Es ist kein Paradoxon. Der Eindruck entsteht nur rein Sprachlich dadurch, dass mit dem Beispiel "man könne es nicht anmalen" suggeriert wird man bräuchte unendlich viel Farbe um es anzumalen aber nur endlich viel Farbe um es zu füllen. Dieser Vergleich ist aber unzulässig, weil die Benennung einer Menge (z.B. unendlich viel) an Farbe selbst ein Volumen beschreibt, also implizit davon ausgegangen wird, dass die Schicht Farbe mit der man die Fläche bemalt eine Dicke hat. Hier ist aber eine zweidimensionale Fläche gemeint, die hat eben keine Dicke, also hat die Farbe mit der wir das bemalen wollen auch kein Volumen. Es reicht also, wenn man so will, eine unendlich kleine Menge "Farbe" um die Fläche vollständig zu "bemalen" weil die Schichtdicke der Farbe gleich Null ist. Zweidimensional eben. Hierdurch entsteht die Verwirrung, aber die ist rein sprachlicher Natur. Wäre die Schichtdicke ungleich null hätten wir schnell keine Möglichkeit mehr, weiter zu mahlen wenn der Durchmesser des Horns kleiner wird als die doppelte minimale Schichtdicke (eigentlich schon früher). Hier werden also Äpfel mit Birnen verglichen, oder um bei der Analogie zu bleiben, wenn es unmöglich ist diese unendlich grosse Fläche zu bemalen dann würde es auch unendlich lange dauern die 3,14 Liter da so rein zu giessen, dass das Horn voll ist. Das ergibt nur halt auch keinen Sinn... natürliche Sprache ist eben kein gutes Instrument um mathematische Zusammenhänge zu beschreiben. Interessant ist eigentlich nur, dass es geometrische Körper mit unendlicher Fläche aber endlichem Volumen gibt. Das ist aber mathematisch nicht weiter ungewöhnlich.
Es ist insofern trotzdem ein Paradoxon, denn das Limit von X->unendlich des Volumens ist pi * 1-1/x, welches eben pi * 1 = pi ist, während das limit der oberfläche 2*pi ln x ist, und da das limit von ln x unendlich ist, ist das Limit der Oberfläche unendlich. Die Größe des Volumens nähert sich immer weiter pi an je größer x ist. du wirst aber keinen wert X finden, wie groß er auch immer sein wird, bei dem das Volumen dieser Form größer als pi sein wird. es gibt aber kein Limit für die Oberfläche. wenn du beide werte mit X = tree(3) z.b. berechnen würdest, hättest du eine gigantisch große Oberfläche, die jegliches Menschliche Vorstellungsvermögen übersteigen würde, das Volumen wäre aber immer noch kleiner als PI. das ist das Paradoxon.
Abgesehen von @Xebtria's Kommentar: OK, beide Werte, Volumen und Oberfläche sind Grenzwerte, Limites. Bemalen kann man die Fläche nur mit mindestens infinitesimal kleiner Dicke dx, aber das Volumen ist um dx kleiner als π, also auch im mathematischen Sinn endlich, keine sprachliche Ambiguität, und eine Schicht mit einer infinitesimalen Dicke ist auch sprachlich eine Fläche, die übrigens im Beispiel hier eben nicht unendlich ist.
*"Es ist kein Paradoxon. Der Eindruck entsteht nur rein Sprachlich dadurch, dass..."* Das ist, soweit ich weiß, die Definition eines mathematischen Paradoxons. Wobei die Definition selber auch wieder ein Paradoxon ist, weil ein sprachliches Paradoxon durch Mathematik aufgelöst wird und nicht umgekehrt.
Wer solche Paradoxen und Mathematik an sich liebt, findet in "Aus eins mach zehn und zehn ist keins. Glanz und Elend der Mathematik." von Helmut Kracke eine tolle Fundgrube. Das Buch ist schon recht alt und möglicherweise nur über Antiquariate zu bekommen.
Die Erklärung finde ich zwar gut nachvollziehbar, bin damit aber nicht einverstanden. 1:∞ ist nicht 0. Es wird sich lediglich unendlich an 0 annähern. Das "endliche" Ergebnis ist also ein Rundungsfehler. Wenn das Mathematisch korrekt ist, brauche ich dafür bitte eine Erklärung. 🤨
wenn wir 1: unendlich rechnen ergibt es ja 0,000... unendlich Null dann kommt irgendwann eine 1. das Problem ist wenn wir vor der 1 unendlich Nullen schreiben würden heißt es dann würden wie nie erleben das irgendwann mal die 1 kommt.
Du hast einen guten Punkt herausgearbeitet. Das Video ist an dieser Stelle tatsächlich mathematisch unsauber. Das Integral von 1 bis unendlich ist ein uneigentliches Integral; es ist definiert als der Limes von den Integralen von 1 bis b für b gegen unendlich. D.h. man berechnet zuerst die Integrale von 1 bis b, da erhält man 1/b + 1, und nimmt dann den Grenzwert für b gegen unendlich. Und das ist dann exakt 1. Es ist übrigens nicht klug mit Ausdrücken wie 1:unendlich zu hantieren, weil unendlich keine Zahl ist, mit der man einfach so rechnen kann wie mit reellen Zahlen.
Ich versuche gerade darüber nachzudenken, dass man, wenn man bei Litern bleibt zB: erst 3 Liter einfüllt dann 0,1 Liter einfüllt dann 0,04 Liter einfüllt dann 0,001 Liter einfüllt dann 0,0005 Liter einfüllt usw... Man hört also niemals auf mit dem Einfüllen. Und am Ende hat man ja trotzdem mit einem endlich gefüllten Eimer dieses Horn befüllen können. Irgendwie auch ein bisschen merkwürdig
Wenn das Horn aus einem - vereinfacht gesagt - unendlich dünnem Material besteht, reicht sogar weniger Farbe für die Oberfläche als man hineinfüllt. Füllt man die Farbe in das Horn, braucht es theoretisch auch unendlich lang bis die Farbe am Ende des Horns ankommt (das Ende des Horns gibt es ja durch die Unendlichkeit nicht).
Ganz einfach. Man braucht nur Pi und ein bisserl Liter unendlich flüssige Farbe. Man stecke das "Malerhorn" in ein zweites, schüttte Pi Liter in das Horn, den Rest dazwischen, drückt die Hörndl zusammen, schon ist das innere Horn überall angemalt.
klappt trotzdem nicht, da es unendlich tief ist somit dauert das reinschütten (auch wenn es nur wenig Farbe ist) unendlich lange (es wird nie das Ende, das eh nicht existiert, erreichen können), da sich die Farbe maximal mit Lichtgeschwindigkeit in Horn ergießen kann.
Jetzt wäre es natürlich interessant zu wissen, ab welcher Stelle hinter dem Komma Pi nur noch ein einzelnes Molekül der Einfüllfarbe ausdrückt oder anders gesagt- bis zu welcher Größe wollen wir die Volumenzunahme messen? Gibt es nach unten eine Größe, die nicht unterschritten werden kann - beispielsweise im Bereich der Planck Länge und des daraus resultierenden Volumens?
Jetzt fehlt noch die Berechnung der Oberfläche : Dazu wird der Umfang der Scheibchen integriert. U = 2rpi Daher Integral 2pi/x dx. Von 1 bis unendlich. Das Gibt 2pi ln(x) von 1 bis unendlich. Weil ln(unendlich) = Unendlich (also diverged) ist die Oberfläche unendlich groß. Krass.
@@miniclesSelbst schuld! Warum machst Du ein Video, angeblich über ein Paradoxon, tatsächlich aber über Integralrechnung auf Abitur - Niveau, und wenn es dann paradox wird, brichst Du ab und verweist auf einen zweiten Teil, der vielleicht irgendwann einmal kommt.
Wie kommst du auf pi Liter Farbe? Im Integral hast du ohne Einheiten gerechnet, es könnten genauso gut Milliliter, Hektoliter oder im englischen Raum Pints oder Gallonen sein .
Ich habe für 1 keine Maßeinheit, aber dann mit PI Liter Eine. D.H. in Abhängigkeit von der Definition der Größe von 1 habe ich dennoch im realen u.U einen Rauminhalt von dem Vielfachen von PI Litern.
Für mich war Torricelli immer der Mann, nach dem die Druckeinheit "Torr" benannt ist. 1 Torr = 1 mm Quecksilbersäule. Es ist einfach großartig, wie du ein Integral erklärst, wenn man noch nie davon gehört hat. Ich werde dieses Video weiterempfehlen. Was mich ein bisschen gestört hat, das ist, wie schnell du vom [Integral] 1/x²·dx auf das allgemeine Ergebnis = -1/x (8:43) gekommen bist. Die allgemeine Formel, wie man eine allgebraische Funktion integriert, ist nicht schwer zu verstehen. Ich würde sie hier als "ist eben so, kann man hier aber nicht beweisen" kurz vorstellen.
Vielen Dank für das Lob, das freut mich sehr :) Die Einheit "Torr" kannte ich bis zum Erstellen des Videos selbst noch gar nicht. Ich hatte kurz daran gedacht es ins Video einzubauen. Mich dann aber dagegen entschieden, weil es eh schon so komplex war... Deine Kritik ist absolut berechtigt. Rückblickend betrachtet, muss ich leider zugeben, dass ich am Ende des Videos etwas unsauber / nachlässig gearbeitet habe. Ich hoffe, bei meinen weiteren Videos bin ich gründlicher...
hmmm, wenn ich die Trompete in unendlich viele Ringe zerschneide, hat dann nicht jeder Ring die Höhe null? Das macht die Volumenberechnung jetzt nicht gerade einfacher. Ich weiss, dafür gibts ja das Integral, wo man sich dem Wert, den man eigentlich meint, unendlich nähert, ihn aber in Wahrheit nicht erreicht.
Die Ringe, welche du aus dem Horn geschnitten hast, sind aber eigentlich keine Zylinder, sondern Kegelstümpfe, denn das Horn verjüngt sich doch in Richtung nach rechts.
Wenn man Pi als endliche Zahl (inclusive der Nachkommastellen) betrachtet ergibt sich eine Endliche Menge an Farbe. Da dieses jedoch nicht zutrifft (zumindest nicht bewiesen) ist die Menge Unendlich. Eine immer kleineren Menge Farbe auf im Querschnitt einer Unendlichkeit. Könnte der Beweis der Unendlichkeit von Pi sein?
Ist die Aussage 1/∞ = 0 wirklich korrekt? Müsste der Quotient nicht einfach eine unentgeltlich kleine Zahl sein, aber eben nicht Null? Und wenn ja, ist dann folgende Berechnung im Ergebnis nicht falsch?
Richtig, man sagt um genau zu sein die Zahl ist 0+ also knapp über eins. Es macht schon ein unterschied obs von der negativen Seite oder positiven kommt
Unendlich ist kein Zustand sondern ein uneigentlicher Grenzwert. Einen Widerspruch ist nicht erkennbar. Sobald man das "Unendliche" weglässt löst sich Alles in Luft auf.
Ja, wenn Sie die Freundlichkeit hätten uns jetzt auch noch zu verraten wie viel Farbe zum bemalen der Oberfläche nötig ist, dann, wäre diese eindeutige Frage ohne Widerspruch endlich beantwortet. 0:18 0:18 0:18
Eigentlich wird die obere Grenze niemals 0 (NULL) ergeben, da der Wert von Eins durch Unendlich niemals exakt NULL ergeben wird. Dies ist hier jedoch als Annahme gesetzt worden. Das Problem hierbei wäre dann jedoch, dass die Moleküle der Farbe auch unendlich klein werden müssten, diese Größe aber gegeben ist und die "Kanüle" irgendwann verstopfen. Im Übrigen ist die Division durch NULL nicht definiert. Das jedoch wäre notwendig, um die Lösung NULL für den oberen Wert zu erhalten.
So schwierig für den Alltagsverstand ist es nicht. Ein analoges Beispiel: Ein Quadrat soll mit unendlich vielen Vierecken ausgefüllt werden. Ich fülle die Fläche zuerst zur Hälfte und den Rest wieder zur Hälfte. Ich kann unendlich oft legen, obwohl die Fläche endlich ist. Übertragen wir das auf die Trompete. Ich fülle sie zur Hälfte und danach wieder zur Hälfte des Restvolumens. Die Menge wird immer geringer aber der Vorgang wiederholt sich unendlich oft.
Cooles Paradoxon. Wenn man jetzt noch bedenkt, dass bei einem infintisimal kleinem Abstand der inneren zur äußeren Oberfläche beide Oberflächen gleich groß, dann folgt doch daraus: Ich kann den Körper zwar vollständig füllen aber nicht die innere Oberfläche vollständig einfärben.
Genau das ist das paradoxon! Aber als es interessant wurde war das Video leider zu Ende. Werde mir bei Gelegenheit selber den Kopf zerbrechen müssen. Ich ahne aber bereits, daß es darauf hinaus laufen wird, daß das Integral von 1/ x den natürlichen Logarithmus ergibt und der wächst über alle Grenzen.
@@AWaterKnight In der abstrakten mathematischen Welt nicht. Deswegen ist es wichtig zu verstehen, dass es ein mathematischer Körper Körper ist, dessen "Wand" beispielsweise auch keine Dicke aufweist. Etwas was es in der Realität ja gar nicht geben könnte...
So wie Abgebildet lässt sich das Horn nicht mit Farbe füllen. Wenn man Flüssigkeit in einen Hohlkörper kippt, beginnt der Pegel zu steigen, sobald der erste Tropfen Flüssigkeit am Boden angekommen ist. Das Horn hat aber gar keinen Boden und ist unendlich tief. Das heißt, der Pegel würde erst nach einer unendlichen Zeit anfangen zu steigen, also gar nicht erst damit anfangen. Somit kann er auch nie den Rand erreichen.
@@minicles Die Mathematik, so wie Du sie verwendest, ist Grauenhaft. Ab Minute 9 wird es falsch. Du betrachtest nicht 1/oo, sondern betrachtest stattdessen einen entsprechenden Grenzwert.
@@uwe4308 OK, das Volumen konvertiert gegen einen Grenzwert, nämlich π, kann diesen aber nicht überschreiten. Daher kann man zumindest nicht mehr als π Farbe brauchen. Das ändert am Paradoxon nichts, die ganze Sache wurde ja möglichst simpel erklärt.
OK, mal mein unqualifierter Senf. Da der Umfang gegen unendlich auch gegen 0 geht, wird es eine Stelle geben, ab der ein Molekül der Farbe reicht, um den Ring zu bemalen. Ab diesem Ring kann man die Trompete nicht mehr bemalen, da man keine klein genüge Menge Farbe mehr findet...damit ist die Menge an Farbe, um die Trompete zu bemalen doch endlich, da ab einem von dort aus naheliegenden Punkt ja auch die Sichtbarkeit der Trompete aufgrund der fehlenden Reflexionsfläche nicht mehr gegeben sein dürfte. Diesen Punkt müsste man berechnen können (da wo Umfang < Eisenatom) Nur mal meine Gedanken dazu ins unreine gesprochen.
Heißt es bei eins durch unendlich, dass der Wert „gegen“ null geht, aber auch nie null erreicht. Somit ist die Rechnung ja auch nur eine Annäherung, tatsächlich aber nicht ganz richtig und somit auch die Aussage, dass das Volumen Pi ist, nicht ganz korrekt?
Irgendwie glaube ich noch nicht, dass das x in dx dasselbe x ist, wie in 1/x. Ich habe so eine Ahnung, als könnte es sich hier um ein Polysem - also ein Teekesselchen - handeln; wie in "Was hat Augen, kann aber nicht sehen? - Eine Kartoffel" ...
Spätestens wenn die Höhe die Plancklänge erreicht, ist es vorbei mit der unendlichen Länge des Horns. Da die Plancklänge die kleinste sinvolle Länge im Universum darstellt. Natürlich nur in der Realität. Mathematisch gehts auch kleiner.
Super! Ich hätte es ja nicht geglaubt, wenn ich es nicht nachgerechnet hätte. Der hier gezeigte Teil ist aber nicht mal der halbe Beweis. Denn dass man unendlich viel "Zeugs" zusammenaddieren kann, und es kommt trotzdem was Endliches dabei heraus, ist ein alter Hut: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 2. Aber dass die Oberfläche tatsächlich unendlich groß ist, ist total unerwartet. Bei einem Zylinder teilt man einfach das Volumen durch den Radius r und multipliziert mit 2 und erhält die Oberfläche, die dann (* 2 / r) logischerweise auch endlich ist. Aber hier liegt der Fall total anders. Wenn man hier die Oberfläche wieder genauso durch Integration berechnet, dann muss man die Stammfunktion von 1/x nehmen, also ln(x). Damit erhält man aber: Oberfläche = Integral(1 .. ∞) 1/x dx = ln(∞) - ln(1) = ln(∞) - 0 = ln(∞) = ∞. Falls hier übrigens jemand immer noch glaubt, dass weil 1/x > 0 ist, dann auch 1/∞ ≠ 0 gilt, dem sein folgendes Video empfohlen: ua-cam.com/video/6dHvuaBDD18/v-deo.html
Hmmm wie fülle ich denn einen unendlichen Körper. Die Flüssigkeit würde ja unendlich nach „unten“ laufen. Und damit würde der Körper trotz der konstanten Pi-Liter nie voll werden 🤔
Du hast zwar recht, dass pi unendlich viele Stellen hat und somit niemals endet, allerdings gibt es größere Zahlen als pi. Könnten wir zaubern, dann wäre es möglich das Horn mit pi "Einheiten" (du darfst auch in Litern denken) Farbe zu füllen. Würdest du jedoch versuchen 4 "Einheiten" (Liter) Farbe hinein zuzaubern, würde das Horn überlaufen. Weil wir jedoch nicht zaubern können, würde es - und da kommt deine Idee der unendlichen Anzahl an Stellen wieder ins Spiel - unendlich lange dauern das Horn zu füllen...
Das kann gar nicht unendlich werden (und auch noch hohl sein), da unter der Planck-Grösse nix mehr wirklich beschreibbar ist. Oder verstehe ich hier was falsch ? (ich habe keine wirkliche Ahnung von Mathe oder Physik, lerne aber sehr gerne dazu!)
Der Beweis, dass das Horn unendlich lang wird, ist doch gar nicht so schwer. Es ist der Tatsache geschuldet, dass y niemals (bzw. erst in einer utopischen Unendlichkeit => Banach Tarski) 0 wird. Deswegen ist das ja auch ein sprachliches Paradoxon, das mathematisch gelöst werden kann. Ein mathematisches Paradoxon also, wobei diese Bezeichnung selbst auch wieder ein Paradoxon ist.
Die Frage ist ob 1 / unendlich tatsächlich 0 ist. Man kann sich einen noch so großen Wert vorstellen wirklich "unendlich" ist er nie. Früher hat man gesagt 1 / 0 = unendlich. Später hat man gesagt das macht keinen Sinn. Es ist sehr die Frage ob 1 / unendlich = 0 sinnvoller ist.
Das Volumen ist also endlich und hat den Wert von Pi? Gut, dann bestellt mal den exakten Inhalt. Und zwar nicht "Ich hätte gern Pi Liter Farbe", sondern mit numerischer Mengenangabe.
Vorsicht! Man muss sich darüber im Klaren sein, dass die Objekte, mit denen man es hier zu tun hat, abstrakte Objekte sind, die keine Entsprechung in der Realität haben. Man kann Farbe nicht so verteilen, dass es für die Entfernung keine Obergrenze gibt, denn Farbe ist nicht kontinuierliches, sondern besteht aus Teilchen. Außerdem braucht die Verteilung Zeit, so dass man hier niemals fertig würde, selbst, wenn man es mit einem Kontinuum zu tun hätte. Das Volumen, das man hier berechnet, lässt sich nicht durch Ausfüllen physikalisch messen. Auch sollte man Ausdrücke wir "1/unendlich" vermeiden, denn "unendlich" ist keine Zahl.
Eher gilt doch: 1/∞ ≠ 0. Mit Unendlichkeiten kann man nicht rechnen, nur theoretisieren. Der Fehler, damit zu rechnen, wird offensichtlicher, wenn man die Gleichung umstellt: 1/∞ = 0 ⇔ 1/0 = ∞
@@stephangruhne3958 Es im allgemeinen zu definieren, macht tatsächlich nicht allzu viel Sinn, aber immer wenn man in Mathematik mit Unendlichkeiten bspw. analytisch rechnen möchte, untersucht man stattdessen das Verhalten um 0 um 1/x. Es ist daher ein Konzept, denn man zumindest im komplexen Analysis öfters nutzt.
Der Wert π Liter bedeutet ja eigentlich schon dass das Volumen unendlich ist. Denn π hat ja auch kein Ende. Jedenfalls keines das mir bekannt wäre. 😉 Dazu kommt noch dass 1/∞ keine gültige Rechnung ist. Nur die Annahme 1/∞=0 führt zum Volumen π. Ist das jetzt der Beweis für die Richtigkeit oder die Widerlegung🤷♂️ Daher kann man sagen dass es keine gültige Methode gibt das Volumen eines unendlichen Horns zu berechnen. Damit bleibt es das was es ist. Ein ungelöstes mathematisches Paradoxon... Oder haben wir es gerade gelöst? Danke für das video. Sehr interessant 👍
Versuche "Unendlich" nicht als Wert sondern mehr als "Idee" zu betrachten. Die Formulierung ist zugegebener maßen stark vereinfachend. Mathematisch handelt es sich dabei um einen Grenzwert.
@@minicles Ich bin erst recht kein Mathematiker, aber ich denke, genau da ist der Hund begraben: Die "Idee" des Unendlichen wird, um den ungeliebten und nicht rechenbaren "Wert" Unendlich zu vermeiden, irgendwann in der Rechnung oder der konzeptionellen Erstellung derselben mit eben dem Wert ersetzt (0) dem er sich zwar annähert, aber eben nie erreicht. Wie weit daneben liege ich?
1/Unendlich ist 0, weil man hier mit Grenzwertbetrachtung argumentieren muss und nicht mit einer endlichen Zahl. Auch wenn man x unendlich lang vergrößert ist man eben noch nicht in der Grenzbetrachtung. Unendlich ist keine Zahl, somit ist 1/Unendlich auch keine klassische Division.
@@gsittly Genau das meine ich. 1/unendlich ist winzig, nahezu null, aber eben nicht exakt null. Das anzunehmen ist eine Art Rundung, zwar unendlich gering, aber eben doch da. Das aber stört, weil es keine exakte Zahl ist mit der man eindeutig rechnen kann. Nun kommt die Vereinfachung in's Spiel, die hier halt "Grenzwertbetrachtung" heißt. Undiplomatisch formuliert: Man redet sich das Problem schön. Man hat eine nicht klassische Division, die man aber auf magischem Wege einfach mit einem klassischen Ergebnis versieht. Ich sehe das Paradoxon in diesem Beispiel eher als eine Unzulänglichkeit der Mathematik an. Das menschliche Gehirn hat ein Problem damit, die Unendlichkeit zu verstehen. Folglich hat auch die von Menschen entwickelte Sprache ein Problem damit, die Unendlichkeit zufriedenstellend zu beschreiben. Man kann sich ihr immer nur annähern, sie aber in letzter Konsequenz nicht vollständig erfassen. Aber auch die Mathematik ist von Menschen gemacht. Selbst wenn man nun argumentieren mag, die Mathematik sei in sich selbst existent und bedürfe nicht des "Machens" durch den Menschen, so ist doch der Umgang mit der Mathematik, die Theoreme, die Formeln, die Methoden letztlich eben doch menschengemacht. Und als solche lückenhaft weil duch den menschlichen Geist begrenzt. Wie gesagt, ich bin kein Mathematiker, im Gegenteil. Mathe war mir in der Oberstufe immer ein Graus. Man verzeihe mir also bitte, wenn mein Laiengehirn hier den Advocatus Diabloi gibt. Ich will nicht nerven, ich verstehe es wirklich nicht. Also nicht das Problem selbst, sondern die mathematischen Winkelzüge, mit denen es beschrieben wird.
@@papaschlumpf5894 Nein, es ist nicht paradox. Die X-Achse ist nachweislich eine Asymptote. Somit ist der Grenzwert eindeutig bestimmt. Mit diesem Werkzeug lassen sich exakte Ergebnisse berechnen.
Naja, das ganze "Paradoxon" zu nennen, finde ich persönlich etwas übertrieben. Es wiederspricht sich ja nicht. Es ist nur konträr zur Erwartung eines Nicht-Mathematikers. Wenn man etwas mit Mathematik und der Integrabilität von Funktionen vertraut ist, dann ist sowas garkeine Überraschung mehr. Nachdem ich die Erklärung des Problems gesehen hatte, war mir klar, dass es um 1/x gehen dürfte. Geht übrigens für alle Funktionen der Form f(x)=1/x^(t), sofern t aus dem intervall von 0,5 bis 1 ist (wobei die 0,5 selbst nicht erlaubt ist). Dass die Oberfläche unendlich groß ist funktioniert übrigens mit der gleichen Rechnung: In Ringe zerschneiden, r=1/x, Umfang (statt Volumen) ist 2*pi*r = 2*pi/x, Stammfunktion bilden, fertig. Aber nichts desto trotz: Ganz schönes Video! Finde es immer gut, wenn man auf vergleichsweise einfache Art versucht die Menschen für Mathematik zu begeistern!
Ein nettes Gedankenexperiment. In der Praxis würde das auch theoretisch funktionieren. Aber nur weil die kleinsten Farbttöpfchen irgendwann nicht mehr durch das dünner werdende Ende passen. Würde man es mit unendlich kleiner werdenden Teilchen füllen, würde es nie voll werden😅
@@petercoool Der Wert ist nur endlich, wenn man Strecken nicht mehr als Kontinuum versteht ( Aristoteles). Ob die Mathematik hier mit der physikalischen Realität übereinstimmt ist mehr als fraglich , denn es gibt nachweislich auch unterhalb der Plancklängen noch eine "Welt" ( Vakuum Polarisation , anormales magnetisches Moment , Kasimir- Effekt , Tunnel - Effekt, etc. ) , welche einen realen, messbaren Beitrag leisten. Störungstheorie, Renormierung und Grenzwerte , schützen leider nicht vor realen Unendlichkeiten.
Wenn Mathematik logisch wäre, und der flachgelegte 8er unendlich ist, also die größte denkbare Zahl über 0, müsste 1 durch unendlich eigentlich die kleinstmögliche denkbare Zahl über 0 ergeben ergeben, quasi ein Unendlichstel, nämlich 0,Periode 0 aber die letzte 0, also die an der n-ten Stelle, durch eine 1 ersetzt. (Würde die Mathematik diese Zahl zulassen, hätte man auch endlich die Zahl die zwischen 0,Periode 9 und 1 steht: 0,Periode 9 + 1 Unendlichstel = 1 wäre viel logischer als der die dort hindefinierte 0). Dann wäre die Welt viel logischer, nur die dann müssten die Mathematiker ihre Fantasiewelt nochmal neu erfinden - ein verführerischer Gedanke... 🤣😂🤣
Cooles Horn, aber die Berechnung ist wirklich nur für Leute, die mit Integralrechnung vertraut sind. Die Erläuterungen hier sind zwar einfach, aber nicht nachvollziehbar, für nicht-Intergralverständige.... Stammfunktion... Grenzen einsetzen... wieso voneinander abziehen... bringt so gar nichts
Naja, abgesehen, daß man dieses Paradoxon schon gelöst hat, in dem man bewiesen hat, daß man Äpfel mit Birnen vergleicht und dies natürlich unlogisch sei, so gibt es auch eine andere Art der "Lösung" des Paradoxons. :) Jeder der behauptet, daß man "einfach" eine Menge Pi an Farbe füllen müss, soll erstmal sagen wieviel das GENAU ist. Es ist schön einfach (und falsch) einer Zahl die man nicht kennt einen Namen zu geben und dann behaupten, daß man diese Zahl in den Horn füllen soll. Das ist ekelhaft ungenau ausgedrückt. Man soll zunächst schon die EXAKTE Zahl *angeben* und nicht nur ihren Namen *nennen* . Also bitte 3,1415926536... usw. Wenn man dann die GANZE Zahl angegeben hat, ganze bis zu ihrer aller letzten Stelle nach dem Komma, und sie nicht nur oberflächlich genannt hat, dann darf man behaupten, daß es sich hierbei um ein Paradoxon handle. ;)) Versteht Ihr was ich meine? ;))
Wenn 1/∞ --} 0 ergibt, darf man damit nicht rechnen! Denn eine Division durch 0 ist nicht nicht erlaubt. Das muss bei der Erstellung der Formel berücksichtigt werden.
In der Tat fällt mir bei vielen dieser Beiträge auf, dass völlig naiv mit dem Begriff des Unendlichen umgegangen wird, als wenn es die Entwicklung im 19. Jahrhundert mit Carl Weierstraß überhaupt nicht gegeben hätte.
Mmh, "paradox" scheint nicht passend zu sein - eher eine "paradoxe Paradoxie". Der Wert kann pi zwar nicht übersteigen, aber pi ist halt eine irrationale Zahl mit unendlichen Stellen. Das verhält sich ähnlich wie die beliebige Annäherung an den absoluten Nullpunkt.
das Volumen mag ja Pi sein. Aber Pi ist tranzendent und irrational und damit unendlich... der Vergleich hinkt quasi wie modo... Man kann das Hörnchen weder bemalen (zumal man die Dicke der Farbschicht nicht kennt bzw. benennen kann) noch mit Pi füllen weil Pi nicht greifbar ist.
Die Lösung ist einfach. Du nutzt bei der Volumenberechnung den Limes bei 1/0, obwohl dies nur eine Annäherung ist. Bei 1/x gegen unendlich sagt man, dass es gegen 0 geht, es aber nicht erreicht und deshalb unendlich ist. Beides sind limes Sätze bei dem einen setzt man 0 ein (interpoliert) und beim anderen akzeptiert man unendlich und nimmt nicht den Grenzwert. Deshalb bekommt man bei dem einem eine endliche und beim anderen eine unendliche Lösung. Hat also was mit dem Vereinfachungsprinzipien zu tun
Man kann das Horn nicht vollständig mit Farbe füllen, weil das Horn unendlich tief ist und die Farbe (sofern masselos) maximal mit Lichtgeschwindigkeit vorankommen kann. :p Ich liebe Humbug ^^
Na ich glaube da machen die Mathematiker es sich zu einfach. Für mich als nicht-Mathematiker ist eins durch unendlich nicht null, der Wert wird zwar immer kleiner, aber null wird er nie.😅 Man geht hier also von vorherein von einem gerundeten Wert aus und damit ist das Paradoxon keins. Ansonsten hervorragend erklärt.😊
Dein Fehler als nicht-mathematiker ist, anzunehmen, "∞" sei eine Zahl. "∞" ist aber keine Zahl, sondern eine idee. Sobald ∞ im spiel ist, befindet man sich im bereich der limits. Das limit von 1/x ist 0, denn es so unendlich klein, dass für eine unendlich große Zahl einfach definiert wird dass 1/x = 0 ist wenn X sich ∞ annähert. du könntest es berechnen wenn du z.b. x = 10^100 setzt. dann hätte 1/x einen Wert der größer als 0 ist Erst in der 100ten nachkommastelle, aber er ist größer. Aber im großen Ganzen ist selbst 10^100 verglichen mit ∞ winzig. Jede Zahl die man sich vorstellen kann oder auch nicht im vergleich zu ∞ winzig klein. Und insofern ist es für das Limit angemessen 1/x als 0 zu definieren, woraus sich ergibt das Limit für das Volumen ist Pi. Wenn du anstatt ∞ und somit anstatt dem Limit eine echte Zahl benutzen willst, ist das Volumen immer kleiner als Pi. Wirklich Pi wird es erst im Limit.
Nur zur Info die Fläche ist auch endlich, man hat zwar ein unendliches Resteproblem , aber man bräuchte nicht unendlich viel Farbe für die Fläche. Außerdem hat der Riemann das bereits mit unendlichen Bruch als Zahlenreihe bewiesen dass man es auch in einer ganzen Zahlen zusammenfassen kann. Man bräuchte ein unendlichen langen Pinsel aber nicht unendlich viel Farbe. Farbe als Volumen kann auch unendlich auf einer Fläche verteilt werden kann.
Wie viele Rotationen kann ein freischwebendes Objekt haben ? Wenn die Rotationachse und dessen Rotationsachse rotiert und so weiter? a 1 b 3 c unendlich Lässt sich einfacher vorstellen wenn die Rotationsachse genau um 90 grade versetzt in die andere Richtung der anderen Rotationsachse dreht. Theoretisch könnte man die Leistung eines Schwungradspeicher mindestens verdreifachen aber es ist so oder so nur eine Rotation. Bin mir aber nicht sicher dabei. Theoretisch müsste man nach der 3. Rotationsachse sich widerholen, da es nur 3 Achsen in der 3. Dimension gibt und sobald die 4. Kommt widerholt man nur die erste Rotation wieder.
![Lp. Сердце Вселенной #60 РОЖДЕНИЕ ЛОЛОЛОШКИ [Финал] • Майнкрафт](http://i.ytimg.com/vi/YoR0pAV9FVQ/mqdefault.jpg)
Es ist kein Paradoxon. Der Eindruck entsteht nur rein Sprachlich dadurch, dass mit dem Beispiel "man könne es nicht anmalen" suggeriert wird man bräuchte unendlich viel Farbe um es anzumalen aber nur endlich viel Farbe um es zu füllen. Dieser Vergleich ist aber unzulässig, weil die Benennung einer Menge (z.B. unendlich viel) an Farbe selbst ein Volumen beschreibt, also implizit davon ausgegangen wird, dass die Schicht Farbe mit der man die Fläche bemalt eine Dicke hat. Hier ist aber eine zweidimensionale Fläche gemeint, die hat eben keine Dicke, also hat die Farbe mit der wir das bemalen wollen auch kein Volumen. Es reicht also, wenn man so will, eine unendlich kleine Menge "Farbe" um die Fläche vollständig zu "bemalen" weil die Schichtdicke der Farbe gleich Null ist. Zweidimensional eben. Hierdurch entsteht die Verwirrung, aber die ist rein sprachlicher Natur. Wäre die Schichtdicke ungleich null hätten wir schnell keine Möglichkeit mehr, weiter zu mahlen wenn der Durchmesser des Horns kleiner wird als die doppelte minimale Schichtdicke (eigentlich schon früher).
Hier werden also Äpfel mit Birnen verglichen, oder um bei der Analogie zu bleiben, wenn es unmöglich ist diese unendlich grosse Fläche zu bemalen dann würde es auch unendlich lange dauern die 3,14 Liter da so rein zu giessen, dass das Horn voll ist. Das ergibt nur halt auch keinen Sinn... natürliche Sprache ist eben kein gutes Instrument um mathematische Zusammenhänge zu beschreiben. Interessant ist eigentlich nur, dass es geometrische Körper mit unendlicher Fläche aber endlichem Volumen gibt. Das ist aber mathematisch nicht weiter ungewöhnlich.
Es ist insofern trotzdem ein Paradoxon, denn das Limit von X->unendlich des Volumens ist pi * 1-1/x, welches eben pi * 1 = pi ist, während das limit der oberfläche 2*pi ln x ist, und da das limit von ln x unendlich ist, ist das Limit der Oberfläche unendlich.
Die Größe des Volumens nähert sich immer weiter pi an je größer x ist. du wirst aber keinen wert X finden, wie groß er auch immer sein wird, bei dem das Volumen dieser Form größer als pi sein wird.
es gibt aber kein Limit für die Oberfläche. wenn du beide werte mit X = tree(3) z.b. berechnen würdest, hättest du eine gigantisch große Oberfläche, die jegliches Menschliche Vorstellungsvermögen übersteigen würde, das Volumen wäre aber immer noch kleiner als PI.
das ist das Paradoxon.
Abgesehen von @Xebtria's Kommentar: OK, beide Werte, Volumen und Oberfläche sind Grenzwerte, Limites. Bemalen kann man die Fläche nur mit mindestens infinitesimal kleiner Dicke dx, aber das Volumen ist um dx kleiner als π, also auch im mathematischen Sinn endlich, keine sprachliche Ambiguität, und eine Schicht mit einer infinitesimalen Dicke ist auch sprachlich eine Fläche, die übrigens im Beispiel hier eben nicht unendlich ist.
*"Es ist kein Paradoxon. Der Eindruck entsteht nur rein Sprachlich dadurch, dass..."*
Das ist, soweit ich weiß, die Definition eines mathematischen Paradoxons. Wobei die Definition selber auch wieder ein Paradoxon ist, weil ein sprachliches Paradoxon durch Mathematik aufgelöst wird und nicht umgekehrt.
Ein gutes video über ein wirklich cooles "Paradoxon" 😊
Wer solche Paradoxen und Mathematik an sich liebt, findet in "Aus eins mach zehn und zehn ist keins. Glanz und Elend der Mathematik." von Helmut Kracke eine tolle Fundgrube. Das Buch ist schon recht alt und möglicherweise nur über Antiquariate zu bekommen.
Die Erklärung finde ich zwar gut nachvollziehbar, bin damit aber nicht einverstanden.
1:∞ ist nicht 0. Es wird sich lediglich unendlich an 0 annähern. Das "endliche" Ergebnis ist also ein Rundungsfehler.
Wenn das Mathematisch korrekt ist, brauche ich dafür bitte eine Erklärung. 🤨
Es gibt ja in der Praxis auch keine Null, aber immer wird wegen unendlich unendlich viel geschwafelt. Da gibt's ja auch unendlich viele...
wenn wir 1: unendlich rechnen ergibt es ja 0,000... unendlich Null dann kommt irgendwann eine 1. das Problem ist wenn wir vor der 1 unendlich Nullen schreiben würden heißt es dann würden wie nie erleben das irgendwann mal die 1 kommt.
Du hast einen guten Punkt herausgearbeitet. Das Video ist an dieser Stelle tatsächlich mathematisch unsauber. Das Integral von 1 bis unendlich ist ein uneigentliches Integral; es ist definiert als der Limes von den Integralen von 1 bis b für b gegen unendlich. D.h. man berechnet zuerst die Integrale von 1 bis b, da erhält man 1/b + 1, und nimmt dann den Grenzwert für b gegen unendlich. Und das ist dann exakt 1.
Es ist übrigens nicht klug mit Ausdrücken wie 1:unendlich zu hantieren, weil unendlich keine Zahl ist, mit der man einfach so rechnen kann wie mit reellen Zahlen.
Ich versuche gerade darüber nachzudenken, dass man, wenn man bei Litern bleibt zB:
erst 3 Liter einfüllt
dann 0,1 Liter einfüllt
dann 0,04 Liter einfüllt
dann 0,001 Liter einfüllt
dann 0,0005 Liter einfüllt
usw...
Man hört also niemals auf mit dem Einfüllen. Und am Ende hat man ja trotzdem mit einem endlich gefüllten Eimer dieses Horn befüllen können.
Irgendwie auch ein bisschen merkwürdig
Wenn das Horn aus einem - vereinfacht gesagt - unendlich dünnem Material besteht, reicht sogar weniger Farbe für die Oberfläche als man hineinfüllt. Füllt man die Farbe in das Horn, braucht es theoretisch auch unendlich lang bis die Farbe am Ende des Horns ankommt (das Ende des Horns gibt es ja durch die Unendlichkeit nicht).
Ganz einfach. Man braucht nur Pi und ein bisserl Liter unendlich flüssige Farbe. Man stecke das "Malerhorn" in ein zweites, schüttte Pi Liter in das Horn, den Rest dazwischen, drückt die Hörndl zusammen, schon ist das innere Horn überall angemalt.
Du kannst das eine Horn aber nicht in das andere stecken. Es hat kein Ende auf der schmalen Seite und die breite Seite zuerst passt auch nicht.
Aber dass innere Horn wäre auch gleich mit aussen angemalt. Und man braucht dafür nur 0 liter farbe :-)
klappt trotzdem nicht, da es unendlich tief ist somit dauert das reinschütten (auch wenn es nur wenig Farbe ist) unendlich lange (es wird nie das Ende, das eh nicht existiert, erreichen können), da sich die Farbe maximal mit Lichtgeschwindigkeit in Horn ergießen kann.
Ich hab Mathe gehasst, aber das hier macht echt Spaß!!!! Danke!
Jetzt wäre es natürlich interessant zu wissen, ab welcher Stelle hinter dem Komma Pi nur noch ein einzelnes Molekül der Einfüllfarbe ausdrückt oder anders gesagt- bis zu welcher Größe wollen wir die Volumenzunahme messen? Gibt es nach unten eine Größe, die nicht unterschritten werden kann - beispielsweise im Bereich der Planck Länge und des daraus resultierenden Volumens?
Die Theorie der Größe des kleinst mögliche Teilchen wird hier vernachlässigt.
Jetzt fehlt noch die Berechnung der Oberfläche :
Dazu wird der Umfang der Scheibchen integriert.
U = 2rpi
Daher Integral 2pi/x dx. Von 1 bis unendlich. Das Gibt 2pi ln(x) von 1 bis unendlich. Weil ln(unendlich) = Unendlich (also diverged) ist die Oberfläche unendlich groß.
Krass.
Da nimmt mir jemand den 2. Teil weg 😁
@@minicles ups. Sorry
@@hans7831 :)
@@miniclesSelbst schuld!
Warum machst Du ein Video, angeblich über ein Paradoxon, tatsächlich aber über Integralrechnung auf Abitur - Niveau, und wenn es dann paradox wird, brichst Du ab und verweist auf einen zweiten Teil, der vielleicht irgendwann einmal kommt.
Sehr schöne Arbeit und großartig erklärt!
Vielen lieben Dank, das freut mich sehr 🙂
Wie kommst du auf pi Liter Farbe? Im Integral hast du ohne Einheiten gerechnet, es könnten genauso gut Milliliter, Hektoliter oder im englischen Raum Pints oder Gallonen sein .
Ich habe für 1 keine Maßeinheit, aber dann mit PI Liter Eine. D.H. in Abhängigkeit von der Definition der Größe von 1 habe ich dennoch im realen u.U einen Rauminhalt von dem Vielfachen von PI Litern.
Damit hast du natürlich vollkommen Recht. 👍
Ich hab das unterschlagen, weil es für die meisten vermutlich so greifbarer wird..
Für mich war Torricelli immer der Mann, nach dem die Druckeinheit "Torr" benannt ist. 1 Torr = 1 mm Quecksilbersäule.
Es ist einfach großartig, wie du ein Integral erklärst, wenn man noch nie davon gehört hat. Ich werde dieses Video weiterempfehlen.
Was mich ein bisschen gestört hat, das ist, wie schnell du vom [Integral] 1/x²·dx auf das allgemeine Ergebnis = -1/x (8:43) gekommen bist. Die allgemeine Formel, wie man eine allgebraische Funktion integriert, ist nicht schwer zu verstehen. Ich würde sie hier als "ist eben so, kann man hier aber nicht beweisen" kurz vorstellen.
Vielen Dank für das Lob, das freut mich sehr :)
Die Einheit "Torr" kannte ich bis zum Erstellen des Videos selbst noch gar nicht. Ich hatte kurz daran gedacht es ins Video einzubauen. Mich dann aber dagegen entschieden, weil es eh schon so komplex war...
Deine Kritik ist absolut berechtigt. Rückblickend betrachtet, muss ich leider zugeben, dass ich am Ende des Videos etwas unsauber / nachlässig gearbeitet habe. Ich hoffe, bei meinen weiteren Videos bin ich gründlicher...
hmmm, wenn ich die Trompete in unendlich viele Ringe zerschneide, hat dann nicht jeder Ring die Höhe null? Das macht die Volumenberechnung jetzt nicht gerade einfacher. Ich weiss, dafür gibts ja das Integral, wo man sich dem Wert, den man eigentlich meint, unendlich nähert, ihn aber in Wahrheit nicht erreicht.
versteh ich nicht
pi ist doch irrational unendlich. braucht man dann nicht auch unendlich Farbe?
pi ist nicht unendlich, hat nur unendlich viele Stellen NACH dem Komma. Aber es ist in jedem Fall kleiner als 4, sogar als 3.15...
Die Ringe, welche du aus dem Horn geschnitten hast, sind aber eigentlich keine Zylinder, sondern Kegelstümpfe, denn das Horn verjüngt sich doch in Richtung nach rechts.
Wenn man Pi als endliche Zahl (inclusive der Nachkommastellen) betrachtet ergibt sich eine Endliche Menge an Farbe. Da dieses jedoch nicht zutrifft (zumindest nicht bewiesen) ist die Menge Unendlich.
Eine immer kleineren Menge Farbe auf im Querschnitt einer Unendlichkeit.
Könnte der Beweis der Unendlichkeit von Pi sein?
Ist die Aussage 1/∞ = 0 wirklich korrekt? Müsste der Quotient nicht einfach eine unentgeltlich kleine Zahl sein, aber eben nicht Null? Und wenn ja, ist dann folgende Berechnung im Ergebnis nicht falsch?
Richtig, man sagt um genau zu sein die Zahl ist 0+ also knapp über eins. Es macht schon ein unterschied obs von der negativen Seite oder positiven kommt
Unendlich ist kein Zustand sondern ein uneigentlicher Grenzwert. Einen Widerspruch ist nicht erkennbar. Sobald man das "Unendliche" weglässt löst sich Alles in Luft auf.
Ja, wenn Sie die Freundlichkeit hätten uns jetzt auch noch zu verraten wie viel Farbe zum bemalen der Oberfläche nötig ist, dann, wäre diese eindeutige Frage ohne Widerspruch endlich beantwortet. 0:18 0:18 0:18
Eigentlich wird die obere Grenze niemals 0 (NULL) ergeben, da der Wert von Eins durch Unendlich niemals exakt NULL ergeben wird. Dies ist hier jedoch als Annahme gesetzt worden. Das Problem hierbei wäre dann jedoch, dass die Moleküle der Farbe auch unendlich klein werden müssten, diese Größe aber gegeben ist und die "Kanüle" irgendwann verstopfen.
Im Übrigen ist die Division durch NULL nicht definiert. Das jedoch wäre notwendig, um die Lösung NULL für den oberen Wert zu erhalten.
So schwierig für den Alltagsverstand ist es nicht. Ein analoges Beispiel: Ein Quadrat soll mit unendlich vielen Vierecken ausgefüllt werden. Ich fülle die Fläche zuerst zur Hälfte und den Rest wieder zur Hälfte. Ich kann unendlich oft legen, obwohl die Fläche endlich ist. Übertragen wir das auf die Trompete. Ich fülle sie zur Hälfte und danach wieder zur Hälfte des Restvolumens. Die Menge wird immer geringer aber der Vorgang wiederholt sich unendlich oft.
Wie lange benötige ich, um das Horn randvoll mit Flüssigkeit zu füllen?
Unendlich lange 😁
Super gemacht! 👍
Vielen lieben Dank :)
Cooles Paradoxon.
Wenn man jetzt noch bedenkt, dass bei einem infintisimal kleinem Abstand der inneren zur äußeren Oberfläche beide Oberflächen gleich groß, dann folgt doch daraus:
Ich kann den Körper zwar vollständig füllen aber nicht die innere Oberfläche vollständig einfärben.
Das hebe ich mir für den zweiten Teil auf 🙃
Würde das nicht geschehen, wenn man das Horn mit Farbe auffüllt?
Genau das ist das paradoxon! Aber als es interessant wurde war das Video leider zu Ende. Werde mir bei Gelegenheit selber den Kopf zerbrechen müssen. Ich ahne aber bereits, daß es darauf hinaus laufen wird, daß das Integral von 1/ x den natürlichen Logarithmus ergibt und der wächst über alle Grenzen.
@@AWaterKnight In der abstrakten mathematischen Welt nicht. Deswegen ist es wichtig zu verstehen, dass es ein mathematischer Körper Körper ist, dessen "Wand" beispielsweise auch keine Dicke aufweist. Etwas was es in der Realität ja gar nicht geben könnte...
Infinitesimale Größen gibt es in der Standard-Analysis nicht.
So wie Abgebildet lässt sich das Horn nicht mit Farbe füllen.
Wenn man Flüssigkeit in einen Hohlkörper kippt, beginnt der Pegel zu steigen, sobald der erste Tropfen Flüssigkeit am Boden angekommen ist. Das Horn hat aber gar keinen Boden und ist unendlich tief. Das heißt, der Pegel würde erst nach einer unendlichen Zeit anfangen zu steigen, also gar nicht erst damit anfangen. Somit kann er auch nie den Rand erreichen.
Ist Pi nicht auch unendlich wenn man die Nachkommastellen betrachtet?
Wow. Bin mir zwar nicht sicher, ob ich mathematisch alles kapiere, aber super gemacht 👍
Wann kommt Teil 2? 😂
Vielen lieben Dank 🙂 ich überlege es mir
@@minicles Die Mathematik, so wie Du sie verwendest, ist Grauenhaft. Ab Minute 9 wird es falsch. Du betrachtest nicht 1/oo, sondern betrachtest stattdessen einen entsprechenden Grenzwert.
@@uwe4308 OK, das Volumen konvertiert gegen einen Grenzwert, nämlich π, kann diesen aber nicht überschreiten. Daher kann man zumindest nicht mehr als π Farbe brauchen. Das ändert am Paradoxon nichts, die ganze Sache wurde ja möglichst simpel erklärt.
Die Dicke des Materials ist der ausschlaggebende Faktor. Der beeinflußt bei nur geringer Differenz das Ergebnis enorm.
OK, mal mein unqualifierter Senf.
Da der Umfang gegen unendlich auch gegen 0 geht, wird es eine Stelle geben, ab der ein Molekül der Farbe reicht, um den Ring zu bemalen. Ab diesem Ring kann man die Trompete nicht mehr bemalen, da man keine klein genüge Menge Farbe mehr findet...damit ist die Menge an Farbe, um die Trompete zu bemalen doch endlich, da ab einem von dort aus naheliegenden Punkt ja auch die Sichtbarkeit der Trompete aufgrund der fehlenden Reflexionsfläche nicht mehr gegeben sein dürfte.
Diesen Punkt müsste man berechnen können (da wo Umfang < Eisenatom) Nur mal meine Gedanken dazu ins unreine gesprochen.
Heißt es bei eins durch unendlich, dass der Wert „gegen“ null geht, aber auch nie null erreicht. Somit ist die Rechnung ja auch nur eine Annäherung, tatsächlich aber nicht ganz richtig und somit auch die Aussage, dass das Volumen Pi ist, nicht ganz korrekt?
Wie muss der Leibnitz mit der Perücke im Sommer geschwitzt haben?😁
Bitte Leibniz, Leibnitz - das ist der Keks
@@willibaldschliemann6524 Ich dachte ja nur wegen der 52 Zähne.😁
Irgendwie glaube ich noch nicht, dass das x in dx dasselbe x ist, wie in 1/x. Ich habe so eine Ahnung, als könnte es sich hier um ein Polysem - also ein Teekesselchen - handeln; wie in "Was hat Augen, kann aber nicht sehen? - Eine Kartoffel" ...
Das Ende macht mich aggressiv!
Spätestens wenn die Höhe die Plancklänge erreicht, ist es vorbei mit der unendlichen Länge des Horns. Da die Plancklänge die kleinste sinvolle Länge im Universum darstellt. Natürlich nur in der Realität. Mathematisch gehts auch kleiner.
Die Verjüngung kann auch unendlich klein sein. Deshalb brauchst du keine Farbe😊
Ahhhh, der Cliffhanger mit dem Volumen ist grausam!
Super! Ich hätte es ja nicht geglaubt, wenn ich es nicht nachgerechnet hätte. Der hier gezeigte Teil ist aber nicht mal der halbe Beweis. Denn dass man unendlich viel "Zeugs" zusammenaddieren kann, und es kommt trotzdem was Endliches dabei heraus, ist ein alter Hut: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 2. Aber dass die Oberfläche tatsächlich unendlich groß ist, ist total unerwartet. Bei einem Zylinder teilt man einfach das Volumen durch den Radius r und multipliziert mit 2 und erhält die Oberfläche, die dann (* 2 / r) logischerweise auch endlich ist. Aber hier liegt der Fall total anders. Wenn man hier die Oberfläche wieder genauso durch Integration berechnet, dann muss man die Stammfunktion von 1/x nehmen, also ln(x). Damit erhält man aber:
Oberfläche = Integral(1 .. ∞) 1/x dx = ln(∞) - ln(1) = ln(∞) - 0 = ln(∞) = ∞.
Falls hier übrigens jemand immer noch glaubt, dass weil 1/x > 0 ist, dann auch 1/∞ ≠ 0 gilt, dem sein folgendes Video empfohlen: ua-cam.com/video/6dHvuaBDD18/v-deo.html
Hmmm wie fülle ich denn einen unendlichen Körper. Die Flüssigkeit würde ja unendlich nach „unten“ laufen. Und damit würde der Körper trotz der konstanten Pi-Liter nie voll werden 🤔
Du würdest unendlich lange brauchen 😁
Und natürlich die verjüngung des Horns.
Pi ist doch eine unendliche Zahl, also ist doch auch die Menge an Farbe unendlich. Bin aber kein Mathematiker...
Du hast zwar recht, dass pi unendlich viele Stellen hat und somit niemals endet, allerdings gibt es größere Zahlen als pi.
Könnten wir zaubern, dann wäre es möglich das Horn mit pi "Einheiten" (du darfst auch in Litern denken) Farbe zu füllen. Würdest du jedoch versuchen 4 "Einheiten" (Liter) Farbe hinein zuzaubern, würde das Horn überlaufen. Weil wir jedoch nicht zaubern können, würde es - und da kommt deine Idee der unendlichen Anzahl an Stellen wieder ins Spiel - unendlich lange dauern das Horn zu füllen...
Prima erklärt, nur Pi ist kein Volumen, es fehlt eine Maßeinheit ^3
Das kann gar nicht unendlich werden (und auch noch hohl sein), da unter der Planck-Grösse nix mehr wirklich beschreibbar ist. Oder verstehe ich hier was falsch ? (ich habe keine wirkliche Ahnung von Mathe oder Physik, lerne aber sehr gerne dazu!)
In der rein abstrakten mathematischen Welt ist das durchaus möglich, wenn du immer weiter in Richtung Unendlichkeit denkst
Der Beweis, dass das Horn unendlich lang wird, ist doch gar nicht so schwer. Es ist der Tatsache geschuldet, dass y niemals (bzw. erst in einer utopischen Unendlichkeit => Banach Tarski) 0 wird.
Deswegen ist das ja auch ein sprachliches Paradoxon, das mathematisch gelöst werden kann. Ein mathematisches Paradoxon also, wobei diese Bezeichnung selbst auch wieder ein Paradoxon ist.
Die Frage ist ob 1 / unendlich tatsächlich 0 ist.
Man kann sich einen noch so großen Wert vorstellen wirklich "unendlich" ist er nie.
Früher hat man gesagt 1 / 0 = unendlich. Später hat man gesagt das macht keinen Sinn.
Es ist sehr die Frage ob 1 / unendlich = 0 sinnvoller ist.
Das Volumen ist also endlich und hat den Wert von Pi? Gut, dann bestellt mal den exakten Inhalt. Und zwar nicht "Ich hätte gern Pi Liter Farbe", sondern mit numerischer Mengenangabe.
Paradox ist das sicher nicht.man rechnet einfach aus dass das Volumen von 1 bis beliebig große Zahl immer < pi ist
Vorsicht! Man muss sich darüber im Klaren sein, dass die Objekte, mit denen man es hier zu tun hat, abstrakte Objekte sind, die keine Entsprechung in der Realität haben. Man kann Farbe nicht so verteilen, dass es für die Entfernung keine Obergrenze gibt, denn Farbe ist nicht kontinuierliches, sondern besteht aus Teilchen. Außerdem braucht die Verteilung Zeit, so dass man hier niemals fertig würde, selbst, wenn man es mit einem Kontinuum zu tun hätte. Das Volumen, das man hier berechnet, lässt sich nicht durch Ausfüllen physikalisch messen.
Auch sollte man Ausdrücke wir "1/unendlich" vermeiden, denn "unendlich" ist keine Zahl.
Woher kommt die Einheit "Liter"????
Wo ist aber der Haken ? Werde ich mir nochmal anschauen müssen. Auf jeden Fall raucht der Kopf
Man darf bei diesem "Paradoxon" NICHT unterschlagen, dass x=1 der Startpunkt ist.
Wäre das nicht so, ist auch Pi nicht die Lösung!
13. Klasse in 2 Wochen Abi und das kommt dran und hab mehr verstanden 😂
Ja das Volumen ist korrekt berechnet, aber füllen lässt sich der Zylinder nicht vollständig. Das würde ja unendlich lange dauern! ;-)
Eher gilt doch: 1/∞ ≠ 0. Mit Unendlichkeiten kann man nicht rechnen, nur theoretisieren. Der Fehler, damit zu rechnen, wird offensichtlicher, wenn man die Gleichung umstellt: 1/∞ = 0 ⇔ 1/0 = ∞
Natürlich ist das nicht alles mathematisch exakt aber 1/0 =unendlich isr nicht das komische. Es ist sogar eigentlich sinnvoll
@@fatihkandemir1296 Das ist nicht sinnvoll. Die Division durch 0 ist aus guten Gründen nicht definiert.
@@stephangruhne3958 Es im allgemeinen zu definieren, macht tatsächlich nicht allzu viel Sinn, aber immer wenn man in Mathematik mit Unendlichkeiten bspw. analytisch rechnen möchte, untersucht man stattdessen das Verhalten um 0 um 1/x. Es ist daher ein Konzept, denn man zumindest im komplexen Analysis öfters nutzt.
Der Wert π Liter bedeutet ja eigentlich schon dass das Volumen unendlich ist. Denn π hat ja auch kein Ende. Jedenfalls keines das mir bekannt wäre. 😉
Dazu kommt noch dass 1/∞ keine gültige Rechnung ist. Nur die Annahme 1/∞=0 führt zum Volumen π.
Ist das jetzt der Beweis für die Richtigkeit oder die Widerlegung🤷♂️
Daher kann man sagen dass es keine gültige Methode gibt das Volumen eines unendlichen Horns zu berechnen. Damit bleibt es das was es ist. Ein ungelöstes mathematisches Paradoxon...
Oder haben wir es gerade gelöst?
Danke für das video. Sehr interessant 👍
Ich bin kein Mathematiker, aber wenn die Funktion niemals die X-Achse erreicht, dann kann doch 1 / unendlich niemals 0 sein. Erscheint mir unlogisch.
Versuche "Unendlich" nicht als Wert sondern mehr als "Idee" zu betrachten. Die Formulierung ist zugegebener maßen stark vereinfachend. Mathematisch handelt es sich dabei um einen Grenzwert.
@@minicles Ich bin erst recht kein Mathematiker, aber ich denke, genau da ist der Hund begraben: Die "Idee" des Unendlichen wird, um den ungeliebten und nicht rechenbaren "Wert" Unendlich zu vermeiden, irgendwann in der Rechnung oder der konzeptionellen Erstellung derselben mit eben dem Wert ersetzt (0) dem er sich zwar annähert, aber eben nie erreicht.
Wie weit daneben liege ich?
1/Unendlich ist 0, weil man hier mit Grenzwertbetrachtung argumentieren muss und nicht mit einer endlichen Zahl. Auch wenn man x unendlich lang vergrößert ist man eben noch nicht in der Grenzbetrachtung. Unendlich ist keine Zahl, somit ist 1/Unendlich auch keine klassische Division.
@@gsittly Genau das meine ich. 1/unendlich ist winzig, nahezu null, aber eben nicht exakt null. Das anzunehmen ist eine Art Rundung, zwar unendlich gering, aber eben doch da. Das aber stört, weil es keine exakte Zahl ist mit der man eindeutig rechnen kann. Nun kommt die Vereinfachung in's Spiel, die hier halt "Grenzwertbetrachtung" heißt. Undiplomatisch formuliert: Man redet sich das Problem schön. Man hat eine nicht klassische Division, die man aber auf magischem Wege einfach mit einem klassischen Ergebnis versieht. Ich sehe das Paradoxon in diesem Beispiel eher als eine Unzulänglichkeit der Mathematik an.
Das menschliche Gehirn hat ein Problem damit, die Unendlichkeit zu verstehen. Folglich hat auch die von Menschen entwickelte Sprache ein Problem damit, die Unendlichkeit zufriedenstellend zu beschreiben. Man kann sich ihr immer nur annähern, sie aber in letzter Konsequenz nicht vollständig erfassen.
Aber auch die Mathematik ist von Menschen gemacht. Selbst wenn man nun argumentieren mag, die Mathematik sei in sich selbst existent und bedürfe nicht des "Machens" durch den Menschen, so ist doch der Umgang mit der Mathematik, die Theoreme, die Formeln, die Methoden letztlich eben doch menschengemacht. Und als solche lückenhaft weil duch den menschlichen Geist begrenzt.
Wie gesagt, ich bin kein Mathematiker, im Gegenteil. Mathe war mir in der Oberstufe immer ein Graus. Man verzeihe mir also bitte, wenn mein Laiengehirn hier den Advocatus Diabloi gibt. Ich will nicht nerven, ich verstehe es wirklich nicht. Also nicht das Problem selbst, sondern die mathematischen Winkelzüge, mit denen es beschrieben wird.
@@papaschlumpf5894 Nein, es ist nicht paradox. Die X-Achse ist nachweislich eine Asymptote. Somit ist der Grenzwert eindeutig bestimmt. Mit diesem Werkzeug lassen sich exakte Ergebnisse berechnen.
Naja, das ganze "Paradoxon" zu nennen, finde ich persönlich etwas übertrieben. Es wiederspricht sich ja nicht. Es ist nur konträr zur Erwartung eines Nicht-Mathematikers. Wenn man etwas mit Mathematik und der Integrabilität von Funktionen vertraut ist, dann ist sowas garkeine Überraschung mehr.
Nachdem ich die Erklärung des Problems gesehen hatte, war mir klar, dass es um 1/x gehen dürfte. Geht übrigens für alle Funktionen der Form f(x)=1/x^(t), sofern t aus dem intervall von 0,5 bis 1 ist (wobei die 0,5 selbst nicht erlaubt ist).
Dass die Oberfläche unendlich groß ist funktioniert übrigens mit der gleichen Rechnung: In Ringe zerschneiden, r=1/x, Umfang (statt Volumen) ist 2*pi*r = 2*pi/x, Stammfunktion bilden, fertig.
Aber nichts desto trotz: Ganz schönes Video! Finde es immer gut, wenn man auf vergleichsweise einfache Art versucht die Menschen für Mathematik zu begeistern!
mhhh der zweite Teil wäre jetzt nett gewesen
Das ist doch genauso wie Sokrates Schildkröte und Läufer nur ohne Infinitisimalrechnung ein Paradoxon. Man muss halt den Grenzwert berechnen.
Beim Ihrem Sokrates Beispiel wird eben nicht der Überholzeitpunkt, sondern der Ort ermittelt, indem man ihn iterativ eingrenzt.
Zenon, nicht Sokrates, aber Alter Grieche stimmt.
Nur die Messung ist das Paradoxon.
Da pi hinterm Komma auch unendlich ist, passt doch alles.
Ein nettes Gedankenexperiment. In der Praxis würde das auch theoretisch funktionieren. Aber nur weil die kleinsten Farbttöpfchen irgendwann nicht mehr durch das dünner werdende Ende passen. Würde man es mit unendlich kleiner werdenden Teilchen füllen, würde es nie voll werden😅
Das sich der Unendliche Körper mit Pi Litern Farbe füllen lässt ist kein Widerspruch, da Pi unendlich ist.
Die Anzahl der Stellen von Pi ist unendlich, der Wert ist natürlich endlich
@@petercoool
Der Wert ist nur endlich, wenn man Strecken nicht mehr als Kontinuum versteht ( Aristoteles).
Ob die Mathematik hier mit der physikalischen Realität übereinstimmt ist mehr als fraglich , denn es gibt nachweislich auch unterhalb der Plancklängen noch eine "Welt" ( Vakuum Polarisation , anormales magnetisches Moment , Kasimir- Effekt , Tunnel - Effekt, etc. ) , welche einen realen, messbaren Beitrag leisten.
Störungstheorie, Renormierung und Grenzwerte , schützen leider nicht vor realen Unendlichkeiten.
@@petercoool Der Wert (vor dem Komma) - so meinte ich es ja nicht...
Das braucht doch jeder, jeden Tag im Leben.
Wenn Mathematik logisch wäre, und der flachgelegte 8er unendlich ist, also die größte denkbare Zahl über 0, müsste 1 durch unendlich eigentlich die kleinstmögliche denkbare Zahl über 0 ergeben ergeben, quasi ein Unendlichstel, nämlich 0,Periode 0 aber die letzte 0, also die an der n-ten Stelle, durch eine 1 ersetzt. (Würde die Mathematik diese Zahl zulassen, hätte man auch endlich die Zahl die zwischen 0,Periode 9 und 1 steht: 0,Periode 9 + 1 Unendlichstel = 1 wäre viel logischer als der die dort hindefinierte 0). Dann wäre die Welt viel logischer, nur die dann müssten die Mathematiker ihre Fantasiewelt nochmal neu erfinden - ein verführerischer Gedanke... 🤣😂🤣
Die Tröte des Eustachius
Cooles Horn, aber die Berechnung ist wirklich nur für Leute, die mit Integralrechnung vertraut sind. Die Erläuterungen hier sind zwar einfach, aber nicht nachvollziehbar, für nicht-Intergralverständige.... Stammfunktion... Grenzen einsetzen... wieso voneinander abziehen... bringt so gar nichts
Es ist nicht paradox 🙂
Naja, abgesehen, daß man dieses Paradoxon schon gelöst hat, in dem man bewiesen hat, daß man Äpfel mit Birnen vergleicht und dies natürlich unlogisch sei, so gibt es auch eine andere Art der "Lösung" des Paradoxons. :) Jeder der behauptet, daß man "einfach" eine Menge Pi an Farbe füllen müss, soll erstmal sagen wieviel das GENAU ist. Es ist schön einfach (und falsch) einer Zahl die man nicht kennt einen Namen zu geben und dann behaupten, daß man diese Zahl in den Horn füllen soll. Das ist ekelhaft ungenau ausgedrückt. Man soll zunächst schon die EXAKTE Zahl *angeben* und nicht nur ihren Namen *nennen* . Also bitte 3,1415926536... usw.
Wenn man dann die GANZE Zahl angegeben hat, ganze bis zu ihrer aller letzten Stelle nach dem Komma, und sie nicht nur oberflächlich genannt hat, dann darf man behaupten, daß es sich hierbei um ein Paradoxon handle. ;)) Versteht Ihr was ich meine? ;))
Wenn 1/∞ --} 0 ergibt, darf man damit nicht rechnen! Denn eine Division durch 0 ist nicht nicht erlaubt. Das muss bei der Erstellung der Formel berücksichtigt werden.
Für Mathematiker ist das kein Paradoxon, denn sie haben Masstheorie studiert. "Pädagogen" anscheinend nicht.
In der Tat fällt mir bei vielen dieser Beiträge auf, dass völlig naiv mit dem Begriff des Unendlichen umgegangen wird, als wenn es die Entwicklung im 19. Jahrhundert mit Carl Weierstraß überhaupt nicht gegeben hätte.
Mmh, "paradox" scheint nicht passend zu sein - eher eine "paradoxe Paradoxie". Der Wert kann pi zwar nicht übersteigen, aber pi ist halt eine irrationale Zahl mit unendlichen Stellen. Das verhält sich ähnlich wie die beliebige Annäherung an den absoluten Nullpunkt.
das Volumen mag ja Pi sein. Aber Pi ist tranzendent und irrational und damit unendlich... der Vergleich hinkt quasi wie modo... Man kann das Hörnchen weder bemalen (zumal man die Dicke der Farbschicht nicht kennt bzw. benennen kann) noch mit Pi füllen weil Pi nicht greifbar ist.
Die Lösung ist einfach. Du nutzt bei der Volumenberechnung den Limes bei 1/0, obwohl dies nur eine Annäherung ist. Bei 1/x gegen unendlich sagt man, dass es gegen 0 geht, es aber nicht erreicht und deshalb unendlich ist. Beides sind limes Sätze bei dem einen setzt man 0 ein (interpoliert) und beim anderen akzeptiert man unendlich und nimmt nicht den Grenzwert. Deshalb bekommt man bei dem einem eine endliche und beim anderen eine unendliche Lösung.
Hat also was mit dem Vereinfachungsprinzipien zu tun
Man kann das Horn nicht vollständig mit Farbe füllen, weil das Horn unendlich tief ist und die Farbe (sofern masselos) maximal mit Lichtgeschwindigkeit vorankommen kann. :p Ich liebe Humbug ^^
Na ich glaube da machen die Mathematiker es sich zu einfach. Für mich als nicht-Mathematiker ist eins durch unendlich nicht null, der Wert wird zwar immer kleiner, aber null wird er nie.😅 Man geht hier also von vorherein von einem gerundeten Wert aus und damit ist das Paradoxon keins. Ansonsten hervorragend erklärt.😊
Na logisch, wird er null
Dein Fehler als nicht-mathematiker ist, anzunehmen, "∞" sei eine Zahl. "∞" ist aber keine Zahl, sondern eine idee. Sobald ∞ im spiel ist, befindet man sich im bereich der limits. Das limit von 1/x ist 0, denn es so unendlich klein, dass für eine unendlich große Zahl einfach definiert wird dass 1/x = 0 ist wenn X sich ∞ annähert.
du könntest es berechnen wenn du z.b. x = 10^100 setzt. dann hätte 1/x einen Wert der größer als 0 ist Erst in der 100ten nachkommastelle, aber er ist größer. Aber im großen Ganzen ist selbst 10^100 verglichen mit ∞ winzig. Jede Zahl die man sich vorstellen kann oder auch nicht im vergleich zu ∞ winzig klein.
Und insofern ist es für das Limit angemessen 1/x als 0 zu definieren, woraus sich ergibt das Limit für das Volumen ist Pi.
Wenn du anstatt ∞ und somit anstatt dem Limit eine echte Zahl benutzen willst, ist das Volumen immer kleiner als Pi. Wirklich Pi wird es erst im Limit.
"Eins durch unendlich" gibt es nicht. Sie können nicht "unendlich" als Zahl behandeln. Das tun Mathematiker auch nicht.
@@Xebtria Der erste Satz ist bis auf das Wort "Idee" richtig. Aber danach machen Sie genau das Gleiche: Sie behandeln "unendlich" wie eine Zahl.
Nur zur Info die Fläche ist auch endlich, man hat zwar ein unendliches Resteproblem , aber man bräuchte nicht unendlich viel Farbe für die Fläche. Außerdem hat der Riemann das bereits mit unendlichen Bruch als Zahlenreihe bewiesen dass man es auch in einer ganzen Zahlen zusammenfassen kann. Man bräuchte ein unendlichen langen Pinsel aber nicht unendlich viel Farbe. Farbe als Volumen kann auch unendlich auf einer Fläche verteilt werden kann.
Wie viele Rotationen kann ein freischwebendes Objekt haben ? Wenn die Rotationachse und dessen Rotationsachse rotiert und so weiter?
a 1
b 3
c unendlich
Lässt sich einfacher vorstellen wenn die Rotationsachse genau um 90 grade versetzt in die andere Richtung der anderen Rotationsachse dreht. Theoretisch könnte man die Leistung eines Schwungradspeicher mindestens verdreifachen aber es ist so oder so nur eine Rotation. Bin mir aber nicht sicher dabei. Theoretisch müsste man nach der 3. Rotationsachse sich widerholen, da es nur 3 Achsen in der 3. Dimension gibt und sobald die 4. Kommt widerholt man nur die erste Rotation wieder.