Что если соединить геометрию и вероятность?
Вставка
- Опубліковано 13 тра 2024
- Поступление в Школу анализа данных Яндекса: clc.to/XGTfqQ
- здесь вы также найдете примеры вступительных испытаний с решениями (вкладка «Поступление»). А в этом ролике разобрали три красивых сюжета на геометрическую вероятность
СОДЕРЖАНИЕ
0:00 - Условия трех красивых задач
1:46 - О ШАДе и поступлении в этом году
2:53 - Математическое ожидание площади треугольника
3:45 - Центр окружности и вписанный треугольник
5:24 - Сетка из прямоугольников и случайная окружность
7:28 - Другие разделы для поступления в ШАД
Задача №2 - классическая и имеет интересное обобщение: • The hardest problem on...
Прошлый выпуск о том, как высшая математика и IT помогает решать реальные проблемы на Камчатке: • Как высшая математика ...
UPD. К 0:25 Андрей Иванов делает важное уточнение: строго говоря, имеется в виду равномерное распределение
Сколько задач сумели решить?
Понимаете, зачем было сделано уточнение, что окружность выбирается по центру и радиусу в №3? Если окружность выбирать иным способом, то и ответ в задаче может получиться другой: ru.wikipedia.org/wiki/Парадокс_Бертрана_(вероятность)
UPD. К 0:25 Андрей Иванов делает важное уточнение: строго говоря, имеется в виду равномерное распределение
Решил только первую, и то наугад
Номер 2 - 1/4
последнюю)))
К сожалению уже знал решение второй задачи, самостоятельно решил последнюю а первую не осилил.
Решил все.
1) Ввёл координаты, обозначил (X, Y) случайную точку. Записал площадь как функцию от Y. Нашёл функцию распределения Y, затем плотность. И по формуле матожидания от функции посчитал.
2) Представил, что работаем на единичной триг. окружности, где 0 это первая точка, а остальные Х и Y случайные и имеют равномерное распределение на отрезке [0;2pi]. Нашёл условия для X и Y, когда треугольник будет остроугольным, и на координатной плоскости в квадрате [0;2pi] x [0;2pi] площадями посчитал вероятность найденных условий.
3) Сделал примерно как на видео.
решил 0 / 3 задач. Результат приемлемый
Выполняем норму
Можно округлить до 3/3.
@@alexandergraham1109 Если отношение находится в промежутке от 0 до 1, то уже неплохой результат
3:44 На самом деле, у задачи есть более лаконичное решение.
Если принять сторону за A, то по свойству высот правильного треугольника, сумма каждой высоты, проведённой из произвольной точки, равна общей высоте треугольника.
Тогда, при равноудаленности точки, каждая из высот будет равна 1/3
Такой факт, кстати, используется для описания трехфазных систем в кристаллах в химии
Блин, ты прям пробуждаешь интерес к математике с помощью красивой и в тоже время интересной графикой. Большое спасибо!
Как всегда, Великолепная графика. Спасибо за интересные, необычные задачи с красивым решением.
Как создаётся такая графика, в какой программе?
Благодарю! По-настоящему хороший Звуковой и Зрительный вектора! Интеллектуально и эстетично! Побольше бы таких влюбленных в Математику Людей!
Спасибо что продолжаешь радовать нас видео ❤
Большое спасибо за ваши видео и труд! Наконец-то видео с задачками!🙃
Ах, сетка из прямоугольников очень красивая задача😮. Буду теперь весь день ходить и думать о ней. Это все из-за вашей музыки❤
Дождался всё-таки!)
Думаю, канал достаточно серьёзный, чтобы можно было немного подушнить.
00:25 "каждая точка внутри треугольника имеет одинаковую вероятность быть выбранной"
Информации недостаточно. Для любого непрерывного (и даже смеси сингулярного и непрерывного) распределения, вероятность попадания в любую одну точку будет равна 0. Таким образом они все равны. Правильнее было бы сказать, что точка M имеет равномерное распределение по треугольнику
В данном случае речь, видимо, шла про плотность. Ну либо, если учесть условие S_tr = 1, что вероятностная мера совпадает с мерой лебега.
Вы правы. Поставьте вместо «вероятность» «плотность вероятности». Для краткости слова про плотность, бывает, опускают, ведь формулировку всё равно нельзя понять как-то иначе, все и так правильно догадываются, о чём речь.
Вильд, как всегда, Браво!
Теперь он не Wild, а Вильд
Какая-то странная организация. Написал их экзамен, было несколько собеседований, потом ни ответа ни привета, ни приглашения в ШАД, ни причин отказа. Собственно, с таким отношением Яндекс идёт куда подальше
P.S. Разбор задач как всегда на высоте с отличной графикой!
У яндекса всегда странности с приемом. Много уже кто видео делал как их собесы проходил
Всем не угодишь
К сожалению, такое поведение самое типичное. Им просто не хочется возиться с теми, кто отсеивается, а для себя они наверняка объясняют это тем, что на сообщения с отказом у них не хватает ресурсов.
@@Micro-Moo огромной цифровой компании тяжело прислать письмо с фразой "вам отказано" или "вы не прошли"? это же бред. просто такое отношение к людям, в том числе и в других их сервисах.
@@user-sh4ck8il8e «огромной цифровой компании тяжело прислать письмо...» Вы, конечно, правы, но вы это им скажите.
Супер! Продолжайте в том же духе!
Спасибо за полезную инфу
Красота! ❤
Спасибо за видео
Как это прекрасно 😍
Великолепные задачи
0:45 была задача на какой-то очень сложной олимпиаде, где нужно было посчитать вероятность того, что центр сферы будет внутри тетраэдра
upd. посмотрел ролик дальше и данный факт уточнялся в ролике)
3blue1brown )
Подумал, но не смог решить. Пойду свой школьные интегралы решать😅
а в школе интегралы разве проходят?
браво!
Прекрасные задачи, сочетание простоты с намёком на математическую глубину. (Извините, решать не пытался, терпения на то не было, и так после просмотра условий задач стало ясно, что все они имеют достаточно простое решение.) Ещё раз подумал, насколько непросто такие задачи изобретать.
Великолепно
Спасибо! Я всё ещё ваш спонсор⚽
как и яндекс...
Решил, пока ехал в метро.
Первую не так элегантно, как на видео. Нашел стреднюю высоту, т.е. расстояние от основания до центра тяжести, то есть 1/3. Проверил интегрированием в уме (ответ правильный).
Во второй ошибся в два раза. Мне показалось, что если точки выпадут сверху и снизу, то этого будет достаточно.
Третье просто с ходу.
Интересные задачки, понравились. С бумажкой было бы быстрее. 😅
Есть у меня пожелания именно по теории вероятности. Пусть задачи и геометрические, но когда встает вопрос поиска вероятности, то решение не всегда так лаконично и понятно, как в классических геометрических задачах. Не знаю заметно это, но ваши коллеги с 3B1B после утверждения дают буквально секунду две паузы, чтобы переварить мысль. Я не прошу их копировать, но иногда хотелось бы смену темпа или больших подробностей
Мне кажется, если просто иногда останавливать видео и переваривать сказанное, всё у вас встанет на свои места. А вот если замедлить темп, многих это будет раздражать. Какой смысл в пустых паузах? Лучше, чтобы вы задавали темп сами и сами делали паузы, где вам нужно.
А ещë при слишком частых и длинных паузах, может потеряться мысль.
@@nazarkonyk2159 Конечно. А ещё мысль может потеряться, если тараторить без пауз. Способов испортить речь много, но хуже всего ставить себя в положение слона-живописца из басни.
Что-то подсказывает, что тем, кто может решать такие задачи, никакой ШАД не нужен. Они и без него всё знают
Теперь я знаю, где могут помочь задачки, которые я решал в 9 классе на мат кружках, кроме как на олимпиадках.
Тогда бы ещё рассмотреть трёхмерный случай, для второй задачи, который является уже совсем классическим))
По поводу 2ой задачи, автор указал ее разбор на английсклм, но у нее есть шикарный перевод на канале верт дайдер, возможно будет полезно
Отличные задачи. В первой задаче до красивого решения не додумался и решал интегрированием, но в процессе ошибся :/ Остальные задачи решились легко
Что если соединить алгебру логики и теорию вероятности
Здравствуйте, возможно вопрос глупый, но где можно заниматься алгеброй, анализом и подобными задачами с нуля?
В первой задаче кажется не важно условие правильности треугольника, то есть матожидание равно 1/3 для любого треугольника единичной площади
Я в 22-00 : ну всё, пора спать
Я в 3 ночи: хммм, интересный видос, надо глянуть!!!!😳☺️
Ура:)
В первых двух задачах тоже парадокс Бертрана есть, как точки берутся?
Все три задачи в уме решаются за 2 мин. Даешь что-то посложнее)
Меня все время поражает, что когда я начинаю что-то понимать. оказывается, что это только начало.
Здравствуйте! Учусь в девятом классе. Смог самостоятельно решить вторую задачу. После сдачи экзаменов хочу погрузиться в изучение олимпиадной математики и частично затронуть высшую математику. Какую литературу порекомендуете для изучения? Видео как всегда огонь!)
кросивое. показывают.
в сонном режиме только про окружность сходу решил, но как 1\2 * 1\2 для двух точек по одну сторону.
решил все задачки по формуле Пика ещё за пи секунд до выхода ролика
Ах, я вижу вы человек высокой культуры))
Только хотел в шад податься, а тут любимый математический канал по этому разбор сделал )
Про окружность и точку в центре. С точки зрения программиста. Точка пересекает треугольник, если пересекает все три его полуплоскости. Вероятность пересечь одну 1/2, две другие связаны одной вершиной, поэтому тоже 1/2, значит вероятность 1/4. Для N мерного пространства, это 1 / 2 ^ N. А то я знаю вас, математиков, ща пойдёте всё через "простые интегралы и лимиты" решать.
на решение ушло 2 секунды, а на практике: стояла задача написать свой растеризатор, поэтому знаю алгоритм нахождения пересечения с выпуклой фигурой.
Про квадрат, ну тут совсем просто... я делал оптимизированную физику круглых тел как в игре CellLab, потому, вероятность равна отношению разницы площади квадрата радиусом окружности и площади окружности к площади прямоугольника. Первую задачу за 2 секунды не решил, но думаю, теперь можно посмотреть видео)
UPD: посмотрел видео, спасибо. Как-то не совсем ясно с первой задачей, я подразумевал конечно, что если речь про мат ожидание, то точка будет лежать в середине, и что фигура симметрична, но как это доказать у меня не сложилось... ну т.е. формулами чтоль... ну т.е. для меня доказательством было бы доказать единичность определителя матрицы трансформации приращения точки к вершинам в итоговую площадь, но там получается избыточная матрица, что и ввело в заблуждение.
UPD2: понял, что имелось ввиду первой задачи, то что каждое положение точки формирует 3 треугольника, в сумме площадью, равной данному, следовательно, 1/3.
Amazing
3:42, вот это фокус, я думал будем тип распределения определять плотность там, интегралы считать несобственные... а тут это, быстро как-то
Я решил первую задачу так: сначала я дорисовал прямоугольник логично, что в нем вероятность 0.5, дальше я подумал и разделил рисунок пополам вертикальной линией, вероятность слева и справа одинаковая, затем я разделил оставшееся на 4 части верт и гор линией по середине, получилось 4 прямоугольника в одном из которых нету частей треугольника, 2 части с подобным треугольником и часть полностью заполненная нашим треугольником, я обозначил за x нижний треугольник тогда вероятность верхнего x+0.5, шанс что мы попадем в малые треугольники 1/4, тогда вероятность общая: 0.25/2+x/4+(x+0.5)/4= 1/4 + x/2, можем проделать тоже с треугольником обозначенным за x, и получим ряд 1/4 +1/16+1/64...=1/3. По сути я нашел это для ВСЕХ треугольников, а не только для равнобедренного. Решение в видео очень красивое.
по поводу разделения на левую и правую часть, вероятность одинаковая т.к. площадь зависит только от высоты, нижняя сторона одна и таже, h*a*1/2
для меня последняя задача самая простая. сразу понятен смысл решения... а первые две я и после объяснения не понял)))
Услажненную задачу два разбирал Веретасиум
решил третью, получилось число R**2(4 - pi)/x, где R радиус окружности не превосходящий половину длины стороны а х площадь прямоугольника. пойду проверю себя
на 3:16 ошибка в подписи, должно быть АСМ вместо АВМ
Я думаю это грех ненавидеть матешу 😻😻😻
Видос с 3blue1brown есть в дубляже от Vert Dider)
Объясните если не сложно, почему во второй задаче средняя разница между углами первой и второй точки именно пи/2 а не просто пи?
Мы ищем средний угол из всех возможных, т. е. из промежутка от 0 до π (потому что дальше углы повторяются), след-но, средним значением из этого множества будет π/2
7:39. Ребят кто шарит? У меня получилось (C из n по k - 1) * p ^ (k*(k-1)/2)
Первый множитель - количество способов зафиксировать подмножество вершин , а второй шанс образования клики на этом подмножестве
Будет мат. анализ
На каком курсе в шад поступают?
Есть старое видео, название что-то в духе "самая сложная задачка самой сложной Олимпиады". Там задание было очень похожее не подобное
именно ссылку на него и прикрепил автор ролика
Да да помню такой видос но это видео не копирует а тут просто та же задачка
0:47 из какой то там олимпиалы было. Вроде 1/4?
осилил только 2 и то, помня разбор задачи про сферу и пирамиду, остальные понял лишь после разбора
Для первой задачи есть ещë душное решение. S=ah, а известно и равно 1, а h - случайно. В среднем будет выпадать на 1/3. Это можно доказать тем, что площади трапеции и треугольника будут равны. То есть (a+b) × h1/2 = (1-h1)b/2. Чтобы полносттю объяснить, надо слишком долго писать... Но так как b зависит от h1, то решение очевидно.
Ребят, кто может порекомендовать хорошие учебники (3) для подготовки к экзамену ШАД. Не обучения в ШАДе ради, а для личного просветления)
А что за парадокс Бертрана Рассела?
Разве о нём шла речь в видео? Очень советую об этом парадоксе (парадокс Рассела-Цермело) прочитать, его доказательство совсем несложно и много где есть. Это один из самых мозгопрочищающих результатов во всей математике. В своё время привёл к пересмотру оснований математики, точнее, доказал противоречивость наивной (канторовской) теории множеств.
После этого ролика возникло ущущение, что при знании терминологии я уже мог бы поступить в яндекс.
Никогда бы не подумал, что геометрия как то пересекается с теорией вероятности
Получится геометрическая вероятность )))
Интересно сколько лет Школе анализа данных Яндекса? Статистика как по данным за 100 лет
Коммент напоминалка
первая задача это ИИИИИИЗЗЗЗИИИИИ
1. Перейдем в полярные координаты с центром в точке откуда треугольник не будет строится, теперь координаты точки задаются длинной и углом
Ну а дальше считаем тривиально интегральчики получаем матожидание, чтд
Такое было у нас на мат олимпиаде в 10 классе.
Молодцы. Сказали, что легко, а сами взяли самую сложную задачу из самой сложной олимпиады в мире.
Здравствуйте. Можете поподробнее объяснить 1-ю задачу. Почему все три треугольника MAB, MCA, MBC образуют треугольник ABC?
Суть вопроса непонятна. «Образуют» это просто так сказано. Что именно требует объяснения? Слово «образуют»? Суть дела только в том, что эти три треугольника не имеют пересечений, а их объединение и есть ABC. А значит, сумма их площадей и равна площади ABC. А ответ вытекает из симметрии.
@@Micro-MooМне как раз и непонятно, почему полученные таким образом треугольники не имеют пересечений и в обьединении дают ABC. Я понимаю, что я туплю видимо, но Мне кажется, что если я построю все три треугольника MAB, MBC, MCA так, как сделано в этом видео, то они будут равными между собой. А как они могут образовать треугольник ABC, если точка M выбирается произвольно?
@@user-bi8lu1wg6i «А как они могут образовать треугольник ABC, если точка M выбирается произвольно?» По построению. Сначала есть ABC, потом выбирается случайная точка, потом она соединяется с вершинами. Вы как-то иначе это представляете? От положения точки этот факт не зависит.
Я тоже ни хрена не понял логической цепочки. Взяли случайную точку М и за непонятным хреном стали рассматривать ее со всеми сторонами. В чем смысл. Речь ведь средней площади треугольника а не о сумме указанных треугольников показанных в «решении». В общем автор плохо объяснил решение если вообще оно правильное (а не только правильный «ответ»).
@@firediman1 Решение правильное. Смысл в симметрии из-за «равноправия» всех трёх треугольников. Нас интересует один треугольник. Но давайте построим три и посмотрим, чем предполагаемое решение для одного отличается от всех прочих. А ничем. Матожидания площади для каждого равны, потому что всё симметрично. Но площади связаны между собой: их сумма при всех случайных положениях точки одна и та же. Отсюда сразу ответ. Что не так?
Бедные восьмиклассники когда поняли что второй решается взятием тройного интеграла😢😢😢
Привет
Привет
Первое решение какое-то не очень понятное. Почему надо именно три разва поворачивать? Почему именно относительно центра? Почему в среднем площадь каждого из маленьких треугольников стремится к 1/3?
Офигеть
Где можно заниматься алгеброй с нуля. Искал много контентов но не нашел где все легко объяснимо ?
Курс Кострикина очень хорош, три книжечки такие
@@user-dg8yr7tu2y спасибо
в первой задаче я попытался в лоб через матожидание посчитать, в итоге вышло 2/3...😢
а массивные геометрические тела могут и (наглядно) взвешиваться
Вот не понимаю, зачем задавать на экзаменах какие-то оторванные от практики задачи про билинейные функции?
Если это вступительное, то что дальше....
Первую решал через интегралы получилось 1/6 (
Первые две вообще не понял как решили🙄
что то с первой задачей не понятно вообще. почему мат ожидаение будет 1/3 ? Не силен в вероятности, если кто то подскажет будет хорошо
Площади трёх треугольников - случайные величины с одинаковым распределением (достаточно повернуть треугольник так, чтобы он перешёл в себя, чтобы в этом убедиться). А раз распределения одинаковые, то матожидания совпадают. В сумме три случайные величины всегда равны 1, тогда матожидание каждой из них равно 1/3.
@@user-ei6rd7ei7x 👍. Спасибо, от души
@@user-ei6rd7ei7x стоило пояснить то, что из этой точки строятся сразу 3 треугольника с общей вершиной и именно сумма их площадей 1. Т.к. их площади связаны а вероятности равны, то отсюда и делаем вывод в вероятность 1/3.
@@ruslantan2552 «то отсюда и делаем вывод в вероятность 1/3» Нет, не так. Вероятность чего именно? Это не вероятность, а матожидание для площади внутреннего треугольника.
Уровень громкости музыкальной дорожки излишен
eta videos of grand theft auto magic.
я с вписанным в круг треугольником ниче не понял
У автора голос в конце видео грустный какой-то 😢
разъеб как обычно
Как учить матиматику если полный ноль и без цели просто понравилось?
Сначала определи свой уровень. Попробуй что-ли ОГЭ решить для начала
@@kasfis3486 одним словом всё очень ужасно поверь
@@Erasyl-wz9ly тогда начинай с программы 7 классов, потому что всё что было раньше ерунда. Необязательно книгу читать и решать все, главное тему понять и запомнить
@@Erasyl-wz9ly Если все ужасно, всегда можно начать с 5 класса
вторая сворована у 3б1б лол
Фигня решения, я надеялся на норм объяснения
Крч первую лучше через интеграл, прост к меня не получается
Ох, где и как люди это всё изучают? Настолько это неочевидно и нешаблонно... Страшно представить сколько практики нужно 🫨
сын зевса
Не понимаю - блокирую
Без объяснения парадокса Бертрана канал бессмысленен. Отписка😅
Конечно не отписка
в видео я заметил torch, дизлайк😡
Я знаю! Знаю! Будет геоятность!
Без решения и объяснения я бы сломал мозг