt(). Non è un caso se viene sempre fatto quell’esempio per far notare il possibile problema. La notazione da usare è importante e se non si vuole incorrere in ambiguità quando si lavora con i numeri immaginari è necessario usare la notazione esponenziale o euleriana.
direi che il passaggio errato è affermare i*i=sqrt(-1)*sqrt(-1) perché andrebbe già lì chiarito i*i=[±sqrt[(-1)]*[±sqrt(-1)] essendo la definizione i²=-1; poi nell'eseguire la moltiplicazione a secondo membro occorre tener presente che se si sceglie il più (+) per il primo termine lo si deve usare anche per il secondo termine visto che ne stiamo facendo il quadrato, e così per il meno (-). In questo modo [±sqrt[(-1)]*[±sqrt(-1)] = (±1)*sqrt(-1)*(±1)*sqrt(-1) = (±1)²[sqrt(-1)]² = 1*i² = 1*(-1) = -1 come è corretto che sia.
Excellent
perfetto
avevo notato cio' subito a occhio da elettrotecnico
la definizione della seconda riga e' sbagliata perche' il quadrato di ogni numero e' sempre positivo
"i" non rappresenta un numero reale ma è l'unità immaginaria, il cui quadrato vale -1.
Radice di 1 = + o -1
Col campo C si può fare (forse) tutto : in pratica C è la pace dei sensi di un matematico 😂
Domanda da totale inesperto...
Che applicazioni hanno i numeri complessi nel mondo reale ?
Sono usati in elettrotecnica, in elettronica, in meccanica quantistica e in molti altri ambiti.
In Fisica da un certo punto in poi non ne puoi fare veramente a meno!
aiutano a rendere certi conti più semplici un diversi campi. Esempio: in elettrotecnica avresti un sistema di tante equazioni differenziali, mentre usando la trasformata di Laplace hai sistemi lineari, che sono molto semplici da risolvere, rispetto ad un equazione differenziale.
l'errore è nei presupposti.
Spiegazione inutilmente complicata, l'errore è chiaramente nello step √(-1)√(-1) = √((-1)(-1)), che ovviamente non è valido quando estendiamo la radice al campo C. Dunque, quando a 8:45 sostiene che la parte sottolineata in rosso è corretta, si sbaglia. Tutti utilizzano la convenzione per cui con √ indendono una funzione da X a Y, e non da X a P(Y).
Eppure ho dimostrato che le due espressioni danno lo stesso risultato.
en.m.wikipedia.org/wiki/Imaginary_unit
Dopo 8:45 nulla viene mostrato; attendo una dimostrazione di sqrt(-1)sqrt(-1) = sqrt((-1)(-1)), che chiaramente non mi sarà fornita, visto che il fatto è falso
@@dt9361 Mi permetto di darti io una dimostrazione. Premesso che, per definizione: 1) sqrt(w) (w numero complesso) è un INSIEME dato dalle soluzioni in C dell'equazione z^2=w (insieme costituito da due numeri opposti tra loro), quindi ad es. sqrt(-1)= i , -i. e sqrt(1)= 1, -1. 2) Dati due sottoinsiemi A,B di C, il prodotto AB è per definizione l'insieme di tutti i prodotti ab con a in A e b in B. Premesso tutto ciò, sqrt(-1)sqrt(-1) è un insieme costituito da 4 prodotti aventi però come risultati distinti solo 1 e -1, cioè esattamente sqrt(1). Si può dimostrare che, più in generale, si ha sqrt(u)sqrt(v)=sqrt(uv).
Anche accettando come corretto quello che hai scritto, io mi stavo riferendo a √ come funzione, nel senso di "a ogni elemento del dominio corrisponde un solo elemento del codominio". Ed è così anche nella catena di uguaglianze del video, se no non avrebbe alcun senso scrivere i²=sqrt(quello che vuoi), visto che i² è un elemento di C, e sqrt(x) è un elemento di P(C).
Ora, che la radice quadrata dia valori
..mah . Ci sono numerosi video in cui si spiega che la radice quadrata di un numero da solo un unico risultato.
Come spiegato abbondantemente nel video, ciò vale solo per la radice in campo reale.
@@Gabriele_Oliva ah ok 👍🏻
ma quindi i=+-i ?
No
@@ValerioPattaro Ho capito. ora mi chiedo se sqrt(-1)=+-i=+-sqrt(-1)
@@ValerioPattaro Però la scrittura i = ±√-1 e la scrittura √-1 = ±i effettivamente conducono ad un paradosso, perché sostituendo la seconda nella prima si ottiene i = ±(±i) e combinando i segni i = ±i ...???
Ritornando al paradosso presentato -1 = i^2 = i * i = ±√-1 * ±√-1 = ±√(-1 * -1) = ±√1 = ±(±1) = ±1 ...???
È radq(-1)che ha due valori, non i.
@@ValerioPattaro Ok su questo sono d'accordo, anche perché la vera definizione di i è quella che vede a tale simbolo associato il solo elemento (0,1) sul piano di Argand-Gauss. Con i paradossi riportati prima voglio però evidenziare che la scrittura i = ±√-1, data per corretta nel video (8:20), credo che vada evitata.
Non c'è nessun paradosso proprio perché è impossibile è errore, oramai si vede di tutto roba da matti
Sotto radice.........(-1)(-1) per me fa -2 ..
-1 moltiplicato per -1 fa 1 come ci sei arrivato a -2?
Metto in ballo la mia poca credibilità dicendo che l'errore è alla fine. La rachide quadra in C non è una funzione univoca ma una multifunzione e quindi ha fra i suoi risultati sia 1 che - 1
Ma con tutta questa intelligenza (o meglio con tutte queste regole) perchè avete creduto alla pandemia?
dovresti tu farti la domanda al contrario: se ti ritieni così meno intelligente perché mai non ascolti chi tu stesso ritieni più intelligente di te?
Sono morte milioni di persone a causa del Covid, eppure da parte di alcuni individui non c’è il minimo rispetto.
Sono morte milioni di persone a causa del Covid, eppure da parte di alcuni individui non c’è il minimo rispetto.