【毕导】这个视频里说的都是真的，但你却永远无法证明 | 4K

相信大家一定都非常喜欢学习数学吧！因为我们觉得数学是一门完美的学科，它清楚明白、对错分明！
然而20世纪初一些诡异的悖论引发的研究表明，数学在底层可能并不完备。数学中一定存在着永远无法证明的真理，这就是著名的哥德尔不完备性定理。
好久没更新了，今天这期视频比较长，如果哪位有缘人耐心地看完了，请在评论区打出一个sub(n,n,17)！
#数学 #悖论

[@justinjclu]

這個視頻向我證明了一件事，數學不會就是不會。

[@tongdushishu]

數學是沒有邏輯最不講邏輯的傻子學科！到處胡亂假設，胡亂猜想，胡亂定義，自相矛盾，破綻百出，悖論重重！！

[@hyy3657]

我也沒看懂

[@bjzh7583]

没法抄😅

[@williammartinez8578]

证明数学会就是不会，不会就是会。

[@user-82086]

@@ougen_art沒點底層邏輯看不懂正常

[@leoyu2142]

学到很多, 谢谢您...............李永乐老师

[@葛萊恩-y6g]

哈哈哈😂我也有看欸 走錯教室了

[@黃三千]

😂😂😂😂

[@jailbreaker7023]

连名字都弄错！人家叫妈咪叔

[@ibn5100_sg]

@@jailbreaker7023明明是Linvo

[@neil9638]

@@jailbreaker7023😂難怪這麼眼熟

[@吳敏楓]

毕导的命題是這段影片小學二年級都能聽懂，但實際卻推導出了這段小學二年級不可能聽得懂的影片，故我們產生出了語言體系是有缺陷而不完備，無法敘述世界中任何事情的結論。而這種不完備性恰好是語言當中有趣和幽默的所在。

[@user-fp5jn6ru8v]

其實小二聽得懂

[@yichenyin7138]

小学二年级是毕导经常玩的一个梗啦，比如“大家都知道我们在小学二年级学过的麦克斯韦方程组”

[@tingkuo778]

​@@user-fp5jn6ru8v你說的是店小二吧

[@普利姆]

覺得你在愚弄別人

[@吳敏楓]

@@普利姆 不至於是愚弄，諧擬吧。要嘲也是自嘲聽不懂。

[@shuyongoleg]

字幕好有趣 🤣🤣
中文：解不出来只是数学家们菜.
英文：We cannot solve it just because of the mathematicians' vegetables.

[@大年三十除夕夜]

估计是机翻引起的

[@bloodymourning2370]

​@@大年三十除夕夜不是机翻，单纯玩梗罢了

[@大年三十除夕夜]

@@bloodymourning2370 不是机翻的话，就是译者故意搞笑。

[@yiutinho8659]

7:17 看看字幕
畢導：我們今天先不介紹他。
英文字幕：Actually I don't understand it. （我其實不明白）

[@wettingfairy6764]

@@大年三十除夕夜 现在的这种幽默up主都流行这样玩梗。
即英文字幕并不是完全面向英文受众的， 而是给懂英文的中文观众增加一点信息

[@FRSGaolaozhuang]

感谢毕导的分享，我觉得我们的教育中太缺少这些有趣的视频资料了。让孩子们多看看这样的视频真的是很有趣很有帮助的。至少比浪费时间看那些指明方向用的什么什么思想要有用得多。

[@billzhang8204]

大胆！习近平总书记早已为 -全世界- 全宇宙指明了方向

[@批哩批哩难民营]

包子：勿cue

[@大年三十除夕夜]

缺不缺不太重要，关键是要有心思看。谁不想轻松呢？你看这视频，发布这么久了，才不足八万观看，敢说里面有相当多的没看完。

[@kunieone]

@@批哩批哩难民营 这都能联想到包子，属实魔怔人经典

[@dying476]

​@@大年三十除夕夜 人家主力在b站，都有百萬觀看了，youtube這裡只是把影片丟過來而已，當然觀看低

[@YushangChen]

不知道为什么我哭了，因为发现我高考丢的分和数学不完美没关系。

[@o.phenry4644]

说得太好了……我曾经是学语言学专业的。学到最后发现语言的基础是逻辑学，逻辑学是数学的一个分支。我数学特别差，但是却被逻辑学深深地吸引。“我”这个概念确实很神奇，不管是什么语言，能发展出代词并指代自己，真的是思维的一种飞跃。

[@kholmsk20]

@@o.phenry4644 逻辑学是逻辑学，数学是数学，逻辑学不包含于数学，而只是二者之间有交集的部分。很多数学很差的人也在从事程序员的工作

[@思い出-k3u]

额，逻辑学属于哲学类，数学是数学，区别很大。如果硬是要比较一个上下级的话，，，有句话是这么说的：逻辑学是数学之母

[@3626j]

所以要明白
“我”是無法被證明的

[@LittleRadicalThinker]

@@kholmsk20数学是逻辑的一部分，也是人类逻辑最重要的部分。

[@kholmsk20]

@@LittleRadicalThinker 好吧，但我还是保留我的想法

[@andiechiang2121]

我为什么要进来自取其辱😂

[@jinping-xi7516]

學歷停留在小學一年級

[@philipzhu5194]

我的理解是，最後繞出來的命題就是：「不能證明本命題為真」。sub(n,n,17)和質數編碼目的是將「本命題」這個抽象概念用數學語言翻譯出來。「不能證明sub(y,y,17)為真」是個沒有實質命題意義的模板，是一段不構成意義的話，並得到一個大數n，目的是給sub(n,n,17)當模板，y替換為大數n後，sub(n,n,17)這個命題才是有意義的命題。說「不能證明sub(y,y,17)為真」是一段沒有意義的句子，是因為y是一個沒有定義，沒有意義的字母。比如「存在y，使得不能證明sub(y,y,17)為真」才是有意義的命題。但「不能證明sub(y,y,17)為真」只是一個當模板用的句子。

[@lawalex9206]

其實簡單的想，公理本身的定義就是為真但不能證明，由公理推導出來的數學系統自然包含這一屬性

[@anselchang2011]

這個證明起因，應該是認為自我指涉是「語言」造成的，所以故意用數字去描述，
結果便是命題複雜到一定程度，規則自身也能構成自我指涉。
說真的，硬要搞那個數字真是畫蛇添足，邏輯式都清楚多了。

[@peterjiangTW]

​@@anselchang2011並不是這樣，希爾伯特的的想法是出現矛盾來自於邏輯符號不完整，多加幾個符號完備它就行，然而不完備性定理告訴你不管你怎麼打補丁，我都能映射到整數上，導致自我指涉永遠存在

[@許博翔-w9o]

​@@peterjiangTW所以這個證明真正的意義就是“自我指涉永遠無法被完備的數學體系排除”是嗎？

[@abcd6891]

太複雜 能力太強的系統會自相矛盾

[@amoe-gw8ze]

從一開始就聽不懂，但還是耐心看完全部了，看完才知道數學不只是數學，還包含了哲學和大智慧，數學不只是科目，也教會大家接納了不完美的自己，結論下的很棒，謝謝畢導

[@heyteamo01]

那個分解後是前幾個質數的分別7 6 11 7 6 5 7 7 6次方，
對應s0+s0=ss0
即命題1+1=2

[@alantew4355]

「我愛你」的哥德爾數是什麼？

[@heyteamo01]

@@alantew4355 那可能要先釐清幾個定義上的問題：「我」是什麼？「愛」是什麼？「你」是什麼？

[@ayajamesaya]

看得很热血，感谢毕导制作这个“小学二年级就能看懂”的视频让平民如我领略到数学不完美中的美，愿景和希望

[@sobadtommy]

我懷疑我二年級沒有畢業過😂

[@chishen171]

這部影片真的要看到最後，震撼而優美，漫士、媽咪說、畢導的強，是連數學本科都深刻佩服的

[@kexu6915]

可以这么理解容易一点。
就是任何命题都可以编个号。编号为a的命题被称为a命题，编号为b的命题称为b命题，依次类推。那么构造一个命题：”x命题是假的“，这个命题编号为y。然后不停变换x的数字，跟着y也会变化。现在求解不动点，也就是看x变成多少的时候，y=x。哥德尔通过神奇的构造法表示一定存在这样的不动点，也就是刚好有个命题比如 ”323413215674命题是假的“ 的编号就是323413215674。那么bug就来了。这个命题就等价于”你现在看到的这个命题是假的”，那不就跟“我在撒谎”一样吗？你说323413215674是真命题吧，那么它说得都对，但是它说他自己是假命题。如果是假命题吧，那么它的反话就是对的，就是说它说的它是真命题。所以这种命题就是要给你整bug。
顺带一提，类似的停机、集合问题也差不多，反正你就是不能把自己装进去，装进去了就有悖论。在几何中反正自己不能把自己装成一个子集，但是你却能说出“我说的每句话都是假话”这样的话，是挺怪的。说明语言和几何还不能一一对应吧。
另外原视频没有好好区分能证明、证明为真、证明为假，所以推理过程有点漏洞，所以我也不是完全懂哥德尔的原意，我把不能“证明”改成“假”，肯定还是有点不一样，反正大概就是这个意思。

[@hanzhang3589]

主要是一个命题无法被证明，等价于某个哥德尔数不能被另一个哥德尔数整除。把能否证明问题变成一个能否整除问题，等于去除了一切模糊空间存在的可能。这才是哥德尔最厉害的地方。

[@liudan489]

自指问题其实也不是不能证明，而是证明过程是无限循环无限漫长的，数学上这种无限是理论上存在的，但是对于有限生命的人类来说就是无法达到的，那么也就是说纯理想的世界实际上是什么现实意义的

[@alantew4355]

“我爱你”的哥德尔数是什么？

[@markslee596]

對於不懂數學的我, 也是相當津津有味,謝謝視頻 , 順便我也證明了,數學跟幾年級沒關係,跟年紀大小也沒關係, 不會數學就是不會

[@0xLitchi]

包我一夜安眠，謝謝好影片

[@柯甯予]

不完備的世界並不可怕，希爾伯特想像的世界才可怕。心靈是世界上最重要、最真實、也最神秘的東西，但我們的科學至今仍對它驚人地一無所知。

[@jeffreyli2983]

並不真實，你的精神與感知就是你的全世界，能跟另一個世界交互是你的錯覺（缸中腦），時間在物理上不存在，只存在觀測者的思考裡

[@桐生はちまん]

謝謝你讓我這個因為家庭問題中學輟學的人重新燃起數學心

[@horace0119]

他竟然認真的想要教會我們，我先睡了

[@DSDJ]

很開心這個影片是用中文說明，這樣我就沒有藉口說因為是英文所以我看不懂數學

[@tonyni02]

毕导的叙述是这样的：（1）先说明这是小学二年级都可以听的懂的视频（2）其实，随便找一个甚至是小学五年级的，都听不懂（2）然后把一个命题先复杂化，引入一个哥德尔数（3）然后一顿忽悠，让你看上去逻辑上没问题（4）忽然引入sub(n,n 17)，然后说这个命题即是真，又是假，而这个推导过程和前面第三步没有逻辑关系（4）最后证明了不完备性定理, haha
毕导的视频我很喜欢，只是这集视频，毕导想把它做好，但还欠火候，估计看视频的，99%都是一头雾水，不信，毕导可以随机挑一个小学二年级以上的人，让他来说说能看懂吗？是不是被忽悠？

[@11chen82]

看到最后想到周易的一句话，大衍之数五十，其用四十有九。也就是这个不见的一让这个世界更有趣了

[@happyisme1969]

我是來聽饒舌的，數學對我來說不存在，但也存在。

[@acolor0429]

怎麼會有種看完影片，心靈被掏空、腦袋快爆炸的感覺！

[@MrPig-go1zw]

11:59 的命題是
s0+s0=ss0
也就是 1+1=2

[@catoro.]

看完了，好像懂了些什麼，又好像沒懂，但不管懂不懂，我都看完了，所以懂或不懂並不會影響我看完了這部影片，數學的不完備，也不會影響我對數字繼續運算，既然不影響，那這是重要的事嗎？
似乎是重要的，但又不重要

[@martincheung1748]

第一次看到這種高等數學的視頻拍的那麽有趣, 請繼續加油, 雖然這內容不礙我開寶馬

[@ahu2800]

我很久沒有這麼茫然又充實的看完一個長影片了（體感很長）

[@蔡柏安-i3f]

畢導終於想起來了他的油管帳號 這肯定是自指

[@只因你太美baby]

《sb導致數學崩壞》
聽著像個網路小說ww

[@JC73155]

30:02 好喜欢这句话：只要你的数学没那么好，数学对你依然是完美的

[@anestablished]

你確定這真的不是罵人的話😂

[@zhaominzhu3131]

讲得真好，填补了我的知识空白

[@花生-o3s]

所以簡而言之，當人類理性發展到巔峰發現了理性的能力上限，在此時拋棄部分「理性」才是最理性的決策。而這個決策則讓人超越了理性，能夠反身去看理性直至本質。

[@cpt77]

數字的誕生本就是一種觀察的體現，觀察是很主觀的，(不同角度不同看法)。
舉例來說，重量是我們在地球上所能表達的數，但0重力環境卻無法表現出來，只能使用質量去做起頭式平等，也就是說，質量是不能觀測的，只能比較出來而已。
換個說法，作用力與反作用力，我們不能自己把自己舉起來。
回到這期的悖論上，數學的建立需要一個基準，而那個基準是不能被客觀測試的。
也就是說，我們只能在既有的框架中去尋找邏輯，而框架是人為制定的，所以框架是主觀的，邏輯也就是很主觀下的產物。

[@cpt77]

數學終究只是工具，它能幫助你達成你的目標，但當你迷失自己，數學也就消失了。

[@xixxix1725]

sub(n,n,17)的部分反覆看了好幾次，終於稍微理解了，忽然有種茅塞頓開的感覺，邏輯學層面的數學真的好神奇，超乎以往我對於數學家的想像與侷限。
我想到我小時候也覺得應該有某種精鍊而簡潔的描述方式，能夠涵蓋所有人類行為與真理，現在看來可能沒有這種東西😂😂，但也是因此所謂真理才如此珍貴，值得人類永無止境的追尋與挖掘吧！

[@c2co2co32-]

我可以理解過了近百年還是沒幾個人懂不完備定理，但如果跳過原始遞迴函數的概念，那就等於甚麼都沒講，整個證明很繁雜，而邏輯系統的問題也沒表面那麼簡單，只知道不完備定理，卻連哥德爾完備性定理都沒讀過，那肯定是半路出家，一知半解
只要不涉及second-order logic或更高階的，根本沒不完備定理的鳥事，而這是非常基礎的素養，幾乎所有假新聞只靠First-order logic就能斷言，日常中靠這就足以解決大部分問題
至於人可以理解有不可以被證明的問題這件事，沒啥大不了，哲學裡遇到的循環論證、無限後退問題，早就用更精簡的言語論述過，白話文就是，在語言表達有足夠豐富語意的情況下，讓你找到語病不是件難事，豐沛的語言可以讓你表達出一個無解的問題，比如先有雞還先有蛋，你可以說生下第一顆蛋的是雞，所以先有雞，也可以說第一顆具備雞DNA的蛋才是第一隻雞，由於雞的概念是後驗的，兩者皆成立所以無解(語言裡不一定要遵守邏輯的語法，不能用反證法證明這件事不存在)

[@SpikeTheBee]

虽然您使用的是繁体字，但是从您的语言风格和对他人的态度里我还是一眼就能看出您不是生活在港台地区。加油哦👍

[@cucumber030]

@@SpikeTheBee從您的語言風格一眼就看出生活在那裡了

[@cyanide929]

@@SpikeTheBee 這用字遣詞看起來比較像台灣人耶。

[@user-br5wt3hf6y]

小時候很想了解這些後設數學 也去圖書館翻了不少書 也去影印godel最初的論文 最後就是放棄了 這影片做的不錯很用心

[@yanfu1986]

Amazing 啊 毕导❤

[@葉洪均]

1+1=2的問題：1+0!=2，1+1!=2，為什麼會有兩種數學寫法？而1+2!=3，1+2=3卻只有單一質數2計算！
(1)1+2=3和1+2!=3，階乘集合2!數值和質數集合2數值的交集，只有2而已。
(2)1+0!=2和1+1!=2，只有階乘集合0!和1!數值1，但是數值1不屬於質數集合範疇。
(3)請問：1+(1/2)!=多少？

[@sux459]

自指在数学里不是bug， 只是还没深入研究的课题，还有很多悖论 都可以是未来数学发展的方向。🎉 要是一个大牛出来 把所有数学 道理全挖干净了 才是悲剧啊

[@hhhansel]

當宇宙被完全破解時，正是世界末日的到來

[@陳奕誠-f2p]

​@@hhhansel也可能是新世界的開端

[@黃正鵬-r8c]

@@hhhansel別胡說八道

[@Taotaoba]

看过一个比较新的理论，其实问题都出自反证法的非真即假上。就像一个刀口，不存在一个无限锋利的刀刃，一刀下去，所有的东西非左即右，总有一些问题落在刀刃之上，非左非右。

[@Akrt-ks4zt]

这就是为什么诺贝尔没有数学奖。因为数学家每天的研究的问题就是这些无法证名的猜想。

[@icewolfice]

等到數學家的研究能造福人類時，他本人可能都逝去了半世紀

[@aaronwang6597]

敢问Up主的小学在哪里上的？

[@57給我變成大白貂]

我只是路過進來五分鐘 cpu都幹燒了

[@Falala666]

好深奧，太深奧了。就這樣莫名其妙地看完了但是又學到了好多東西。太厲害了sub(n,n,17)!

[@samshou9857]

没记错的话，毕导好像是我高中校友。给校友点个赞

[@小學生-i2q]

哥德尔数为sub(n,n,17)的命题，即“无法证明哥德尔数为sub(n,n,17)的命题”在我们检验其真假的过程中，已经用反证法证明了其为一个真命题，于是我们知道了该命题无法被证明，但我们刚才使用反证法证明时，已经对该命题进行了证明，实践说明该命题是可以证明的，既无法证明，又可以证明，出现了这样的矛盾；而当该命题为假命题时，又出现了视频上的矛盾。所以该命题出现了这样的悖论。
整个过程在做这样一个可笑的事情：我成功证明了一个命题无法被证明，并且在此过程中我证明了该命题。

[@xorpop]

看完全片，感到無限的快樂😊

[@77_sevenlee63]

雖然很有趣 但這真的不是小學二年級就可以理解的道理-.-

[@Jill_Spring]

这是他视频里爱玩的梗😂把所有难不难的东西都说成小二就能懂的东西

[@shawnli1256]

毕导对细节的阐述的确比Veritasium大神更清楚。

[@lukeXiong-t2c]

一致性的前提是：你得到的哥德尔数是一一映射的，如果不是的话，你推导出来的矛盾本身就毫无意义，说明不了任何问题

[@korenlin8030]

感動得熱淚盈眶

[@kunlunxu18]

我一个非数学织液的渣渣，学到的是：1， 宇宙肯定不是我们人类用数学可以看清楚的，尽管我们已经看到了很多。 2，但凡一个真理被发现，那么一个反真理就存在了。 3，这堂课有量子力学的那种虚无缥缈

[@jeffkevin3]

這很有趣
不但是數學問題
也是語言學跟哲學的問題 ❤
不過語言學不太受亞洲人重視 😭 至少不像西方人重視 😢
東方人以為語言只是一種工具，但仔細想想所有您的一切思考都是使用語言（包含語音文字手語等等乃至電腦的 0 與 1）……可不只是一種工具

[@王木木一王]

西方人从他们的文明一开始就区别了命题和非命题，这还是因为古代的印欧语和闪含语有mood的范畴。在古代的汉藏语里，与之在结构上对位的范畴被evidentiality所取代。也就是说，古代印欧语认为一句话是否可以成为命题比言说者对其内容的主观置信度要重要；但古代汉藏语认为一句话的言说者对内容本身的主观置信度比它是否可以成为命题要重要。简单粗暴的解释是，古代汉藏人是一个山地民族，大家都是在封闭的小圈子里根据差序结构自己玩耍，谁对于谁来说都是过路客，可以随便骗，那么主观置信度的交流优先级就大于可成命题性；反过来说，古代印欧人和古代闪含人都是游牧民族，在大范围的开阔地带上行动，信息的价值呈现出某种类似商品的状态，导致可成命题性要比主观置信度具备更高的优先级。而且商业共同语会持续推平各地分散的方言或土语，这就意味着谓语结构要尽量简单，而状语系统可以作为补偿异常发达，只要具备严格规律就好；语序模式偏向SOV，也是因为简单的谓语结构更加适配复杂的结句策略，可以方便控制对话的时长（即控制对方的注意力）。古代汉藏人栖息的环境和生业模式决定了抗拒政治中心共同语的推平收益更高，即不断主动边缘化自己，远离需要大规模协作的洪泛区，只把过剩人口向该地区输送即可，这就意味着整个句法趋向分析和孤立，只要学会具体的词汇或说法就可以开放系统，只要使用内部的词汇或说法就可以关闭系统，具有更高的演化竞争优势；语序模式偏向SVO是因为SV甚至是孤V对于复杂谓语结构来说已经能够完成大量交流的需要，O或SO都可以作为补语甚至是插入语出现，对形态屈折的要求也相对偏小。（这就要求了S和O要尽量远离彼此以示区分，而在V的两侧是最经济的解。）

[@hantuun]

"可不只是一種工具",
它是很多种工具的杂糅混合体, 还是工具,
每个人一生日常里只是频繁使用其中的几个工具和组合

[@fccp8759]

@@王木木一王也因为拼音文字的需要，需要一个逻辑结构清晰的语句不仅明确了命题，而且明确了主语和宾语的概念。而中文因其图像文字表意的丰富，就忽略了语法结构，进而忽略了逻辑。因此欧洲文字能产生哲学和科学，藏汉语言只是便于玩弄政治

[@yateha5122]

@@王木木一王建议分段落 后面的人会看的很痛苦……

[@ambarvalia9757]

語言學≠語言

[@周暘恩]

我還蠻喜歡的，感覺聽到了很有趣的故事。
sub(n, n, 17)這個暗號頗有意思的。

[@catloaf_4139]

在B站刷到一次，看了不到1/3，现在在UA-cam再刷到一次，一口气看完了，说明UA-cam才真正适合学习（doge）

[@alxu8772]

我在中文的wiki上找到了里哥德尔第一不完备定理的证明要点，我整理如下：
用到的一个重要的概念是命题形式。
哥德尔巧妙地利用了命题的“真值“为真和“含义”为真的区别，从而构造出了含义为真而真值不可证的命题，又避免了悖论的陷阱。形式逻辑系统的命题本身是没有含义的。命题只有真值而没有含义。当形式逻辑系统被实际应用时，系统中的符号都被映射到实际概念上，从而有了语义。这种映射叫做一个模型。有了模型，命题就有了含义（语义）。
公理的真值为真，但不可被证明。其它命题的真值为真当且仅当该命题可以被证明，其它命题的真值为假当且仅当该命题的否命题可以被证明。
命题形式(propositional forms)𝐹(𝑥)是含有一个自由变量𝑥的公式, 当𝑥被一个特定的数代替，它就成为一个真正的可证的特定命题。如果系统是完备的, 所有命题是在系统中要么是可证明的，要么可证伪的.
例如若𝐹(𝑥)定义为：𝑥是偶数。当𝑥=2时𝐹(𝑥)是可证明的，而𝑥=3时𝐹(𝑥)是可证伪的。
任何命题形式𝐹(𝑥) 有一个哥德尔数𝑮(𝐹), 命题形式𝐹(𝑥)的哥德尔数𝑮(𝐹)与自变量𝑥无关.
命题形式不可自证的定义：
命题形式𝐹(𝑥)是不可自证的,当且仅当命题𝐹(𝑮(𝐹)) 是不能被证明为真的.
定义命题形式U(𝑧): 哥德尔数为𝑧的命题形式𝐹(𝑥)是不可自证的.
定义命题: 𝑝=U(𝑮(U))
这个命题可以翻译成: 哥德尔数为𝑮(U)的命题形式U (z)是不可自证的. 也就是命题U(𝑮(U)) 是不能被证明为真的.
如果𝑝是能被证明为真的，于是命题𝑈(𝑮(𝑈))为真，根据U(𝑧): 的定义，𝑧 =𝑮(𝑈)是某个不可自证命题形式的哥德尔数。于是𝑈就是不可自证的，根据不可自证的定义，𝑈(𝑮(𝑈))是不能被证明为真的。这一矛盾说明𝑝是不能被证明为真的。
如果𝑝是能被证明为假的，命题𝑈(𝑮(𝑈))为假，根据U(𝑧): 的定义，𝑧 = 𝑮(𝑈)就不是不可自证命题形式的哥德尔数。这意味着𝑈不是不可自证的。根据不可自证的定义，可知𝑈(𝑮(𝑈))是可被证明为真的，推出矛盾。这说𝑝是不能被证明为假的。
通过以上两方面的证明，证实了𝑝是不能被证明的。这也就是𝑝的含义。 所以𝑝的含义为真，但𝑝的真值不可证。
哥德尔的原始证明可能更复杂，也更严格。暂时没时间去研究。
先说一下我自己的思考。
1. 是否允许定义命题形式U(𝑧)？
如果在所研究的公理体系中不允许定义命题形式U(𝑧)，那整个证明就没有意义。
一个命题形式只要用数字代入变量能形成一个命题，不管该命题是否为真，这个命题形式就是可以定义的。
命题形式U(𝑧)当z用某个命题形式𝐹(𝑥)的哥德尔数𝑮(𝐹)代入是形成的命题是 “命题𝐹(𝑮(𝐹)) 是无法证明的”.
首先“命题𝐹(𝑮(𝐹)) 是无法证明的”是一个命题，𝐹(𝑮(𝐹))也是一个命题，在公理体系完备的假设下，𝐹(𝑮(𝐹))是可以证明或证伪的， 也就是“命题𝐹(𝑮(𝐹)) 是无法证明的”是伪命题。
也就是命题形式U(𝑧)中z代入一个命题形式的哥德尔数，能形成的一个命题，并且命题是伪命题。
所以允许定义命题形式U(𝑧)。
2. 命题形式U(𝑧)中的z代入一个数值是否形成一个命题？
这里就涉及到什么是命题的定义了。命题是一个判断性的语句。
命题形式U(𝑧)中的z代入一个数值是否形成一个命题就要看，代入后是否形成一个判断性的语句。代入后的语句是 “哥德尔数为𝑧的命题形式𝐹(𝑥)是不可自证的”。
如果z是一个命题形式𝐹(𝑥)的哥德尔数。那么“命题形式𝐹(𝑥) 是不可自证的”是一个命题。
如果有些数不是某个命题形式的哥德尔数，那么这些数对命题形式U(𝑧)是无效输入。这就像函数有之间的有效域一样，命题形式U(𝑧)也只接受有效输入。
3. z=𝑮(U)是命题形式U(𝑧)的有效输入吗？
是. 因为z=𝑮(U)是命题形式U(𝑧)的哥德尔数。
4. p=U(𝑮(U)) 是一个命题吗？
是，这个命题等价于：“命题形式U (z)是不可自证的”， 也等价于“命题U(𝑮(U))是不能被证明为真的”
这就出现了一个命题说自己是不能被证明为真的 。
U(𝑮(U)) 是一个命题，同时也是不能被证明为真的。

[@SakretteAmamiya]

感謝，很清楚地解釋了歌德爾不完備定理
這種「自指」很像我有時候會思考自己是如何思考的，又是如何思考自己如何思考這件事w

[@超爽的捡到一百块]

数学是人类用来描述其所观察到的其中一部分世界的一种工具

[@rugucloud]

邏輯跟數學是有區別的

[@badbrew110]

不同的逻辑层级间不能简单映射 是自指向悖论的关键。
比如“这句话是假话”，你必须严格定义“这句话”是指赋值为“假”之前的还是赋值逻辑发生后的，
人们倾向于将这样嵌套的逻辑层级自动映射，毕竟抽象化或者说总结规律并找到相似性是人类节省资源的本能，
但显然，这种本能存在漏洞。

[@user-fz6r0n10we3r]

数学不是客观存在的，而是会自指的生物的一种思维，甚至于整个宇宙就是存在于高智生物的自指之中。

[@gogoGo-qb8nc]

我覺得理髮師的問題沒有任何矛盾，答案是不該給自己理髮，因為他給自己理髮的話很明顯違反了自己設定的規則，但不理的話卻沒有，他只是只幫不自己理髮的人理髮，不是「一定」要幫每個不自己理髮的人理髮
接著是證明黎曼猜想的部分，先不說那兩件事無法同時成立的事，畢竟這只是一個假設，但既然假設它成立的話，那就無法以後者為真來推論出前者不為真，因為這樣就已經違反假設，所以證明到最後一行的前半行就已經錯了

[@Marco-hm1vh]

一直认为，强算数学只是人为抽象简化出来的算筹，用来解释真实世界必然会出现不完备不一致不可判定。真正能准确描述世界的，应该是基于视觉观察现实，总结提炼出来的欧几里得几何体系。两种工具，前者基于因果逻辑来推导预估，后者基于朴素的尺规来量度比对。几乎所有相对成功描述物理世界的理论，其最重要的根基必然会是几何理论。当然，抛弃视觉现实，重新构造一套完备的理论逻辑体系也可以是存在的，例如类似易学，基于元胞自动机诞生的“一种新科学”。

[@TheCasio46]

你這視頻我在電視收看時點了個讚；你這視頻我在手機收看時點了個埋，不曉得這算不算自指

[@ReallyThatsWhatUchoose]

我打我自己而感到痛，我是太強？還是太弱？

[@Wind_of_Night]

物理學，狄拉克方程，想證明光。
沒想到搞出了一個虛數【意味著能量可以無中生有】，我們熟知的是負的。
但其實也有正電子，一切就是從這裡出發。
正能量與反能量，相互碰撞，最終為0，00【橫倒8無限的符號】=無限【無限的符號】。
數學要完善，必須不完備，因為標準就是無法證明正確。【球場的裁判不能打球，不然這比賽就沒有意義】

[@拗拗拗拗]

沒有解答不就正是一種解答嗎？你能證明一個問題無解那他就是有解的，這個解就是無解。
這就是語文的樂趣，所有語言都是不完備的

[@piagetzu]

老子真厲害啊，老早就說了，道可道，非常道，真正的真理是無法言明的。

[@黃正鵬-r8c]

人家只是胡說八道剛好說中

[@zachwang6485]

很多矛盾不是數學矛盾，而是語言矛盾，因為語言本身就是個很不嚴謹的工具，語言是可以無中生有的，是可以不符邏輯的，但我們因為使用語言太久太習慣會看不到語言的無邏輯性

[@hantuun]

"...語言本身就是個很不嚴謹的工具，語言是可以無中生有的，是可以不符邏輯的...",
节目最后已经说的很清楚了, 正因如此, 才有无限可能, 不必被条条框框束缚,
01组合最精确, 与非逻辑门最严谨, 但它仍需人来排布, 虽然不需要用语言说出来, 但人在排布它时仍是在脑中用语言来思考后再排布, 用受过教育的主观的脑对世界的理解后再排布,
语言是现实世界和人脑连接的媒介, 人不能脱离语言去思考,

[@lawalex9206]

數學本身也是一種語言，是人類創造用來描述抽象和本質的語言，但不代表本質，有矛盾並不奇怪，就正如語言能讓你描述你的心情但不代表你的心情，語言和你的心是有落差的，數學和本質之間也是有落差的，那些虛數、無理數就是數學描述和世界本質有隔閡的體現

[@wenxuan_fan]

這期真好 👍

[@steve831053]

你是誰 為什麼在我的訂閱列表裡面

[@javapower6559]

證明 你的演譯能經得起時間考驗的, 畢導自己應該開心了. 真理很艱難, 思維很有趣.

[@大年三十除夕夜]

从来都是两倍速听油管，这次0.75+回放！不过好在sub（n,n,17）!讲得真好，不仅是数学。另外想请问:如果禁止自指，是否就没问题了呢？又或者，不局限于本体系就没问题了呢？

[@yibingwang7613]

我的理解是不可能禁止自指吧，禁止自指就相当于要描述一个不存在自我的宇宙，那最终将不存在任何描述者，描述本身也就不存在了。

[@大年三十除夕夜]

@@yibingwang7613 可以由另一个层级的系统来描述。我的意思是，就像第三次数学危机的解决方案那样。单位的评价系统不就有自己不给自己打分的吗？司法体系也有回避制度。

[@sweeper1977]

哥德尔定理就是用数学归纳法构建一个罗素悖轮，当时也许很新鲜，但计算机出现后其实这样的复杂表达已经过时了，用算法可以简洁的表达为undecidable 的问题，就是传说中的死循环。数学的这些问题归根到底是语言问题，揭示了逻辑语言的局限性。

[@xingfangtang38]

数学-是数字之间的学问。有加，咸，乘，除，平方和开平方等等各式各样的计算方法。有一种方格与数字填空如“九宫格”的数字排列。就不一样了。为什么行，列，斜相加能相等的值是15。这个15数值我叫它为“定数值”。（只填入1到9）连续的自然数。中数5✖️3=15。它是将1到9数的总和再除以3得到的。当填入不同的九个连续自然数时它的“定数值”也会跟着改变如填入10至18的数字时。“定数值”是14✖️3=42。从3（格）✖️3（格）=9（格）到无限♾️的任何一个数平方方格，将数字从1到它的乘积总数填入它们的方格中。叫（积、格）数独填空都存在统一的自然规律。各个数字在方格中的位置是不能用计算办法算出来的。这是一个复杂的数字组合问题。单数平方格称为（单格）数字组合。双数平方格称为（双格）数字组合。这是由它的乘积单、双决定的。单格代表（单体）。如一个人，一个星球等等。洛书是它们的代表。双格代表（双体或多体）。如一个家庭，一个国家，一个太阳系等等。河图是它们的一个代表。如四乘四等于十六格，包括以后全部双数平方格。单格填空方法有三种统一类型，杨辉三角法，九宫格数字排列法由罗伯格发现。我的“跳格填空”法。每种方法从数字1开始入格位置不同。都存在八种行走规律。双格部分数字填空没有统一方法。大体可分为两种类型，N✖️N=N（平方）格。当N除以二为双数时，如四四十六格，六六三十六格，八八六十四格……等等都可以用阴阳行走法，又叫，太极图行走法。。当N除以二为单数时（双平方格）。它的填空方法我用“飞天循地”法也能完成✅。当12平方格时也可分解为（4*4）（3*3）。即十六个九宫格，将1到144数字分为九个数一组分别填入十六个九宫格当中。每个九宫格再按四四十六格大、小数字排列合并即可得到。20平方格，28平方格，三十六平方格…….等等相同类型的方格都适用。统称为十六体组合法，从方格与数字组合结构来看，我认为太阳系中应该由十六个大、小星体组成。每一个星体都有一个核心，并能独立旋转。四方八面平衡并且稳定，在太阳系内也是分布十分平衡和稳定的 。这是从方格数独填空得出的结论，是否正确有代参考。将12平方格两条对角线的交叉❌中心（核心）看作太阳。

[@宋卿来]

啊，我睡醒了，啊，还没讲完吗。。。哦，你在尝试在我的大脑里装一个新的系统替换所有之前的逻辑。。。注意，不是新的程序而是直接重装了新的操作系统。。。啊。。。(蓝屏了。。。）

[@kholmsk20]

脑机接口

[@akaiwon6594]

但是理髮師悖論感覺不是悖論耶，「會幫不幫自己刮鬍子的人刮鬍子」，所以在他還沒幫自己刮鬍子前，，他是可以幫自己刮鬍子的。而當他開始幫自己刮，一般認為此時出現悖論，但是請注意，此時其實不算發生悖論，因為此時他是「正在幫自己刮鬍子（進行式）」，而非「會幫自己刮鬍子（完成式）」，因為要是這時突然發生什麼事情，打斷他幫自己刮鬍子，那「刮鬍子（進行式）」就會中斷，回到「不幫自己刮鬍子」的狀態中。而等到他幫自己刮好鬍子，滿足悖論發生的條件，「幫了幫自己刮鬍子的人刮鬍子」時，其實他已經沒有在幫自己刮鬍子了，所以悖論依然沒有發生。

[@王木木一王]

解决的方法我觉得思路是在语言上论证理发师所定义的人群里不包括自己。因为如果包括自己，就会产生悖论；而悖论会导致命题无效，而无效的命题在数学上如果可以被证明等价于没有被提出来的命题或非命题，则该悖论问题可以得到一个能够拿来用的解；而附加规则“一定不能包括自己”的出现则是“证明的成果”。真正的问题在于，我们知道什么是悖论，且知道悖论的后果就是循环论证，然后也知道怎么规避它，但是无法接受我们只生活在和只经验了规避了它的那条时间线上，因为这（给我们感觉）我们的自由遭到了限制。数学是一套规则系统，但数学家的工作是在规则系统里争取最大的自由和可能性。但这往往导致数学家在潜意识里认为规则系统的可能性和自由度都是无限的，而我认为，如何围绕这种“潜意识里认为司空见惯的东西和现实存在的博弈”去建模，才是解决悖论问题的关键。

[@marileelee100]

只要把理髮師當作是 城邦外的人 就可以避開矛盾性了（0_0）

[@yecommunist_cn3462]

典型的工程师思维，而不是科学家思维，因为我想的和你一样

[@張3-c4g]

感覺用到進行式或完成式這種說法，就有點變成在玩文字遊戲了，也偏離了這項命題的意義了。
如果針對文字去過度解釋，其實反而換個命題的說法就解決這項反駁了。
再說，會幫自己刮鬍子大可不必用「完成式」去詮釋，也可以用「現在式」去解讀，那麼在他刮下自己的鬍子的那一瞬間，就變成會幫自己刮鬍子的人了，那瞬間他也違背了給自己的定義。
理髮師悖論只是一種通俗的說法，它的意義在於我永遠能定義一個沒有自己的集合。
例如：定義一個集合，此集合是自然數，而且他是一個排除掉所有自然數之後的自然數。這就會有所矛盾。
換個說法，就像是我家的窗簾是藍色的，但這個藍色很獨特，世界上所有的藍色都跟他不同。
->既然他跟所有藍色都不同，那他就不應該是藍色，但我一開始就說他是藍色，所以有問題。
這個悖論的貢獻在於，以往人們認為集合可以隨便我定義，但是從此之後發現這樣會有問題，必須要建立一套規則，也促進公理化的發展。

[@蔡秉諺-f5g]

那麼換一個類似的題目吧！
假設圖書館裡有一本目錄，只列出了館內所有沒列出自身書名的書，那麼他該不該列出自己。

[@ahxian9976]

19:20 sub(y,y,17)里的y是一个未知数，它的哥德尔数不是17。正如前面提到的，一个是未知数y，一个是字母y。
那么后面sub(n,n,17)要找哥德尔数是17的“字母y”时，怎么可以说是sub(y,y,17)里的y呢，那个是“未知数y”啊，sub(y,y,17)里的y的歌德尔数并不是17。

[@josephhsiao402]

自指：世界上唯一不變的就是「世界上每個東西都在變」

[@xuuping7792]

有一个小问题。每个命题有唯一的哥德尔数，但一个哥德尔数不一定对应唯一的命题，因为哥德尔数不能体现符号的顺序。

[@anestablished]

「只要你數學不是那麼好，數學在你心目中還是很完備的」。這話確定不是罵人？😂
那個說有些遺憾的數學家，啥pure reasoning的，可以去看看康德。心情就好了。
老年痴呆的診斷標準可以從自指之類的問題衍生出來？

[@JungleYou]

用形式系统去证明形式系统的性质，这本身就是一种自指，哥德尔不完备性也是在这种情况下得到的结论，其实本质上并没有真正解决问题。必须跳出形式系统，到更高的层次，用新的系统才能解决形式系统的问题。如果真的发明超越形式系统的新系统，形式系统的这些性质已经不重要了，我们又会去研究证明新系统的性质，又回到自指的问题。这就是一个无限上升的螺旋阶梯。我有一个解决方案，问题是出在数学本身上面，我们的数学就像欧氏几何一样，只是一个特例。除了我们现有数学之外，还有别的数学体系。

[@briantaroball550]

或許那些無法證明的也是自然的，那些矛盾的命題畫成圖就是一個圓，它可以以假證真，又可以以真證假，雖然矛盾，但就有如太極圖一般循環，半陰半陽，而數學界的可證及不可證就是陰陽吧。
亦或者數學家就像是被困在莫比烏斯環上的螞蟻，自以為爬在有裡外之分的圓環的外圈上，卻不知道這個環上其實本就沒有裡外之分。

[@yumingzhang8061]

讲得太好了！

[@haoyuli9]

自指其实是个很神奇的概念，我是通过办理各种手续的时候发现的。为什么办理各种手续需要你的身份证件，或者说，如果你的所有身份证件都丢了，你如何向其他人证明你就是你。还有一个很好玩的语言游戏。“我要说三句话。”“上一句算一句。”“我的话说完了。”

[@conan1793]

看完感觉就是数学版的逻辑悖论，数学符号讲述了无所不能的上帝能否创造一块他举不起来的石头？简而言之，就是无所不能的数学能否证明一个不能证明的数学问题？

[@cryingsmiles9010]

我想换一种方式看待这个问题。
以上定理的确证明了现在的数学不完备，无法证明一致，且不可判定。
但如果以此说数学不完备，无法证明一致，且不可判定，或许本身也是一种不完备，且不可判定。
就如同牛顿力学遇上原子和辐射现象时，它就证实了我们奉为绝对真理的牛顿力学，其实并非那么绝对。
因此，我们总结出了量子力学。
如今出现的“自指”，何尝也不是同样的情况。
我们认为完备，一致，可判定的数学遇上了悖论与反证法，揭露了它并非完备，一致，可判定。
那么有没有可能，我们可以总结出一套专门用于解释自指，悖论与反证法的数学？
那套数学不需完备，一致，可判定，就如同量子力学的不确定性。
我们完全可以把它归类为特性，而非我们无法解决的限制。
我们不一定要完美推导它，而只是知晓它存在，并以此为基础即可。
当我们有了一套完备，一致并可判定悖论与反证法的数学时，那时数学不就完备，一致，且可判定了？
如同牛顿力学仍然绝对，但并不适用于量子领域。
数学仍然完备，一致，且可判定，但并不适用于“自指”这个领域罢了。

[@HcDaN]

以您的喜感做什麼節目都行，不過我還是喜歡你做數學😂

[@SyuAsyou]

很神奇，感謝解說

[@kuri7154]

>这个视频参考资料的第14条就是这个视频本身

[@경원량]

说白了，数学不能僭越哲学的地位。当代科学的症结恰恰在于哲学上太无明了，很多人们心目中的"权威理论"在很多重要现象面前已经偏离了"自我"，自然，也就偏离了真理

[@anestablished]

沒有數學支撐的哲學就是胡說八道，不接受辯駁。咋哲學還能置於數學之上呢？

[@fromprogrammertotrader8506]

我只能承认自己没耐心了，只坚持到三分之二的进度条

[@sweeper1977]

认识到语言的局限性，哲学史上一些著名的问题其实已经有了答案。比如“自相矛盾”问题，无坚不催的矛和可以抵挡一切的盾，还有“上帝悖论”，全能的上帝能否创造自己也搬不起的石头，无神论者曾经试图拿这个来否定上帝的存在。正确的答案是undecidable，不能证明也不能否定上帝的存在。这种情况维根斯坦有句名言：语言表达不清的事物，我们要保持沉默。

[@飛鴻雪泥-u8y]

這個問題是不是有點像是，空集合是所有集合的子集，所以零是存在的。

[@mouse0114]

滿頭問號的進來，滿頭問號的出去

[@nz388]

仔细想想,当然我们认为公理是不证自明的时候,也就已经默认数学里有无法证明的东西了,因为公理无法被证明(不需要被证明的说法,并不意味着他可以被证明-> 一切取决于定义). 是否可以认为人类无法理解什么是完备也无法理解证明的本质. 因为证明过程本身是需要定义的. 定义这个过程,就已经局限了事物的范围, 因为人类无法考虑到所有可能(即范围为无限), 所以一开始就不存在所谓完备的东西.

[@liijio]

如果說一開始的皮耶諾公理就能夠定義自然數，那麼說起來，該如何表達一個數為自然數？如果直接定義的話，那不是無限的哥德爾數，若是集合的話，把所有的皮耶諾公理作為集合的條件，那應該用什麼表達擷取的符號呢？所以都是不可能的

[@奕佑陳-w1f]

容真亦容假(机率)可变性。

[@william24xp]

所以哥德爾發現美國憲法的不一致是什麼😂

[@llcccccmmmm]

其实数学第三次危机时候就已经初见端倪了不完备性定理，不管什么体系，数学的确定性一直在丧失直到哥德尔统一给出了最终答案