Gabriels Horn - Wenn unendlich nicht unendlich ist - Paradoxon
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- Опубліковано 30 кві 2024
- Gabriels Horn ist ein von Evangelista Torricelli geschaffenes mathematisches Paradoxon. Ein unendlich langer Hohlkörper besitzt eine unendlich großen Oberfläche aber ein endliches Volumen.
Bekannt ist dieses Paradoxon auch unter dem Namen Maler-Paradoxon, weil gerade einmal pi-Liter Farbe ausreichen, um diesen Hohlkörper vollständig zu füllen. Vollständig anmalen kann man ihn jedoch nie.
Ganz einfach. Man braucht nur Pi und ein bisserl Liter unendlich flüssige Farbe. Man stecke das "Malerhorn" in ein zweites, schüttte Pi Liter in das Horn, den Rest dazwischen, drückt die Hörndl zusammen, schon ist das innere Horn überall angemalt.
Es ist kein Paradoxon. Der Eindruck entsteht nur rein Sprachlich dadurch, dass mit dem Beispiel "man könne es nicht anmalen" suggeriert wird man bräuchte unendlich viel Farbe um es anzumalen aber nur endlich viel Farbe um es zu füllen. Dieser Vergleich ist aber unzulässig, weil die Benennung einer Menge (z.B. unendlich viel) an Farbe selbst ein Volumen beschreibt, also implizit davon ausgegangen wird, dass die Schicht Farbe mit der man die Fläche bemalt eine Dicke hat. Hier ist aber eine zweidimensionale Fläche gemeint, die hat eben keine Dicke, also hat die Farbe mit der wir das bemalen wollen auch kein Volumen. Es reicht also, wenn man so will, eine unendlich kleine Menge "Farbe" um die Fläche vollständig zu "bemalen" weil die Schichtdicke der Farbe gleich Null ist. Zweidimensional eben. Hierdurch entsteht die Verwirrung, aber die ist rein sprachlicher Natur. Wäre die Schichtdicke ungleich null hätten wir schnell keine Möglichkeit mehr, weiter zu mahlen wenn der Durchmesser des Horns kleiner wird als die doppelte minimale Schichtdicke (eigentlich schon früher).
Hier werden also Äpfel mit Birnen verglichen, oder um bei der Analogie zu bleiben, wenn es unmöglich ist diese unendlich grosse Fläche zu bemalen dann würde es auch unendlich lange dauern die 3,14 Liter da so rein zu giessen, dass das Horn voll ist. Das ergibt nur halt auch keinen Sinn... natürliche Sprache ist eben kein gutes Instrument um mathematische Zusammenhänge zu beschreiben. Interessant ist eigentlich nur, dass es geometrische Körper mit unendlicher Fläche aber endlichem Volumen gibt. Das ist aber mathematisch nicht weiter ungewöhnlich.
Es ist insofern trotzdem ein Paradoxon, denn das Limit von X->unendlich des Volumens ist pi * 1-1/x, welches eben pi * 1 = pi ist, während das limit der oberfläche 2*pi ln x ist, und da das limit von ln x unendlich ist, ist das Limit der Oberfläche unendlich.
Die Größe des Volumens nähert sich immer weiter pi an je größer x ist. du wirst aber keinen wert X finden, wie groß er auch immer sein wird, bei dem das Volumen dieser Form größer als pi sein wird.
es gibt aber kein Limit für die Oberfläche. wenn du beide werte mit X = tree(3) z.b. berechnen würdest, hättest du eine gigantisch große Oberfläche, die jegliches Menschliche Vorstellungsvermögen übersteigen würde, das Volumen wäre aber immer noch kleiner als PI.
das ist das Paradoxon.
Abgesehen von @Xebtria's Kommentar: OK, beide Werte, Volumen und Oberfläche sind Grenzwerte, Limites. Bemalen kann man die Fläche nur mit mindestens infinitesimal kleiner Dicke dx, aber das Volumen ist um dx kleiner als π, also auch im mathematischen Sinn endlich, keine sprachliche Ambiguität, und eine Schicht mit einer infinitesimalen Dicke ist auch sprachlich eine Fläche, die übrigens im Beispiel hier eben nicht unendlich ist.
Wie kommst du auf pi Liter Farbe? Im Integral hast du ohne Einheiten gerechnet, es könnten genauso gut Milliliter, Hektoliter oder im englischen Raum Pints oder Gallonen sein .
Sehr schöne Arbeit und großartig erklärt!
Vielen lieben Dank, das freut mich sehr 🙂
Jetzt fehlt noch die Berechnung der Oberfläche :
Dazu wird der Umfang der Scheibchen integriert.
U = 2rpi
Daher Integral 2pi/x dx. Von 1 bis unendlich. Das Gibt 2pi ln(x) von 1 bis unendlich. Weil ln(unendlich) = Unendlich (also diverged) ist die Oberfläche unendlich groß.
Krass.
Da nimmt mir jemand den 2. Teil weg 😁
@@minicles ups. Sorry
@@hans7831 :)
Jetzt wäre es natürlich interessant zu wissen, ab welcher Stelle hinter dem Komma Pi nur noch ein einzelnes Molekül der Einfüllfarbe ausdrückt oder anders gesagt- bis zu welcher Größe wollen wir die Volumenzunahme messen? Gibt es nach unten eine Größe, die nicht unterschritten werden kann - beispielsweise im Bereich der Planck Länge und des daraus resultierenden Volumens?
Ich habe für 1 keine Maßeinheit, aber dann mit PI Liter Eine. D.H. in Abhängigkeit von der Definition der Größe von 1 habe ich dennoch im realen u.U einen Rauminhalt von dem Vielfachen von PI Litern.
Damit hast du natürlich vollkommen Recht. 👍
Ich hab das unterschlagen, weil es für die meisten vermutlich so greifbarer wird..
Wie muss der Leibnitz mit der Perücke im Sommer geschwitzt haben?😁
Heißt es bei eins durch unendlich, dass der Wert „gegen“ null geht, aber auch nie null erreicht. Somit ist die Rechnung ja auch nur eine Annäherung, tatsächlich aber nicht ganz richtig und somit auch die Aussage, dass das Volumen Pi ist, nicht ganz korrekt?
Unendlich ist kein Zustand sondern ein uneigentlicher Grenzwert. Einen Widerspruch ist nicht erkennbar. Sobald man das "Unendliche" weglässt löst sich Alles in Luft auf.
Ja, wenn Sie die Freundlichkeit hätten uns jetzt auch noch zu verraten wie viel Farbe zum bemalen der Oberfläche nötig ist, dann, wäre diese eindeutige Frage ohne Widerspruch endlich beantwortet. 0:18 0:18 0:18
Super gemacht! 👍
Vielen lieben Dank :)
versteh ich nicht
pi ist doch irrational unendlich. braucht man dann nicht auch unendlich Farbe?
Ahhhh, der Cliffhanger mit dem Volumen ist grausam!
Wenn das Horn aus einem - vereinfacht gesagt - unendlich dünnem Material besteht, reicht sogar weniger Farbe für die Oberfläche als man hineinfüllt. Füllt man die Farbe in das Horn, braucht es theoretisch auch unendlich lang bis die Farbe am Ende des Horns ankommt (das Ende des Horns gibt es ja durch die Unendlichkeit nicht).
Wow. Bin mir zwar nicht sicher, ob ich mathematisch alles kapiere, aber super gemacht 👍
Wann kommt Teil 2? 😂
Vielen lieben Dank 🙂 ich überlege es mir
@@minicles Die Mathematik, so wie Du sie verwendest, ist Grauenhaft. Ab Minute 9 wird es falsch. Du betrachtest nicht 1/oo, sondern betrachtest stattdessen einen entsprechenden Grenzwert.
@@uwe4308 OK, das Volumen konvertiert gegen einen Grenzwert, nämlich π, kann diesen aber nicht überschreiten. Daher kann man zumindest nicht mehr als π Farbe brauchen. Das ändert am Paradoxon nichts, die ganze Sache wurde ja möglichst simpel erklärt.
Prima erklärt, nur Pi ist kein Volumen, es fehlt eine Maßeinheit ^3
Woher kommt die Einheit "Liter"????
Ist die Aussage 1/∞ = 0 wirklich korrekt? Müsste der Quotient nicht einfach eine unentgeltlich kleine Zahl sein, aber eben nicht Null? Und wenn ja, ist dann folgende Berechnung im Ergebnis nicht falsch?
Richtig, man sagt um genau zu sein die Zahl ist 0+ also knapp über eins. Es macht schon ein unterschied obs von der negativen Seite oder positiven kommt
Cooles Paradoxon.
Wenn man jetzt noch bedenkt, dass bei einem infintisimal kleinem Abstand der inneren zur äußeren Oberfläche beide Oberflächen gleich groß, dann folgt doch daraus:
Ich kann den Körper zwar vollständig füllen aber nicht die innere Oberfläche vollständig einfärben.
Das hebe ich mir für den zweiten Teil auf 🙃
Würde das nicht geschehen, wenn man das Horn mit Farbe auffüllt?
Genau das ist das paradoxon! Aber als es interessant wurde war das Video leider zu Ende. Werde mir bei Gelegenheit selber den Kopf zerbrechen müssen. Ich ahne aber bereits, daß es darauf hinaus laufen wird, daß das Integral von 1/ x den natürlichen Logarithmus ergibt und der wächst über alle Grenzen.
@@AWaterKnight In der abstrakten mathematischen Welt nicht. Deswegen ist es wichtig zu verstehen, dass es ein mathematischer Körper Körper ist, dessen "Wand" beispielsweise auch keine Dicke aufweist. Etwas was es in der Realität ja gar nicht geben könnte...
Super! Ich hätte es ja nicht geglaubt, wenn ich es nicht nachgerechnet hätte. Der hier gezeigte Teil ist aber nicht mal der halbe Beweis. Denn dass man unendlich viel "Zeugs" zusammenaddieren kann, und es kommt trotzdem was Endliches dabei heraus, ist ein alter Hut: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 2. Aber dass die Oberfläche tatsächlich unendlich groß ist, ist total unerwartet. Bei einem Zylinder teilt man einfach das Volumen durch den Radius r und multipliziert mit 2 und erhält die Oberfläche, die dann (* 2 / r) logischerweise auch endlich ist. Aber hier liegt der Fall total anders. Wenn man hier die Oberfläche wieder genauso durch Integration berechnet, dann muss man die Stammfunktion von 1/x nehmen, also ln(x). Damit erhält man aber:
Oberfläche = Integral(1 .. ∞) 1/x dx = ln(∞) - ln(1) = ln(∞) - 0 = ln(∞) = ∞.
Falls hier übrigens jemand immer noch glaubt, dass weil 1/x > 0 ist, dann auch 1/∞ ≠ 0 gilt, dem sein folgendes Video empfohlen: ua-cam.com/video/6dHvuaBDD18/v-deo.html
Wenn 1/∞ --} 0 ergibt, darf man damit nicht rechnen! Denn eine Division durch 0 ist nicht nicht erlaubt. Das muss bei der Erstellung der Formel berücksichtigt werden.
13. Klasse in 2 Wochen Abi und das kommt dran und hab mehr verstanden 😂
Das Ende macht mich aggressiv!
Eher gilt doch: 1/∞ ≠ 0. Mit Unendlichkeiten kann man nicht rechnen, nur theoretisieren. Der Fehler, damit zu rechnen, wird offensichtlicher, wenn man die Gleichung umstellt: 1/∞ = 0 ⇔ 1/0 = ∞
Pi ist doch eine unendliche Zahl, also ist doch auch die Menge an Farbe unendlich. Bin aber kein Mathematiker...
Du hast zwar recht, dass pi unendlich viele Stellen hat und somit niemals endet, allerdings gibt es größere Zahlen als pi.
Könnten wir zaubern, dann wäre es möglich das Horn mit pi "Einheiten" (du darfst auch in Litern denken) Farbe zu füllen. Würdest du jedoch versuchen 4 "Einheiten" (Liter) Farbe hinein zuzaubern, würde das Horn überlaufen. Weil wir jedoch nicht zaubern können, würde es - und da kommt deine Idee der unendlichen Anzahl an Stellen wieder ins Spiel - unendlich lange dauern das Horn zu füllen...
Wo ist aber der Haken ? Werde ich mir nochmal anschauen müssen. Auf jeden Fall raucht der Kopf
Das kann gar nicht unendlich werden (und auch noch hohl sein), da unter der Planck-Grösse nix mehr wirklich beschreibbar ist. Oder verstehe ich hier was falsch ? (ich habe keine wirkliche Ahnung von Mathe oder Physik, lerne aber sehr gerne dazu!)
In der rein abstrakten mathematischen Welt ist das durchaus möglich, wenn du immer weiter in Richtung Unendlichkeit denkst
So schwierig für den Alltagsverstand ist es nicht. Ein analoges Beispiel: Ein Quadrat soll mit unendlich vielen Vierecken ausgefüllt werden. Ich fülle die Fläche zuerst zur Hälfte und den Rest wieder zur Hälfte. Ich kann unendlich oft legen, obwohl die Fläche endlich ist. Übertragen wir das auf die Trompete. Ich fülle sie zur Hälfte und danach wieder zur Hälfte des Restvolumens. Die Menge wird immer geringer aber der Vorgang wiederholt sich unendlich oft.
Wenn der Innenraum mit 3,14... Einheiten Farbe vollständig füllbar ist, sollte damit auch die Innenseite vollständig angestrichen sein. Die Wandstärke der Horns beträgt 0. Damit sollte die Innenfläche gleich der Außenfläche sein.
Hierin liegt das Paradoxon.
Das Volumen ist also endlich und hat den Wert von Pi? Gut, dann bestellt mal den exakten Inhalt. Und zwar nicht "Ich hätte gern Pi Liter Farbe", sondern mit numerischer Mengenangabe.
Hmmm wie fülle ich denn einen unendlichen Körper. Die Flüssigkeit würde ja unendlich nach „unten“ laufen. Und damit würde der Körper trotz der konstanten Pi-Liter nie voll werden 🤔
Du würdest unendlich lange brauchen 😁
Paradox ist das sicher nicht.man rechnet einfach aus dass das Volumen von 1 bis beliebig große Zahl immer < pi ist
Der Wert π Liter bedeutet ja eigentlich schon dass das Volumen unendlich ist. Denn π hat ja auch kein Ende. Jedenfalls keines das mir bekannt wäre. 😉
Dazu kommt noch dass 1/∞ keine gültige Rechnung ist. Nur die Annahme 1/∞=0 führt zum Volumen π.
Ist das jetzt der Beweis für die Richtigkeit oder die Widerlegung🤷♂️
Daher kann man sagen dass es keine gültige Methode gibt das Volumen eines unendlichen Horns zu berechnen. Damit bleibt es das was es ist. Ein ungelöstes mathematisches Paradoxon...
Oder haben wir es gerade gelöst?
Danke für das video. Sehr interessant 👍
Das ist doch genauso wie Sokrates Schildkröte und Läufer nur ohne Infinitisimalrechnung ein Paradoxon. Man muss halt den Grenzwert berechnen.
Beim Ihrem Sokrates Beispiel wird eben nicht der Überholzeitpunkt, sondern der Ort ermittelt, indem man ihn iterativ eingrenzt.
Zenon, nicht Sokrates, aber Alter Grieche stimmt.
Das sich der Unendliche Körper mit Pi Litern Farbe füllen lässt ist kein Widerspruch, da Pi unendlich ist.
Die Anzahl der Stellen von Pi ist unendlich, der Wert ist natürlich endlich
@@petercoool
Der Wert ist nur endlich, wenn man Strecken nicht mehr als Kontinuum versteht ( Aristoteles).
Ob die Mathematik hier mit der physikalischen Realität übereinstimmt ist mehr als fraglich , denn es gibt nachweislich auch unterhalb der Plancklängen noch eine "Welt" ( Vakuum Polarisation , anormales magnetisches Moment , Kasimir- Effekt , Tunnel - Effekt, etc. ) , welche einen realen, messbaren Beitrag leisten.
Störungstheorie, Renormierung und Grenzwerte , schützen leider nicht vor realen Unendlichkeiten.
@@petercoool Der Wert (vor dem Komma) - so meinte ich es ja nicht...
Ich bin kein Mathematiker, aber wenn die Funktion niemals die X-Achse erreicht, dann kann doch 1 / unendlich niemals 0 sein. Erscheint mir unlogisch.
Versuche "Unendlich" nicht als Wert sondern mehr als "Idee" zu betrachten. Die Formulierung ist zugegebener maßen stark vereinfachend. Mathematisch handelt es sich dabei um einen Grenzwert.
@@minicles Ich bin erst recht kein Mathematiker, aber ich denke, genau da ist der Hund begraben: Die "Idee" des Unendlichen wird, um den ungeliebten und nicht rechenbaren "Wert" Unendlich zu vermeiden, irgendwann in der Rechnung oder der konzeptionellen Erstellung derselben mit eben dem Wert ersetzt (0) dem er sich zwar annähert, aber eben nie erreicht.
Wie weit daneben liege ich?
1/Unendlich ist 0, weil man hier mit Grenzwertbetrachtung argumentieren muss und nicht mit einer endlichen Zahl. Auch wenn man x unendlich lang vergrößert ist man eben noch nicht in der Grenzbetrachtung. Unendlich ist keine Zahl, somit ist 1/Unendlich auch keine klassische Division.
@@gsittly Genau das meine ich. 1/unendlich ist winzig, nahezu null, aber eben nicht exakt null. Das anzunehmen ist eine Art Rundung, zwar unendlich gering, aber eben doch da. Das aber stört, weil es keine exakte Zahl ist mit der man eindeutig rechnen kann. Nun kommt die Vereinfachung in's Spiel, die hier halt "Grenzwertbetrachtung" heißt. Undiplomatisch formuliert: Man redet sich das Problem schön. Man hat eine nicht klassische Division, die man aber auf magischem Wege einfach mit einem klassischen Ergebnis versieht. Ich sehe das Paradoxon in diesem Beispiel eher als eine Unzulänglichkeit der Mathematik an.
Das menschliche Gehirn hat ein Problem damit, die Unendlichkeit zu verstehen. Folglich hat auch die von Menschen entwickelte Sprache ein Problem damit, die Unendlichkeit zufriedenstellend zu beschreiben. Man kann sich ihr immer nur annähern, sie aber in letzter Konsequenz nicht vollständig erfassen.
Aber auch die Mathematik ist von Menschen gemacht. Selbst wenn man nun argumentieren mag, die Mathematik sei in sich selbst existent und bedürfe nicht des "Machens" durch den Menschen, so ist doch der Umgang mit der Mathematik, die Theoreme, die Formeln, die Methoden letztlich eben doch menschengemacht. Und als solche lückenhaft weil duch den menschlichen Geist begrenzt.
Wie gesagt, ich bin kein Mathematiker, im Gegenteil. Mathe war mir in der Oberstufe immer ein Graus. Man verzeihe mir also bitte, wenn mein Laiengehirn hier den Advocatus Diabloi gibt. Ich will nicht nerven, ich verstehe es wirklich nicht. Also nicht das Problem selbst, sondern die mathematischen Winkelzüge, mit denen es beschrieben wird.
@@papaschlumpf5894 Nein, es ist nicht paradox. Die X-Achse ist nachweislich eine Asymptote. Somit ist der Grenzwert eindeutig bestimmt. Mit diesem Werkzeug lassen sich exakte Ergebnisse berechnen.
Ein nettes Gedankenexperiment. In der Praxis würde das auch theoretisch funktionieren. Aber nur weil die kleinsten Farbttöpfchen irgendwann nicht mehr durch das dünner werdende Ende passen. Würde man es mit unendlich kleiner werdenden Teilchen füllen, würde es nie voll werden😅
Mmh, "paradox" scheint nicht passend zu sein - eher eine "paradoxe Paradoxie". Der Wert kann pi zwar nicht übersteigen, aber pi ist halt eine irrationale Zahl mit unendlichen Stellen. Das verhält sich ähnlich wie die beliebige Annäherung an den absoluten Nullpunkt.
das Volumen mag ja Pi sein. Aber Pi ist tranzendent und irrational und damit unendlich... der Vergleich hinkt quasi wie modo... Man kann das Hörnchen weder bemalen (zumal man die Dicke der Farbschicht nicht kennt bzw. benennen kann) noch mit Pi füllen weil Pi nicht greifbar ist.
Das braucht doch jeder, jeden Tag im Leben.
Naja, abgesehen, daß man dieses Paradoxon schon gelöst hat, in dem man bewiesen hat, daß man Äpfel mit Birnen vergleicht und dies natürlich unlogisch sei, so gibt es auch eine andere Art der "Lösung" des Paradoxons. :) Jeder der behauptet, daß man "einfach" eine Menge Pi an Farbe füllen müss, soll erstmal sagen wieviel das GENAU ist. Es ist schön einfach (und falsch) einer Zahl die man nicht kennt einen Namen zu geben und dann behaupten, daß man diese Zahl in den Horn füllen soll. Das ist ekelhaft ungenau ausgedrückt. Man soll zunächst schon die EXAKTE Zahl *angeben* und nicht nur ihren Namen *nennen* . Also bitte 3,1415926536... usw.
Wenn man dann die GANZE Zahl angegeben hat, ganze bis zu ihrer aller letzten Stelle nach dem Komma, und sie nicht nur oberflächlich genannt hat, dann darf man behaupten, daß es sich hierbei um ein Paradoxon handle. ;)) Versteht Ihr was ich meine? ;))
Für Mathematiker ist das kein Paradoxon, denn sie haben Masstheorie studiert. "Pädagogen" anscheinend nicht.
Na ich glaube da machen die Mathematiker es sich zu einfach. Für mich als nicht-Mathematiker ist eins durch unendlich nicht null, der Wert wird zwar immer kleiner, aber null wird er nie.😅 Man geht hier also von vorherein von einem gerundeten Wert aus und damit ist das Paradoxon keins. Ansonsten hervorragend erklärt.😊
Na logisch, wird er null
Dein Fehler als nicht-mathematiker ist, anzunehmen, "∞" sei eine Zahl. "∞" ist aber keine Zahl, sondern eine idee. Sobald ∞ im spiel ist, befindet man sich im bereich der limits. Das limit von 1/x ist 0, denn es so unendlich klein, dass für eine unendlich große Zahl einfach definiert wird dass 1/x = 0 ist wenn X sich ∞ annähert.
du könntest es berechnen wenn du z.b. x = 10^100 setzt. dann hätte 1/x einen Wert der größer als 0 ist Erst in der 100ten nachkommastelle, aber er ist größer. Aber im großen Ganzen ist selbst 10^100 verglichen mit ∞ winzig. Jede Zahl die man sich vorstellen kann oder auch nicht im vergleich zu ∞ winzig klein.
Und insofern ist es für das Limit angemessen 1/x als 0 zu definieren, woraus sich ergibt das Limit für das Volumen ist Pi.
Wenn du anstatt ∞ und somit anstatt dem Limit eine echte Zahl benutzen willst, ist das Volumen immer kleiner als Pi. Wirklich Pi wird es erst im Limit.
Wie viele Rotationen kann ein freischwebendes Objekt haben ? Wenn die Rotationachse und dessen Rotationsachse rotiert und so weiter?
a 1
b 3
c unendlich
Lässt sich einfacher vorstellen wenn die Rotationsachse genau um 90 grade versetzt in die andere Richtung der anderen Rotationsachse dreht. Theoretisch könnte man die Leistung eines Schwungradspeicher mindestens verdreifachen aber es ist so oder so nur eine Rotation. Bin mir aber nicht sicher dabei. Theoretisch müsste man nach der 3. Rotationsachse sich widerholen, da es nur 3 Achsen in der 3. Dimension gibt und sobald die 4. Kommt widerholt man nur die erste Rotation wieder.
Nur zur Info die Fläche ist auch endlich, man hat zwar ein unendliches Resteproblem , aber man bräuchte nicht unendlich viel Farbe für die Fläche. Außerdem hat der Riemann das bereits mit unendlichen Bruch als Zahlenreihe bewiesen dass man es auch in einer ganzen Zahlen zusammenfassen kann. Man bräuchte ein unendlichen langen Pinsel aber nicht unendlich viel Farbe. Farbe als Volumen kann auch unendlich auf einer Fläche verteilt werden kann.