Use Newton's divided difference to find the solution. This is a classical problem in Numerical Analysis, usually taught for Year 2 or Year 3 math students in universities. This is the Wikipedia link: en.m.wikipedia.org/wiki/Newton_polynomial
是 Let g(a) = g((x-2001)/2) = f(x) 才對 也就是 a = (x-2001)/2 轉換成簡單式子g(a) = m*a^3 + n*a^2 + u*a + t x = 2001, a = 0 x = 2003, a = 1 x = 2005, a = 2 x = 2007, a = 3 代入後得 m = -3, n = 10, u = -5, t = 5 最後 x 代 2009 = g((2009-2001)/4) = g(4) = -192 + 160 - 20 + 5 = -47
Let g(a) = g((x-2001)/2) = f(x) 也就是 a = (x-2001)/2 轉換成簡單式子g(a) = m*a^3 + n*a^2 + u*a + t x = 2001, a = 0 x = 2003, a = 1 x = 2005, a = 2 x = 2007, a = 3 代入後得 m = -3, n = 10, u = -5, t = 5 最後 x 代 2009 = g((2009-2001)/4) = g(4) = -192 + 160 - 20 + 5 = -47
Not taught too much polynomial stuff in my school. But I try to solve it by letting F(x)=f(x)-(x-1996)=(x-2001)(x-2003)(ax+b). Easy to solve a, b and get f(2009) since f(2005)=11 and f(2007)=-1.
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諮詢課程相關問題
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以前還有學過一種用巴斯卡三角形解題。
巴斯卡三角形解法：
因為五個，所以用 1、-4、6、-4、1。
1*f(2009)-4*f(2007)+6*f(2005)-4*f(2003)+1*f(2001)=0
令式子等於0。
把已知數值代入。
f(2009)+4+66-28+5=0
f(2009)= -47
這有一個定理叫巴貝齊定理
好方法，我也是想到這個
怎麼證明和理解這個方法
@@terry13579他跟微分的概念有點像，就是當做n-1次的相減再往回推
老師寫的做法就是巴貝奇定理的過程 疊減起來就是巴斯卡的樣子
我的解法是，因f2005)=11,令f(x)=a(x-2005)^3+b(x-2005)^2+c(x-2005)+11
f(2007)+f(2003)=8b+22=6
b=-2
f(2009)+f(2001)=32b+22
f(2009)+5=-42
f(2009)=-47
這個只要帶入的數字有對稱關係都可以用，不一定要完全等差
提供參考
因為讀理工的
我微積分主要修一些方程 變幻 不太知道你們說的差值 朗日...什麼的
但我看這題目就先說
高中生一定能解出來 只要他們對三次方程式有足夠概念即可
但需要一點時間 這就是現在教育以及考試文化的不合理之處了
學習 研究這東西本來就有速度差異 而考試給予了時間以及評價的壓力
本來就不利於思考 發展
讓很多能解出來的學生無法好好思考
4:42 老師永遠都有更快的方法！
讀台灣高中都學得到❤
我只有想到如下方式,
令f(x)=a(x-2001)^3+b(x-2001)^2+c(x-2001)+d
代入上面四個條件求a,b,c,d
可知f(x)
再代入f(2009)
你說的就牛頓插值 影片中紅色那行是拉格朗日 下面那排是Lagrange theorem 是大學才會教的 但高中可以用此方法解題
@@chenjeff487 感謝分享! 有機會再研究看看。
@@chenjeff487 原來高中內容拿掉了Lagrange theorem
我都用巴斯卡去推 李翰老師那個4:40的差值法等差性非常漂亮呢～～～
階差法
建議老師自己錄就好了！雖然好像多了互動但看起來有些多餘跟不順~
令f(x) = a(x-2001)(x-2003)(x-2005) + b(x-2001)(x-2003) + c(x-2001) + 5 解出a,b,c （帶入就可以）然後最後把2009帶入公式，這不是國中數學嗎？
這是舊課綱有教的拉格朗日插值定理!
讓99課綱第一屆的我，勾起了回憶！
可惜這個後來被刪掉了😢
有教，大考沒考過
原理是拉格朗日插值的應用
三次多項式
f(X) = a•(X^3) + b•(X^2) + c•X + d
f(X + 2) = a•[(X + 2)^3] + b•[(X + 2)^2] + c•(X + 2) + d
= a•(X^3) + (6a + b)•(X^2) + (12a + 4b + c)•X + (8a + 4b + 2c + d)
令g(X) = f(X + 2) - f(X)
我們 可以得到一個 二次多項式
g(X) = 6a•(X^2) + (12a + 3b)•X + (8a + 4b + 2c)
g(X + 2) = 6a•[(X + 2)^2] + (12a + 3b)•(X + 2) + (8a + 4b + 2c)
= 6a•(X^2) + (36a + 3b)•X + (24a + 6b) + (8a + 4b + 2c)
令h(X) = g(X + 2) - g(X)
我們可以再得到一個多項式
h(X) = 24a•X + (24a + 6b)
h(X + 2) = 24a•(X + 2) + (24a + 6b)
令k(X) = h(X+ 2) - h(X)
可得 k(X) = 48a
且 k(X +2) - k(X) = 0
令t=(x-2005)/2
f(x)= g(t) =at^3 + bt^2+ ct +11
f(2005) = g(0)= 11
f(2001) = g(-2)= 5
f(2003)= g(-1) = 7
f(2007) =g(1)= -1
解a=-3, b=-8, c=-1
f(2009)= g(2) = -47
Use Newton's divided difference to find the solution. This is a classical problem in Numerical Analysis, usually taught for Year 2 or Year 3 math students in universities. This is the Wikipedia link: en.m.wikipedia.org/wiki/Newton_polynomial
巴貝奇差分法還不錯用
缺點是只能用在特殊題型
階差，拉格朗日差值，牛頓差值，應該是最泛用的3種方法了，只可惜現在高中生可能一種都不會...
牛頓插值還是有教的，其他都被刪光光😂
@@YuYuan_haha 是有教，但名字被拿掉了，沒有名字學生很難在要用時，精確回憶到位...
我的方法是Let g(x)=f((x-2001)/2), 那我們就有g(0)到g(3)的值，然後求g(4)。之後把相應的數值代進，求出g,然後代入x=4
是 Let g(a) = g((x-2001)/2) = f(x) 才對
也就是 a = (x-2001)/2 轉換成簡單式子g(a) = m*a^3 + n*a^2 + u*a + t
x = 2001, a = 0
x = 2003, a = 1
x = 2005, a = 2
x = 2007, a = 3
代入後得 m = -3, n = 10, u = -5, t = 5
最後 x 代 2009 = g((2009-2001)/4) = g(4) = -192 + 160 - 20 + 5 = -47
2024 太難 2025 整數好算一點啦
f(2025) = g(12) = -5184+1440-60+5 = -3799
Let g(a) = g((x-2001)/2) = f(x)
也就是 a = (x-2001)/2 轉換成簡單式子g(a) = m*a^3 + n*a^2 + u*a + t
x = 2001, a = 0
x = 2003, a = 1
x = 2005, a = 2
x = 2007, a = 3
代入後得 m = -3, n = 10, u = -5, t = 5
最後 x 代 2009 = g((2009-2001)/4) = g(4) = -192 + 160 - 20 + 5 = -47
2024 太難 2025 整數好算一點啦 😂
f(2025) = g(12) = -5184+1440-60+5 = -3799
階差函數，老師如果想要向學生提這個的話，往往只能提方法而沒時間提原理，這樣到底好不好呢？
如果是原理不是證明應該解釋很快吧，畢竟方法簡單省了很多時間。
三次多項式的三階微分就變成常數，就像物理學的：位置→瞬時速度→瞬時加速度→...。雖然算法不是用微分是差分，差分代表平均而不是瞬時，但國中打點計時器學過，等加速度運動的平均速度 = 中間那一秒的瞬時速度，講完了。
無須搞得這麼複雜。
f(x)為三次多項式，一般式為f(x)=aX^3+bX^2+cX+d
現可令f(x)=A(x-2001)(x-2003)(x-2005)+B(x-2001)(x-2003)+C(x-2001)+f(2001)
而f(2001)=5；f(2003)=2C+5=7......C=1；
f(2005)=B*4*2+1*4+5=11...B=1/4；
f(2007)=A*6*4*2+1/4*6*4+1*6+5=-1....A=-3/8。
故f(2009)=-3/8*8*6*4+1/4*8*6+1*8+5=-47#~~~Ans.
對啊，以前的講義題
很多種方法，硬要說巴斯卡其實更快
這就是牛頓插值法，也是一招沒錯，而且不像拉格朗日這麼難記
牛頓插值法？ 假設f(x)=p(x-2001)(x-2003)+q(x-2001)+r 再代數
影片用的是拉格朗日插值法
好題目
牛頓 拉格朗日 階差
感覺設y(x)=f(2005-x)是更直觀的解法
一开始还以为是个周期数列 1+5=6 3+7=10 5+11=16 7+（-1）=6 所以9+1=10，应该填1
拉格朗日差值謝謝
令g(x)=f(2x+2001)
這種速解法很多人會用 至於為什麼可以用一堆人其實根本想不明白
第一個想到的是牛頓插值法，拉格朗日插值法比較醜，沒有第一想到。
Not taught too much polynomial stuff in my school. But I try to solve it by letting F(x)=f(x)-(x-1996)=(x-2001)(x-2003)(ax+b). Easy to solve a, b and get f(2009) since f(2005)=11 and f(2007)=-1.
代公式就好
好啊還我一個多小時(摔筆
巴貝奇定理。
想知道下面方法的證明或原理?
只有X等差的情況才能這樣用對吧
其實我記得這確實是競賽題
牛頓插值就好
巴貝奇定理
我一個高中生居然看不懂
我覺得我數學要爆了
（備註：是題目看不懂不是解法看不懂
不懂爲什麼會被2001嚇到？ 平移就好了呀？就算不記得 Lagrange , 平移一下還是蠻簡單的。
網路按按鍵盤當然簡單
@@Zack-ly6fs平移确实是一个可行的方向
@@Zack-ly6fs你看到平移還不懂就表示你真的不懂w
let g(x) = f(2x+2001)
只要用g(0), g(1), g(2), g(3)求出g(4)之後
g(4) = f(2009)
高中教這個超級沒意義 所有學生為了考試只能痛苦的把他背起來
沒有從根本理解 完全體會不到數學的樂趣
高中畢業後一半以上的人用不到就忘光了
那到底這樣折磨學生幹嘛？
我高中就是這樣被台灣的教育荼毒而放棄學習的 但沒事我走回來了 我回到了科學研究的路上
真的很痛恨台灣的科學教育
沒有從根本理解 你有沒有想過這可能是你的問題
拉格朗日？
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插值三層就結束XD
114514
插植暴力算
牛顿定理
微分
以前的數學家是不是有病
請問藍色的作法是什麼呀？有點沒聽懂
階差 有特定條件才能用
差分
巴貝其定理
求變化量有點像在做微分，三次式微三次就是常數
有點像物理的等加速度的位置方程式會是一個一元二次方程式的感覺
牛頓差值
抽插
李祥說你們沒料
Lagrange theorem 在高中，太難了吧？？？
EZ
單純背式操作，不用證明還好吧。
有 拉格朗日高中有教
@@韓餅乾 但新課綱已刪
@@師太滅絕 拉格朗日插值法......，其實就是中國剩餘定理之變體
拉格朗日已經刪掉了
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