We use an orthonormal center O and first axis (OB), the equation of the circle is x^2 + y^2 = X^2. Point P(a; 10) is on this circle, so a^2 + 100 = X^2, which gives a = sqrt(X^2 - 100) (a beeing positive), so we have P(sqrt(X^2 - 100); 10) and S(sqrt(X^2 - 100; 5) S is on (AB) whose equation is y = -x +X, so 5 = -sqrt(X^2 -100) +X or sqrt(X^2) - 100) = X - 5. We square: X^2 - 100 = X^2 - 10.X +25 Finally 10.X = 125 and X = 25/2.
As OA and OB are both radii of quarter circle O, OB = OA = x, and ∆AOB is an isosceles triangle. As OA and PQ are parallel to each other, ∠BSQ and ∠BAO are corresponding angles and ∠BSQ = ∠BAO. As ∠OBA = ∠QBS, then ∆SQB and ∆AOB are similar triangles, and as OA = OB = x, AB = SQ = 5. OQ = OB-QB = x-5. Triangle ∆OQP: OQ² + QP² = OP² (x-5)² + 10² = x² x² - 10x + 25 + 100 = x² 10x = 125 x = 125/10 [ x = 25/2 = 12.5 units ]
Горизонталь от Р к АО, получаем два равных прямоуга-равнобеда с известными катетами по 5. Их диагонали по 5√2. На т. Р и В получается треуг с известным тупым углом. Который внешний к 45°, т. е. 135°. Знаем и его стороны - диагональ-катет, 5 и 5√2. А дальше из т. Р и А достраивается такой же, подобный ему. И так получается, что сторона BS соответствует той, что из т. Р отложена по горизонтали к АВ. А значит, коэффициент его подобия 5√2 к 5, т. е. 1/√2. Оставшаяся сторона соответствует OS=5, значит это 5/√2. Считаем общую гипотенузу: 10√2+5/√2. Радиус, он же сторона квадрата, чтобы получить, надо разделить на √2 ещё раз. Итого 10+5/2=10+2½=12½.
Спасибо, что заранее написал ответ. Я поначалу думал, что мой вариант неверный, потом перепроверил и понял, что посчитал неправильно в конце. Теперь сходится.👍
Let G be the point of intersection of the line OB with the circle. PBG The triangle is right at P. From this, QB*QG=QP². From this, 5*(2x-5)=100. From this, x=25/2.
@@zawatskyThis is one of the numerical relations in a right triangle, where if ABC is a right triangle at A and AH is the height, then AH is the geometric mean of HB and HC, and it can be proven from the similarity of triangles AHB and AHC.
At 9:05, construct MP. Note that
We use an orthonormal center O and first axis (OB), the equation of the circle is x^2 + y^2 = X^2. Point P(a; 10) is on this circle,
so a^2 + 100 = X^2, which gives a = sqrt(X^2 - 100) (a beeing positive), so we have P(sqrt(X^2 - 100); 10) and S(sqrt(X^2 - 100; 5)
S is on (AB) whose equation is y = -x +X, so 5 = -sqrt(X^2 -100) +X or sqrt(X^2) - 100) = X - 5. We square: X^2 - 100 = X^2 - 10.X +25
Finally 10.X = 125 and X = 25/2.
Thank you for this one, which I almost managed apart from a little muddle with AB : SB : AS = 5:2:3
Then X: 5 = 5 :2 and then X = 25/2
As OA and OB are both radii of quarter circle O, OB = OA = x, and ∆AOB is an isosceles triangle.
As OA and PQ are parallel to each other, ∠BSQ and ∠BAO are corresponding angles and ∠BSQ = ∠BAO. As ∠OBA = ∠QBS, then ∆SQB and ∆AOB are similar triangles, and as OA = OB = x, AB = SQ = 5. OQ = OB-QB = x-5.
Triangle ∆OQP:
OQ² + QP² = OP²
(x-5)² + 10² = x²
x² - 10x + 25 + 100 = x²
10x = 125
x = 125/10
[ x = 25/2 = 12.5 units ]
Горизонталь от Р к АО, получаем два равных прямоуга-равнобеда с известными катетами по 5. Их диагонали по 5√2. На т. Р и В получается треуг с известным тупым углом. Который внешний к 45°, т. е. 135°. Знаем и его стороны - диагональ-катет, 5 и 5√2. А дальше из т. Р и А достраивается такой же, подобный ему. И так получается, что сторона BS соответствует той, что из т. Р отложена по горизонтали к АВ. А значит, коэффициент его подобия 5√2 к 5, т. е. 1/√2. Оставшаяся сторона соответствует OS=5, значит это 5/√2. Считаем общую гипотенузу: 10√2+5/√2. Радиус, он же сторона квадрата, чтобы получить, надо разделить на √2 ещё раз. Итого 10+5/2=10+2½=12½.
The circle x^2 + y^2 = r^2 we can say that the point (r - 5 , 10) is on this circle.
We have SB*SA=SP*SE where E is the point of intersection of SP with the circle and from it 5√2*(x√2-5√2)=5*15 and from it x=25/2
Спасибо, что заранее написал ответ. Я поначалу думал, что мой вариант неверный, потом перепроверил и понял, что посчитал неправильно в конце. Теперь сходится.👍
Let G be the point of intersection of the line OB with the circle. PBG The triangle is right at P. From this, QB*QG=QP². From this, 5*(2x-5)=100. From this, x=25/2.
Точку G следует использовать чаще.☝😏🤭
Вот только не совсем понятно, из какой теоремы это следует.🙄
@@zawatskyThis is one of the numerical relations in a right triangle, where if ABC is a right triangle at A and AH is the height, then AH is the geometric mean of HB and HC, and it can be proven from the similarity of triangles AHB and AHC.
@@ناصريناصر-س4ب спасибо, будем знать.
Intersecting chords theorem:
c₁*c₂= 5*(3*5)
c₁*5√2 = 5*15
c₁ = 15/√2 = 7,5 √2 cm
c = c₁ + c₂ = 5√2 + 7,5√2 = 12,5 √2 cm
R= c cos45°= c/√2= 12,5 cm ( Solved √ )
Of course, for the second solution you could have used chord AB instead of chord BM.
x=12.5
AOB is similar to BQS. Hence, QB=5'
Hence, OQ = x - 5
Hence, x^2 = (x-5)^2 + 10^2
x^2 = x^2 + 25-10x + 100
x^2 =x^2 + 125 -10x
0 = 125-10x
10x =125
x = 12.5 Answer
(2x-5)5=10×10;
10x-25=100;
x=12,5
Thanks sir
Method 3: Intersecting Chords Theorem
SB·SA = SP·SN
SB·(AB - SB) = SP·(SQ + NQ)
(SQ√2)·(X√2 - SQ√2) = SP·(SQ + SQ + SP)
(5√2)·(X√2 - 5√2) = 5·(5 + 5 + 5)
10X - 50 = 75
X = 125/10
X = 25/2
I did it that way too. I thought it was the most obvious.
(5)^2 (5)^2={25+25}=50 90°/50=1.40 1.2^20 1.2^10 1.2^2^5 1.1^2^1 2^1 (AB ➖ 2AB+1).
Just solve for x in the right triangle whose sides are (x,x-5,10).
5(15) = (5√2)(x√2 - 5√2) = 10(x - 5)
x = 5 + 75/10 = 12 + 1/2
12.5
12.5