Это действительная часть суммы C^k_100 e^(i 100 x) = 0, по формуле Бинома Ньютона это Re(1+e^(ix))^100=0, т.е. 100arg(1+e^(ix))=pi/2+pi k или 1+e^(ix)=0, а arg(1+e^(ix))=arg(e^(ix))/2=x/2, 100x/2=pi/2+pi k, x = pi/100+pi k/50, k целое, альтернатива же даёт e^(ix)=-1, x=pi + 2pi k, k целое.
Решил в уме формулой Пика за 0.003 секунды. Чуть-чуть долговато из-за того, что соседская собака подсмотрела мой ход мыслей и гавкнула неправильный ответ
Комплексные числа не входили в программу общеобразовательных школ СССР с 1968 года. Я закончил школу в самом что ни на есть СССР, решить бы эту задачу в школе не смог. А уже после первого семестра в институте решил бы в любом состоянии. Альфу бы не вводил, конечно, просто бы вынес экспоненту с половинным аргументом за скобки.
Я напоминаю, что на этом канале было опубликовано видео "Отравленное уравнение: именно из-за этого уравнения Алексей Навальный..." Это именно что кликбейт.
Автор делает слишком сложно. Достаточно решить уравнение Re((1+e^ix)^100)=0. Изобразив число 1+e^ix на комплексной плоскости, получим равнобедренный треугольник (abs(1)=abs(e^ix)=1) из которого сразу видно, что один из аргументов числа 1+e^ix равен х/2. Ну а дальше достаточно решить уравнение на аргумент, применив формулу Муавра.
Я понимаю, что современная школота любит стебаться над образованием в СССР. Но, милые мои, если бы вам хоть немного дали бы такого образования, то, глядишь, кроме тупых мемов и тиктоков, из вас бы выходило что-то ценное... Чего я вам и желаю !
Эта задача решается устно, фактически не прибегая к вычислениям. Достаточно знания бинома Ньютона и формулы Муавра. Несложно заметить, что левая часть предлагаемого уравнения представляет собой вещественную часть комплексного числа (1+Z) ^100 , где Z = COS(X)+iSIN(X). Очевидно, что вещественная часть этого комплексного числа равна 0 в двух случаях: - когда само число равно 0. Это будет, если Z=-1, т.е. когда X=П+2Пn, где n-любое целое число. - когда само число является мнимым. Это будет, если аргумент числа 1+Z , умноженный на 100, будет лежать на мнимой оси, т.е., когда 100arg(Z+1)=П/2+Пk, где k-любое целое число. Заметим, что 2arg(Z+1)=arg(Z), т.к. при сложении двух векторов одинаковой длины (комплексных чисел 1 и Z), результирующий вектор будет делить угол между вектрами пополам. Учитывая, что X=arg(Z), окончательно получим: 50X=П/2+Пk, где k-любое целое число.
а я рассуждал по-другому: коэффициенты Сnk, симметричные относительно центрального члена суммы имеют одинаковые значения. Так, сгруппировав 0-й и 100й член, 1-й и 99й и т.д. остается одиноким лишь центральный член cos50х. Далее каждую сгруппированную сумму косинусов преобразовал в двойное произведение косинуса полуразности и косинуса полусуммы и о чудо - везде cos50х. его за скобки - вот вам и решение. Правда, в скобках остается внушительная сумма, которую приравнять к нулю я так и не смог. (((
Можно немного по-другому: заменить в исходном уравнении каждый cos(nx) на Re[exp(inx)]. Здесь n=1, 2, ..., 100; Re- действительная часть комплексного числа; i- мнимая единица √(-1); exp- обозначение экспоненты. Поскольку все коэффициенты исходного уравнения и первый член (единица)- действительные числа, то знак Re можно вынести за каждое отдельное произведение и, в целом, за всю сумму, начиная с единицы. Таким образом за знаком Re окажется бином Ньютона 100-ой степени для суммы 1+exp(ix), т.е. уравнение примет вид: Re{[1+exp(ix)]¹⁰⁰}=0. Далее расписываем основание степени как (1+cosx)+isinx. Применяем формулу преобразования комплексного числа из алгебраической в показательную форму (аналогичную формуле приведённого аргумента): a+ib=[√(a²+b²)]•exp(iw), где w=arctg(b/a). У нас a=1+cosx, b=sinx. Тогда a²+b²=(1+cosx)²+sin²x= =1+2cosx+cos²x+sin²x=2+2cosx= =2(1+cosx)=4cos²(x/2). b/a=sinx/(1+cosx)= =2sin(x/2)cos(x/2)/[2cos²(x/2)]=tg(x/2). Поэтому √(a²+b²)=2|cos(x/2)|; w=arctg(b/a)=arctg[tg(x/2)]=x/2. Таким образом, уравнение принимает вид Re{[2|cos(x/2)|•exp(ix/2)]¹⁰⁰}=0. Возводим в 100-ую степень: Re{2¹⁰⁰•cos¹⁰⁰(x/2)•exp(50ix)}=0. Действительная часть будет равна 2¹⁰⁰•cos¹⁰⁰(x/2)•cos(50x)=0, т.к. Re{exp(iw)}=cos(w). Т.е. получили точно такое же уравнение, что и у Михал Абрамыча. 😀
Единственное, что хочется сказать, это то, что √ это арифметический квадратный корень из положительного числа и определение мнимой единицы, как корень является неправильным, ведь корень сам по определению положительное число, и извлекается из положительного числа, ни тот ни другое в таком определении мнимой единицы не выполняется
@@Alexander_Goosev тогда √-1*√-1 = √(-1)(-1) = √1 = 1? Не легче ли не вводить такие определения, а лишь говорить, что мнимая единица это некий символ который мы считаем за решение уравнения x^2 + 1 = 0?
@@kerimtagirov Уравнение x²+1=0 имеет 2 решения: i и -i. Не очень хорошее определение одного числа i. Комплексные и действительные функции имеют одинаковое обозначение, дополнительно указывается их область определения. При выполнении действий над числами в комплексной области квадратный корень становится комплексной функцией с 2 значениями (обозначение остаётся прежним): √1=±1. По определению, берётся для i² только значение -1.
Зачем с самого начала устраивать неразбериху? В начале замените і на n, что бы потом не путаться с комплексной единицей. Потом sin пишите с буквой і, ведь ваше sn легко спутать с гиперболическим синусом sh. Решение классное, но для школьников, любящих математику, желательно избегать путаницы с обозначениями.
@@Alexander_Goosev я написал в школе. А не в советское время. Это значит в советское время в школе где я учился комплексных чисел не было. Ни на выпускных. Ни на вступительных в Бауманку. Может где-то и были. Например в матшколах. За них не скажу. Вот как-то так.
Задача из собеседования при поступлении в 1 й класс школы при СССР.
Да, задача действительно для первоклассников.
Здравствуйте. Очень нравятся ваши ролики. Снимайте их почаще❤
Это действительная часть суммы C^k_100 e^(i 100 x) = 0, по формуле Бинома Ньютона это Re(1+e^(ix))^100=0, т.е. 100arg(1+e^(ix))=pi/2+pi k или 1+e^(ix)=0, а arg(1+e^(ix))=arg(e^(ix))/2=x/2, 100x/2=pi/2+pi k, x = pi/100+pi k/50, k целое, альтернатива же даёт e^(ix)=-1, x=pi + 2pi k, k целое.
Решил в уме формулой Пика за 0.003 секунды. Чуть-чуть долговато из-за того, что соседская собака подсмотрела мой ход мыслей и гавкнула неправильный ответ
Комплексные числа не входили в программу общеобразовательных школ СССР с 1968 года. Я закончил школу в самом что ни на есть СССР, решить бы эту задачу в школе не смог. А уже после первого семестра в институте решил бы в любом состоянии. Альфу бы не вводил, конечно, просто бы вынес экспоненту с половинным аргументом за скобки.
Я напоминаю, что на этом канале было опубликовано видео "Отравленное уравнение: именно из-за этого уравнения Алексей Навальный..." Это именно что кликбейт.
У Вас символом i обозначена и мнимая единица и индекс суммирования.
Автор делает слишком сложно. Достаточно решить уравнение Re((1+e^ix)^100)=0. Изобразив число 1+e^ix на комплексной плоскости, получим равнобедренный треугольник (abs(1)=abs(e^ix)=1) из которого сразу видно, что один из аргументов числа 1+e^ix равен х/2. Ну а дальше достаточно решить уравнение на аргумент, применив формулу Муавра.
Я понимаю, что современная школота любит стебаться над образованием в СССР. Но, милые мои, если бы вам хоть немного дали бы такого образования, то, глядишь, кроме тупых мемов и тиктоков, из вас бы выходило что-то ценное... Чего я вам и желаю !
🤡
@@christt9013Вообще-то нет, он выдал базу.
к сожалению, но в "тиктоках" дети советских времен выкладывают так называемый "кринж", в котором отсутствуют адекватность и простая грамотность.
Да, именно лучшее в мире образовоние порождает людей, которые заряжают воду у телика👍
Это не зависит от образования. Какой человек, такое у него поведение и мировоззрение.
Эта задача решается устно, фактически не прибегая к вычислениям. Достаточно знания бинома Ньютона и формулы Муавра.
Несложно заметить, что левая часть предлагаемого уравнения представляет собой вещественную часть комплексного числа
(1+Z) ^100 , где Z = COS(X)+iSIN(X). Очевидно, что вещественная часть этого комплексного числа равна 0 в двух случаях:
- когда само число равно 0. Это будет, если Z=-1, т.е. когда X=П+2Пn, где n-любое целое число.
- когда само число является мнимым. Это будет, если аргумент числа 1+Z , умноженный на 100, будет лежать на мнимой оси, т.е.,
когда 100arg(Z+1)=П/2+Пk, где k-любое целое число. Заметим, что 2arg(Z+1)=arg(Z), т.к. при сложении двух векторов одинаковой
длины (комплексных чисел 1 и Z), результирующий вектор будет делить угол между вектрами пополам. Учитывая, что X=arg(Z),
окончательно получим: 50X=П/2+Пk, где k-любое целое число.
а я рассуждал по-другому: коэффициенты Сnk, симметричные относительно центрального члена суммы имеют одинаковые значения. Так, сгруппировав 0-й и 100й член, 1-й и 99й и т.д. остается одиноким лишь центральный член cos50х. Далее каждую сгруппированную сумму косинусов преобразовал в двойное произведение косинуса полуразности и косинуса полусуммы и о чудо - везде cos50х. его за скобки - вот вам и решение. Правда, в скобках остается внушительная сумма, которую приравнять к нулю я так и не смог. (((
Бог подаст.
Ага, и вам того же.
@@Sergey12121979 Мне подал. Я решил.
Это как-то связано с великой теоремой ферма?
Да, ведь его тоже решали в уме советские пятиклассники
Даже самый законченный фермер двоечник в Советском Союзе мог сам доказать теорему ферма
Вы, дяденька, сказочник(про уровень 13-го номера) 😅
@@StrongCoder-gs6kb , без всяких компьютеров
Можно немного по-другому:
заменить в исходном уравнении каждый cos(nx) на Re[exp(inx)].
Здесь n=1, 2, ..., 100;
Re- действительная часть комплексного числа;
i- мнимая единица √(-1);
exp- обозначение экспоненты.
Поскольку все коэффициенты исходного уравнения и первый член (единица)- действительные числа, то знак Re можно вынести за каждое отдельное произведение и, в целом, за всю сумму, начиная с единицы.
Таким образом за знаком Re окажется бином Ньютона 100-ой степени для суммы
1+exp(ix), т.е. уравнение примет вид:
Re{[1+exp(ix)]¹⁰⁰}=0.
Далее расписываем основание степени как
(1+cosx)+isinx.
Применяем формулу преобразования комплексного числа из алгебраической в показательную форму (аналогичную формуле приведённого аргумента):
a+ib=[√(a²+b²)]•exp(iw),
где w=arctg(b/a).
У нас a=1+cosx, b=sinx.
Тогда
a²+b²=(1+cosx)²+sin²x=
=1+2cosx+cos²x+sin²x=2+2cosx=
=2(1+cosx)=4cos²(x/2).
b/a=sinx/(1+cosx)=
=2sin(x/2)cos(x/2)/[2cos²(x/2)]=tg(x/2).
Поэтому
√(a²+b²)=2|cos(x/2)|;
w=arctg(b/a)=arctg[tg(x/2)]=x/2.
Таким образом, уравнение принимает вид
Re{[2|cos(x/2)|•exp(ix/2)]¹⁰⁰}=0.
Возводим в 100-ую степень:
Re{2¹⁰⁰•cos¹⁰⁰(x/2)•exp(50ix)}=0.
Действительная часть будет равна
2¹⁰⁰•cos¹⁰⁰(x/2)•cos(50x)=0,
т.к. Re{exp(iw)}=cos(w).
Т.е. получили точно такое же уравнение, что и у Михал Абрамыча. 😀
Единственное, что хочется сказать, это то, что √ это арифметический квадратный корень из положительного числа и определение мнимой единицы, как корень является неправильным, ведь корень сам по определению положительное число, и извлекается из положительного числа, ни тот ни другое в таком определении мнимой единицы не выполняется
@@kerimtagirov Нет, правильно. 😀
i=√(-1);
-i=-√(-1).
Это определение Вы найдёте в половине учебников высшей алгебры.
@@Alexander_Goosev тогда √-1*√-1 = √(-1)(-1) = √1 = 1? Не легче ли не вводить такие определения, а лишь говорить, что мнимая единица это некий символ который мы считаем за решение уравнения x^2 + 1 = 0?
@@kerimtagirov Уравнение x²+1=0
имеет 2 решения: i и -i.
Не очень хорошее определение одного числа i.
Комплексные и действительные функции имеют одинаковое обозначение, дополнительно указывается их область определения.
При выполнении действий над числами в комплексной области квадратный корень становится комплексной функцией с 2 значениями (обозначение остаётся прежним):
√1=±1.
По определению, берётся для i² только значение -1.
Зачем с самого начала устраивать неразбериху? В начале замените і на n, что бы потом не путаться с комплексной единицей. Потом sin пишите с буквой і, ведь ваше sn легко спутать с гиперболическим синусом sh. Решение классное, но для школьников, любящих математику, желательно избегать путаницы с обозначениями.
Бином ньютона
8:46 основное тригонометрическое тождество
уже было такое
Откуда задача?
Из советского учебника для дошкольников по математике
@@user-su2hl2dp6kразвивайка для новорожденных
Комплексных чисел в советской школе не было. Я заканчивал 52 года назад ))) хи хи.
Это, наверное, 8 классов ?
@@Alexander_Goosev я написал в школе. А не в советское время. Это значит в советское время в школе где я учился комплексных чисел не было. Ни на выпускных. Ни на вступительных в Бауманку. Может где-то и были. Например в матшколах. За них не скажу. Вот как-то так.
0:40 за первый класс же, да?
Это решали американские дети в пеленках, российские школьники и советские студенты
да, в советском союзе такая задача была для среднего ученика, а сейчас заканчивают институт и не могут замостить прямоугольник 2 на 4, куда катимся
Bro talks too much
ахаххахаха
Much это мало? Не разбираюсь в английском
@@user-re4mw8zm4u Наоборот.
задача которую должен был решить будущий гражданин ссср при выписке из роддома