Die Nebenquantenzahl (Bahndrehimpulsquantenzahl) wird häufig auch als azimutal Quantenzahl bezeichnet. Ich nehme an, weil eine Rotation bzgl. des Azimutwinkels um die Z-Achse vorliegt. Sie erwähnen bei 9:21, dass die Magnetquantenzahl eine Rotation bzgl. des Azimutwinkels beschreibt und die Bahndrehimpulsquantenzahl bzgl. des Polarwinkels rotiert. Liegt hier eine Verwechselung vor?
Bei 2:30 nehmen Sie Bezug auf eine Regel, die besagt, dass l < n wahrnimmt. Ist die Erklärung hierfür, dass es für n=l keine Lösung für eine Radialfunktion R_n,l(r) gibt, sodass die Schrödingergleichung in Kugelkoordianten erfüllt wird?
Das ist eine sehr interessante Frage, die ich Ihnen gerne beantworte. Würde man nicht die Hauptquantenzahl n verwenden sondern eine radiale Quantenzahl, die die Anzahl der Knoten in der Radialfunktion angibt und die Drehimpulsquantenzahl l, dann würden beide Quantenzahlen unabhängig von 0 bis Unendlich laufen. In dem 1/r-Potential gibt es nun aber "zufällig" eine Entartung der Zustände bei denen die Summe aus radialen Knoten und der Drehimpulsquantenzahl gleich ist. Z.B. hat der Zustand 3s zwei radiale Knoten und l=0, 3p hat einen radialen Knoten und l=1, 3d hat keinen radialen Knoten und l=2, das heißt für alle diese Zustände ist die Summe gleich 2 und die Zustände sind entartet. Wegen ihrer Entartung hat man sie unter der einer Hauptquantenzahl n=3 zusammengefasst. Da es nicht weniger als 0 radiale Knoten geben kann, kann die Drehimpulsquantenzahl in diesem Beispiel nicht größer als 2 werden, also l_max=2. Da man die Hauptquantenzahl nicht bei 0 sondern bei 1 beginnen läßt, ist n = l_max+1 und es ergibt sich die maximale Drehimpulsquantenzahl zu l_max = n-1.
@@rene-matzdorf Vielen Dank für Ihre Antwort! Wenn ich es richtig verstehe, ist n so definiert die Anzahl dieser möglichen Paare (n_r,l) mit gleicher Summe zu zählen und wenn n_r, und l Werte in {0,1,2} annehmen, sind das nunmal drei Entartungen, daher n=3. In unserer Experimentalphysik III Vorlesung wurde beim 3D-Oszillatormodell n als n=2*n_r + l und bei der Einführung des Wasserstoffatoms als n=n_r + l definiert, was eher verwirrend ist... Für das weitere Verständnis: Die Drehimpulsquantenzahl wurde bei uns eher stiefmütterlich eingeführt als Ergebnis im Eigenwert des Drehimpulsoperators L^2. Sie zeigen im Video den Verlauf der Orbitale, in Abhängigkeit dieser Quantenzahl. Gibt diese einfach die Anzahl der Oszillationen (in radialer Richtung) bei einem Umlauf ums Atom an?
@@felixec3608 zu Ihrer letzten Frage: In dem Video, bei dem ich absichtlich versucht habe, alles etwas vereinfacht darzustellen, habe ich es so formuliert, dass mit dem Drehimpuls die Anzahl der Knoten beim Umlauf um das Atom zusammenhängt. Im Detail ist alles komplizierter. Wegen der Unschärferelation kann man nicht alle drei Komponenten des Drehimpulses unabhängig voneinander messen. Es ist aber möglich, den Betrag (L²) und eine Komponente - normalerweise die z-Komponente (L_z)- gleichzeitig zu messen. Zu diesen beiden Größen gehören die Quantenzahlen l und m. Da man in der Quantenmechanik bei laufenden Wellen keine Knoten hat (Phasenverschiebung von Realteil und Imaginärteil der Wellenfunktion um pi/2), hat ein Zustand mit m=1 keinen Knoten. Betrachtet man dagegen stehende Wellen, ergeben sich Knotenflächen - kombiniert man z.B. m=+1 und m=-1 erhält man eine Knotenfläche. Der Zustand m=0 hat ohnehin eine Knotenfläche. Grundsätzlich kann man beliebige Linearkombinationen von entarteten Wellenfunktionen verwenden, um sich daraus ein System von grundlegenden Orbitalen zu einem Zustand mit bestimmter Energie aufzubauen. In diesem Sinn hat man Wahlfreiheiten bzgl. der Form der Orbitale bei entarteten Zuständen. Verwendet man, wie es in der Chemie üblich ist, p_x, p_y und p_z Orbitale, hat man stehende Wellen, die sich z.B. in ein kubisches Gitter eines Festkörpers einpassen und darin ggf. sogar durch das Kristallfeld aufspalten. Dort sieht man, dass man eine Knotenfläche für p-Orbitale hat (l=1). Analog geht das bei den d-Orbitalen, bei denen man oft zwei Knotenflächen findet (l=2).
Warum ist der drehimpuls 0 bei konstanter wellenfunktion. Das Teilchen bewegt sich ja trotzdem. Nur die Wahrscheinlichkeiteitrn es an einem bestimmten Ort zu finden ist gleich wie an einem anderen ort
Moin, ich habe eine Frage zu den Darstellungen der p-Orbitale. In Ihren Darstellungen sind nicht die p-Orbitale mit den festen Quantenzahlen m=-1,0,1 gezeigt, sondern Linearkombinationen. Dahingegen wären die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten (bzw. die Niveauflächen) der unkombinierten p-Orbitale mit den Quantenzahlen m=-1 und m=1 Tori statt Hanteln. Ich sehe diese Darstellung häufiger, besonders in der Chemie, wo sie als px-, py, und pz-Zustände bezeichnet werden. In diesem Zuge werden auch sp-Hybridisierungen als Linearkombinationen von s- und p-Orbitalen genutzt, obwohl es auch heißt, diese seien nur eine "mathematischer Trick" und stellen nicht die physikalische Wirklichkeit dar. Warum sind Linearkombinationen von p-Orbitalen gängig, aber für sp-Hybridisierungen "verboten". Liegt das an den energetischen Entartungen. sodass, wenn ich eine Superposition habe und die Energie messe, die Superposition von p-Orbitalen erhalten bleibt, bei einer Kombination aus s- und p-Orbitalen aber in einen Energieeigenzustand springen muss und sich der Zustand ändert? Und woher "wissen" die Elektronen, ob sie sich auf die unkombinierten Zustände verteilen oder ob sie in kombinierte Zustände wechseln dürfen? Zudem müsste es auch Auswirkungen auf chemische Bindungen haben, weil die Überlappung dann anders aussähe
Ja. Genauer würde man es so formulieren: die dargestellten "Keulen" sind Flächen gleicher Ladungsdichte, also gleicher Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons in einem bestimmten Zustand. Innerhalb der Keulen ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit höher, außerhalb ist sie niedriger. Auf diese Weise versucht man die dreidimensionale Verteilung zu veranschaulichen. Tatsächlich Null ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit nur auf bestimmten s.g. Knotenflächen zwischen den Keulen.
Nein. Die beiden schrägen Linien, die ich bei Minute 17:30 zeichne, sind da leider verwirrend. Eine Spin-Bahn-Aufspaltung gibt es im p-Orbital, weil dort der Spin parallel und antiparallel zum Bahndrehimpuls stehen kann. Im s-Orbital ist der Bahndrehimpuls Null, so dass dieser keine Richtung vorgibt.
Herr Prof. Natzdorf, erneut ein äußerst ein erhellendes Video von Ihnen. Vielen Dank!
sie sind wirklich der tollste prof den ich je erlebt hab in meinen 8 semestern
Wow! Tolle Vorlesung. Danke!
Für l=1 sollte L= h-quer * sqrt(2) sein. Danke für das Video!
Vielen Dank für den Hinweis. Sie haben vollkommen recht. Ich habe eine Korrektur in der Beschreibung eingefügt.
Die Nebenquantenzahl (Bahndrehimpulsquantenzahl) wird häufig auch als azimutal Quantenzahl bezeichnet. Ich nehme an, weil eine Rotation bzgl. des Azimutwinkels um die Z-Achse vorliegt. Sie erwähnen bei 9:21, dass die Magnetquantenzahl eine Rotation bzgl. des Azimutwinkels beschreibt und die Bahndrehimpulsquantenzahl bzgl. des Polarwinkels rotiert. Liegt hier eine Verwechselung vor?
Bei 2:30 nehmen Sie Bezug auf eine Regel, die besagt, dass l < n wahrnimmt. Ist die Erklärung hierfür, dass es für n=l keine Lösung für eine Radialfunktion R_n,l(r) gibt, sodass die Schrödingergleichung in Kugelkoordianten erfüllt wird?
Das ist eine sehr interessante Frage, die ich Ihnen gerne beantworte. Würde man nicht die Hauptquantenzahl n verwenden sondern eine radiale Quantenzahl, die die Anzahl der Knoten in der Radialfunktion angibt und die Drehimpulsquantenzahl l, dann würden beide Quantenzahlen unabhängig von 0 bis Unendlich laufen. In dem 1/r-Potential gibt es nun aber "zufällig" eine Entartung der Zustände bei denen die Summe aus radialen Knoten und der Drehimpulsquantenzahl gleich ist. Z.B. hat der Zustand 3s zwei radiale Knoten und l=0, 3p hat einen radialen Knoten und l=1, 3d hat keinen radialen Knoten und l=2, das heißt für alle diese Zustände ist die Summe gleich 2 und die Zustände sind entartet. Wegen ihrer Entartung hat man sie unter der einer Hauptquantenzahl n=3 zusammengefasst. Da es nicht weniger als 0 radiale Knoten geben kann, kann die Drehimpulsquantenzahl in diesem Beispiel nicht größer als 2 werden, also l_max=2. Da man die Hauptquantenzahl nicht bei 0 sondern bei 1 beginnen läßt, ist n = l_max+1 und es ergibt sich die maximale Drehimpulsquantenzahl zu l_max = n-1.
@@rene-matzdorf Vielen Dank für Ihre Antwort! Wenn ich es richtig verstehe, ist n so definiert die Anzahl dieser möglichen Paare (n_r,l) mit gleicher Summe zu zählen und wenn n_r, und l Werte in {0,1,2} annehmen, sind das nunmal drei Entartungen, daher n=3. In unserer Experimentalphysik III Vorlesung wurde beim 3D-Oszillatormodell n als n=2*n_r + l und bei der Einführung des Wasserstoffatoms als n=n_r + l definiert, was eher verwirrend ist... Für das weitere Verständnis: Die Drehimpulsquantenzahl wurde bei uns eher stiefmütterlich eingeführt als Ergebnis im Eigenwert des Drehimpulsoperators L^2. Sie zeigen im Video den Verlauf der Orbitale, in Abhängigkeit dieser Quantenzahl. Gibt diese einfach die Anzahl der Oszillationen (in radialer Richtung) bei einem Umlauf ums Atom an?
@@felixec3608 zu Ihrer letzten Frage: In dem Video, bei dem ich absichtlich versucht habe, alles etwas vereinfacht darzustellen, habe ich es so formuliert, dass mit dem Drehimpuls die Anzahl der Knoten beim Umlauf um das Atom zusammenhängt. Im Detail ist alles komplizierter. Wegen der Unschärferelation kann man nicht alle drei Komponenten des Drehimpulses unabhängig voneinander messen. Es ist aber möglich, den Betrag (L²) und eine Komponente - normalerweise die z-Komponente (L_z)- gleichzeitig zu messen. Zu diesen beiden Größen gehören die Quantenzahlen l und m. Da man in der Quantenmechanik bei laufenden Wellen keine Knoten hat (Phasenverschiebung von Realteil und Imaginärteil der Wellenfunktion um pi/2), hat ein Zustand mit m=1 keinen Knoten. Betrachtet man dagegen stehende Wellen, ergeben sich Knotenflächen - kombiniert man z.B. m=+1 und m=-1 erhält man eine Knotenfläche. Der Zustand m=0 hat ohnehin eine Knotenfläche.
Grundsätzlich kann man beliebige Linearkombinationen von entarteten Wellenfunktionen verwenden, um sich daraus ein System von grundlegenden Orbitalen zu einem Zustand mit bestimmter Energie aufzubauen. In diesem Sinn hat man Wahlfreiheiten bzgl. der Form der Orbitale bei entarteten Zuständen. Verwendet man, wie es in der Chemie üblich ist, p_x, p_y und p_z Orbitale, hat man stehende Wellen, die sich z.B. in ein kubisches Gitter eines Festkörpers einpassen und darin ggf. sogar durch das Kristallfeld aufspalten. Dort sieht man, dass man eine Knotenfläche für p-Orbitale hat (l=1). Analog geht das bei den d-Orbitalen, bei denen man oft zwei Knotenflächen findet (l=2).
@@rene-matzdorf Herzlichen Dank! Das hat sehr geholfen.
Warum ist der drehimpuls 0 bei konstanter wellenfunktion. Das Teilchen bewegt sich ja trotzdem. Nur die Wahrscheinlichkeiteitrn es an einem bestimmten Ort zu finden ist gleich wie an einem anderen ort
Moin, ich habe eine Frage zu den Darstellungen der p-Orbitale. In Ihren Darstellungen sind nicht die p-Orbitale mit den festen Quantenzahlen m=-1,0,1 gezeigt, sondern Linearkombinationen. Dahingegen wären die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten (bzw. die Niveauflächen) der unkombinierten p-Orbitale mit den Quantenzahlen m=-1 und m=1 Tori statt Hanteln. Ich sehe diese Darstellung häufiger, besonders in der Chemie, wo sie als px-, py, und pz-Zustände bezeichnet werden. In diesem Zuge werden auch sp-Hybridisierungen als Linearkombinationen von s- und p-Orbitalen genutzt, obwohl es auch heißt, diese seien nur eine "mathematischer Trick" und stellen nicht die physikalische Wirklichkeit dar. Warum sind Linearkombinationen von p-Orbitalen gängig, aber für sp-Hybridisierungen "verboten". Liegt das an den energetischen Entartungen. sodass, wenn ich eine Superposition habe und die Energie messe, die Superposition von p-Orbitalen erhalten bleibt, bei einer Kombination aus s- und p-Orbitalen aber in einen Energieeigenzustand springen muss und sich der Zustand ändert? Und woher "wissen" die Elektronen, ob sie sich auf die unkombinierten Zustände verteilen oder ob sie in kombinierte Zustände wechseln dürfen? Zudem müsste es auch Auswirkungen auf chemische Bindungen haben, weil die Überlappung dann anders aussähe
Frage:
Sind das in den Zeichnungen (bei zum Beispiel 8:17) die möglichen Aufenthaltsorte der Elektronen?
Ja. Genauer würde man es so formulieren: die dargestellten "Keulen" sind Flächen gleicher Ladungsdichte, also gleicher Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons in einem bestimmten Zustand. Innerhalb der Keulen ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit höher, außerhalb ist sie niedriger. Auf diese Weise versucht man die dreidimensionale Verteilung zu veranschaulichen. Tatsächlich Null ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit nur auf bestimmten s.g. Knotenflächen zwischen den Keulen.
@@rene-matzdorf
Danke :)
Stimmt es ganz links, dass sich s zu 2 p niveaus aufspaltet? Danke für die Erklärung
Nein. Die beiden schrägen Linien, die ich bei Minute 17:30 zeichne, sind da leider verwirrend. Eine Spin-Bahn-Aufspaltung gibt es im p-Orbital, weil dort der Spin parallel und antiparallel zum Bahndrehimpuls stehen kann. Im s-Orbital ist der Bahndrehimpuls Null, so dass dieser keine Richtung vorgibt.
Die kameraführung nervt total!