Très classique comme exo mais très sympa, surtout avec tous les compléments que vous ajoutez. Petit détail : je crois que pour justifier que Sn(R) est un fermé on peut juste dire que c'est un sous espace de Mn(R) + invoquer la dimension finie, si mes souvenirs de prépa sont pas trop loin. Belle année à vous aussi.
De manière générale, comment montre-t-on qu'un espace est topologiquement fermé ? Je sais qu'on peut soit montrer que c'est un sous-espace vectoriel d'un fermé mais y a t-il d'autres manières ?
Attention, ce n'est vrai qu'en dimension finie seulement ! En dimension infinie, cela devient faux ! D'après la définition, un fermé est le complémentaire d'un ouvert (sachant qu'une topologie se définit à partir de ses ouverts). En n'utilisant que la topologie, sans métrique, on peut essayer de montrer que l'ensemble est une intersection quelconque de fermés, ou une union finie de fermés. Si on a affaire à un espace métrique, dont la topologie est donnée par une distance, nous pouvons utiliser une caractérisation séquentielle (toute suite convergente d'éléments de F converge vers un élément de F). Une autre solution est également de jouer avec des applications continues entre des espaces métriques (l'image réciproque d'un fermé par une application continue est un fermé). Il y a certainement d'autres façons de montrer qu'un ensemble est un fermé, mais voilà les premières qui me viennent à l'esprit.
Classique et super merci j'en avais besoin. Merci egalement pour les timecodes
Très classique comme exo mais très sympa, surtout avec tous les compléments que vous ajoutez. Petit détail : je crois que pour justifier que Sn(R) est un fermé on peut juste dire que c'est un sous espace de Mn(R) + invoquer la dimension finie, si mes souvenirs de prépa sont pas trop loin.
Belle année à vous aussi.
Merci beaucoup pour ce retour!
Oui en effet on peut le justifier comme ça :)
Belle année à toi aussi !
Merci !
un superbe exo !!!!!
très bonne année à toi benjy :)
Merci beaucoup pour ce retour, Théo !
Et bonne année à toi aussi ! ;)
De manière générale, comment montre-t-on qu'un espace est topologiquement fermé ? Je sais qu'on peut soit montrer que c'est un sous-espace vectoriel d'un fermé mais y a t-il d'autres manières ?
Attention, ce n'est vrai qu'en dimension finie seulement ! En dimension infinie, cela devient faux !
D'après la définition, un fermé est le complémentaire d'un ouvert (sachant qu'une topologie se définit à partir de ses ouverts). En n'utilisant que la topologie, sans métrique, on peut essayer de montrer que l'ensemble est une intersection quelconque de fermés, ou une union finie de fermés. Si on a affaire à un espace métrique, dont la topologie est donnée par une distance, nous pouvons utiliser une caractérisation séquentielle (toute suite convergente d'éléments de F converge vers un élément de F). Une autre solution est également de jouer avec des applications continues entre des espaces métriques (l'image réciproque d'un fermé par une application continue est un fermé).
Il y a certainement d'autres façons de montrer qu'un ensemble est un fermé, mais voilà les premières qui me viennent à l'esprit.
Il y a une confusion dans l'énoncé, entre les matrices A et M
Merci d'avoir signalé la confusion. Je vais corriger l'écran titre.