на превьюшке в верхнем 3a. Спасибо за видео, сначала попытался раписать через сигма1 сигма 2 из основной теоремы сим. многочленов, но понял, что всё оказалось куда проще!
первая задача из вашего видео, которую я смог решить сам, только я сделал по-другому. Я по сути начал решать эту систему в общем виде(и у меня получилось)
Хм)) а я бы здесь вообще бы подумал построить графики обоих уравнений) Первое уравнение - это овал, наклоненный влево, второе (типа x^4 + y^4 = n) - это окружность, которую немного прижали к квадрату, вокруг нее описанному. И там из графиков довольно легко видно, что два решения у системы будет тогда, когда первый график касается второго. И это проходит (о, чудо!) по осям симметрии первого графика) А оси симметрии - это y=x и y=-x. В итоге, наша система сводится к двум системам: 1) х^2 + xy + y^2 = 3; y=x, 2) х^2 + xy + y^2 = 3; y=-x. В обеих системах находим х и у, подставляем в нижнее уравнение, находим а)
можно решить чуть иначе. нижнее преобразуем в (x**2+y**2)**2-2(xy)**2 далее заменяем первую скобку на 3-xy и решаем квадратное относительно xy.потом получаем новую систему где xy= чему то , а x+y = sqrt(3+xy).А далее думаем когда получается 2 решения и в итоге приходим к верному ответу
Надо же закончить решение и объяснить, почему годится только a=1 и a=5. Из того, что ты написал, ясно, что ты не сможешь этого сделать. Не хватает ещё одного уравнения.
@@Alexander_Goosev ну ты хочешь, чтоб всё решение в одном коме тебе написали. Я просто накинул идею. А насчёт того как получить ответ ты уже сам должен догадаться. А=5 получается когда d в уравнении квадратном равен нулю. А =1 когда совпадают уравнения.
@@кабан-ф4ц Надо решить так, чтобы было понятно школьникам здесь и преподавателю там. Из того, что ты написал, нельзя получить правильный ответ. Не хватает ещё одного уравнения. Распальцовывать будешь лохам на дебильных каналах, которых, конечно, большинство. А здесь придётся или закончить решение, или огрести. Нех... соваться в приличные места с распальцовкой. 😀
U=x^2+y^2 and V=xy substitutions then we get U+V=3 and U^2-2*V^2=4a-2 and so on… We will get equation V^2+6V+4a-11=0 and get 2 solutions 4a-11=9 so a=5…
На заставке ролика в 1-м уравнении справа 3а. Я, не запуская ролик, решил систему и получил ответ а=1. А в самом ролике справа уже 3, "а" пропало. Второй раз решать лень((
Ошибка в условии дала лишнее решение а=5. В уравнении на заставке решение только а=1. Кстати, первоначальная система решается в лоб в радикалах 4-й степени от "a", даже не прибегая к симметрии и четности
Интересно, что систему можно решить для произвольных положительных правых частей уравнений. Пусть x² + xy + y² = A, x⁴ + y⁴ = B, где A, B >=0. Преобразуем второе уравнение системы: x⁴ + y⁴ = (x² + y²)² - 2(xy)² = B Из первого уравнения выразим x² + y² = A - xy и подставим во второе: (A - xy)² - 2(xy)² = B Решив квадратное уравнение, найдём xy = -A ± sqrt(2A² - B), откуда x² + y² = 2A ∓ sqrt(2A² - B). Ясно, что для существования вещественных решений должно быть выполнено 2A² >= B. Далее (x+y)² = (x²+y²) + 2(xy) = 2A ∓ sqrt(2A² - B) - 2А ± 2sqrt(2A² - B) = ±sqrt(2A² - B) Таким образом, мы можем отбросить те значения, которые приводят к отрицательному знаку при квадрате суммы. Найдём (x-y)²: (x-y)² = (x² + y²) - 2(xy) = 4A - 3sqrt(2A² - B) Правая часть квадрата разности неотрицательна при B
Я немного по-другому решал. Есть смысл записать x²+xy+y²=¾(x+y)²+¼(x-y)²= =3[(x+y)/2]²+[(x-y)/2]², т.к. это положительная квадратная форма. Напрашивается замена u=(x+y)/2, v=(x-y)/2. Т.е. x=u+v, y=u-v. Тогда x⁴+y⁴=(u+v)⁴+(u-v)⁴= =2u⁴+12u²v²+2v⁴. Удваиваются члены разложения бинома Ньютона с чётными степенями, сокращаются с нечётными. Таким образом, получаем систему 3u²+v²=A; u⁴+6u²v²+v⁴=B/2. Во втором уравнении удобно выделить полный квадрат (3u²+v²)²: (3u²+v²)²-8u⁴=B/2. С учётом первого уравнения имеем: A²-8u⁴=B/2. Т.е. u⁴=A²/8 - B/16. (Сразу заметим: B≤2A²). Теперь подставляем выражение для u²: u²=√(A²/8 - B/16) в первое уравнение. Получаем: v²=A - 3√(A²/8 - B/16). Сразу заметим, что выражение справа ≥0, т.е. A≥3√(A²/8 - B/16). Откуда B≥2A²/9. Таким образом, 2A²/9≤B≤2A². Обозначим s=(A²/8 - B/16)^¼ , t=√[A - 3√(A²/8 - B/16)]. Ясно, что s≥0 и t≥0. Тогда u=±s; v=±t. Т.е. x=u+v=±s±t; y=u-v=±s-(±t). Два решения у системы будет только если s=0 или если t=0 (но не одновременно). Т.е. либо при B=2A², либо при B=2A²/9, но не одновременно (когда A=B=0). При нахождении параметра нужно отбрасывать решения, приводящие к отрицательным или нулевым значениям A или B.
тут наверное можно было заменить x2 за t и анализ замены тк x^2 даёт два корня нужно чтобы один корень был отрицательным а другой положительный и наоборот
@@romank.6813 Ну, попробуй свой канал завести. Посмотрим. 😀 К тому же, М.А. с ходу решает, с минимальной подготовкой. В день ЕГЭ он с утра быстро прорешивает дальневосточный вариант. Что ценно.
Не очень понял, зачем после нахождения а в обоих случаях заново решать уравнения, ведь можно просто подставить а и х=у, х=-у и прийти к двум решениям. То есть х^2 = 1 из первой системы всегда нам покажет, что решения всего 2 (так как х=у)
А почему вы уверены, что у вашей системы будут ТОЛЬКО решения при которых x=y? Да, мы нашли такие a при которых у вас есть решение х=у, но могут быть и решения отличные от этого. Например, посмотрите на систему x^3+y^3=a и x^2+xy+y^2=3. При каких а будет один корень? Если рассуждать аналогично, то получится, что при а=2, если вы подставите а=2, х=у, то все хорошо вроде бы, но вы честно решите систему x^3+y^3=2 и x^2+xy+y^2=3 (или забейте график в десмосе) и вы поймете, что там будет 3 решения! Поэтому нужно просто подставлять ваше а без каких-то доп условий и честно решать!
о, я этот параметр видел в учебнике для дошколят 1935 года
Я его составлял так что он не особо сложный
@@Obitoku8810 Из могилы вещаешь?
Да-да, учебник под редакцией Ягоды. Помню-помню.
@@Obitoku8810 сасагео
именно этим параметром Император Человечества поразил Хоруса в конце Ереси
на превьюшке в верхнем 3a. Спасибо за видео, сначала попытался раписать через сигма1 сигма 2 из основной теоремы сим. многочленов, но понял, что всё оказалось куда проще!
жиза
первая задача из вашего видео, которую я смог решить сам, только я сделал по-другому. Я по сути начал решать эту систему в общем виде(и у меня получилось)
Эта задача из сборника первого класса при Николае II взята.
Хм)) а я бы здесь вообще бы подумал построить графики обоих уравнений) Первое уравнение - это овал, наклоненный влево, второе (типа x^4 + y^4 = n) - это окружность, которую немного прижали к квадрату, вокруг нее описанному. И там из графиков довольно легко видно, что два решения у системы будет тогда, когда первый график касается второго. И это проходит (о, чудо!) по осям симметрии первого графика) А оси симметрии - это y=x и y=-x. В итоге, наша система сводится к двум системам: 1) х^2 + xy + y^2 = 3; y=x, 2) х^2 + xy + y^2 = 3; y=-x. В обеих системах находим х и у, подставляем в нижнее уравнение, находим а)
можно решить чуть иначе.
нижнее преобразуем в (x**2+y**2)**2-2(xy)**2 далее заменяем первую скобку на 3-xy и решаем квадратное относительно xy.потом получаем новую систему где xy= чему то , а x+y = sqrt(3+xy).А далее думаем когда получается 2 решения и в итоге приходим к верному ответу
Надо же закончить решение и объяснить, почему годится только a=1 и a=5.
Из того, что ты написал, ясно, что ты не сможешь этого сделать. Не хватает ещё одного уравнения.
@@Alexander_Goosev ну ты хочешь, чтоб всё решение в одном коме тебе написали. Я просто накинул идею. А насчёт того как получить ответ ты уже сам должен догадаться.
А=5 получается когда d в уравнении квадратном равен нулю. А =1 когда совпадают уравнения.
@@Alexander_Goosev и вообще так можно решать, после важного замечания о симметрии когда мы получаем 4 возможных пары корней для проверки ашек.
@@кабан-ф4ц Надо решить так, чтобы было понятно школьникам здесь и преподавателю там.
Из того, что ты написал, нельзя получить правильный ответ. Не хватает ещё одного уравнения.
Распальцовывать будешь лохам на дебильных каналах, которых, конечно, большинство. А здесь придётся или закончить решение, или огрести. Нех... соваться в приличные места с распальцовкой. 😀
@@кабан-ф4ц К тому же,
x+y=±√(3+xy).
Уже этого достаточно, чтобы усомниться, понимаешь ли ты, что пишешь.
U=x^2+y^2 and V=xy substitutions then we get U+V=3 and U^2-2*V^2=4a-2 and so on…
We will get equation V^2+6V+4a-11=0 and get 2 solutions 4a-11=9 so a=5…
Спасибо большое за красивый разбор, как подходить к решению задач.
На заставке ролика в 1-м уравнении справа 3а.
Я, не запуская ролик, решил систему и получил ответ а=1.
А в самом ролике справа уже 3, "а" пропало.
Второй раз решать лень((
Ошибка в условии дала лишнее решение а=5.
В уравнении на заставке решение только а=1.
Кстати, первоначальная система решается в лоб в радикалах 4-й степени от "a", даже не прибегая к симметрии и четности
Михаил Абрамович, большое спасибо, за всё то что вы делаете!
Интересно, что систему можно решить для произвольных положительных правых частей уравнений.
Пусть x² + xy + y² = A, x⁴ + y⁴ = B, где A, B >=0. Преобразуем второе уравнение системы:
x⁴ + y⁴ = (x² + y²)² - 2(xy)² = B
Из первого уравнения выразим x² + y² = A - xy и подставим во второе:
(A - xy)² - 2(xy)² = B
Решив квадратное уравнение, найдём xy = -A ± sqrt(2A² - B), откуда x² + y² = 2A ∓ sqrt(2A² - B). Ясно, что для существования вещественных решений должно быть выполнено 2A² >= B. Далее
(x+y)² = (x²+y²) + 2(xy) = 2A ∓ sqrt(2A² - B) - 2А ± 2sqrt(2A² - B) = ±sqrt(2A² - B)
Таким образом, мы можем отбросить те значения, которые приводят к отрицательному знаку при квадрате суммы. Найдём (x-y)²:
(x-y)² = (x² + y²) - 2(xy) = 4A - 3sqrt(2A² - B)
Правая часть квадрата разности неотрицательна при B
Я немного по-другому решал.
Есть смысл записать
x²+xy+y²=¾(x+y)²+¼(x-y)²=
=3[(x+y)/2]²+[(x-y)/2]²,
т.к. это положительная квадратная форма.
Напрашивается замена
u=(x+y)/2,
v=(x-y)/2.
Т.е. x=u+v,
y=u-v.
Тогда
x⁴+y⁴=(u+v)⁴+(u-v)⁴=
=2u⁴+12u²v²+2v⁴.
Удваиваются члены разложения бинома Ньютона с чётными степенями, сокращаются с нечётными.
Таким образом, получаем систему
3u²+v²=A;
u⁴+6u²v²+v⁴=B/2.
Во втором уравнении удобно выделить полный квадрат (3u²+v²)²:
(3u²+v²)²-8u⁴=B/2.
С учётом первого уравнения имеем:
A²-8u⁴=B/2.
Т.е.
u⁴=A²/8 - B/16.
(Сразу заметим: B≤2A²).
Теперь подставляем выражение
для u²:
u²=√(A²/8 - B/16)
в первое уравнение.
Получаем:
v²=A - 3√(A²/8 - B/16).
Сразу заметим, что выражение справа ≥0,
т.е. A≥3√(A²/8 - B/16).
Откуда B≥2A²/9.
Таким образом,
2A²/9≤B≤2A².
Обозначим
s=(A²/8 - B/16)^¼ ,
t=√[A - 3√(A²/8 - B/16)].
Ясно, что s≥0 и t≥0.
Тогда
u=±s;
v=±t.
Т.е.
x=u+v=±s±t;
y=u-v=±s-(±t).
Два решения у системы будет только если s=0 или если t=0 (но не одновременно).
Т.е. либо при B=2A²,
либо при B=2A²/9,
но не одновременно (когда A=B=0).
При нахождении параметра нужно отбрасывать решения, приводящие к отрицательным или нулевым значениям A или B.
Здравствуйте, Михаил Абрамович! Подскажите, пожалуйста, в какой программе вы работаете?
Михаил Абрамыч, на заставке в правой части первого уравнения стоит 3a,
а решали Вы с правой частью 3.
тут наверное можно было заменить x2 за t и анализ замены тк x^2 даёт два корня нужно чтобы один корень был отрицательным а другой положительный и наоборот
А с формулами нельзя?
Здесь нужно решение для ЕГЭ, а не для дома престарелых.
Видео ещё не смотрел. Предлагаю подстановку x^2+y^2=t, xy=z, и возвести первое уравнение в квадрат, из второго выделить квадрат от x^2+y^2
2x²+2xy+2y²=3x²+3y²-(x-y)²
Да-да, Михал Абрамыч косячит. Нас воспиталка в яслях за такое в угол ставила.
@@romank.6813 Не влияет на ответ. Случайная описка. Квадрат всё равно положителен. 😀
@@Alexander_GoosevНе влияет на ответ, зато влияет на оценку. Михал Абрамычу неуд за невнимательность.
@@romank.6813 Ну, попробуй свой канал завести. Посмотрим. 😀
К тому же, М.А. с ходу решает, с минимальной подготовкой.
В день ЕГЭ он с утра быстро прорешивает дальневосточный вариант. Что ценно.
@@romank.6813 Ты когда последний раз у доски решал?
50 лет назад? 😀
Тут М.А. как раз у доски решает.
10:19
А ПОЧЕМУ В СКОБКЕ ЗНАК + ?
ТАМ ВЕДЬ, ПО ИДЕЕ ДОЛЖЕН БЫТЬ ЗНАК -
Ну да ошибся, но так то это не влияет на дальнейшие соображения
@@кабан-ф4цЗато влияет на итоговую оценку. За такие косяки нам в яслях воспитатели на голову надевали тарелку с манной кашей во время полдника.
@@кабан-ф4ц вопрос был про то, что правильно ли я понял, что там ошибка
я же не говорил, что вон, смотрите, там ошибка, все, расстрел
Да, там просто описка
@@Postupashki Описка, это когда сказал "минус", а написал "плюс". :)
Не очень понял, зачем после нахождения а в обоих случаях заново решать уравнения, ведь можно просто подставить а и х=у, х=-у и прийти к двум решениям.
То есть х^2 = 1 из первой системы всегда нам покажет, что решения всего 2 (так как х=у)
А почему вы уверены, что у вашей системы будут ТОЛЬКО решения при которых x=y? Да, мы нашли такие a при которых у вас есть решение х=у, но могут быть и решения отличные от этого.
Например, посмотрите на систему x^3+y^3=a и x^2+xy+y^2=3. При каких а будет один корень? Если рассуждать аналогично, то получится, что при а=2, если вы подставите а=2, х=у, то все хорошо вроде бы, но вы честно решите систему x^3+y^3=2 и x^2+xy+y^2=3 (или забейте график в десмосе) и вы поймете, что там будет 3 решения!
Поэтому нужно просто подставлять ваше а без каких-то доп условий и честно решать!
Теперь понял, спасибо за ответ! Туман рассеялся после осознания, что здесь уравнения с двумя переменными) и заново решать всегда обязательно
как обычно, всё за месяц до экзамена переигрывают(
Я что-то переиграл в прошлом году?!
Жалко что ничего не понятно
Заголовок-то: не решит никто!!
Решение: Гы-Гы-Гы! И кто вам такие заголовки сочиняет, неужели сами?
Превью не соответствует задаче 🥲
Я такое в 4 месяца как семки в коляске щелкал. Привет с Украины
На замену xx + yy = u, xy = v, дальше все очевидно
Иди в ж...
2×2=4.
Дальше всё очевидно.
Клоун ютубовский.
.
Какая вам от этого выгода? Вы что же хотите быть великим среди дураков? Ведь
Э, а где продолжение? За что я деньги плачу
Мне интересно, реально люди смотрят на его? Он писимист, настрой точно не на хорошую работу.
Ты маугли?
Ну зачем вы это, так настойчиво делаете? Зачем вы так, уже явно, лжёте? Какя
Сами вы Какя, он, прошу заметить, вас не оскорблял
@@BN43214 Дедушка хотел написать "Какая...". См. его же комментарий выше (продолжение).
Изи задача для первокласников в 1950-ом
Ого, ровно такая же задача была на стажировке в Тинькофф прошлым летом!
Серьезно? Там такую халяву дают? Я то думал там чет жесткое... Бляяяя, как же я переоценивал тинькофф