Для подобных задач с квадратами прямо просится применение простейшей аналитической геометрии, причем в общем виде. Пусть АD = а, DР = b. Тогда A(0, 0), B(0, a), M(a, b). Уравнение прямой ВР: (a + b)∙y + a∙x - a∙(a + b) = 0. Расстояние от точки М до прямой ВР: МТ = [(a + b)∙b + a^2 - a^2 - a∙b]/√[(a + b)^2 + a^2] = (b^2)/√[(a + b)^2 + a^2]. Площадь желтого квадрата: *S(ж) = МТ^2 = (b^4)/ [(a + b)^2 + a^2].* Подставляя заданные стороны квадратов, получим : S(ж) = 10000/250 = 40.
Дело вкуса. Замечу, что подобие - это 3-я четверть 8 кл, а Пифагор 2-я. И если задачу дать на олимпиаде в январе, то все подобия летят к черту. Впрочем, дело вкуса, я же подобия оставил зрителям для комментов. И никак не согласен, что подобия проще. Это рутиннная техническая скучная работа. Я же предложил яркое красивое эвристическое решение: найти высоту прямоугольного. Увидеть этот треугольник - вот в чем прелесть задачи. И в этом суть геометрии. Спасибо, что смотрите нас.
Решение координатным методом. Пусть нижний левый угол маленького квадрата будет началом координат. Тогда нам следует написать уравнение прямой, проходящей через точки (0;5) и (15;0), причем длина стороны квадрата будет равна расстоянию от точки (5;10) до эта линия. Уравнение линии, которую нужно найти, имеет вид х/3 + у - 5 = 0 и h будет расстоянием h=(|5/3 + 10 - 5|)/(sqrt((1/3)²+1))=20/sqrt(10) Площадь желтого квадрата равна h²=(20/sqrt(10))²=400/10=40 Ответ: 40
Видишь квадраты - проводи диагонали. Они всегда пересекаются под прямым углом. Ну и пачку пифагорчиков. А дальше произведение катедов равно произведению высоты на гипотенузу, ибо и то и то даёт площадь (пополам).
@@GeometriaValeriyKazakov если решать, исходя из подобия треугольников, то задача для 8 класса.😀 Треугольники АВР и ЕТМ подобны, значит соотношение их гипотенуз равно соотношению катетов. ЕМ : ВР = ТМ : АР. Здесь АР=15, а ВР=5√10 по теореме Пифагора. ЕМ можно найти как сумму МС и СЕ: МС=5, а СЕ=5/3 (опять-таки из подобия треугольников). Тогда получим, что 20/3 : 5√10 = ТМ : 15. Соответственно, ТМ=20/√10. А площадь квадрата - (20/√10)^2=40. Вот и всё решение.
Можно решить через подобные треугольники ΔABP, ΔCEB и ΔTEM: CE:BC=BA:AP=> CE=(5*5)/15=5/3; MT:ME=BA:BP => MT=(5*(5+5/3)/√250 = 20/√10 => S = MT*MT = 400/10=40.
че-то я давно на тангенсы подсел) сторона искомого кв-та икс... tgBPA=1/3... тогда DE=10/3... тогда EM=20/3... угол BPA=TME... cosBPA=3/√10=cosTME=x/(20/3)... x=2√10... S=40
ВР по теореме Пифагора 5 Корней из 10. ВЕ =1/3 *ВР=(5 Корней из 10)/3. СЕ=5/3. МЕ=20/3. Дальше пропорцией: ВЕ/МЕ=ВС/МТ. МТ=20/корень из10. Площадь квадрата 400/10=40.
По т, Фалеса МЕ/ЕD=4/2.МЕ=20/3, обозначим ТЕ=х и по т, Пифагора х*х+9х*х=400/9( треугольники МТЕ,РDЕ,РАВ подобны с тангенсом1/3) х*х=40/9 а вся искомая площадь в 9 раз больше тоесть =40!
Подобные прямоугольные ΔCDP и ΔABP, катеты 3 к 1. Малый катет ED, как и весь треугольник, в полтора раза меньше АВ, т. е. 2/3 от 5. 10/3=3¹/₃. МЕ=10-3¹/₃=6²/₃. Но ΔМТЕ тоже подобен, а значит - и его катеты 1 к 3. х²+х²/9=(6²/₃)²=(20/3)²=400/9. Нас интересует сразу х² - это и есть искомая площадь. ▫х²(1¹/₉)=400/9; ▫10х²/9=400/9; ▫10х²=400; ▫х²=400/10=40.
@@GeometriaValeriyKazakov кстати, такие рисунки визуализируют теорему Пифагора. Если достроить от треугольника ΔЕМТ по малому катету квадрат, прилегающий к нашему - то площадь большого и малого квадратов будет равняться площади квадрата, который мы построим из гипотенузы. Интересно, можно ли таким образом доказать теорему Пифагора геометрически?🤔
Посчитал в уме через (а) теорему синусов, найдя DE=10/3, (б) теорему Пифагора, найдя PE=10√10/3, и (в) подобие треугольников, найдя MT=20/√10. Получилось S=40. Теперь можно и ролик посмотреть.
Если пошевелить конструкцию в общем виде, получается занятное: BP·MT = DP², то есть S[BMP] = ½S[DMNP]. Когда A и D совпадают, это очевидно. P.S. В описании одна из вершин жёлтого квадрата C вместо K. Что забавно, и для площади этой загогулины есть формула: S[TMCF] = S[CDP]·(DP/BP)² = ½AD·DP³/BP².
какого выпускника? седьмого класса? никаких построений подобие МТЕ и ВСЕ(бэ-це-э) СЕ=5/3, МС=5, МЕ=20/3. Квадрат ВЕ=250/9. Квадраты гипотенуз относятся, как 400/250=8/5. Это отношения площадей искомого и пятерошного Ответ:40
Пока писал - ролик слился. Что не так? Пришлось писать снова. Без доп. построений: СЕ : DЕ = ВС : DР = 1 : 2, СЕ : СD = 1 : 3, СЕ : СМ = 1 : 3, DЕ : ЕМ = 1 : 2. ЕМ = 20/3. ▲АВР~▲МТЕ (по вертикальному углу). ТЕ : ТМ = АВ : АР = 1 : 3 = х : 3х. х² + (3х)² = (20/3)². х = (√40)/3, ТМ = 3х = √40, S = 40.
Без Пифагора: ЕТ=1/3ТF,ЕD=1/3МD( из подобия PAB.PDE.MTE), повевнем МТЕ на 90против чясовой , тогда МЕ1 попадет на МN, площадь KEF=1/3 искомого квадрата, площадь ЕЕ1К=1/3 от KEF=1/9 искомого квадрата, ЕЕ1F=1/3+1/9=4/9 , значит площадь ЕЕ1М=5/9 = МЕ*МЕ1/2=20/3*20/3/2=200/9 и вся площадь (200/9)/(5/9)=40
@@GeometriaValeriyKazakov Если бы я учился в 7 или даже меньшем классе и не знал бы не подобия не Пифагора то нарисовал бы в тетради в клеточку и подметил что РВ на каждые 3 клетки влево поднимается на 1 вверх, а чтобы МТ было ей перпендикулярно то на 3 клетки вниз надо на 1 влево, нарисовал бы и заметил что точка Т находится как раз на пересечении клеток и длинна МТ как раз два таких отрезка (3:1) а в таком квадрате (длинна стороны 3:1) ровно 10 клеточек и в искомом квадрате 4 таких квадратика . Кто предложит решениееще проще?
![Как мнимые числа спасли математику [Veritasium]](http://i.ytimg.com/vi/xJR8oL7UtQY/mqdefault.jpg)
Для подобных задач с квадратами прямо просится применение простейшей аналитической геометрии, причем в общем виде. Пусть АD = а, DР = b. Тогда A(0, 0), B(0, a), M(a, b).
Уравнение прямой ВР: (a + b)∙y + a∙x - a∙(a + b) = 0. Расстояние от точки М до прямой ВР: МТ = [(a + b)∙b + a^2 - a^2 - a∙b]/√[(a + b)^2 + a^2] = (b^2)/√[(a + b)^2 + a^2].
Площадь желтого квадрата: *S(ж) = МТ^2 = (b^4)/ [(a + b)^2 + a^2].* Подставляя заданные стороны квадратов, получим : S(ж) = 10000/250 = 40.
Отлично.
Отличная задача! Красивое решение! Я решал подобиями треугольников. Считал устно, порадовался, что все посчитал правильно! Спасибо!
ОЧЕНЬ рад за вас!
Через подобие решается легче и быстрее
Дело вкуса. Замечу, что подобие - это 3-я четверть 8 кл, а Пифагор 2-я. И если задачу дать на олимпиаде в январе, то все подобия летят к черту. Впрочем, дело вкуса, я же подобия оставил зрителям для комментов. И никак не согласен, что подобия проще. Это рутиннная техническая скучная работа. Я же предложил яркое красивое эвристическое решение: найти высоту прямоугольного. Увидеть этот треугольник - вот в чем прелесть задачи. И в этом суть геометрии. Спасибо, что смотрите нас.
Рисуем диагонали квадратов и имеем прямоугольный треугольник с катетами 1:2. Большой катет 10✓2, сторона квадрата в ✓5 раз короче 100*2/5=40
Супер! Это наше с вами решение!
ЕD=10/3
EM=20/3
Треугольник ТМЕ подобен АВР, соотношение катетов и гипотенузы 3:1:√10
МТ=(20/3)*(3/√10)=2√10
S=40
Спасибо.
Решение координатным методом. Пусть нижний левый угол маленького квадрата будет началом координат.
Тогда нам следует написать уравнение прямой, проходящей через точки (0;5) и (15;0), причем длина стороны квадрата будет равна расстоянию от точки (5;10) до эта линия.
Уравнение линии, которую нужно найти, имеет вид
х/3 + у - 5 = 0
и h будет расстоянием
h=(|5/3 + 10 - 5|)/(sqrt((1/3)²+1))=20/sqrt(10)
Площадь желтого квадрата равна
h²=(20/sqrt(10))²=400/10=40
Ответ: 40
Отлично!
Видишь квадраты - проводи диагонали. Они всегда пересекаются под прямым углом. Ну и пачку пифагорчиков. А дальше произведение катедов равно произведению высоты на гипотенузу, ибо и то и то даёт площадь (пополам).
Правильно.
спасибо, Валерий. Закрепляет пройденное!! ))
Спасибо!
*Ответ: S(ж. кв.) = 40.* Т. Пифагора использована 1 раз. (А если честно, то еще 2 раза в п. 3).
1. Находим BP = √(15² + 5²) = *5√10.* (Теорема Пифагора).
2. Соединяем B и M, M и P. Построенный ∆BMP - прямоугольный (∠BMP = ∠BMC + ∠DMP = 45° + 45° = 90°).
3. ВM = 5/sin45° = 5*2/√2 = *5√2;* MP = 10/sin45° = 10*2/√2 = *10√2.*
4. Площадь S(∆BMP) = ВM*MP/2 = 5√2*10√2/2 = 50. S(∆BMP) = BP*MT/2 = (5√10/2)*MT. S(∆BMP) = S(∆BMP) ⇒ (5√10/2)*MT = 50, MT = 100/(5*√10) = *2√10.*
5. Площадь S(ж. кв.) = MT² = (2√10)² = 40.
Правильно! Отлично!
Замечательная задача. 100 процентов для выпускного класса. Большое спасибо.
Большое спасибо. Скорее для выпускного 9-го.
@@GeometriaValeriyKazakov
А в каком классе сейчас проходят теорему Пифагора?
@@GeometriaValeriyKazakov если решать, исходя из подобия треугольников, то задача для 8 класса.😀 Треугольники АВР и ЕТМ подобны, значит соотношение их гипотенуз равно соотношению катетов. ЕМ : ВР = ТМ : АР. Здесь АР=15, а ВР=5√10 по теореме Пифагора. ЕМ можно найти как сумму МС и СЕ: МС=5, а СЕ=5/3 (опять-таки из подобия треугольников). Тогда получим, что 20/3 : 5√10 = ТМ : 15. Соответственно, ТМ=20/√10. А площадь квадрата - (20/√10)^2=40. Вот и всё решение.
@@Change_Verification Отлично. Только для 8-го 3-я четверть. Во 2-й четверти - Пифагор.
Можно решить через подобные треугольники ΔABP, ΔCEB и ΔTEM: CE:BC=BA:AP=> CE=(5*5)/15=5/3; MT:ME=BA:BP => MT=(5*(5+5/3)/√250 = 20/√10 => S = MT*MT = 400/10=40.
Спасибо. Отлично. Но, с подобными все решили. А вот до подобия как решить? Одним Пифагором.
че-то я давно на тангенсы подсел) сторона искомого кв-та икс... tgBPA=1/3... тогда DE=10/3... тогда EM=20/3... угол BPA=TME... cosBPA=3/√10=cosTME=x/(20/3)... x=2√10... S=40
Да, тригонометрии еще не было!
ВР по теореме Пифагора 5 Корней из 10. ВЕ =1/3 *ВР=(5 Корней из 10)/3. СЕ=5/3. МЕ=20/3. Дальше пропорцией: ВЕ/МЕ=ВС/МТ. МТ=20/корень из10. Площадь квадрата 400/10=40.
супер!
Спасибо!
По т, Фалеса МЕ/ЕD=4/2.МЕ=20/3, обозначим ТЕ=х и по т, Пифагора х*х+9х*х=400/9( треугольники МТЕ,РDЕ,РАВ подобны с тангенсом1/3) х*х=40/9 а вся искомая площадь в 9 раз больше тоесть =40!
Отлично!
Подобные прямоугольные ΔCDP и ΔABP, катеты 3 к 1. Малый катет ED, как и весь треугольник, в полтора раза меньше АВ, т. е. 2/3 от 5. 10/3=3¹/₃. МЕ=10-3¹/₃=6²/₃. Но ΔМТЕ тоже подобен, а значит - и его катеты 1 к 3. х²+х²/9=(6²/₃)²=(20/3)²=400/9. Нас интересует сразу х² - это и есть искомая площадь.
▫х²(1¹/₉)=400/9;
▫10х²/9=400/9;
▫10х²=400;
▫х²=400/10=40.
Спасибо. Да, здесь сплошное подобие!
@@GeometriaValeriyKazakov кстати, такие рисунки визуализируют теорему Пифагора. Если достроить от треугольника ΔЕМТ по малому катету квадрат, прилегающий к нашему - то площадь большого и малого квадратов будет равняться площади квадрата, который мы построим из гипотенузы. Интересно, можно ли таким образом доказать теорему Пифагора геометрически?🤔
Посчитал в уме через (а) теорему синусов, найдя DE=10/3, (б) теорему Пифагора, найдя PE=10√10/3, и (в) подобие треугольников, найдя MT=20/√10. Получилось S=40.
Теперь можно и ролик посмотреть.
Отлично. Ну, и как вам ролик!
@@GeometriaValeriyKazakov А ролик зашёл. Не ожидал другого решения.
ВР= ВТ+ ТF+ FP
FP=KF= Х. ТF= Х. ВТ из ^ ВМТ корень из 50-х^2.
ВР^2= 25+ 225= 250
Получаем ур четвертой' где х^2 =S заменяем и получаем 40
Отлично!
Если пошевелить конструкцию в общем виде, получается занятное: BP·MT = DP², то есть S[BMP] = ½S[DMNP]. Когда A и D совпадают, это очевидно.
P.S. В описании одна из вершин жёлтого квадрата C вместо K. Что забавно, и для площади этой загогулины есть формула: S[TMCF] = S[CDP]·(DP/BP)² = ½AD·DP³/BP².
Вот это аналитика!
MTE и ABP подобны
DE=10/3
ME=20/3
Х²+Х²/3²= 20²/3²
10Х²=400
Х²=40
Даже корней нет в решении.
Спасибо.
какого выпускника?
седьмого класса?
никаких построений
подобие МТЕ и ВСЕ(бэ-це-э)
СЕ=5/3, МС=5, МЕ=20/3. Квадрат ВЕ=250/9. Квадраты гипотенуз относятся, как 400/250=8/5. Это отношения площадей искомого и пятерошного
Ответ:40
Отлично. Советую дать знакому школьнику и потом напишете - чем кончилось дело!
Откуда CE=5|3? Нужно еще одно подобие писать. Иначе незачет. Вообще-то ваше решение (если записать) из 8 действий. Нормальная выпускная задача!
@@GeometriaValeriyKazakov подумаешь сократил подобие ВСЕ и ДЕР. Но это же очевидно , что ВР сечет СД как 1:2
Жалко, что Вы гневные сообщения баните😢
Трег.АВР подобен трег ВСЕ=>
СЕ=5/3, МЕ=20/3, BP= 5sqrt(10)
Треу АВР подобен треу МТЕ
МТ=2sqrt(10) => S=40
Отлично!
Опечатка: (10\/10)/3:20/3=10:х
Спасибо. По-моему, у меня все абсолютно верно: 5\/2*10\/2/5\/10=20/\/10. Где здесь опечатка?
У меня опечатка
Напугали только пуганого!
Пока писал - ролик слился. Что не так? Пришлось писать снова. Без доп. построений:
СЕ : DЕ = ВС : DР = 1 : 2, СЕ : СD = 1 : 3, СЕ : СМ = 1 : 3, DЕ : ЕМ = 1 : 2. ЕМ = 20/3.
▲АВР~▲МТЕ (по вертикальному углу). ТЕ : ТМ = АВ : АР = 1 : 3 = х : 3х. х² + (3х)² = (20/3)².
х = (√40)/3, ТМ = 3х = √40, S = 40.
Оказался длинный 10 мин, еще аdepta там упоминал. Передумал. Сократив в 2 раза.
@@GeometriaValeriyKazakov Краткость - сестра таланта!
А я попал под сокращение
Без Пифагора: ЕТ=1/3ТF,ЕD=1/3МD( из подобия PAB.PDE.MTE), повевнем МТЕ на 90против чясовой , тогда МЕ1 попадет на МN, площадь KEF=1/3 искомого квадрата, площадь ЕЕ1К=1/3 от KEF=1/9 искомого квадрата, ЕЕ1F=1/3+1/9=4/9 , значит площадь ЕЕ1М=5/9 = МЕ*МЕ1/2=20/3*20/3/2=200/9 и вся площадь (200/9)/(5/9)=40
С подобием и я могу! Подобие в 3-й четверти, Пифагор во 2-й в 8 классе.
Отличное решение!
@@GeometriaValeriyKazakov Если бы я учился в 7 или даже меньшем классе и не знал бы не подобия не Пифагора то нарисовал бы в тетради в клеточку и подметил что РВ на каждые 3 клетки влево поднимается на 1 вверх, а чтобы МТ было ей перпендикулярно то на 3 клетки вниз надо на 1 влево, нарисовал бы и заметил что точка Т находится как раз на пересечении клеток и длинна МТ как раз два таких отрезка (3:1) а в таком квадрате (длинна стороны 3:1) ровно 10 клеточек и в искомом квадрате 4 таких квадратика . Кто предложит решениееще проще?